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【2014年秋备课】高中数学 2.3 幂函数课件 新人教A版必修1_图文

第二章

基本初等函数(I) 2.3 幂函数

复习引入
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克,那么她需要支付p=w元,这里p 是w的函数;

复习引入
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克,那么她需要支付p=w元,这里p 是w的函数;

(2) 如果正方形的边长为a,那么正方形 的面积S=a2,这里S是a的函数;

复习引入
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克,那么她需要支付p=w元,这里p 是w的函数;

(2) 如果正方形的边长为a,那么正方形 的面积S=a2,这里S是a的函数;
(3) 如果立方体的边长为a,那么立方体 的体积V=a3,这里V是a的函数;

复习引入
(4) 如果一个正方形场地的面积为S,那

么这个正方形的边长 a ? S 是S的函数;

1 2

,这里a

复习引入
(4) 如果一个正方形场地的面积为S,那

么这个正方形的边长 a ? S 是S的函数;

1 2

,这里a

(5) 如果某人t秒内骑车行进了1 km,那 么他骑车的平均速度v=t-1km/s,这里 v是t的函数.

复习引入
(4) 如果一个正方形场地的面积为S,那

么这个正方形的边长 a ? S 是S的函数;

1 2

,这里a

(5) 如果某人t秒内骑车行进了1 km,那 么他骑车的平均速度v=t-1km/s,这里 v是t的函数. 思考:这些函数有什么共同的特征?

思考:这些函数有什么共同的特征?

(1) 都是函数;

思考:这些函数有什么共同的特征?

(1) 都是函数; (2) 指数为常数;

思考:这些函数有什么共同的特征?

(1) 都是函数;
(2) 指数为常数; (3) 均是以自变量为底的幂.

讲授新课
一般地,函数y=xa叫做幂函数, 其中x是自变量,a是常数. 注意: 幂函数中a的可以为任意实数.

练习 在同一平面直角坐

标系内作出幂函数

y ? x, y ? x , y ? x ,
2 3

y? x , y? x
的图象.

1 2

?1

练习 在同一平面直角坐 标系内作出幂函数

y
3

y ? x, y ? x , y ? x ,
2

y? x , y? x
的图象.

1 2

?1

O

x

练习 在同一平面直角坐

y
3

标系内作出幂函数

y ? x, y ? x , y ? x ,
2

y? x , y? x
的图象.

1 2

?1

O

x

练习 在同一平面直角坐 标系内作出幂函数

y
3

y ? x, y ? x , y ? x ,
2

y? x , y? x
的图象.

1 2

?1

O

x

练习 在同一平面直角坐 标系内作出幂函数

y
3

y ? x, y ? x , y ? x ,
2

y? x , y? x
的图象.

1 2

?1

O

x

练习 在同一平面直角坐 标系内作出幂函数

y
3

y ? x, y ? x , y ? x ,
2

y? x , y? x
的图象.

1 2

?1

O

x

观察图象,将你发现的结论写到下表内
y? x y? x
定义域 值域
奇偶性
R R R [0,+∞)
2

y ? x3 y ? x
R R

1 2

y ? x ?1
{x|x≠0} {y|y≠0}

[0,+∞) [0,+∞)




[0,+∞)增



非奇非偶


(0,+∞)减

单调性



(-∞,0]减
(1,1)


(1,1)


(1,1)

(-∞,0)减
(1,1)

公共点 (1,1)

幂函数的性质

(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,
并且图象都通过点(1,1);

幂函数的性质

(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,
并且图象都通过点(1,1); (2) 如果a>0,则幂函数图象过原点, 并且在区间[0,+∞)上是增函数;

幂函数的性质 (3) 如果a<0,则幂函数图象在区间 (0,+∞)上是减函数,在第一象限内,当 x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方 无限地逼近y轴,当x趋向于+∞时,图象 在x轴上方无限地逼近x轴;

幂函数的性质 (3) 如果a<0,则幂函数图象在区间 (0,+∞)上是减函数,在第一象限内,当 x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方 无限地逼近y轴,当x趋向于+∞时,图象 在x轴上方无限地逼近x轴; (4) 当a为奇数时,幂函数为奇函数; 当a为偶数时,幂函数为偶函数.

利用幂函数的增减性比较两个数的大小.

(1) 若能化为同指数,则用幂函数的单调 性比较两个数的大小; (2) 若能化为同底数,则用指数函数的单 调性比较两个数的大小; (3)当不能直接进行比较时,可在两个数 中间插入一个中间数,间接比较上述 两个数的大小.

例1

1 在函数 y= 2,y=2x2,y=x2+x,y=1 中,幂函数的 x ( B ) B.1 C.2 D.3

个数为 A.0
解析 1 所以是幂函数; ∵y= 2=x-2, x

y=2x2 由于出现系数 2, 因此不是幂函数;
y=x2+x 是两项和的形式,不是幂函数;
y=1=x0(x≠0),可以看出,常函数 y=1 的图象比幂函数 y=x0 的图象多了一个点 (0,1), 所以常函数 y=1 不是幂函 数.

例2

比较大小:
1 2 1 2
- - -

3 3 1, 1, 2 (1) 1.5 , 1.7 ;(2)(-1.2) ,(-1.25) ; (3)5.25 5.26 5.26 .



(1)∵y=x 在[0,+∞)上是增函数,1.5<1.7, ∴ 1.5 < 1.7 ;

1 2

1 2

1 2

(2)∵y=x3 在 R 上是增函数,-1.2>-1.25, ∴(-1.2)3>(-1.25)3;
(3)∵y=x-1 在(0,+∞)上是减函数,5.25<5.26,
- - ∵y=5.26x 是增函数,-1>-2, ∴5.25 1>5.26 1;

∴5.26 1>5.26 2. 综上,5.25-1>5.26-1>5.26-2.
- -

课堂小结
(1) 幂函数的定义;

(2) 幂函数的性质;
(3) 利用幂函数的单调性判别大小.