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第3章 3.2 第1课时 空间向量与平行关系


3.2 立体几何中的向量方法 空间向量与平行关系 第 1 课时 1.掌握直线的方向向量,平面的法向量的概念及求法.(重点) 2.熟练掌握用方向向量,法向量证明线线、线面、面面间的平行关系.(重点、 难点) [基础· 初探] 教材整理 1 直线的方向向量与平面的法向量 阅读教材 P102~P103“第 2 自然段”内容,完成下列问题. 1.直线的方向向量的定义 直线的方向向量是指和这条直线_____________的非零向量,一条直线的方 向向量有________个. 【答案】 平行或共线 无数 2.平面的法向量的定义 直线 l⊥α,取直线 l 的________a,则 a 叫做平面 α 的法向量. 【答案】 方向向量 若 A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线 l 上,则直线 l 的一个方向向量为( A.(1,2,3) C.(2,1,3) 【解析】 【答案】 教材整理 2 → AB=(2,4,6)=2(1,2,3). A 空间中平行关系的向量表示 B.(1,3,2) D.(3,2,1) ) 1 阅读教材 P102~P103 内容,完成下列问题. 线线平行 设两条不重合的直线 l, m 的方向向量分别为 a=(a1, b1, c1), b=(a2, b2, c2), 则 l∥m?________?________ 设 l 的方向向量为 a=(a1,b1,c1),α 的法向量为 u =(a2,b2,c2),则 l∥α?________?________ 设 α,β 的法向量分别为 u=(a1,b1,c1),v=(a2,b2, c2),则 α∥β?________?________ (a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2) a· u=0 a1a2+b1b2+c1c2=0 线面平行 面面平行 【答案】 a∥b u∥v (a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2) 若直线 l 的方向向量 a=(2,2,-1),平面 α 的法向量 μ=(-6,8,4),则直线 l 与平面 α 的位置关系是________. 【解析】 ∴μ⊥a, ∴l?α 或 l∥α. 【答案】 l?α 或 l∥α ∵μ· a=-12+16-4=0, [小组合作型] 求平面的法向 量 已知 ABCD 是直角梯形,∠ABC=90° ,SA⊥平面 ABCD,SA=AB 1 =BC=1,AD=2,试建立适当的坐标系. 图 321 (1)求平面 ABCD 的一个法向量; 2 (2)求平面 SAB 的一个法向量; (3)求平面 SCD 的一个法向量. 【精彩点拨】 (1)根据图形特点,如何建立坐标系更方便?(2)怎样求平面 的法向量?题中所要求的三个平面的法向量在求解时方法是否相同? 【自主解答】 以点 A 为原点,AD、AB、AS 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、 ?1 ? z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(0,0,0), B(0,1,0), C(1,1,0), D?2,0,0?, ? ? S(0,0,1). (1)∵SA⊥平面 ABCD, → ∴AS=(0,0,1)是平面 ABCD 的一个法向量. (2)∵AD⊥AB,AD⊥SA,∴AD⊥平面 SAB, → ?1 ? ∴AD=?2,0,0?是平面 SAB 的一个法向量. ? ? → ?1 ? → (3)在平面 SCD 中,DC=?2,1,0?,SC=(1,1,-1). ? ? 设平面 SCD 的法向量是 n=(x,y,z), → ? ?n· DC=0, → → 则 n⊥DC,n⊥

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