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湖北省巴东一中高二数学教案 选修1-1:§1.4全称量词与存在量词


§1.4.1
【学情分析】 :

全称量词与存在量词

1、 本节内容主要是通过丰富的实例,使学生了解生活和数学中经常使用的两类量词(全称 量词和存在量词)的含义, 会判断含有一个量词的全称或特称命题的真假,会正确写出他们的 否定形式,为我们从量的形式和范围上认识和解决问题提供了新的思路和方法; 2.全称量词 : 日常生活和数学中所用的 “一切的” , “所有的” , “每一个” , “任意的” , “凡” , “都”等词可统称为全称量词,记作 ?x 、 ?y 等; 3.存在量词:日常生活和数学中所用的“存在” , “有一个” , “有的” , “至少有一个”等词 统称为存在量词,记作 ?x , ?y 等; 4.含有全称量词的命题称为全称命题,含有存在量词的命题称为存在性称命题; 全称命题的格式:“对 M 中的所有 x,p(x)”的命题,记为: ?x ? M , p( x) 存在性命题的格式:“存在集合 M 中的元素 x0,q(x0)”的命题,记为: ? x0∈M,p( x0) 5.通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义,能识别全称命题与 特称命题. 6.培养学生用所学知识解决综合数学问题的能力。

【教学目标】 :
(1)知识目标: 通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义; (2)过程与方法目标: 能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容; (3)情感与能力目标: 培养学生用所学知识解决综合数学问题的能力.

【教学重点】 :
理解全称量词与存在量词的意义;

【教学难点】 :
全称命题和特称命题真假的判定.

【教学过程设计】 :
教 学 环 节
教学活动 问题 1: 下列语句是命题吗?(1)与(3) 、 (2)与(4)之间有什么关系? (1)x>3; (2)2x+1 是整数; (3)对所有的 x∈R,x>3; (4)对任意一个 x∈Z,2x+1 是整数; 设计意图 通过数学实例, 理 解 全 称量 词 的意 义

情 境 引 入

-1-

定义: 1.全称量词及表示:表示全体的量词称为全称量词。表示形式为 “所有” 、 “任意”、“每一个”等。通常用符号“ ?x ”表示, 读作“对任意 x ” 。

引导学生通 过 通 过一 些 数学 实例分析, 概括出 一般特征。

知 识 建 构

2.含有全称量词的命题 , 叫做全称命题。 一般用符号简记为“ ?x ? M , p( x) ” 。读作“对任意的 x 属于 M, 有 p(x)成立。 (其中 M 为给定的集合, p ( x) 是关于 x 的命题。 ) 例如“对任意实数 x,都有 x 2 ? 0 ”可表示为 ?x ? R, x 2 ? 0 。 1、引导学生阅读教科书 P22 上的例 1 中每组全称命题的真假, 纠正可能出现的逻辑错误。

自 主 学 习

规律:全称命题 ?x ? M , p( x) 为真,必须对给定的集合的每 一个元素 x, p ( x) 为真,但要判断一个全称命题为假,只要在给 定的集合内找出一个 x0 ,使 p( x0 ) 为假

巩 固 练 习

课本 P23 练习 1

学 生 探 究

问题 2: 下列语句是命题吗?(1)与(3) 、 (2)与(4)之间有什么关系? (1)2x+1=3; (2)x 能被 2 和整除; (3)存在一个 x0∈R,使 2x0+1=3; (4)至少有一个 x0∈Z ,x0 能被 2 和 3 整除;

通过数学实例, 理 解 存 在量 词 的意 义

知 识 建 构 :

定义: 引导学生通 (1)存在量词及表示:表示部分的量称为存在量词。表示形式为 过 通 过一 些 数学 “有一个” , “存在一个”,“有点”,“有些” 、至少有一个等。 实例分析, 概括出 通常用符号“ ?x ”表示,读作“存在 x ” 。. 一般特征。 ( 2)含有存在量词的命题叫做特称命题 , 一般形式 ? x0 ∈M, p ( x0) ,读作“存在一个 x0 属于 M,有 p(x0)成立。 (其中 M 为 给定的集合,p(x0)是关于 x0 的命题。 )例如“存在有理数 x0,
2 2 使 x ? 2 ? 0 ” 可表示为 ?x ? Q, x ? 2 ? 0 .

-2-

自 主 学 习

1、引导学生阅读教科书 P23 上的例 2,判断每组特称命题的真假, 通过实例, 使学生 纠正可能出现的逻辑错误。 会 判 断每 组 特称 特称命题 ? x0∈M,p( x0)为真,只要在给定的集合 M 中找出一 命题的真假 个元素 x0,使命题 P(x0)为真,否则为假; 1.课本 P23 练习 2 通过练习, 反馈学 生 对 本节 课 所学 知 识 理解 和 掌握 的程度
2

补充练习: 1.判断以下命题的真假: (1)?x ? R, x ? x
2
2

(2)?x ? R, x ? x

(3)?x ? Q, x 2 ? 8 ? 0

(4) ?x ? R, x ? 2 ? 0 分析: (1)真; (2)假; (3)假; (4)真; 2.指出下述推理过程的逻辑上的错误: 第一步:设 a=b,则有 a2=ab 第二步:等式两边都减去 b2,得 a2-b2=ab-b2 第三步:因式分解得 (a+b)(a-b)=b(a-b) 第四步:等式两边都除以 a-b 得,a+b=b 第五步:由 a=b 代人得,2b=b 第六步:两边都除以 b 得,2=1 分析:第四步错:因 a-b=0,等式两边不能除以 a-b 第六步错:因 b 可能为 0,两边不能立即除以 b,需讨论。 心得: (a+b)(a-b)=b(a-b) ? a+b=b 是存在性命题, 不是全称命题, 由此得到的结论不可靠。 同理,由 2b=b ? 2=1 是存在性命题,不是全称命题。 3.判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题,如果是,用量 词符号表达出来。 (1)中国的所有江河都注入太平洋; (2)0 不能作除数; (3)任何一个实数除以 1,仍等于这个实数; (4)每一个向量都有方向; 分析: (1)全称命题, ? 河流 x∈{中国的河流},河流 x 注入太 平洋; (2)存在性命题, ? 0∈R,0 不能作除数; x (3)全称命题, ? x∈R, ? x ; 1 (4)全称命题, ? a , a 有方向; 小结 1.全称量词及表示:表示全体的量词称为全称量词。表示形式为 “所有” 、 “任意”、“每一个”等。通常用符号“ ?x ”表示, 读作“对任意 x ” 。 归 纳 整理 本 节课 所学知识

课 堂 练 习

-3-

2.含有全称量词的命题 , 叫做全称命题。 一般用符号简记为“ ?x ? M , p( x) ” 。读作“对任意的 x 属于 M, 有 p(x)成立。 (其中 M 为给定的集合, p ( x) 是关于 x 的命题。 ) 例如“对任意实数 x,都有 x 2 ? 0 ”可表示为 ?x ? R, x 2 ? 0 。 (1)存在量词及表示:表示部分的量称为存在量词。表示形式为 “有一个” , “存在一个”,“有点”,“有些” 、至少有一个等。 通常用符号“ ?x ”表示,读作“存在 x ” 。. ( 2)含有存在量词的命题叫做特称命题 , 一般形式 ? x0 ∈M, p ( x0) ,读作“存在一个 x0 属于 M,有 p(x0)成立。 (其中 M 为 给定的集合,p(x0)是关于 x0 的命题。 )例如“存在有理数 x0,
2 使 x ? 2 ? 0 ” 可表示为 ?x ? Q, x2 ? 2 ? 0 .

布 置 作业

1. 课本 P26A 组 1、2; 2. 完成课后练习

课后练习
1.判断下列全称命题的真假,其中真命题为( A.所有奇数都是质数 ) B. ?x ? R, x ? 1 ? 1
2

C.对每个无理数 x,则 x2 也是无理数 D.每个函数都有反函数 2.将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题,下列说法正确的是( ) A. ?x, y ? R ,都有 x 2 ? y 2 ? 2 xy C. ?x ? 0, y ? 0 ,都有 x 2 ? y 2 ? 2 xy 3.判断下列命题的真假,其中为真命题的是 A. ?x ? R, x ? 1 ? 0
2

B. ?x, y ? R ,都有 x 2 ? y 2 ? 2 xy D. ?x ? 0, y ? 0 ,都有 x 2 ? y 2 ? 2 xy

B. ?x ? R, x ? 1 ? 0
2

C. ?x ? R, sin x ? tan x

D. ?x ? R, sin x ? tan x

4.下列命题中的假命题是( ) A.存在实数α 和β ,使 cos(α +β )=cosα cosβ +sinα sinβ B.不存在无穷多个α 和β ,使 cos(α +β )=cosα cosβ +sinα sinβ C.对任意α 和β ,使 cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ D.不存在这样的α 和β ,使 cos(α +β ) ≠cosα cosβ -sinα sinβ 5.下列全称命题中真命题的个数是( ) ①末位是 0 的整数,可以被 2 整除; ②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; ③正四面体中两侧面的夹角相等; A.1 B.2 C.3 D.4 6.下列存在性命题中假命题的个数是( ) ①有的实数是无限不循环小数; ②有些三角形不是等腰三角形;

③有的菱形是正方

-4-

形; A.0 B.1 参考答案: 1.B 2.A 3.D 4.B 5.C 6.A

C.2

D .3

§1.4.2
【学情分析】 :

全称量词与存在量词

(1)通过探究数学中的一些实例,使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定 在形式上的变化规律; (2)在探究的过程中,应引导学生根据全称量词和存在量词的含义,用简洁自然的语言 表述含有一个量词的命题进行否定; (3)通过例题和习题的教学,使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式 上的变化规律,正确地对含有一个量词的命题进行否定。

【教学目标】 :
(1)知识目标: 通过生活和数学中的实例,理解对含有一个量词的命题的否定的意义.能正确地对含有一 个量词的命题进行否定; (2)过程与方法目标: 进一步提高利用全称量词与存在量词准确、简洁地叙述数学内容的能力; (3)情感与能力目标: 使学生体会从具体到一般的认知过程,培养学生抽象、概括的能力。

【教学重点】 :
通过探究,了解含有一个量词的命题与他们的否定在形式上的变化规律,会正确的对含 有一个量词的命题进行否定。

【教学难点】 :
正确的对含有一个量词的命题进行否定。

【教学过程设计】 :
教 学 环 节
教学活动 判断下列命题是全称命题,还是特称命题,并指出它们的关系. (1)所有的人都喝水 (2)有的人不喝水 设计意图 回顾旧知,为问题 的引入做准备。

复 习 引 入

(3)存在有理数 x ,使 x ? 2 ? 0 .
2

(4)不存在有理数 x ,使 x ? 2 ? 0 .
2

(5)对于所有实数 a ,都有|a|≥0. (6)并非对所有实数 a.都有|a|≥0. 解:全称命题(1) (4) (5) 存在性命题(2) (3) (6) (2)是(1)的否定. (4)是(3)的否定. (6)是(5)的否定.

-5-

探 究 新 知

例 1、 你能写出下列命题的否定形式吗? (1) 所有自然数的平方是正数; (2) ? x, 5x-12=0; (3) ? x, ? y, x+y>0. (4) 有些质数是奇数。 解: (1)的否定:有些自然数的平方不是正数。 (2)的否定:存在实数 x 不是方程 5x-12=0 的根。 (3)的否定:存在实数 x,对所有实数 y,有 x+y≤0。 (4)的否定:所有的质数都不是奇数。 定义:对含有一个量词的命题的否定的形式:

引入本节课要讨论 的内容,激发学生 探究新知的兴趣。

通过观察,使学生 归纳总结出含一个 全称命题 p: " ?x ? M , P( x)" 的否定为 ? x0∈M, ? p( x0) , 量词的命题与它们 特称命题 q: ? x0∈M,p( x0) ,的否定为“ ? x∈M, ? p( x) 。 的否定在形式上的 变化规律。

注 意 与 区 别

(1)命题的否定与命题的否命题是不同的. 提醒学生注意命题 (2)要正确使用否定词. 的否定与命题的否 (3)常用否定词的否定. 命题是不同的 正面词: 等于、大于、 小于、是 、都是、至少一个、至多一个、 小于等于. 否定词:不等于、不大于、不小于、不是、不都是 、一个也没有、 至少两个、 大于. 1、引导学生阅读教科书 P24 上的例 3 中每个全称命题,让学生尝 试写出这些全称命题的否定,纠正可能出现的逻辑错误。 根据含一个量词的 命题与它们的否定 在形式上的变化规 律,学习对含一个 量词的命题进行否 定。

自 主 学 习

2、引导学生阅读教科书上的例 4 中每个特称命题,让学生尝试写 出这些特称命题的否定,纠正可能出现的逻辑错误。

-6-

1、课本 P26 练习题 2、写出下列命题的否定,判断真假: (1)一切分数都是有理数; (2)有些三角形是锐角三角形;

通过练习,反馈学 生对本节课所学知 识理解和掌握的程 度

巩 固 与 练 习

(3) ? x∈R,2x+4≥0 (4) ? x∈R,使 x +x=x+2
2

解: (1)存在一个分数不是有理数,假命题; (2)所有的三角形都不是锐角三角形,假命题; (3) ? x∈R,使 2x+4<0,真命题; (4) ? x∈R,x +x≠x+2,假命题。
2

课 堂 小 结 布 置 作 业

1。回忆几个概念:全称量词,存在量词,全称命题的概念及表示法 2.含有一个量词的否定 3.语言运用转化,语言用词准确, 书写合理规范. 1、 课本 P26A 组 1、2、3; 2、 B 组. 3、 课本 P28A 组 5、6 4、 B 组 2.

归纳整理本节课所 学知识

课后练习
1.全称命题“所有被 5 整除的整数都是奇数”的否定( ) A.所有被 5 整除的整数都不是奇数 B.所有奇数都不能被 5 整除 C.存在一个被 5 整除的整数不是奇数 D.存在一个奇数,不能被 5 整除 2. 命题“所有自然数的平方都是正数”的否定为( ) A. 所有自然数的平方都不是正数 B. 有的自然数的平方是正数 C. 至少有一个自然数的平方是正数 D. 至少有一个自然数的平方不是正数 3. 命题“存在一个三角形,内角和不等于 1800”的否定为( B ) A.存在一个三角形,内角和等于 1800 B.所有三角形,内角和都等于 1800 C.所有三角形,内角和都不等于 1800 D.很多三角形,内角和不等于 1800 4. “ a ? b ? 0 ”的含义是(
2 2

) B. a , b 全不为 0 D. a 不为 0 且 b 为 0,或 b 不为 0 且 a 为 0
2

A. a , b 不全为 0 C. a , b 至少有一个为 0

5. 命题 p:存在实数 m,使方程 x +mx+1=0 有实数根,则“非 p”形式的命题是( 2 A.存在实数 m,使得方程 x +mx+1=0 无实根; 2 B.不存在实数 m,使得方程 x +mx+1=0 有实根; 2 C.对任意的实数 m,使得方程 x +mx+1=0 有实根;
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D.至多有一个实数 m,使得方程 x2+mx+1=0 有实根; 6. “至多四个”的否定为 ( ) A.至少有四个 B.至少有五个 C.有四个 参考答案: 1.C 2.D 3.B 4.A 5.B 6.B

D.有五个

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