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重庆市重庆一中2014届高三12月月考数学文试题 Word版含答案


秘密★启用前

2013 年重庆一中高 2014 级高三上期第四次月考 数 学 试 题 卷(文科)2013.12
数学试题卷共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若集合 A ? {(2,0),(3,1)} ,则集合 A 的真子集个数是( A.16 B.15 C. 4 D.3 )

2.已知 i 为虚数单位,则复数 A.1 B. ?1

z?

1 ? 3i 3 ? i 的虚部是(
C. ?i

) D. i )

3. (原创)命题:“ p ? q 为真命题”是命题:“ p ? q 为真命题”的( A. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

? ? ? ? ? ? ? | a | ? | b | ? 2 a 4. (原创)已知 , ? (a ? b) ? 6 ,则 a 与 b 的夹角为(



5? A. 6

2? B. 3

? C. 3

? D. 6

5.运行如下程序框图,如果输入的 t ? [?1,3] ,则输出 s 属于( )

A. [?4,3]

B. [?5, 2]

C. [?3, 4]

D. [?2,5]

6.若方程 ln x ? 6 ? 2 x ? 0 的解为 A.1 B.2

x0

,则满足不等式 C. 3

a ? x0

的最大整数 a 是(



D.4

7. ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c , 且满足 2b cos A ? 2c ? 3a , 则角 B 范围是( )

? 0,
A.

??
3? ?
B.

? 0,

?? ? ? 2? ? ? ? 0, ? ?6 , 2 ? ? 3 ? C. ? 6? ? D. ?
2

8.关于 x 不等式 | x ? 3 | ? | x ? 1|? t ? 3t 的解集非空,则实数 t 的取值范围为
1





A. (??, ?1] ? [4, ??) 9. 曲线: 能是(

B. (??, ?2] ? [5, ??)

C. [?1, 4]

D. (??, ?1] ? [2, ??)

y ? 1 ? ( x ? 2)2


上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列,则该公比不可

3 A. 2

1 B. 2

3 C. 3

D. 3

10. 已知两个点 M (?5,0), N (5,0) , 若直线上存在点 P , 使得 | PM | ? | PN |? 6 则称该直线

为“ hold 直线 ”.给出下列直线:① 有( A.3 )条“ hold 直线 ” . B. 2 C.1

y?

4 x 3 ,② y ? 2 x ? 1 ,③ y ? x ? 1 ,则这三条直线中

D.0 第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上. 11. 已知等差数列

{an }

中:

a3 ? a5 ? a7 ? 9

,则

a5 ?



12. 已知 ? ? {( x, y) | x ? y ? 10, x ? 0, y ? 0} , A ? {( x, y) | x ? 5, y ? 0, x ? y ? 0} ,若向 区域 ? 上随机投 1 个点,这个点落入区域 A 的概率 P = .

tan(? ? a) ?
13. (原创)已知角 的终边落在第四象限,且 14.一几何体的三视图如下所示,则该几何体的表面积为

1 2 ,则 cos 2a =




15 .已知真命题 :“ 函数 f ( x) 的图像关于点 P(a, b) 成中心对称图形 ” 的充要条件为 “ 函数

y ? f ( x ? a) ? b 是奇函数”.根据上述依据,写出函数
标 .
2

g ( x) ? log 2

2x 4 ? x 图像对称中心的坐

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) (原创)已知数列 (I)求数列

{an }

满足:

an ? 2an?1 ? 0

,且

a1 ? 3

{an }

的前 7 项和

S7



(Ⅱ)设数列

{bn }

bn ? log 2
中:

? 1 ? ? 3 ? ? | an ?1 | ,求数列 ? ? bn bn ?1 ? 的前 20 项和.

f ( x) ? sin(? x ? ? ), (? ? 0,| ? |?
17. (本小题满分 13 分) (原创)设函数

?

) 2 ,它的一个最

14 8 ( ,1) 高点为 3 以及相邻的一个零点是 3 。
(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式;

g ( x) ? f ( x) ? 2cos 2
(Ⅱ)求

?

?2 ? ?1, x ? ? , 2 ? 8 ? 3 ? 的值域

18. (本小题满分 13 分) (原创)重庆市第一中学校高 2014 级半期考试后,某文科班数学老 师抽取 10 名同学的数学成绩对该科进行抽样分析,得到第 i 个同学每天花在数学上的学习 时间
10

xi

(单位:小时)与数学考试成绩
10 10 10

yi

(单位:百分)的数据资料,算得

, xi yi ? 1 5 . 6 9 52,xi ? ? xi ? 1 5 ,? yi ? 1 0? ?
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

24.08

(Ⅰ)求数学考试成绩 y 对每天花在数学上的学习时间 的线性回归方程 y ? bx ? a ;( a, b 均用分数表示) (Ⅱ)若某同学每天花在数学上的学习时间为 2 小时,预测该同学本次考试的成绩, (保留两 位小数) .

b?
附:线性回归方程 y ? bx ? a 中,

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

? xi2 ? n x
i ?1

?2

, a ? y ? bx ,

19. (本小题满分 13 分)如图,在三棱柱

ABC ? A1 B1C1

中,侧棱

BB1 ? 底面ABC

3

?BAC ? 90? , AB ? AC ? AA1 ? 2 ,且 E 是 BC 中点.
(I)求锥体

A1 ? B1C1EB

的体积; .

(Ⅱ)求证:

B1C ? AC1

f ( x) ? x ? m ln x ?
20. (本小题满分 12 分)已知函数 (I)求 m 与 n 满足的关系式; (Ⅱ)①求函数 f ( x) 的单调减区间(用 m 表示) ;

n x 在 x ? 1 处取得极

值 , 且

m?3

?1 ? t1 , t2 ? ? , 2 ? g (t2 ) ? f (t1 ) ? 9 ?2 ? , ②设函数 g ( x) ? m x ? 3 , 若存在 使得 成立, 求m
2 2

的取值范围.

21. (本小题满分 12 分)已知动圆 P 过定点 F (2,0) 且与直线 x ? ?2 相切,圆心 P 的轨迹 为曲线 C (I)求轨迹 C 的方程;

l ,l (Ⅱ)①过定点 f (2,0) 作互相垂直的直线 1 2 分别交轨迹 C 于点 M , N 和点 R, Q ,求
四边形 MRNQ 面积的最小值; ②定点 P(2, 4) ,动点 A, B 是轨迹 C 上的三个点,且满足 在的直线是否过定点,若是,求出该定点的坐标;否则说明理由

k PA ? k PB ? 8

试问 AB 所

命题人:王吉勇 审题人:廖 桦
4

2013 年重庆一中高 2014 级高三上期第四次月考 数 学 答 案(文科)2013.12
一:选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.D, 2。B , 3。A, 4。C, 5。C, 6。B, 7。D , 8。A, 9。B, 10。C, 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上.

11. ,

12.



13.



14.

15。



的对称中心为

,由题设知函数

是奇函数. 设



,即

. 由不等



的解集关于原点对称,得

. 此时

.

任取 坐标是

,由

,得

, 所以函数

图像对称中心的

三、解答题(共 75 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题 13 分)

解: (1)

(2) 17. (本小题 13 分)

解: (Ⅰ)

=
5

(Ⅱ)由(Ⅰ)知





时,

18(本小题 13 分)

(1)

,

,

(2)当学习时间为 2 小时, 19. (本小题满分 12 分) 解:(I) 锥体 的体积

百分

(Ⅱ)因为

,又



中点,所以 中, , 平面 , 底面 ,

又因为在直三棱柱 又 又因为 又 平面 与 底面 , 所以 ,所以 ,所以 相似,

20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) (Ⅱ)函数 ,由 的定义域为 得 , .

6

由(Ⅰ)可得 令 ,则 , . 时, ,



x + ↗ 所以 单调递减区间为

1 0 ? ↘ 。 0 + ↗

(Ⅲ)

时,由(Ⅱ)得



上为增函数,在

上为减函数,

所以



上的最大值为

.

因为函数



上是单调递增函数,

所以

的最小值为

.

所以



上恒成立.

若存在 ,

,要使得

成立,

只需要 又因为

,即 ,所以 的取值范围是

,所以 .

.

21.解: (1)由题意:

为点 M 的轨迹方程。

(2)由题易知直线 l1,l2 的斜率都存在,且不为 0, 不妨设,MN 方程为 y=k(x-2)与 y2=8x 联立得: k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,设

7



由抛物线定义知:|MN|=|MF|+|NF|

同理 RQ 的方程为

∴ 当且仅当 k2=1,k=±1 时取“=”,故四边形 MRNQ 的面积的最小值为 128.

(3)设

· · · · · · · · (※)

则 法 2: 设

,与(※)比较可知,直线 AB 过定点(1,-4)

联立得:

由△ >0 得 2m2>b。

设 y1+y2=8m,y1· y2=8b,又由 kPA· kPB=8

即 ∴4m+b+1=0 ∴lAB:my=x-4m-1 即 m(y+4)=x-1,∴直线 AB 过定点(1,-4)

8


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