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2.1.2.1 指数函数的图象及性质_图文

2.1.2
第1课时

指数函数及其性质
指数函数的图象及性质

1.记住指数函数的概念及表达式. 2.会用描点法画出简单指数函数的图象,并会描述指数 函数的图象特征. 3.会根据指数函数图象的特征找出指数函数的性质.

4.会根据条件求指数函数的解析式.
5.会应用指数函数的性质解决有关问题.

某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成 4个……,这样一个细胞分裂x次,得到的细胞的个数 y与x的函数关系式是:y=2x 在这个函数里,自变量x出现在指数的位置上,而 底数2是一个大于零且不等于1的常数.

再来看一个问题:《庄子·逍遥游》记载:一尺之椎, 日取其半,万世不竭.意思是一尺长的木棒,一天截取一 半,很长时间也截取不完.这样的一个木棒截取x次,剩 余长度y与x的关系是:

1 x y? ( ) 2
在这个函数里,自变量x出现在指数的位置上,而底数是 一个大于零且不等于1的常数.

探究点1

指数函数的概念
1 2

x 形如y=2x, y ? 的函数是指数函数.那么,指数函数 ( )

是怎样定义的呢? 一般地,函数y=ax(a>0且a≠1),叫做指数函数.

其中x是自变量,函数的定义域是R

例6

已知指数函数 f(x)=ax(a>0,a≠1) 的图象经过点

(3,π ),求f(0)、f(1)、f(-3)的值. 解:指数函数的图象经过点(3,π),有f(3)=π, 即 a3=π 于是 f ? x ? ? ?
x 3

解得 a ? ?

1 3

所以 f (0) ? ? ? 1, f (1) ? ? ? ? , f (?3) ? ?
0 3

1 3

?1

?

1

?

思考:确定一个指数函数需要 什么条件? 想一想

探究点2 指数函数的图象
用描点法作y=2x与y=(0.5)x的图象。
x -2 0.25 4 -1.5 -1 -0.5 0.71 1.41 0 1 1 0.5 1.41 1 2 1.5 2.83 2 4 0.25

y=2x
y=(0.5)x

0.35 0.5 2.83 2

0.71 0.5 0.35

我们再看部分函数的图象

探究点3 指数函数的性质
底数

0 ? a ?1

a ?1

图象

定义域 值域 性质

R
(0, ??)

(1)过定点(0,1),x=0时,y=1
(2)R上减函数 (2)R上增函数

例7.比较下列各题中两个值的大小
2.5 3 ?0.1 ?0.2 1 1.7 ,1.7 ; 2 0.8 , 0.8 ; ? ? ? ? 0.3 3.1 3 1.7 , 0.9 . ? ?

分析:根据指数函数的性质进行比较。 解:(1)根据函数y=1.7x的性质,1.72.5<1.73。 (2)根据函数y=0.8x的性质,0.8-0.1<0.8-0.2。 (3)根据函数y=1.7x的性质,1.70.3>1.70=1, 根据函数y=0.9x的性质,0.93.1<0.90=1, 所以1.70.3>0.93.1

1.在同一平面直角坐标系中,画出下列函数的图象:

(1) y ? 3 ;
x

1 x (2) y ? ( ). 3

2.求下列函数的定义域:

(1) y ? 3
答案:

x ?2

;

1 (2) y ? ( ). 2

1 x

(1) [2, ??); (2) (??,0) ? (0, ??).

1.指数函数的定义 一般地,函数y=ax(a>0且a≠1),叫做指数函数.

2.指数函数的图象与性质
底数

0 ? a ?1

a ?1

图象

定义域 值域 性质

R

(0, ??)
(1)过定点(0,1),x=0时,y=1 (2)R上减函数 (2)R上增函数

追赶时间的人,生活就会宠爱他;放弃时 间的人,生活就会冷落他。