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高二理科数学测试题(必修2+选修2-1)

1. 如果命题 p 的逆命题是 q ,命题 p 的否命题是 r ,则 q 是 r 的 ( ) A.逆命题 B.否命题 C.逆否命题 ) C. ?p : ?x ? R, sin x ? 1 ) D. D. ?p : ?x ? R, sin x ? 1 D.以上均错

2. 已知命题 p : ?x ? R, sin x ? 1,则(

A. ?p : ?x ? R, sin x ? 1 B. ?p : ?x ? R, sin x ? 1

3. 双曲线 mx 2 ? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m ? ( A. ?

1 4

B. ?4 )

C. 4

1 4

4.直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角是( A. 30
0

B. 60

0

C. 120

0

D. 150

0

5.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线中心在原点,焦点在 y 轴上,一条渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,则此双曲线 的离心率为 ( ) A.

5

B.

5 2

C.

3

D. 2

6. 已知直线 l : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 与圆 C : ( x ? 4)2 ? ( y ?1)2 ? 9 ,则直线 l 与圆 C 的位置 关系是( A、 l 与 C 相切 B、 l 与 C 相交且过 C 的圆心 C、 l 与 C 相离 D、 l 与 C 相交且不过 C 的圆心 7.下列四个命题中错误的个数是( ) ① 两条不同直线分别垂直于同一条直线,则这两条直线相互平行 ② 两条不同直线分别垂直于同一个平面,则这两条直线相互平行 ③ 两个不同平面分别垂直于同一条直线,则这两个平面相互平行 ④ 两个不同平面分别垂直于同一个平面,则这两个平面相互垂直 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ) 8.已知两条直线 l1 : (a ? 3) x ? 4 y ? 5 ? 0 与 l2 : 2x ? ? a ? 5? y ? 8 ? 0 平行,则 a 的值是( A. ?7 B. ?1或 ? 7 C.1 或 7 D. ?

13 3

1 1) 2 ,1) 0 ? 1) 9 . 平 面 A B C D中 , 点 A 坐 标 为 ( 0,, , 点 B 坐 标 为 (1, , 点 C 坐 标 为 (? 1,, .若向量
a ? (? 2 ,y , z,且 ) a 为平面 ABC 的法向量,则 y z =(
A. 2 B. 0 C. 1 D. ?1 )

10.若一个正三棱柱的三视图如下图所示,则这个正三棱柱的体积是( )

2 正视图

2 3
侧视图 第 1 页 共 7 页 俯视图

A.2 3

B. 4 3

C. 6 3

D. 8 3 .

11. 一个体积为 8 的正方体的顶点都在一个球面上,则此球的表面积是 12.已知向量 OA ? (1,1,1) 则它与 x 轴正方向夹角的余弦值为 .

??? ?

13. 以原点为顶点,坐标轴为对称轴,并且过点 P(?2, ?4) 的抛物线标准方程为

.

14. 正方体 ABCD ? A 若 E、 F 分别是 BC、 DD1 的中点, 则 B1 到平面 ABF 的距离为______. 1B 1C1D 1 的棱长为 1, 15.已知直线 l 经过直线 x ? y ?1 ? 0 和 3x ? y ? 7 ? 0 的交点,并且与直线 x ? y ? 1 ? 0 垂直,求直线 l 的方程.

16.已知点 M (1, ?1), N (1,5), P(?2, 2) 都在圆 C 上,求圆 C 的方程.

E 是棱 CC1 上的点,且 CE ? 17. 如图所示,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AB ? BC ? 1, BB 1 ? 2,
(Ⅰ)求三棱锥 C ? BED 的体积; (Ⅱ)求证: AC ? 平面 BDE . 1 A1 B1 D1 C1

1 CC1 . 4

A

E D C

B 18. (本小题满分 14 分)
?

图1

D 是棱 CC1 的 如图 2 所示,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?ACB ? 90 , AB ? 2 , BC ? 1 , AA 1 ? 6 ,点
中点. (Ⅰ )证明: A1D ? 平面 AB1C1 ; (Ⅱ )求二面角 B ? AB1 ? C1 的余弦值. A A1

19.在平面直角坐标系 xOy 中,点

P 到两点 (0, ? 3) , (0,3) 的距离之和等于 C1P D 4,设点
第 2 页 共 7 页

C

B 图2

B1

的轨迹为 C .
(Ⅰ)求出 C 的方程及其离心率 e 的大小; (Ⅱ)设直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A , B 两点.若 OA ? OB ,求 k 和 AB 的值.

??? ?

??? ?

??? ?

20.设椭圆 C :

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e = 2 2 a b

,点 A 是椭圆上的一点,且点 A 到椭圆

C 两焦点的距离之和为
(1)求椭圆 C 的方程;

4.

(2)椭圆 C 上一动点 P ?x0 , y 0 ? 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 P 1 ?x1 , y1 ? ,求 3 x1 ? 4 y1 的取值范围.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

第 3 页 共 7 页

选项
11、 12?

C 12、

C

A

A

A

D

B

B 14、

C

D

3 3

13、 y 2 ? ?8x 或 x2 ? ? y 三、

2 5 5

15.解:



?x ? y ? 1 ? 0 ? x ? ?2 ?? ? ?3x ? y ? 7 ? 0 ?y ? 1
……6 分 ……8 分 ……12 分 A1 B1

即两直线的交点坐标是(-2,1) 直线 x ? y ? 1 ? 0 的斜率为 1,由已知所求直线的斜率为-1 则所求直线的方程为: y ? 1 ? ?1( x ? 2) 即 x ? y ? 1 ? 0

16.解:设圆 C 的方程为: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ……3 分

D1 C1

?1 ? 1 ? D ? E ? F ? 0 ? 则 ?1 ? 25 ? D ? 5E ? F ? 0 ?4 ? 4 ? 2 D ? 2 E ? F ? 0 ?

?D ? ?2 ? ? ?E ? ?4 ……9 分 ?F ? ?4 ?
……12 分

所求圆 C 的方为: x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0

1 1 17. (Ⅰ)解:由 CE ? CC1 = , 4 2 1 1 1 1 1 CE ? ? ? 1? 1? ? . ∴ VC ? BDE ? VE ? BCD ? S ?BCD ? 3 3 2 2 12

A F O B

E D C

(Ⅱ)证明:连 AC, B1C .∵ AB ? BC ,∴ BD ? AC .∵ A1 A ? 底面 ABCD ,∴ BD ? A1 A . ∵ A1 A ? AC ? A ,∴ BD ? 平面A 1 . 1 AC . ∴ BD ? AC ∵ tan ?BB1C ?

CE 1 BC 1 ? ,∴ ?BB1C ? ?CBE . ? , tan ?CBE ? CB 2 B1 B 2

∵ ?BB1C ? ?BCB1 ? 90? ,∴ ?CBE ? ?BCB1 ? 90? .∴ BE ? B1C . ∵ BE ? A1B1 , A 1B 1?B 1C ? B 1 ,∴ BE ? 平面A 1B 1C . ∴ BE ? AC 1 .

∵ BD ? BE ? B , BE ? 平面 BDE, BD ? 平面 BDE, ∴ AC ? 平面 BDE 。 1

y 轴和 z 轴,建立空间直角坐标系,则 证法二:以点 A 为原点, AB、AD 、AA 1 所在直线分别为 x 轴、

? 1? B ?1, 0, 0?、D ? 0,1, 0?、E ? 11 , , ?、A , 0 , 2 ?、 C ? 1,1, 0 ?, 1? 0 ? 2?

???? ? ??? ? ??? ? ? 1? ? A1C ? ?1,1, ?2? , BD ? ? ?1,1, 0 ? , BE ? ? 0,1, ? . 2? ?
第 4 页 共 7 页

???? ? ??? ? ? A1C ?BD ? ?1,1, ?2 ?? ? ?1,1,0? ? 1? ? ?1? ? 1?1 ? ? ?2 ? ? 0 ? 0 ,
???? ? ??? ? 1? 1 ? A1C ?BE ? ?1,1, ?2 ?? ? 0,1, ? ? 1 ? 0 ? 1 ? 1 ? ? ?2 ? ? ? 0 , 2? 2 ?

???? ? ??? ? ???? ? ??? ? .? A1C ? BE , A1C ? BD ? AC ? BD , AC ? BE 1 1
? BE ? BD ? B , BE ? 平面 BDE , ED ? 平面 BDE , ? A1C ? 平面 BDE .
? 18. 解法一: (Ⅰ )∵ ?ACB ? 90 ,∴ BC ? AC .∵三棱柱 ABC ? A1B1C1 为直三棱柱,∴ BC ? CC1 .

∵ AC ? CC1 ? C , ∴ BC ? 平 面 ACC1 A1 . ∵ A1D ? 平 面 ACC1 A1 , ∴ BC ? A 1 D, 而 BC

? B1C1 , 则

B1 C1 ? A1 D.在 Rt?ACC1 中, tan ?AC1C ?

AC 3 2 , ? ? CC1 2 6

6 DC1 2 ? 2 ? 在 Rt?DC1 A1 中, tan ?DA1C1 ? ,∴ ?AC1C ? ?DAC 1 1 .同理可得, ?CAC1 ? ?C1DA 1. A1C1 2 3
(或:在 Rt?ACC1 与 Rt?DC1 A1 中,∵

AC ? DC1

3 6 C1C , ? 2? ? 6 3 A1C1 2

∴ Rt?ACC1 ~ Rt?DC1 A1 ,∴ ?AC1C ? ?DAC ) 1 1 , ?CAC1 ? ?C1DA 1.
? ∵ ?AC1C ? ?CAC1 ? 90? ,∴ ?AC1C ? ?C1DA 1 D ? AC1 .……6 分 1 ? 90 .即 A

∵ B1C1 ? AC1 ? C1 ,∴ A1D ? 平面 AB1C1 . (Ⅱ) 如图, 过 C1 作 AB1 的垂线, 垂足为 H , 在平面 ABB1

……7 分 A A1 内 作

G

? H1 交 BB1 于点 A G ,连 B GC1 ,则 ?C1 HG 为二面角
……9 分 H C D 在 Rt?AB1C1 中, C1H ? B G B1 C1

B ? AB1 ? C1 的平面角.

AC1 ? B1C1 3 ?1 3 10 , ? ? AB1 10 10

B1 H ?

10 6 15 GH B1H B1G . ∵ Rt?B1HG ~ Rt?B1BA , ∴ , 则 GH ? ,B1G ? . 在 Rt?B1C1G 中, ? ? 10 6 15 AB B1B B1 A 42 C H 2 ? GH 2 ? C1G 2 6 .在 ?C1HG 中,由余弦定理,得 cos ?C1HG ? 1 . ?? 6 2C1H ? GH 6
第 5 页 共 7 页

求得 C1G ?

故二面角 B ? AB1 ? C1 的余弦值为 ?

6 . 6
z A A
1

? 解法二:∵ ?ACB ? 90 ,∴ BC ? AC .∵三棱柱 ABC ? A1B1C1 为直

三棱柱,∴ BC ? CC1 . ∵ AC ? CC1 ? C ,∴ BC ? 平面 ACC1 A1 . 以 C 为坐标原点, CB 、 CC1 、 CA 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系,则 C ? 0,0,0? , B ?1,0,0 ? , B

C

D B
1

C
1

y

A 0, 0, 3 , C1 0, 6, 0 , B1 1, 6, 0 , A1 0, 6, 3 ,
? 6 ? D? 0, ? 2 ,0? ?. ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

x

???? ? ? ???? 6 ,? 3? , B1C1 ? ? ?1,0,0 ? , AB1 ? 1, 6, ? 3 , ? 2 ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ∵A B1C1 ? 0 , A1D?AB1 ? 0 ,∴ A1D ? B1C1 , A1D ? AB1 ,即 A1D ? B1C1 , A1D ? AB1 . 1D?
(Ⅰ ) A1 D ? ? 0, ?

???? ?

? ? ?

?

?

∵ B1C1 ? AB1 ? B1 ,∴ A1D ? 平面 AB1C1 .

???? ? ?n?AB1 ? 0, ? ? x ? 6 y ? 3z ? 0, (Ⅱ)设 n ? ? x, y, z ? 是平面 ABB1 的法向量,由 ? ???? 得? ? ? 6 y ? 0. ?n?BB1 ? 0. ?
取 z ? 1 ,则 n ? 又 A1 D ? ? 0, ?

?

3, 0,1 是平面 ABB1 的一个法向量.

?

???? ?

? ? ?

???? ? ? 6 ,? 3? 是平面 AB1C1 的一个法向量, 且 < AD1 , n > 与二面角 B ? AB1 ? C1 的大小相等. ? 2 ?

? ? 6 , ? 3 ?? 3, 0,1 ???? ? ? 0, ? ???? ? 2 AD1 ?n 6 ? 由 cos < AD1 , n > = ???? . ?? ?? ? 6 3 2 AD1 ? n ?2 2

?

?

故二面角 B ? AB1 ? C1 的余弦值为 ? 19.解: (Ⅰ)设

6 . 6

P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, ? 3),, (0 3) 为焦
y2 ? 1. 4

点,
长半轴为 2 的椭圆.它的短半轴 b ?

22 ? ( 3) 2 ? 1 ,故曲线 C 的方程为 x 2 ?
第 6 页 共 7 页

易知: a ? 2, b ? 1 , c ? a2 ? b2 ? 3 ,所以离心率 e ?

c 3 . ? a 2

? 2 y2 ? 1, ?x ? (Ⅱ)设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,其坐标满足 ? 消去 y 并整理得 (k 2 ? 4) x2 ? 2kx ? 3 ? 0 , 4 ? y ? kx ? 1. ? ??? ? ??? ? 2k 3 ,x1 x2 ? ? 2 故 x1 ? x2 ? ? 2 . OA ? OB ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .而 y1 y2 ? k 2 x1x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 , k ?4 k ?4

??? ? ??? ? 1 3 3k 2 2k 2 ?4k 2 ? 1 k ? ? ? ? ? 1 ? ? 0 .所以 ,此时 OA ? OB 2 k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4 ? 1 4 12 ???? ? AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 , 当 k ? ? 时, x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ? 2 17 17
于是 x1 x2 ? y1 y2 ? ? 而 ( x2 ? x1 )2 ? ( x2 ? x1 )2 ? 4 x1 x2 ?

42 4 ? 3 43 ?13 ? 4 ? ? , 172 17 17 2

所以 AB ?

???? ?

4 65 . 17

第 7 页 共 7 页


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