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极坐标与参数方程知识点及高考题考点


参数方程 一、知识梳理 1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 的作用下,点 P(x,y)对应到点 换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 ,称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变

如图所示 一条射线

,在平面内取一个定点

,叫做极点,自极点



,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其

正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直 的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系 , 而极坐标系则不可.但极坐标系和平面

直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设 M 是平面内一点,极点 轴 为始边 , 射线 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为 ;以极

为终边的角 .

叫做点 M 的极角 , 记为 .有序数对

叫做点 M 的极坐标,记作

一般地,不作特殊说明时,我们认为 特别地,当点

可取任意实数. )( ∈R).和直角坐标不同,

在极点时,它的极坐标为(0,

平面内一个点的极坐标有无数种表示.

如果规定 表示;同时,极坐标

, 那么除极点外 , 平面内的点可用唯一的极坐标 表示的点也是唯一确定的.

3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在 两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:

(2) 互化公式:设 是 (

是坐标平面内任意一点 ,它的直角坐标是

, 极坐标

),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点

直角坐标

极坐标

互化公式

在一般情况下,由

确定角时,可根据点

所在的象限最小正角.

4.常见曲线的极坐标方程

曲线

图形

极坐标方程

圆心在极点,半径为 的圆

圆心为

,半径为 的圆

圆心为

,半径为 的圆 (1)

过极点,倾斜角为

的直线

(2)

过点 线

, 与极轴垂直的直

过点 线

,与极轴平行的直

注 : 由 于 平 面 上 点 的 极 坐 标 的 表 示 形 式 不 唯 一 , 即 都表示同一点的坐标 , 这与点的直角坐 标的唯一性明显不同 .所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式 ,只要求至

少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程



可以表

示为 标满足方程 .

等多种形式 , 其中, 只有

的极坐

二、参数方程 1.参数方程的概念 一般地, 在平面直角坐标系中 , 如果曲线上任意一点的坐标 都是某个变

数 的函数

① , 并且对于 的每一个允许值 , 由方程组①所确定的点

都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 的变数 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消 去参数而从参数方程得到普通方程. (2)如果知道变数 中的一个与参数 的关系,例如 ,把它代入普通

方程,求出另一个变数与参数的关系 在参数方程与普通方程的互化中,必须使

,那么

就是曲线的参数方程,

的取值范围保持一致.

注:普通方程化为参数方程,参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解 轨迹问题,关键在于适当地设参数,如果选用的参数不同,那么所求得的曲线的 参数方程的形式也不同。 3.圆的参数 如图所示,设圆 的半径为 ,点 从初始位置 出发,按逆时针方向在

圆 上作匀速圆周运动,设

,则



这就是圆心在原点 转过的角度。 圆心为

,半径为 的圆的参数方程,其中 的几何意义是

,半径为 的圆的普通方程是



它的参数方程为:



4.椭圆的参数方程 以坐标原点 为中心,焦点在 轴上的椭圆的标准方程为

其参数方程为

,其中参数 称为离心

角;焦点在

轴 上 的 椭圆 的 标 准 方 程 是

其 参数 方 程 为

其中参数 仍为离心角, 通常规定参数 的范围为 ∈[0, 2 )。 注:椭圆的参数方程中,参数 的几何意义为椭圆上任一点的离心角,要把 它和这一点的旋转角 等外(即在 到 区分开来,除了在四个顶点处,离心角和旋转角数值可相

的范围内),在其他任何一点,两个角的数值都不相等。但



时,相应地也有 5.双曲线的参数方程 以坐标原点

,在其他象限内类似。

为中心,焦点在

轴上的双曲线的标准议程为

其 参 数 方 程 为

, 其 中

焦点在 轴上的双曲线的标准方程是

其参数方程为

以上参数 都是双曲线上任意一点的离心角。 6.抛物线的参数方程 以坐标原点为顶点,开口向右的抛物线 的参数方程为

7.直线的参数方程

经过点

,倾斜角为 而过 ,倾斜角为

的直线

的普通方程是

的直线 的参数方程为



注:直线参数方程中参数的几何意义:过定点

,倾斜角为

的直

线 的参数方程为 点,任一点 0;当点 在 为终点的有向线段 下方时, <0;当点

,其中 表示直线 上以定点 的数量,当点 与 在

为起

上方时, >

重合时, =0。我们也可以把参 的坐标,

数 理解为以

为原点,直线 向上的方向为正方向的数轴上的点

其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。 二、考点分布 考点一 极坐标与直角坐标的互化 )

1.点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的极坐标为(

? A. (2, ) 3

? B. (2, ? ) 3

C. (2,

2? ) 3

? D. (2, 2k? ? ), ( k ? Z ) 3
)?

2.曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化 成直角坐标方程为( A.x2+(y+2)2=4 C.(x-2)2+y2=4 B.x2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+y2=4 ?

考点二 直线的极坐标方程的应用

? 1.过点 (2, ) 且与平行于极轴的直线的极坐标方程是( 3
A. ? sin ? ? 1 B. ? cos ? ? 1

) D. ? cos? ? 3 .

C. ? sin ? ? 3

3 2.在极坐标系中,点 (2, ? ) 到直线 l: 3? cos? ? 4? sin ? ? 3 的距离为 2 考点三 圆的极坐标方程的应用
a ? a 1.在极坐标系中,以 ( , ) 为圆心, 为半径的圆的极坐标方程 2 2 2





? ? ? ? 2? ? 2.已知在极坐标系下,点 A?1, ?, B? 3, ? ,O 是极点,则 ?ABC 的面积等 ? 3? ? 3 ?





3.在极坐标系中,已知圆ρ=2cosθ与直线 3ρcosθ+4ρsinθ+a=0 相切,求实 数 a 的值。 直线 2? cos ? ? 1 与圆 ? ? 2 cos ? 相交的弦长为 .

4.(2011· 西安五校一模)在极坐标系(ρ, θ)(0≤θ<2π)中, 曲线ρ=2sin θ 与ρcos θ=-1 的交点的极坐标为________. 考点四 极坐标方程的综合应用

1.已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ?

?
6

, (1)写出直线 l 的参数方程。

(2)设 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积。

2.已知点 P( x, y ) 是圆 x2 ? y 2 ? 2 y 上的动点, (1)求 2 x ? y 的取值范围; (2)若 x ? y ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。

?x ? 1 ? t cos ? ? x ? cos ? 3.已知直线 C1 ? (t 为参数) ,C2 ? ( ? 为参数) , ? y ? t sin ? ? y ? sin ?

? 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3 (Ⅱ)过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 中点,当 ? 变化时,求 P 点的轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线。
(Ⅰ)当 ? =

三、课后巩固

?x ? a ? t l 上的点 P1 对应的参数是 t1 , 1. 直线 l 的参数方程为 ? 则点 P1 与 (t为参数) , ?y ? b ?t
P(a, b) 之间的距离是(

) C. 2 t1 D.
2 t1 2

A. t1

B. 2 t1

1 ? ?x ? t ? 2.参数方程为 ? t (t为参数) 表示的曲线是( ? ?y ? 2
A.一条直线 B.两条直线 C.一条射线

) D.两条射线

1 ? x ? 1? t ? 2 ? 3.直线 ? (t为参数) 和圆 x2 ? y 2 ? 16 交于 A, B 两点,则 AB 的中点 ? y ? ?3 3 ? 3 t ? ? 2
坐标为( A. (3, ?3) ) B. (? 3,3) C. ( 3, ?3) D. (3, ? 3) )

4.把方程 xy ? 1 化为以 t 参数的参数方程是(
1 ? 2 x ? t ? A. ? 1 ? y ? t?2 ?

? x ? sin t ? B. ? 1 y? ? sin t ?

? x ? cos t ? C. ? 1 y? ? cos t ?

? x ? tan t ? D. ? 1 y? ? tan t ?


? x ? 4t 2 5. 若点 P(3, m) 在以点 F 为焦点的抛物线 ? 则 PF 等于 ( (t为参数) 上, ? y ? 4t
A. 2 B. 3
0 0

C. 4

D. 5 ) D.1600

x ? 3 ? t sin 20 6.直线 ? ?

? y ? 1 ? t cos 20

(t 为参数)的倾斜角是 ( B.700 C.1100

A.200 二、填空题:

1 ? ?x ? 1? 7.曲线的参数方程是 ? t (t为参数,t ? 0) , 则 它 的 普 通 方 程 为 ? y ? 1? t2 ?

_y?

x( x ? 2) ( x ? 1) ____ ( x ? 1) 2

) 椭 圆 2 x2 ? 3 y 2 ? 12 上 的 一 个 动 点 , 则 x ? 2 y 的 最 大 值 为 8 . 点 P ( x , y是

___________。
? x ? 2 pt 2 (t为参数,p为正常数) 上的两点 M , N 对应的参数分别为 9 .已知曲线 ? y ? 2 pt ?

t1和t 2 , , 且t1 ? t2 ? 0 ,那么 MN =_________
? x ? t cos ? ? x ? 4 ? 2cos ? 10.直线 ? 与圆 ? 相切,则 ? ? _______________。 ? y ? t sin ? ? y ? 2sin ?

?x=t 11.设曲线 C 的参数方程为 ? 2 (t 为参数) ,若以直角坐标系的原点为极点,x ? y=t
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为_______.

? x ? 2cos t 12.已知动点 P,Q 都在曲线 C: ? ? y ? 2sin t

?t为参数?

上,对应参数分别为 t=

α
与 t =2α(0<α<2π),M 为 PQ 的中点. (1)求 M 的轨迹的参数方程. (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原 点. 四、历年高考题

? 1、极坐标系中,点 (?, ) 到圆 ? ? 2cos ? 的圆心的距离为[来源:学#科#网] ?
(A) 2 (B)

4?

?2
9

(C)

1?

?2
9

(D)

3

?x ? t ? 2 2、在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 : ? , (为参数)与曲线 C 2 : ? y ? 1 ? 2t

? x ? 3 cos? , ( ? 为参数) 相交于两个点 A 、 则线段 AB 的长为 B, ? ? y ? 3 sin ?

.

? x ? 3 co s? ?x ? 2 ? t 3 、已知直线 ? (t 为参数 ) 与曲线 ? (? 为参数 ) 的交点个数为 ? y ? 3 sin? ? y ? ?1 ? t
______。

5 2 ? ? ?x ? t ? x ? 5 cos ? 两曲线参数方程分别为 ? (0≤?<? ) 和 ? 4 (t ? R ) ,它们的交点坐 y ? sin ? ? ? ? ?y ? t
标为 .[来/4、

? x ? 1 ? 2t 4、 (坐标系与参数方程选做题)若直线 ? ( t 为参数)与直线 4 x ? ky ? 1 ? y ? 2 ? 3t
垂直,则常数 k =________.

? x ? 5cos ? 5、在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆 ? ( ? 为参数)的右焦点,且 ? y ? 3sin ? ? x ? 4 ? 2t 与直线 ? ( t 为参数)平行的直线的普通方程. ?y ? 3?t


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