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1.1.1集合的含义与表示(课堂使用)


1.1

集合

一、集合的含义

集 合
“集合”是日常生活中的一个常用词, 现代汉语解释为:许多的人或物聚在一起.
思考:怎样理解数学中的“集合”?

考察下列问题: (1)1~20以内的所有质数; (2)绝对值小于3的整数; (3)通锦中学高一的所有男同学; (4)平面上到定点O的距离等于定长的所有的点.

思考1、数学中的集合含义如何描述?
把研究对象称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合,简称集。 元素通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示;集合通常用大写拉丁 字母A,B,C,…表示.

二、集合元素的三个特征
任意一组对象是否都能组成一个集合?集合中的元 素有什么特征?

思考1:我班所有的“帅哥”能否构成一个集合?由此 说明什么? 集合中的元素必须是确定的(确定性)
思考2:在一个给定的集合中能否有相同的元素?由此 说明什么? 集合中的元素是不重复出现的(互异性) 思考3:我们班的全体同学组成一个集合,调整座位后 这个集合有没有变化?由此说明什么? 集合中的元素是没有顺序的(无序性)

三、元素与集合的关系
思考1:设集合A表示“1~20以内的所有质数”,那 么3,4,5,6这四个元素哪些在集合A中?哪些不在集合A 中? 思考2:对于一个给定的集合A,那么某元素a与集合A 有哪几种可能关系?
如果元素a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a ? A
如果元素a不是集合A的元素,就说a不属于集合A,记作a ? A

四、常用数集及记法
思考:所有的自然数,正整数,整数,有理数,实 数能否分别构成集合?

自然数集,正整数集,整数集,有理数集,实数 集等一些常用数集,分别用下列符号表示:
自然数集(非负整数集):记作 N 正整数集:记作 N *或 N ? 整数集:记作 Z 有理数集:记作 Q 实数集:记作 R

五、集合的表示方法
问题提出:
用自然语言描述一个集合往往是不简明的,那么, 我们可以用什么方式表示集合呢?

考察下列集合: (1)小于5的所有自然数组成的集合; (2)方程 x 3 ? x的所有实数根组成的集合. 思考1:这两个集合分别有哪些元素? (1)0,1,2,3,4; (2)-1,0,1 思考2:由上述两组数组成的集合可分别怎样表示? (1){0,1,2,3,4}; (2){-1,0,1} 思考3:这种表示集合的方法叫什么名称? 列举法 思考4:列举法表示集合的基本模式是什么? 把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ 括起来,即 {a, b, c,?} }”

考察下列集合: (1)不等式 2 x ? 7 ? 3 的解组成的集合; (2)绝对值小于2的实数组成的集合. 思考1:这两个集合能否用列举法表示? 思考2:如何用数学式子描述上述两个集合的元素特征? (1)x? R,且 x ? 5 ; (2)x? R,且 | x |? 2 思考3:上述两个集合可分别怎样表示? (1){ x? R| x ? 5 }; (2){ x?R| | x |? 2 } 思考4:这种表示集合的方法叫什么名称? 描述法 思考5:描述法表示集合的基本模式是什么?
在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值范围, 再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同 特征。即{x|P(x)}

数形结合思想是数学学科里一种重要 的数学思想,集合中的数形结合主要 体现在集合可以用Venn图表示。数学 中,常用平面上封闭曲线的内部代表 集合.

A

六、集合的分类

⑴有限集:含有有限个元素的集合.

⑵无限集:含有无限个元素的集合.

⑶空 集:不含任何元素的集合.
记作?.

思考1:a与{ a }的含义是否相同? 思考2:集合{1,2}与集合{(1,2)}相同吗? 思考3:集合 { y | y ? x 2 , x ? R}与集合 { y ? x 2 } 相同吗? 思考4:集合 {( x, y) | y ? x 2 , x ? R}的几何意义如何? y

y ? x2
x

o

理论迁移 例1 用列举法表示下列集合: (1)小于3的所有自然数组成的集合; (2)方程 x 2 ? x 的所有实数根组成的集合;

(3)由1~20以内的所有素数组成的集合;

例2试分别用列举法和描述法表示下列集合:

(1)

x2 ? 2 ? 0 方程

的所有根组成的集合 ;

(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合

随堂练习 用适当的方法表示下列集合: (1)绝对值小于3的所有整数组成的集合; (2)在平面直角坐标系中以原点为圆心,1为半径的圆 周上的点组成的集合;

(3)所有奇数组成的集合; (4)由数字1,2,3组成的所有三位数构成的集合.

课堂小结
1.集合的含义; 2.集合元素的性质:确定性,互 异性,无序性; 3.元素和集合的关系:属于,不属于 4.数集及有关记法; 5. 集合的表示方法:列举法、描述法、 Venn图 6. 集合的分类:有限集、无限集、空 集


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