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初高中衔接教程-数学-2.3二次函数的几种表达式

初高中衔接教程:2.3 二次函数的表达式
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梁老师谈教育

本节学习内容:
一般式:y=ax2+bx+c(a≠0)。
顶点式:y=a(x+h)2+k (a≠0),其中顶点坐标是(-h,k)。 交点式:y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0),其中x1,x2是二次 函数图象与x轴交点的横坐标。 二次函数取值恒正或恒负的解析。 例题解析。

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一,一般式:y=ax2+bx+c(a≠0)

二,顶点式:y=a(x+h)2+k (a≠0),其中顶 点坐标是(-h,k)

三,交点式:y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0)
若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点 A(x1,0),B(x2,0),则 x1,x2 是方程 ax2 +bx+c=0 的两根,所以 x1+x2= ?

b c ,x1x2= , a a b c 即 =-(x1+x2), =x1x2. a a b c 2 所以,y=ax2+bx+c=a( x ? x ? ) a a
= a[x2-(x1+x2)x+x1x2] =a(x-x1) (x-x2)

可以得到下面结论: 若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交于 A(x1,0),B(x2,0)两点,则其函数关系式可 以表示为 y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0)

四,二次函数取值恒正或恒负的解析

五,例题解析
例 已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y=x+ 1上,并且图象经过点(3,-1),求二次函数的解析式。
解:∵二次函数的最大值为 2,而最大值一定是其顶点的纵坐标, ∴顶点的纵坐标为 2. 又顶点在直线 y=x+1 上, 所以,2=x+1,∴x=1. ∴顶点坐标是(1,2) . 设该二次函数的解析式为 y ? a( x ? 2)2 ? 1(a ? 0) , ∵二次函数的图像经过点(3,-1) , ∴ ?1 ? a(3 ? 2)2 ? 1 ,解得 a=-2. ∴二次函数的解析式为 y ? ?2( x ? 2)2 ? 1 ,即 y=-2x2+8x-7


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