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福建省八县(市)一中2013届高三上学期期中联考数学(理)试题


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2012---2013 学年度第一学期八县(市)一中期中联考 高中 三 年 数学(理科) 科试卷
完卷时间: 120 分钟 满 分: 150 分

命题学校: 连江一中 考试日期:11 月 13 日
一项是符合题意要求的. 1.已知全集是 R ,集合 A ? ?x ? 1 ? x ? 4 ? , B ? ?x 3 ? x ? 5 ? ,则 A I ( ?R B ) 等于( A. [ ? 1, 5 ] B. [ 3 , 4 ] C. [ ? 1, 3 ) D. ( 4 , 5 ] r r r r r 2.已知向量 a ? (1,1), b ? ( ? 1, 0 ) ,若向量 k a ? b 与向量 c ? ( 2 ,1) 共线,则 k ? ( A.
?1

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 )



B. 1
5 5 ,? ? (0,

C. ? 2
?
2 ) ,则 ta n 2 ? ? (

D. 2 ) D. ) D. ( 3 , 4 ] )
4 5

3.已知 s in ( ? ? ? ) ? A. ?
4 3

B.
1 x

4 3

C. ?

4 5

4.函数 f ( x ) ? lo g 4 x ? A. ( 0 , 1]

的零点所在的区间是( C. ( 2 , 3 ]
1 1

B. (1, 2 ]

5. 若幂函数 f ( x ) 的图像经过点 A ( , ) ,则它在点 A 处的切线方程为(
4 2

A. 2 x ? y ? 0

B. 2 x ? y ? 0

C. 4 x ? 4 y ? 1 ? 0

D. 4 x ? 4 y ? 1 ? 0

6.给出如下四个命题: ①若“ p 且 q ”为假命题,则 p、 q 均为假命题; ②命题“若 a ? b ,则 2 ? 2 ? 1 ”的否命题为“若 a ? b ,则 2 ? 2 ? 1 ”;
a b a b

③ “ ? x ? R , x ? 1 ? 1 ”的否定是“ ? x ? R , x ? 1 ? 1 ”;
2 2

④要得到函数 y ? s in ( 2 x ?

?
6

) 的图像,只需将函数 y ? s in 2 x 的图像向右平移

?
6

个单位。

其中不正确的命题的个数是( ... A. 1 B. 2
2

) C. 3 D. 4 )

7. 已知二次函数 f ( x ) ? a x ? b x , f ( 2 ) ? 0 ”是“函数 f ( x ) 在 ? 1, ? ? ? 单调递增”的 则“ ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 8. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ) ? ? A. 1 B.
?1
?

D. 既不充分也不必要条件 ,则 f (3) 的值为( )

lo g 2 ( 4 ? x ), x ? 0

? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2 ), x ? 0

C.

2

D. ? 2

1

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?x ?x

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9. 函数 y ?

e ? e
x

e ?e
x

的图像大致为(



10.如图,非零向量 O M ? a , O N ? b ,且 N P ? O M , P 为垂足,若向量 O P ? ? a , 则 ? 的值为(
r r a ?b A. r r a ? b

uuur

r

uuu r

r

uuu r

r


r r a ?b B. ? r r a ? b r r a ?b C. r 2 a r r a ?b D. r 2 b

11.已知函数 f ( x ) ? s in ( ? x ? ? ) (其中 ? ? 0 , ? ?
f ( x ) 的图像向左平移

?
2

) ,若将函数

?
12

个单位后所得图像关于 y 轴对称,若将函数 f ( x ) 的图像向右平移 )

?
6

个单位后所得图像关于原点对称,则 ? 的取值不可能是( ... B. 4 C. 6 D. 1 0

A. 2

12. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 2 ) ? f ( 2 ? x ) 成立,且当
?1 ? 若关于 x 的方程 f ( x ) ? lo g a ( x ? 2 ) ? 0 在区间 ( 0 , 6 ] 内恰 x ? [ ? 2 , 0 ] 时, f ( x ) ? ? ? ? 1 。 ?2?
x

有两个不同的实数根,则实数 a 的取值范围为( A. ( 0 ,1) B. (1, 2 ) C. (1, 3 4 )

) D. ( 3 4 , 2 )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在答题卡的相应位置. 13.若 s in (
?
2 ??) ? 3 5 , 则 c o s 2? ?

.
?
3 , 若 ? A B C 的面积等于
3 ,则 A C ?

14. 在 ? A B C 中 , B C ? 1, ? B ? 15. 已知 m in ? a , b ? ? ?
?a ?a ? b?, ? ?b ?

.

?a

? b?

n i , f (x) ? m 设

? 2 1? 则由函数 f ? x ? 的图象与 x ?x , ? , x? ?

轴、

直线 x ? e 所围成的封闭图形的面积为

.

16. 定义在 R 上的函数 f ( x ) ,其图象是连续不断的,如果存在非零常数 ? ( ? ? R ,使得 对任意的 x ? R ,都有 f ( x ? ? ) ? ? f ( x ) ,则称 y ? f ( x ) 为“倍增函数”, ? 为“倍增系数”,

2

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下列命题: ①函数 f ( x ) ? 2 x ? 1 是倍增函数,且倍增系数 ? =1; ②若函数 y ? f ( x ) 是倍增系数 ? ? ? 1 的倍增函数,则 y ? f ( x ) 至少有 1 个零点;
?x ③函数 f ( x ) ? e 是倍增函数,且倍增系数 ? ∈(0,1) 。

其中为真命题的是

.(写出所有真命题的序号)

三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题 12 分)设函数 f ( x ) ? lg ?
2

?

? ? 1 ? 的定义域为集合 A ,函数 ? x ?1 ? 2

g ( x ) ? ? x ? 2 x ? a ( 0 ? x ? 3, a ? R ) 的值域为集合 B 。

(1)求 f (

1 2013

) ? f (?

1 2013

) 的值;

(2)若 A I B ? ? ,求实数 a 的取值范围。

18. (本小题 12 分)已知函数 f ( x ) ?

3 a s in x c o s x ? a c o s x ? b ( a ? 0 )
2

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期以及单调递增区间; (2)设 x ? [ 0 ,
?
2 ], f (x)

的最小值是 ? 1 ,最大值是 2 ,求实数 a , b 的值.

19. (本小题 12 分)在 ? ABC 中, a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边,向量 m
n ? (cos C , cos A )

? (a ? 2b, c)



,且 m

? n

.

(1)求角 C 的大小; (2)若 c ? 2 ,求 ? A B C 的面积 S ? A B C 的最大值。

20. (本小题 12 分) 今年的中秋国庆假期是实施免收小型客车高速通行费政策后的第一个重 大节假日,10 月 3 日福州有一个群名为“天狼星”的自驾游车队,组织车友前往横店游玩。 该车队是由 31 辆车身长都约为 5m(以 5m 计算)的同一车型组成的,行程中经过一个长为 2725m 的隧道(通过该隧道的车速不能超过 25m/s), 匀速通过该隧道,设车队的速度为 x m/s ,根据安全和车流的需要,当 0 ? x ? 12 时,相邻两车之间保持 20m 的距离;当
( 12 ? x ? 25 时,相邻两车之间保持 1 6 x
2

?

1 3

x ) m 的距离.自第 1 辆车车头进入隧道至第 31

辆车车尾离开隧道所用的时间为 y ( s ) . (1)将 y 表示为 x 的函数; (2)求该车队通过隧道时间 y 的最小值及此时车队的速度.
3

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21. (本小题 14 分)已知函数 f ( x ) ? ln x ? x ? m x
2

(1)若 m ? 3 ,求函数 f ( x ) 的极小值; (2)若函数 f ( x ) 在定义域内为增函数,求实数 m 的取值范围; (3)若 m ? 1 , ? A B C 的三个顶点 A ( x 1 , y 1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) 、 C ( x 3 , y 3 ) ,其中 x 1 ? x 2 ? x 3 在函数 f ( x ) 的图像上,试判定 ? A B C 的形状,并说明理由。

22. (本小题 12 分)已知函数 f ( x ) ? (1)设 g ( x ) ? ln x ? f ( x ) 且 a ?
9 2

a x ?1

, (a ? 0)

,求函数 g ( x ) 的单调区间;

(2)若 h ( x ) ? ln x ? f ( x ) ,且对任意 x 1 , x 2 ? ( 0 , 2 ] , x 1 ? x 2 ,都有
h ( x 2 ) ? h ( x1 ) x 2 ? x1 ? ? 1 成立,求 a 的取值范围。

4

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参考答案
一、选择题

1-12

CAB BC C
7 25

BDACB D
15.
4 3

二、填空题 13. ? 14. 1 3 16. ②③

三、解答题 17.解: (1) f ( x ) ? lg ? 由 又
? f (

1? x ? ? 1 ? ? lg x ?1 ? x ?1 ? ? 2

1? x x ?1

? 0 得 ? 1 ? x ? 1 ? 函数 f ( x ) 的定义域为 A ? ? ? 1,1 ? ----------------2 分
x ? 1 1? x lg ? ? lg ? f? x? ( 1? x x ? 1 )f ( x ) 为奇函数。----4 分

1 ? ( ?x ) f (? x) ? l g ? (? x ) ? 1

1 2013

) ? f (?
2

1 2013

) =0

(直接计算得到正确结论同样给分)------------6 分
2

Q

函数 g ( x ) ? ? x ? 2 x ? a = ? ( x ? 1) ? 1 ? a 在 [ 0 , 3 ] 上

g m in ( x ) ? g (3 ) ? a ? 3, g m a x ( x ) ? g (1) ? a ? 1 ? B ? [ a ? 3, a ? 1] ------------8 分

(2) Q A I B ? ? ? a ? 3 ? 1 或 a ? 1 ? ? 1 -------------------------------10 分 解得 a ? ? 2 或 a ? 4
?

实数 a 的取值范围为: ( ? ? , ? 2 ] ? [ 4 , ? ? ) --------------------------------12 分
3 2 3 2 1 2 a s in 2 x ? a 2 a 2 (1 ? c o s 2 x ) ? b

18.解: f ( x ) ?

----------------------2 分

? a(

s in 2 x ?

cos 2 x) ? b ?

? a s in ( 2 x ?

?
6

)?b ?

a 2

------------3 分

(1) T ? 由 2k? ?
?

2? 2

? ? ,

---------------------------4 分
? 2k? ?

? 2x ?

?
6

?
2

得 k? -

?
6

? x ? k? ?

?
3

2

? f ( x ) 的最小正周期为 ? ,单调增区间为: [ k ? -

?
6

, k? ?

?
3

]( k ? Z ). -------6 分

( 2) Q 0 ? x ? ? ? 1 2

?
2

? ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? 6

? s in ( 2 x ?

?
6

------------------8 分

)?1

? f ( x ) m in ? ?

1 2

a?b?

a 2

? b ? a , f ( x ) m ax ? a ? b ?

a 2

? b?

a 2

--------10 分

5

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?b ? a ? ?1 ? ? a ? 2 ?b ? ? 2

?a ? 2 ? ? ?b ? 1

-------------------------12 分

19. 解: (1) Q m ? n ? m ? n ? ( a ? 2 b ) co s C ? c co s A ? 0 由正弦定理得 (s in A ? 2 s in B ) c o s C ? s in C c o s A ? 0 -----------------2 分 即 sin A co s C ? co s A sin C ? 2 sin B co s C
? s i n A ? C ?) (

u r

r

u r r

2 s Bn i

c 即 s B ? 2 sin B co s C Co sin

-----------------4 分
?
3

又 Q sin B ? 0 ? c o s C ?
2 2 2

1 2

又 C ? (0, ? ) ? C ?
2

----------------6 分
2

(2)由余弦定理得 c ? a ? b ? 2 a b c o s C ,即 4 ? a ? b ? 2 a b c o s
? a ?b
2 2

?
3

----8 分

? 4 ? ab ? 2ab
1 2 a b s in C ? 3 4

? a b ? 4 ----------------------------------10 分

? S ?ABC ?

ab ?

3

当且仅当 a ? b ? 2 时 S ? A B C 取到最大值 3 。----------------------------12 分 20.(1)解:当 0 ? x ? 12 时, y ?
2725 ? 5 ? 31 ? 20 ? ( 31 ? 1 ) x ? 3480 x

----2 分

2725 ? 5 ? 31 ? (

1 6

x ?
2

1 3

x ) ? (3 1 ? 1)

当 12 ? x ? 25 时, y ?
? 5 x ? 10 x ? 2880
2

x
? 5x ? 2880 x ? 1 0 -----------------------------------4 分

x

3480 ? ( 0 ? x ? 12 ) ? x 所以, y ? ? -----------------------------6 分 2880 ?5 x ? ? 10 (12 ? x ? 25 ) x ?

(2)当 0 ? x ? 12 时,在 x ? 12 (m/s)时, y min ? 当 12 ? x ? 25 时, y ? 5 x ? 当且仅当 5 x ?
2880 x
2880 x ? 10 ? 2 5x ? 2880 x

3480 12

? 290 ( s ) -------8 分

? 10 ? 250 ( s )

,即: x ? 24 (m/s)时取等号。----------------------10 分

因为 x ? 24 ? (12 , 25 ] ,所以 当 x ? 24 (m/s)时, y min ? 250 ( s ) 因为 290 ? 250 ,所以当 x ? 24 (m/s)时, y min ? 250 ( s ) -------------------11 分 答:该车队通过隧道时间 y 的最小值为 250s 及此时该车队的速度为 24m/s.--12 分 21. 解: (1)函数 f ( x ) 的定义域为 ( 0 , ? ? ) , 当 m ? 3 时, f ( x ) ? ln x ? x ? 3 x ? f ( x ) ?
2

'

1 x

? 2x ? 3 ?

2x ? 3x ? 1
2

x

6

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令 f (x) ? 0 得 x ? 1 或 x ?
'

1 2

.列表得
( 1 2 , 1)

x

(0,

1 2

)

1 2

1

(1, ? ? )

f (x)

'

?

0

?

0

?

f (x)

Z

极 大值

]

极 小值

Z

?

当 x ? 1 时函数有极小值为 f (1) ? ln 1 ? 1 ? 3 ? ? 2 ------------------------4 分
'

(2) f ( x ) ?
2

1 x

? 2x ? m ?

2x ? mx ?1
2

, Q f ( x ) 在 ( 0 , ? ? ) 上是增函数
2

x ? 0 在 ( 0 , ? ? ) 上恒成立,即 2 x ? m x ? 1 ? 0 在 ( 0 , ? ? ) 上恒成立 1 x

f (x) ?
'

2x ? mx ?1 x

? m ?

2x ?1
2

? 2x ?
1 x

恒成立
1 x ? 2

令 g (x) ? 2 x ?
? g (x)

1 x

(x ? 0)

----------------6 分
1 x

x
? g (x) ? 2 x ?

? 2

2x ?

2

的最小值为 2 2 ,当且仅当 2 x ?



x ?

2 2

时等号成立.? m ? 2 2 即 m 的取值范围为 ( ? ? , 2 2 ] --------------8 分
2

(3)由(2)可知当 m ? 1 时 f ( x ) ? ln x ? x ? x 在 ( 0 , ? ? ) 上单调递增,
Q A ( x 1 , y 1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) 、 C ( x 3 , y 3 ) 在函数 f ( x ) 的图像上,且 x 1 ? x 2 ? x 3 u ur uuu r 则 y1 ? y 2 ? y 3 ? B A ? ( 1 ? x, 1 ? y , B C ? ( x 3 ? x 2 , y 3 ? y 2 ) x y ) 2 2 uur uuu r ? B A ? B C ? ( x 1 ? x 2 )( x 3 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 )( y 3 ? y 2 ) Q x 1 ? x 2 ? x 3 , y 1 ? y 2 ? y 3 x 1 ? x 2 ? 0 , x 3 ? x 2 ? 0 , ( x 1 ? x 2 )( x 3 ? x 2 ) ? 0 ,同理 ( y 1 ? y 2 ) ( y 3 ? y 2 ) ? 0 ---12 分 uur uuu r uur uuu r uur uuu r BA ? BC ? B A ? B C ? ( x1 ? x 2 )( x 3 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 )( y 3 ? y 2 ) ? 0 ? c o s B A , B C ? uur uuu ? 0 , r BA BC

∵ ? A B C 为钝角∴ ? A B C 为钝角三角形.--- -14 分 22. 解: (1) g ( x ) ?
'

1 x

?

a ( x ? 1)
2

?

x ? (2 ? a ) x ? 1
2

x ( x ? 1)

2

( x ? 0 ) ------------------1 分

当a ?

9 2

时, 令 g ( x ) ? 0 ,得 x ? 2 或 0 ? x ?
'

1 2

,令 g ( x ) ? 0 , 得
'

1 2 1

? x ? 2 ,---3 分

∴函数 g ( x ) 的单调递增区间为 ( 0 , ) , ( 2 , ? ? ) ;单调递减区间为 ( , 2 ) 。------5 分
2 2
?1? 0

1

(2) Q
?

h ( x 2 ) ? h ( x1 ) x 2 ? x1

? ? 1, ?

h ( x 2 ) ? h ( x1 ) x 2 ? x1

h ( x 2 ) ? x 2 ? [ h ( x1 ) ? x1 ] x 2 ? x1

? 0 恒成立--------------------------------------7 分

7

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设 H ( x ) ? h ( x ) ? x ,依题意得, H ( x ) 在 ( 0 , 2 ] 上是单调递减函数。------------8 分
1 当 1 ? x ? 2 时, H ( x ) ? ln x ?
0

a x ?1

? x.

H ( x )?
'

1 x

?

a (x ? 1 )
2

? 1

令 H ( x ) ? 0 ,得 a ?
'

( x ? 1) x

2

? ( x ? 1) ? x ? 3 x ?
2 2

1 x

? 3 对 x ? [1, 2 ] 恒成立

设m (x) ? x2 ? 3x ?
? m (x) ? 2 x ? 3 ?
'

1 x 1 x
2

? 3 ,则 m ( x ) ? 2 x ? 3 ?
'

1 x
2

,Q 1 ? x ? 2 ,

? 0 ,? m ( x ) 在 [1, 2 ] 上是单调递增函数。 27 2

所以当 x ? 2 时,? m ( x ) 有最大值
2 当 0 ? x ? 1 时, H ( x ) ? ? ln x ?
0

,? a ?

27 2

.

---------------------10 分
1 x ? a ( x ? 1)
2

a x ?1
2

? x. H ( x ) ? ?
'

?1

令 H ( x ) ? 0 ,得 a ? ?
'

( x ? 1) x

2

? ( x ? 1) ? x ? x ?
2

1 x

? 1 对 x ? ( 0 ,1) 恒成立

设t(x) ? x ? x ?
2

1 x

? 1 则t ( x) ? 2 x ? 1 ?
'

1 x
2

? 0 ,? t ( x ) 在 ( 0 ,1) 上是单调递增函数

? t ( x ) ? t (1) ? 0

?a ? 0.
27 2

综上, a 的取值范围为 a ?

.------------------------------------------12 分

8


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