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向量专题复习(讲练结合)

向量专题复习 一、 字母运算
1、加法:第一个向量的尾字母与第二个字母的首字母相同,两个向量的和为其余两个字母直接组 合所得向量,如 AB ? BC ? AC 2、减法:两个向量的首字母相同,两个向量的差为其余字母组合向量,方向为减向量到被减向量, 如 AB ? AC ? CB 3、练习 (1)计算: AC - AB =
AB + BC + CA =
??? ??? ? ? ???? ??? ? ( AB ? CD) ? ( AC ? BD) ? _____

AB + BC + CD =
??? ???? ???? ? AB ? AD ? DC ?
_ ___

( AB - CD )+( BE - DE )= ) B

(2)若 O,E,F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( ??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? A、 EF ? OF ? OE B、 EF ? OF ? OE
C、 EF ? ?OF ? OE

??? ?

??? ??? ? ?

D、 EF ? ?OF ? OE

??? ?

??? ??? ? ?
D E

??? ??? ??? ? ? ? (3)如图,正六边形 ABCDEF 中, BA ? CD ? EF =(
A、0



C

F

??? ? B、 BE

???? C、 AD

??? ? D、 CF

B

A

→ → → → (4)设平面上有四个互异的点 A、B、C、D,已知(DB+DC-2DA)·→ -AC)=0,则△ABC 的形状是 ( (AB B A、直角三角形 C、等腰直角三角形 B、等腰三角形 D、等边三角形
??? ?

)

(5)O 为平面上定点,A, B, C 是平面上不共线的三点,若( OB ?OC )·( OB ?OC ?2OA )=0, 则?ABC 的形状
是 等腰三角形

????

??? ?

????

??? ?

(6)在平行四边形 ABCD 中,O 是对角线的交点,下列结论正确的是( ) C ??? ??? ??? ???? ? ? ? ???? ???? ??? ? A、 AB ? CD , BC ? AD B、 AD ? OD ? DA ???? ???? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? C、 AO ? OD ? AC ? CD D、 AB ? BC ? CD ? DA

二、 图形运算
1、平行四边形中

加法:共起点 减法:共起点,指向被减数

AB ? AD ? AC

AD ? AB ? BD

或者

AB ? AD ? DB

2、三角形中

加法:首尾相接 减法:共起点 3、练习

AB ? BC ? AC AB ? AC ? CB

(1)若点D在线段 AB 上,2AD=3BD,则 AB =

BD .

? ? (2)已知点C在线段AB上,BC=2AC,如果 AB = a ,那么用 a 表示 CA =
??? ? (3) 如图, DE∥BC, 5AD=3AC, 且 试用向量 BC 表示向量 DE ,则 DE =_____________。

(4)在□ABCD 中, AB = a , BC = b ,那么 AC =

, BD =



? ? ? ? (5) ? ABC 中, E 分别是 AB、 的中点, AB = m ,AC = n , 在 D、 AC 设 用向量 m 、n 的线性组合表示向量 DE ,
则 DE =

(6)在 ? ABC 中,DC=2BD,点 E 是边 AC 的中点,设 ? ? BC = a , AC = b ,如果用 a 、 b 表示向量 DE ,
那么 DE =________________.

(7)如图,已知点 G 是 ? ABC 的重心,过点 G 作 DE‖BC,分别交边 AB、AC 于点 D、E,那
么用向量 BC 表示 ED 为________________.

? ? (8)已知矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,如果 BC ? a , DC ? 2b ,

那么(

).

? 1 ? a ? 2b ; 2 1 ? ? C、 BO ? 2b ? a ; 2
A、 BO ?

? ?

? ?

? 1 ? a ? 2b 2 ? ? D、 BO ? a ? 2b .
B、 BO ?

?

?


? ? (9)在□ABCD 中,AC与BD相交于点O, AB ? a , AD ? b ,那么 OD 等于(

1? 1? 1? 1? 1? 1? 1? 1? B、 ? a ? b C、 a ? b D、 ? a ? b a? b 2 2 2 2? 2 ??? ???? 2 ???? ??? ? 2???? 2 ? ? (10)在 ?ABC 中, AB ? c , AC ? b ,若点 D 满足 BD ? 2 DC ,则 AD =(
A、 A、

) .

2? 1? b? c 3 3

B、 c ?

5? 3

2? b 3

C、

2? 1? b? c 3 3

D、 b ?

1? 3

2? c 3

→ → → → → → (11)已知AB= a ,AC= b ,BD=3DC,用 a 、 b 表示AD,则AD= )B 3 1 3 1 1 3 1 A、 a + b B、 a + b C、 a + b D、 a + b 4 4 4 4 4 4 4 (12)在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O , E 是线段 OD 的中点, AE 的延长线与 CD 交于点 F , 若 AC ? a , BD ? b ,则 AF ? ( A、
? ? ? ?



?

) B

1? 1? a? b 4 2

B、

2? 1? a? b 3 3

C、

1? 1? a? b 2 4

D、

1? 2? a? b 3 3

三、 坐标运算
1、 (1)利用点坐标求向量坐标: ??? ? 若 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ? ,
即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标

(2)向量的坐标运算: a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x 2 , y 2 )
向量的加减法运算: a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 实数与向量的积: ? a ? (?x1 , ?y1 ) 平面向量数量积: a ? b ? x1 x2 ? y1 y2

?

?

? ?

向量的模:

(3)向量平行(共线)的充要条件: a // b ? a ? ? b ? x1 y2 ? y1 x2 =0。 (4)向量垂直的充要条件:. 2、练习
1 3 (1)已知平面向量 a ? (1,1) , b ? (1,?1) ,则向量 a ? b ? ( ) 2 2
A、 (?2, 1) ? B、 (?2, 1) C、 (?1 0) , D、 (?1,2) )
? ?

? ?

?

?

(2)设 a ? (1,?2) , b ? (?3,4) , c ? (3,2) ,则 (a ? 2b) ? c ? (
A、(-15,12) B、0 C、-3 D、-11

(3)在平面直角坐标系中,正方形 OABC 的对角线 OB 的两端点分别为 O(0, , B(11) ,则 AB? AC ? 0) ,

1
(4)已知向量 a ? (1,0) 与向量 b ? (?1, 3 ) ,则向量 a 与 b 的夹角为(
π A、 6 π B、 3 2π C、 3 ) 5π D、 6

(5)已知向量 a 在 b 满足 (a ? 2b) ? (a ? b) ? ?6 ,且 a ? 1 , b ? 2 ,则 a 与 b 的夹角为 (6)若向量 a ? (1,2) , b ? (1,?1) ,则 2a ? b 与 a ? b 的夹角等于( )

? . 3

A、-

? 4

B、

? 6

C、

? 4

D、

3? 4

? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? 2 (a ? 2b) ( ) 3 (7)已知 , · a ? b =-2,则 a 与 b 的夹角为 (8)若向量 a = ?x, 2 x ? , b = ?? 3x, 2? ,且 a , b 的夹角为钝角,则 x 的取值范围是_________ 1 1 4 (??, ? ) ? (? , 0) ? ( , ??) . 3 3 3

(9)平面向量 a 与 b 的夹角为 60° a ? (2,0) , b ? 1 ,则 a ? 2b ? ( ,
A、 3 B、2 3 C、4

)B

D、12

(10)已知单位向量 e1,e2 的夹角为 60° ,则|2e1-e2|=__________.( 3 )
2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? e1 , e 2 是夹角为 3 的两个单位向量, a ? e1 ? 2 e2 , b ? k e1 ? e2 , 若 a ? b ? 0 ,则 k 的值为 (11)已知
? ?

5 . 4

(12)若平面向量 a 与 b 满足 a ? b ? 1 |, a ? b 平行于 x 轴, b ? (2,?1) ,则 a ? ________.
答案:(-1,1)或(-3,1)

(13)设向量 a 与 b 满足 a ? 2 5 , b ? (2,1) ,且 a 与 b 的方向相反, a 则的坐标为______.(-4,-2) (14)已知向量 a ? (2,4) , b ? (1,1) ,若向量 b ? (a ? ? b) ,则实数 ? 的值是 ?3 (15)已知向量 a ? (1, n) , b ? ( ?1, n) ,若 2a ? b 与 b 垂直,则 a ? ( )
A、 1 B、 2 C、 2 D、4

(16)已知向量 a ? ( 3,1) , b ? (0,?1) ) c ? (k , 3 ) ,若 a ? 2b 与 c 共线,则 k=___。1 , (17)已知向量 a ? (1,2) b ? (1,0) c ? (3,4) 若?为实数, (a ? ? b) ∥ c ,则?=( ) A、
1 4

B、

1 2

C、1

D、2

(18)已知向量 a ? (1, k ) , b ? (2,2) ,且 a ? b 与 a 共线,那么 a ? b ? ( ) A、1
A、 (-2,-4)

B、2
B、 (-3,-6)

C、3
C、 (-4,-8)

D、4
) D、 (-5,-10) )A

(19)已知平面向量 a ? (1,2), b ? (?2, m) ,且 a ∥ b ,则 2a ? 3b =(

? ? ? ? ? (20)已知平面向量 a =(1,-3) b =(4,-2) ? a ? b 与 a 垂直,则 ? 是( , ,
A、-1 B、 1 C、-2 D、2

?x ? y ? 2 ? ?x ? 1 ??? ???? ? ? ? (21)已知 O 是坐标原点,点 A(-1,1)若点 M(x,y)为平面区域 ? y ? 2 ,上的一个动点,则 OA ·OM 的
取值范围是( ) A、[-1.0] B、[0.1] C、[0.2] D、[-1.2]

四、 常用结论
1、 中点:

D 为 BC 中点 ? OD ?

1 ( AB ? AC ) 2

2、

三点共线:

OA, OB, OC 终点 A, B, C 三点共线 ? OA ? ? OB ? ? OC 满足 ? ? ? ? 1

3、三角形的心:

??? ? ??? ??? ??? ? ? ? (1) PG ? 1 ( PA ? PB ? PC ) ? G 为 ?ABC 的重心 3 ??? ??? ??? ? ? ? ? 特别地: PA ? PB ? PC ? 0 ? P 为 ?ABC 的重心 ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? (2) PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ? P 为 ?ABC 的垂心 ???? ??? ? AC AB ? (3)向量 ? ( ??? ? ???? )(? ? 0) 所在直线过 ?ABC 的内心(是 ?BAC 的角平分线所在直线) | AB | | AC | 4、练习: (1) 如图所示, 是△ABC 的边 AB 上的中点, D 则向量 CD ? ( ) A
A、 ? BC ? 1 BA
2

B、 ? BC ? 1 BA
2

C、 BC ? 1 BA
2

D、 BC ? 1 BA
2
? ?

? 1 (2)在 ?ABC 中, D 是 AB 边上一点,若 AD ? 2 DB , CD ? CA? ? CB ,则 ? ? 3 ??? ??? ? ? ??? 1 ???? 2 ??? ? ? (3)已知平面内不共线的四点 0,A,B,C 满足 OB ? OA ? OC ,则 | AB |:| BC |? (D) 3 3

?

?

2 3

A、1:3

B、3:1

C、1:2

D、2:1

(4)在 △ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB , AC 于不 ??? ? ???? ???? ? ???? 同的两点 M,N ,若 AB ? mAM , AC ? nAN ,则 m ? n 的值为
2

(5) O 是平面上一点,A, B, C 分别是平面上不共线的三点, 在 动点 P 满足 OP ? OA? ? ( AB ? AC ) ,? ?
则 PA? ( PB ? PC ) ?
? ? ?

?

?

?

?

1 时, 2

0
? ? ?

( 6 ) 在 平 行 四 边 形 ABC D中 , E 和 F 分 别 是 CD 和 BC 的 中 点 , 若 AC ? ?AE ? ? AF , 则 ? ? ? ? 4 3 (7)在 ?ABC 中,设 AB ? a , AC ? b , AP 的中点为 Q , BQ 的中点为 R ,
CR 中点为 P ,若 AP ? m a ? n b ,则 m ? n ?
? ? ?

?

?

?

?

6 7

(8)已知非零向量 AB 与 AC 满足 (

?

?

?

?

AB
?

?

AC
?

) ? BC ? 0 ,且

?

?

?

AB
?

?

AC
?

?

AB
A、三边均不相等的三角形 C、等腰非等边三角形

AC

AB

AC

1 ,则 ?ABC 为( 2



D

B、直角三角形 D、等边三角形 ??? ??? ??? ? ? ? ? (9)若点 O 是 △ABC 的外心,且 OA ? OB ? CO ? 0 ,则 △ABC 的内角 C 为____(答:120? ) ;

(10)在 ?ABC 中, M 是 BC 的中点, AM ? 3 ,点 P 在 AM 上,且满足 AP ? 2 PM ,则 PA? ( PB ? PC ) ?
4 5 5

?

?

?

?

?

( 11 ) 已 知 O, N , P 在 ?ABC 所 在 平 面 内 , 且 OA ? OB ? OC , NA? NB? NC ? 0 , 且
PA? PB ? PB? PC ? PC ? PA ,则点 O, N , P 依次为 ?ABC 的(
A、重心 C、外心 外心 重心 垂心 垂心 B、重心 D、外心 外心 重心 内心 内心
? ?
? ? ? ?

?

?

?

?

?

?

?



五、 利用已知向量求新向量
1、 特值法计算 (1)已知点 O 为 ?ABC 的外心,且 AC ? 4, AB ? 2 ,则 AO? BC ?
? ?
? ?

6

(2)在边长为 2 的等边 ?ABC 中,已知 P 为 BC 边上的一个动点,则 AP( AB ? AC ) ?

(3)如图所示, P 为 ?ABO 所在平面上一点,且点 P 在线段 AB 的垂直平分线上, 若 OA ? 3 , OB ? 2 ,则 OP ? (OA ? OB ) ?

2、 建系坐标运算 (1)已知点 A, B, C 满足 AB ? 3 , BC ? 4 , CA ? 5 ,则 AB? BC ? BC? CA? CA? AB 的值是
? ? ?
? ? ? ? ? ?

-25

? ? ? 1 ? 2 ? (2)若等边 ?ABC 的边长为 2 3 ,平面内一点 M 满足 CM ? CB? CA ,则 MA? MB ? -2 6 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? 1 (3)在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设 BC ? 2 BD , CA ? 3CE ,则 AD ? BE =_________.(- ) 4

AB (4) 已知点 O 为 ?ABC 的外心,AB ? 2 AC ? 2 2 , ? AC ? ?4 , AO ? x1 AB ? x 2 AC , x1 ? x2 ? 若 则

?

?

(5) 如图两块斜边长相等的直角三角板拼在一起, AC ? 1 , 若 则 AD? AC ? 对比以下各题是否可以使用特殊值法 (1)平面上的向量 MA 与 MB 满足 MA ? MB ? 4 ,且 MA? MB ? 0 ,若点 C
?
? 1 ? 2 ? MA? MB ,则 MC 的最小值为 3 3
? ?
? ?

?

2

?

?

?

满足 MC ?

7 4

(2)如图,在正方形 ABCD 中,已知 AB ? 2 , M 为 BC 中点,若 N 为正方 形内(含边界)任意一点,则 AM ? AN 的最大值为 3、 图形及字母运算 (1)在 △ABC 中, AB ? 2 , AC ? 3 , D 是边 BC 的中点,则 AD? BC ? ??? ???? ? 15 (2)在正三角形 ABC 中,D 是 BC 上的点.若 AB=3,BD=1,则 AB ? AD =__________.( ) 2 (3) 如图,在 ?ABC 中,?BAC ? 120?, AB ? 2, AC ? 1, D 是边 BC 上一点,DC ? 2BD,
???? ??? ? 则 AD ? BC ? __________ .
? ?

6

5 2

A

B
? ?
? ?

D

C

(4)在 ?ABC 中, AD ? AB, BC ? 3 BD, AD ? 1 ,则 AC ? AD ? (5)在 Rt?ABC 中, ?C ? 90 ? , AC ? 4 ,则 AB? AC ? 4、 解三角形 (1)在 ?ABC 中, AB ? 3, AC ? 5 ,若点 O 为 ?ABC 的外心,则 AO? BC ?
? ?

3

?

?

16

8


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