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2014年5月 数列 数列求和 裂项相消、错位相减、分组求和


2014 年 5 月向波的高中数学组卷
一.解答题(共 30 小题) 1.如图,在平面直角坐标系中,O 为原点,一次函数与反比例函数的图象相交于 A(2,1) 、B(﹣1,﹣2)两点, 与 x 轴相交于点 C. (1)分别求反比例函数和一次函数的解析式(关系式) ; (2)连接 OA,求△ AOC 的面积.

2.已知函数 f(x)=x +ax﹣lnx,a∈R (1)若函数 f(x)在[1,2]上是减函数,求实数 a 的取值范围; (2)令 g(x)=f(x)﹣x ,是否存在实数 a,当 x∈(0,e](e 是自然常数)时,函数 g(x)的最小值是 3,若存 在,求出 a 的值;若不存在,说明理由; (3)求证:当 x∈(0,e]时,e x﹣ >lnx+
2 2 2

2



3. (2013?怀化三模)已知函数 f(x)=x +ax﹣lnx,a∈R. (1)若函数 f(x)在[1,2]上是减函数,求实数 a 的取值范围; (2)令 g(x)=f(x)﹣x ,是否存在实数 a,当 x∈(0,e](e 是自然常数)时,函数 g(x)的最小值是 3,若存 在,求出 a 的值;若不存在,说明理由; (3)当 x∈(0,e]时,证明:
n﹣1 2



4. (2003?天津)已知数列{an}满足 a1=1,an=3 (Ⅰ )求 a2,a3; (Ⅱ )证明 .

+an﹣1(n≥2) .

5. (2011?资中县模拟)已知数列{an}满足:a1=3,且 an+1=2an﹣1(n∈N ) . (1)求证数列{an﹣1}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式 an. (2)令 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

*

6.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn= (1﹣an) (n∈N ) . (Ⅰ )求数列{an}的通项公式,并比较 sn 与 的大小;

*

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www.jyeoo.com (Ⅱ )设函数 ,令 bn=f(a1)+f(a2)+…+f(an) ,求数列 的前 n 项和 Tn.

7.设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且 a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13 (Ⅰ )求{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ )求数列 的前 n 项和 Sn.

8. (2012?张掖模拟)已知函数 f(x)=﹣x +ax ﹣4,a∈R. (I)当 a=3 时,求 f(x)在区间[﹣1,1]上的最大值和最小值; (II )若存在 x0∈(0,+∞) ,使得 f(x0)>0,求 a 的取值范围. 9.设{an}是公差大于零的等差数列,已知 a1=2,a3=a2 ﹣10. (Ⅰ )求{an}的通项公式; 2 (Ⅱ )设{bn}是以函数 y=4sin πx 的最小正周期为首项,以 3 为公比的等比数列,求数列{an﹣bn}的前 n 项和 Sn.
2

3

2

10. (2013?成都模拟)已知{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,{bn}是等比数列,且 a1=b1=2,a4+b4=27,S4﹣b4=10. (Ⅰ )求数列{an}与{bn}的通项公式; (Ⅱ )记 Tn=anb1+an﹣1b2+an﹣2b3+…+a1bn,求 Tn.

11. (2013?成都模拟)若函数 f(x)满足:在定义域内存在实数 x0,使 f(x0+k)=f(x0)+f(k) (k 为常数) ,则 称“f(x)关于 k 可线性分解” (1)函数 f(x)=2 +x 是否关于 1 可线性分解?请说明理由; (2)已知函数 g(x)=lnx﹣ax+1(a>0)关于 a 可线性分解,求 a 的范围; (3)在(2)的条件下,当 a 取最小整数时,求 g(x)的单调区间. 12.公差不为零的等差数列{an}中,a2,a5,a14 成等比数列,已知 a1=2. (I)求数列{an}的通项公式; (II)当 c1=1,且 cn+1=cn+ 时,求数列{cn}的通项公式.
x 2

13. (2014?资阳二模)在数列{an}中,前 n 项和为 Sn,且 (Ⅰ )求数列{an}的通项公式; (Ⅱ )设 ,数列{bn}前 n 项和为 Tn,比较 Tn 与 2 的大小.



14. (2012?资阳一模)已知数列{an}各项为正数,前 n 项和 (1)求数列{an}的通项公式;



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www.jyeoo.com (2)若数列{bn}满足 ,求数列{bn}的通项公式;

(3)在(2)的条件下,令

,数列{cn}前 n 项和为 Tn,求证:Tn<2.

15.已知首项为 的等比数列{an}是递减数列,其前 n 项和为 Sn,且 S1+a1,S2+a2,S3+a3 成等差数列. (Ⅰ )求数列{an}的通项公式; (Ⅱ )已知 bn=an?log2an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

16. (2014?凉山州模拟)数列{an}的前 n 项和为 Sn=n(n+1) ,正项数列{bn}满足 bn+2= (1)求数列{an}、{bn}的通项; (2)数列{cn}满足 cn=anbn,求数列{an}的前 n 项和 Tn. 17. (2014?凉山州模拟)设函数 f(x)=lnx,g(x)= .

,且 b1b3=4,b4=8.

(1)当 a=2 时,求 h(x)=f(x)+g(x)的最小值; (2)若 h(x)=f(x)+g(x) ,在(0,+∞)上有两个不同的零点,求 a 的取值范围. 18.单调递增数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 ,

(1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{bn}满足 an+1+log3bn=log3an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 19. (2010?杨浦区一模)已知数列 an 的前 n 项和 Sn 满足条件 2Sn=3(an﹣1) ,其中 n∈N . (1)求证:数列 an 成等比数列; (2)设数列 bn 满足 bn=log3an.若 ,求数列 tn 的前 n 项和.
*

20.设数列{an}为单调递增的等差数列,a1=1,且 a3,a6,a12 依次成等比数列. (Ⅰ )求数列{an}的通项公式 an; (Ⅱ )若 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn;

(Ⅲ )若

,求证:



21. (2014?虹口区一模)数列{an}是递增的等差数列,且 a1+a6=﹣6,a3?a4=8. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn 的最小值; (3)求数列{|an|}的前 n 项和 Tn. 22. (2013?绵阳一模)已知函数 f(x)=lnx﹣ax+1 在 x=2 处的切线斜率为﹣ .

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www.jyeoo.com (I)求实数 a 的值及函数 f(x)的单调区间; (II)设 g(x)=kx+1,对?x∈(0,+∞) ,f(x)≤g(x)恒成立,求实数 k 的取值范围; (III)设 bn= ,证明:b1+b2+…+bn<1+ln2(n∈N ,n≥2) .
*

23. (2012?黄冈模拟)已知函数 f(x)=ax+lnx(a∈R) . (1)若 a=1,求曲线 (2)求函数 f(x)的单调增区间; (3)设 g(x)=2 ,若对任意 x1∈(0,+∞) ,存在 x2∈[0,1],使 f(x1)<g(x2) ,求实数 a 的取值范围. 24. (2013?东城区二模)已知函数 (1)求 f(x)的单调区间; (2)如果 P(x0,y0)是曲线 y=f(x)上的点,且 x0∈(0,3) ,若以 P(x0,y0)为切点的切线的斜率 立,求实数 a 的最小值. 25. (2013?眉山二模)已知数列{an}为等差数列,{an}的前 n 项和为 Sn,a1+a3= ,S5=5 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 anbn= ,Tn=b1b2+b2b3+b3b4+…+bnbn+1,求 Tn. 恒成 (a>0) .
x

处切线的斜率;

26.各项均为正数的数列{an}前 n 项和为 Sn,且 4Sn=

+2an+1,n∈N+.

(1)求数列{an}的通项公式; (2)已知公比为 q(q∈N+)的等比数列{bn}满足 b1=a1,且存在 m∈N+满足 bm=am,bm+1=am+3,求数列{bn}的通项 公式. 27.已知等差数列{an}和公比为 q(q>1)的等比数列{bn}满足:a1=b1=1,a2=b2,a5=b3. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)求数列{anbn}的前 n 项和为 Sn. 28. (2013?广元二模)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=10,an+1=9Sn+10. ① 求证:数列{lgan}是等差数列; ② 设 bn= 求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

29. (2013?凉山州二模)已知等差数列{an},等比数列{bn}均为递增数列,且 a1=1,b1=2,b2=2a2,b3=a3+a5. (1)求{an},{bn}的通项公式; (2)记 Cn=an?bn,数列{an}的前 n 项和为 Sn,求证 Sn<2Cn. 30.等差数列{an}的各项均为正数,a1=1,前 n 项和为 Sn,{bn}为等比数列,b1=1,且 b2S2=6,b3S3=24,n∈N . (Ⅰ )求数列{an}和{bn}的通项公式;
*

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(Ⅱ )令 ① 求 Tn; ② 记

www.jyeoo.com ,Tn=C1+C2+C3+…+Cn,求 Tn.

,若

恒成立,求 k 的最大值.

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2014 年 5 月向波的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一.解答题(共 30 小题) 1.如图,在平面直角坐标系中,O 为原点,一次函数与反比例函数的图象相交于 A(2,1) 、B(﹣1,﹣2)两点, 与 x 轴相交于点 C. (1)分别求反比例函数和一次函数的解析式(关系式) ; (2)连接 OA,求△ AOC 的面积.

考点: 函数解析式的求解及常用方法;两点间的距离公式. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式. (2)求出一次函数求出 C 的坐标,然后利用三角形的面积公式求面积即可. 解答:
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解: (1)设反比例函数和一次函数分别为 f(x)= , (k≠0)和 g(x)=mx+n, (m≠0) ∵ 一次函数与反比例函数的图象相交于 A(2,1) 、B(﹣1,﹣2) , ∴ f(2)=1,g(2)=1,g(﹣1)=﹣2. 即 f(2)=k=1, ∴ f(x)= ,g(x)=x﹣1. (2)∵ 一次函数 g(x)=x﹣1 与 x 轴相交, ∴ 交点 C(1,0) , ∴ △ AOC 的面积为 . ,解得 m=1,n=﹣1.

点评: 本题主要考查利用待定系数法求函数的解析式,以及三角形面积的求法,综合性比较强.

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www.jyeoo.com 2.已知函数 f(x)=x +ax﹣lnx,a∈R (1)若函数 f(x)在[1,2]上是减函数,求实数 a 的取值范围; 2 (2)令 g(x)=f(x)﹣x ,是否存在实数 a,当 x∈(0,e](e 是自然常数)时,函数 g(x)的最小值是 3,若存 在,求出 a 的值;若不存在,说明理由; (3)求证:当 x∈(0,e]时,e x﹣ >lnx+
2 2



考点: 专题: 分析:

利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用.
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综合题;导数的综合应用. (1)求导函数,利用函数 f(x)在[1,2]上是减函数,可得
2

≤0 在[1,2]

上恒成立,考查函数 h(x)=2x +ax﹣1,即可确定 a 的取值范围; (2)求导函数,分类讨论,确定函数的单调性,利用函数 g(x)的最小值是 3,即可求出 a 的 值; (3)原不等式成立只须 e x﹣lnx> + 解答: (1)解:求导函数可得
2

成立.利用 g(x)=e x﹣lnx≥3,证明 +

2

<3 即可.

因为函数 f(x)在[1,2]上是减函数,所以

≤0 在[1,2]上恒成立,

令 h(x)=2x +ax﹣1,有

2



,∴



(2)解:假设存在实数 a,使 g(x)=ax﹣lnx(x∈(0,e])有最小值 3,g′ (x)= ① 当 a≤0 时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3,a= (舍去) , ② 当 0< <e 时,g(x)在(0, )上单调递减,在( ,e]上单调递增 ∴ g(x)min=g( ) )=1+lna=3,a=e ,满足条件. ③ 当 时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3,a= (舍去) ,
2 2

综上,存在实数 a=e ,使 g(x)=ax﹣lnx(x∈(0,e])有最小值 3. 2 2 (3)证明:由(2)知当 a=e ,g(x)=ax﹣lnx(x∈(0,e])有最小值 3,即 g(x)=e x﹣lnx≥3 又原不等式成立只须 e x﹣lnx> +
2

成立

令 F(x)= +

,则 F′ (x)=

当 0<x≤e 时,F'(x)≥0,∴ F(x)在(0,e]上单调递增 故 F(x)max=F(e)= 3

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www.jyeoo.com 故当 x∈(0,e]时,e x﹣ >lnx+ 点评:
2

,即原命题得证

本题主要考查导数的运算和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,当导函数大于 0 时原函 数单调递增,当导函数小于 0 时原函数单调递减.

3. (2013?怀化三模)已知函数 f(x)=x +ax﹣lnx,a∈R. (1)若函数 f(x)在[1,2]上是减函数,求实数 a 的取值范围; 2 (2)令 g(x)=f(x)﹣x ,是否存在实数 a,当 x∈(0,e](e 是自然常数)时,函数 g(x)的最小值是 3,若存 在,求出 a 的值;若不存在,说明理由; (3)当 x∈(0,e]时,证明: .

2

考点: 专题: 分析:

利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 计算题;综合题;压轴题. (1)先对函数 f(x)进行求导,根据函数 f(x)在[1,2]上是减函数可得到其导函数在[1,2] 上小于等于 0 应该恒成立,再结合二次函数的性质可求得 a 的范围. (2)先假设存在,然后对函数 g(x)进行求导,再对 a 的值分情况讨论函数 g(x)在(0,e] 2 上的单调性和最小值取得,可知当 a=e 能够保证当 x∈(0,e]时 g(x)有最小值 3.
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(3)令 F(x)=e x﹣lnx 结合(2)中知 F(x)的最小值为 3,再令

2

并求导,

再由导函数在 0<x≤e 大于等于 0 可判断出函数 ? (x)在(0,e]上单调递增,从而可求得最大 值也为 3,即有 解答: 解: (1) 在[1,2]上恒成立, 成立,即 成立.

令 h(x)=2x +ax﹣1,有 得

2





(2)假设存在实数 a,使 g(x)=ax﹣lnx(x∈(0,e])有最小值 3, ① 当 a≤0 时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3, ② 当 ∴ ③ 当 时,g(x)在 上单调递减,在 ,a=e ,满足条件. 时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3,
2 2

= (舍去) ,

上单调递增

(舍去) ,

综上,存在实数 a=e ,使得当 x∈(0,e]时 g(x)有最小值 3.
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www.jyeoo.com (3)令 F(x)=e x﹣lnx,由(2)知,F(x)min=3. 令 , ,
2

当 0<x≤e 时,?'(x)≥0,φ(x)在(0,e]上单调递增 ∴ ∴ 点评: ,即 >(x+1)lnx.

本题主要考查导数的运算和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,当导函数大于 0 时原 函数单调递增,当导函数小于 0 时原函数单调递减.
n﹣1

4. (2003?天津)已知数列{an}满足 a1=1,an=3 (Ⅰ )求 a2,a3; (Ⅱ )证明 .

+an﹣1(n≥2) .

考点: 专题: 分析: 解答:

数列递推式;数列的概念及简单表示法. 计算题;证明题.
n﹣1

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(Ⅰ )由 a1=1,an=3 +an﹣1(n≥2) ,当 n=2 时可求 a2,n=3 时求得 a3 n﹣1 (Ⅱ )利用递推式构造 an﹣an﹣1=3 ,然后通过累加可求出 an 解: (Ⅰ )∵ a1=1, ∴ a2=3+1=4, 2 ∴ a3=3 +4=13; (Ⅱ )证明:由已知 an﹣an﹣1=3 ,n≥2 故 an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1 = 当 n=1 时,也满足上式. 所以 . .n≥2
n﹣1

点评:

本题是个基础题,主要考查由递推式求数列的项和累加法求数列的通项,注意验证 n=1.
*

5. (2011?资中县模拟)已知数列{an}满足:a1=3,且 an+1=2an﹣1(n∈N ) . (1)求证数列{an﹣1}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式 an. (2)令 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

考点: 专题: 分析:

数列递推式;数列的求和. 计算题. (1)将 an+1=2an﹣1 转化 an+1﹣1=2(an﹣1) ,构造出有特殊性质的数列{an﹣1},再去解 决. (2)将(1)所求的通项公式代入 bn,化简整理,根据 bn 的表示式决定求和方法.
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www.jyeoo.com 解答: 解: (1)∵ an+1=2an﹣1,两边同时减去 1,得 an+1﹣1=2(an﹣1) ,又 a1﹣1=2 ∴ {an﹣1}是以 a1﹣1=2 为首项,q=2 为公比的等比数列, n n *) n * ∴ an﹣1=2 ∴ an=2 +1(n∈N (2)证明:∵ an=2 +1(n∈N ) , ∴

∴ 点评:

本题考查等比数列定义,前项和公式,考查转化能力,计算能力.凡是形如 an+1=pan+q 均可 通过两端加上合适的常数,转化构造出等比数列.
*

6.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn= (1﹣an) (n∈N ) . (Ⅰ )求数列{an}的通项公式,并比较 sn 与 的大小; (Ⅱ )设函数 ,令 bn=f(a1)+f(a2)+…+f(an) ,求数列 的前 n 项和 Tn.

考点: 专题: 分析:

数列递推式;数列的求和. 计算题.

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(1)根据 an=Sn﹣Sn﹣1,代入题设,整理得

= 进而可知数列{an}为等比数列,公比是 ,再

根据 S1=a1 求得 a1, 进而根据等比数列的通项公式求得 an, 把 an 代入 Sn= (1﹣an) 中得 (1﹣ ( )
n

) ,根据 1﹣( ) <1,答案可得. ,最后用裂项法求

n

(2)把 an 代入 bn=f(a1)+f(a2)+…+f(an) ,化简整理求得 bn,进而可得 得 Tn. 解答: 解: (Ⅰ )当 n≥2 时,an= (1﹣an)﹣ (1﹣an﹣1)=﹣ an+ an﹣1,

2an=﹣an+an﹣1, .∴

= ,由 S1=a1= (1﹣a1)得 a1=

∴ 数列{an}是首项 a1= 公比为 的等比数列 an= ×( )
n﹣1

=( ) .
n

n

由 Sn= (1﹣an)= (1﹣( ) ) ∵ 1﹣( ) <1
n

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www.jyeoo.com ∴ (1﹣( ) )< ∴ sn< (Ⅱ ) , (a1a2…an)
n

∴ bn=f(a1)+f(a2)+…+f(an)=
1+2+…n

=

( )

=



∴ =

=2( ﹣

) )]= .

∴ Tn=2[(1﹣ )+( ﹣ )+…+( ﹣ 点评:

本题主要考查了数列的递推式.考查了用裂项法对数列进行求和.

7.设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且 a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13 (Ⅰ )求{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ )求数列 的前 n 项和 Sn.

考点: 专题: 分析:

等差数列的通项公式;等比数列的通项公式;数列的求和.用错位相减法求得前 n 项和 Sn. 计算题;压轴题.

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(Ⅰ )设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,根据等比数列和等差数列的通项公式,联立方程求得 d 和 q,进而可得{an}、{bn}的通项公式. (Ⅱ )数列 的通项公式由等差和等比数列构成,进而可用错位相减法求得前 n 项和 Sn.

解答: 解: (Ⅰ )设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则依题意有 q>0 且 解得 d=2,q=2. 所以 an=1+(n﹣1)d=2n﹣1,bn=q (Ⅱ ) .
n﹣1

=2

n﹣1

. ,① ,②

② ﹣① 得



= 点评:

=

=



本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和.
3 2

8.(2012?张掖模拟)已知函数 f(x)=﹣x +ax ﹣4,a∈R.
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www.jyeoo.com (I)当 a=3 时,求 f(x)在区间[﹣1,1]上的最大值和最小值; (II )若存在 x0∈(0,+∞) ,使得 f(x0)>0,求 a 的取值范围. 考点: 专题: 分析: 利用导数求闭区间上函数的最值;导数在最大值、最小值问题中的应用. 计算题. (1)当 a 等于 3 时求出函数的导数根据导数求出函数的极值,再求出端点值,比较极值和端点 值的大小求得最值 (2)求出函数的导数,讨论 a 的取值范围,观察是否满足存在 x0∈(0,+∞) ,使得 f(x0)>0, 最后得出 a 的取值范围, 3 2 2 解: (Ⅰ )当 a=3 时,f(x)=﹣x +3x ﹣4,f?(x)=﹣3x +6x=﹣3x(x﹣2) . 当 x 变化时,f?(x) 、f(x)在区间的变化如下表: x ﹣1 (﹣1,0) 0 (0,1) 1 0 + f?(x) ﹣ ↘ 0 f(x) 极小值﹣4 ↗ ﹣2 所以 f(x)在区间上的最大值为 f(﹣1)=0,最小值为 f(0)=﹣4. (5 分)
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解答:

(Ⅱ )f?(x)=﹣3x +2ax=﹣3x(x﹣

2

) .

若 a≤0,则当 x∈(0,+∞)时,f?(x)<0,此时 f(x)单调递减,而 f(x)<f(0)=﹣4, 不存在使题设成立的 x0. 若 a>0,则当 x∈(0, )时,f?(x)>0,此时 f(x)单调递增;当 x∈( )= ,+∞)时,f? ﹣4.所以题

(x)<0,此时 f(x)单调递减.f(x)在(0,+∞)的最大值为 f( 设的 x0 存在当且仅当 ﹣4>0,解得 a>3.

点评:

综上,使题设成立的 a 的取值范围是(3,+∞) . 该题考查函数的求导以及函数单调性的判断,解答过程中要注意画图表,先讨论 a 的取值范围 在看是否满足题目要求,最后要综上所述.属于简单题.
2

9.设{an}是公差大于零的等差数列,已知 a1=2,a3=a2 ﹣10. (Ⅰ )求{an}的通项公式; 2 (Ⅱ )设{bn}是以函数 y=4sin πx 的最小正周期为首项,以 3 为公比的等比数列,求数列{an﹣bn}的前 n 项和 Sn. 考点: 专题: 分析: 数列的求和;等差数列的通项公式. 综合题;等差数列与等比数列. (Ⅰ )等差数列中,由 a1=2, 由此能求出{an}的通项公式. (Ⅱ )由 y=4sin πx=4× 比 q=3,知 解答:
2

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,利用等差数列的通项公式列出方程组,求出公差,

=﹣2cos2πx+2,其最小正周期为 ,由此能求出数列{an﹣bn}的前 n 项和 Sn.

=1,故首项为 1,由公

解: (Ⅰ )设数列{an}的公差为 d, 则 解得 d=2 或 d=﹣4(舍) ,
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www.jyeoo.com ∴ an=2+(n﹣1)×2=2n. (Ⅱ )∵ y=4sin πx=4× 其最小正周期为 故首项为 1, ∵ 公比 q=3,∴ ∴ an﹣bn=2n﹣3 ∴
n﹣1 2

=﹣2cos2πx+2, =1,

, ,

= =n +n+ ﹣ ?3 . 点评: 本题考查数列的通项公式和前 n 项和公式的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意等价转 化思想的合理运用.
2 n

10. (2013?成都模拟)已知{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,{bn}是等比数列,且 a1=b1=2,a4+b4=27,S4﹣b4=10. (Ⅰ )求数列{an}与{bn}的通项公式; (Ⅱ )记 Tn=anb1+an﹣1b2+an﹣2b3+…+a1bn,求 Tn. 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列与等比数列的综合;数列的求和. 综合题;等差数列与等比数列. (Ⅰ )直接设出首项和公差,根据条件求出首项和公差,即可求出通项. (Ⅱ )法一:借助于错位相减求和;法二:用数学归纳法求解. 解: (Ⅰ )设等差数列的公差为 d,等比数列的公比为 q,
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由 a1=b1=2,得 a4=2+3d,b4=2q ,s4=8+6d, 由条件 a4+b4=27,s4﹣b4=10, 得方程组 ,

3

解得


n *

故 an=3n﹣1,bn=2 ,n∈N . 2 3 n (Ⅱ )方法一,由(Ⅰ )得,Tn=2an+2 an﹣1+2 an﹣2+…+2 a1; 2 3 n n+1 2Tn=2 an+2 an﹣1+…+2 a2+2 a1; ② ; 2 3 n n+2 由② ﹣① 得,Tn=﹣2(3n﹣1)+3×2 +3×2 +…+3×2 +2 =
n

① ;

+2

n+2

﹣6n+2

=10×2 ﹣6n﹣10. (n∈N ) . 方法二:数学归纳法, ③ 当 n=1 时,T1+12=a1b1+12=16,﹣2a1+10b1=16,故等式成立, ④ 假设当 n=k 时等式成立,即 Tk+12=﹣2ak+10bk, 则当 n=k+1 时有, Tk+1=ak+1b1+akb2+ak﹣1b3+…+a1bk+1
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*

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www.jyeoo.com =ak+1b1+q(akb1+ak﹣1b2+…+a1bk) =ak+1b1+qTk =ak+1b1+q(﹣2ak+10bk﹣12) =2ak+1﹣4(ak+1﹣3)+10bk+1﹣24 =﹣2ak+1+10bk+1﹣12. 即 Tk+1+12=﹣2ak+1+10bk+1,因此 n=k+1 时等式成立. * ③ ④ 对任意的 n∈N ,Tn+12=﹣2an+10bn 成立. n * ∴ Tn=﹣2an+10bn﹣12=10×2 ﹣6n﹣10. (n∈N ) . 本题主要考察等差数列和等比数列的综合问题.解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识, 基本方法.并考察计算能力.

点评:

11. (2013?成都模拟)若函数 f(x)满足:在定义域内存在实数 x0,使 f(x0+k)=f(x0)+f(k) (k 为常数) ,则 称“f(x)关于 k 可线性分解” x 2 (1)函数 f(x)=2 +x 是否关于 1 可线性分解?请说明理由; (2)已知函数 g(x)=lnx﹣ax+1(a>0)关于 a 可线性分解,求 a 的范围; (3)在(2)的条件下,当 a 取最小整数时,求 g(x)的单调区间. 考点: 专题: 分析: 利用导数研究函数的单调性. 新定义. x 2 (1)函数 f(x)=2 +x 关于 1 可线性分解.理由如下:令 h(x)=f(x+1)﹣f(x)﹣f(1) x﹣1 =2(2 +x﹣1) ,h(0)=﹣1,h(1)=2. 由零点存在定理可得:存在零点 x0∈(0,1) ,使得 h(x0)=0,即 f(x0+1)=f(x0)+f(1) .
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(2) 由题意, 存在 x0, 使g (x0+a) =g (x0) +g (a) , 化为 ln (x0+a) =lnx0+lna+1, 即



可得

,利用 x0>0 及 a>0,即可解得 a 的取值范围.

(3)由(2)可知:a=1,可得 g(x)=lnx﹣x+1. <0 与 g′ (x)>0 的 x 的取值范围即可得出其单调区间. 解答: 解: (1)函数 f(x)=2 +x 关于 1 可线性分解.理由如下: x+1 2 x 2 令 h(x)=f(x+1)﹣f(x)﹣f(1)=2 +(x+1) ﹣2 ﹣x ﹣2﹣1, x﹣1 化为 h(x)=2(2 +x﹣1) ,h(0)=﹣1,h(1)=2, ∴ 存在零点 x0∈(0,1) ,使得 h(x0)=0,即 f(x0+1)=f(x0)+f(1) . (2)由题意,存在 x0,使 g(x0+a)=g(x0)+g(a) , 即 ln(x0+a)﹣a(x0+a)+1= ,
x 2

.分别解出 g′ (x)

化为 ln(x0+a)=lnx0+lna+1,即





,解得



由 a>0,得



(3)由(2)可知:a=1,可得 g(x)=lnx﹣x+1.

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www.jyeoo.com . 当 x∈(0,1)时,g′ (x)>0,∴ g(x)的单调递增区间是(0,1) ; 当 x∈(1,+∞)时,g′ (x)<0,∴ g(x)的单调递减区间是(1,+∞) . 正确理解“f(x)关于 k 可线性分解”的意义,熟练掌握利用导数研究函数的单调性的方法、零点 存在定理、对数的运算法则等是解题的关键.

点评:

12.公差不为零的等差数列{an}中,a2,a5,a14 成等比数列,已知 a1=2. (I)求数列{an}的通项公式; (II)当 c1=1,且 cn+1=cn+ 考点: 专题: 分析: 时,求数列{cn}的通项公式.

等差数列与等比数列的综合. 计算题.

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(I)利用 a2,a5,a14 成等比数列,列出关于公差的方程,求出公差,利用等差数列的通项公 式求出通项. (II)将 an 的值代入数列{cn}的递推关系,据递推关系的特点,利用逐差求和的方法,求出数 列{cn}的通项公式. 解: (I){an}是等差数列,则 an=a1+(n﹣1)d 2 由题知:a5 =a2?a14 2 ∴ (2+4d) =(2+d) (2+13d)解之:d=0 或 d=4 ∴ an=4n﹣2 (II)由(1)题
3

解答:

得:cn+1﹣cn=3
2n﹣3

2n﹣1

∴ c2﹣c1=3,c3﹣c2=3 ,cn﹣cn﹣=3 故 cn=1+3 +3 +…+3
1 3 2n﹣3

=

∴ 点评: 求数列的通项的方法关键是根据已知的递推关系的特点选择合适的求和方法.若递推关系是 an+1﹣an=f(n) ,采用逐差求和的方法. .

13. (2014?资阳二模)在数列{an}中,前 n 项和为 Sn,且 (Ⅰ )求数列{an}的通项公式; (Ⅱ )设 ,数列{bn}前 n 项和为 Tn,比较 Tn 与 2 的大小.

考点: 专题: 分析:

数列的求和;不等式比较大小;数列的函数特性. 计算题;等差数列与等比数列.

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(Ⅰ )当 n=1 时,a1=S1=1;当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=n,经验证,a1=1 满足上式,于是可求得数 列{an}的通项公式; (Ⅱ )依题意知,bn= = ,利用错位相减法即可求得数列{bn}前 n 项和为 Tn,从而可与 2 比

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解答:

www.jyeoo.com 较大小. 解: (Ⅰ )当 n=1 时,a1=S1=1; 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ =n,

经验证,a1=1 满足上式. ∴ 数列{an}的通项公式 an=n. (6 分) (Ⅱ )∵ bn= ∴ Tn= + 则 Tn= + + = ,

+…+ +

, +…+ + , +…+ ﹣

两式相减,得 Tn= +

=



=1﹣



, <2.

∴ Tn=2﹣ 点评:

本题考查数列的求和,着重考查错位相减法求和,考查不等式比较大小,属于中档题.

14. (2012?资阳一模)已知数列{an}各项为正数,前 n 项和 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 ,求数列{bn}的通项公式;



(3)在(2)的条件下,令

,数列{cn}前 n 项和为 Tn,求证:Tn<2.

考点: 专题: 分析:

数列与不等式的综合;等比数列的前 n 项和;等差关系的确定;数列的求和. 综合题. (1)已知前 n 项和 ,当 n≥2 时,利用

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,了点数列{an}是以 1 为首项,1 为公差的等差数列,从而可求数列{an}的通项公式; (2)由 得 ,再用叠加法求数列{bn}的通项公式;

(3)

,当 n≥2 时,

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.从而可求数列{cn}前 n 项和为 Tn,即可证得结论. 解答: 解: (1)当 n=1 时, ∴ ,又 a1>0,故 a1=1. (1 分) , (2 分) ,

当 n≥2 时, 化简得(an+an﹣1) (an﹣an﹣1﹣1)=0,由于 an>0, ∴ an﹣an﹣1=1,故数列{an}是以 1 为首项,1 为公差的等差数列, ∴ an=n. (4 分) (2)由 得 ,
n﹣1

∴ bn=b1+(b2﹣b1)+(b3﹣b2)+…+(bn﹣bn﹣1)=1+3+…+3

=

. (8 分)

(3)

, (9 分)

当 n=1 时, 当 n≥2 时,



. (10 分) ∴ Tn=c1+c2+…+cn= =

. (12 分) 点评: 本题重点考查等差数列的通项,考查叠加法求和,考查放缩法的运用,解题的关键是叠加法求 和.

15.已知首项为 的等比数列{an}是递减数列,其前 n 项和为 Sn,且 S1+a1,S2+a2,S3+a3 成等差数列. (Ⅰ )求数列{an}的通项公式; (Ⅱ )已知 bn=an?log2an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 考点: 专题: 分析: 数列的求和;等差数列的性质. 等差数列与等比数列. (Ⅰ )由题设条件,利用等差数列和等比数列的性质能求出等比数列{an}的首项和公比,由此 能求出数列{an}的通项公式.
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www.jyeoo.com (Ⅱ )由(Ⅰ )知 bn=anlog2an=﹣n?( 解答: ) ,由此利用错位相减法能求出数列{bn}的前 n 项和 Tn.
n

解: (I)设等比数列{an}的公比为 q,由题知 a1= , 又∵ S1+a1,S2+a2,S3+a3 成等差数列, ∴ 2(S2+a2)=S1+a1+S3+a3, 变形得 S2﹣S1+2a2=a1+S3﹣S2+a3,即得 3a2=a1+2a3, ∴ q= +q ,解得 q=1 或 q= ,…(4 分) 又由{an}为递减数列,得 q= , ∴ an=a1q
n﹣1 2

=(
n﹣1

) .…(6 分) =( ),
n n

n

(Ⅱ )∵ an=a1q

∴ bn=anlog2an=﹣n?( ) , ∴ , 两式相减得: ,

=



解得 点评:

.…(12 分)

本题考查数列的通项公式和前 n 项和的求法,解题时要熟练掌握等差数列和等比数列的性质, 注意错位相减求和法的合理运用.

16. (2014?凉山州模拟)数列{an}的前 n 项和为 Sn=n(n+1) ,正项数列{bn}满足 bn+2= (1)求数列{an}、{bn}的通项; (2)数列{cn}满足 cn=anbn,求数列{an}的前 n 项和 Tn. 考点: 专题: 分析: 数列的求和. 等差数列与等比数列.
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,且 b1b3=4,b4=8.

(1)由{an}的前 n 项和为 Sn=n(n+1) ,利用

能求出数列{an}的通项;

由正项数列{bn}满足 bn+2= 项.

,且 b1b3=4,b4=8,利用等比数列的性质能求出数列{bn}的通

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解答:

www.jyeoo.com (2)由(1)和题设条件,利用错位相减法能求出数列{an}的前 n 项和 Tn. 解: (1)∵ 数列{an}的前 n 项和为 Sn=n(n+1) , ∴ 当 n=1 时,a1=S1=2, 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=n(n+1)﹣(n﹣1)n=2n, ∵ a1=1 满足 an=2n, ∴ an=2n. ∵ 正项数列{bn}满足 bn+2= ,

∴ {bn}是等比数列,设其公比为 q,且 q>0 ∵ 且 b1b3=4,b4=8, ∴ ,解得 b1=1,q=2, .
n﹣1



(2)由(1)知 cn=anbn=2n?2 ∴
2 3

=n?2 , ,①

n

2Tn=1?2 +2?2 +…+(n﹣1)?2 +n?2 由① ﹣② 得: 2 3 n n+1 ﹣Tn=2+2 +2 +…+2 ﹣n?2 =

n

n+1

,②

点评:

=2 ﹣2﹣n?2 , n+1 n+1 n+1 ∴ Tn=n?2 +2﹣2 =(n﹣1)?2 +2. 本题考查数列的通项公式和前 n 项和的求法,解题时要注意错位相减法的合理运用. .

n+1

n+1

17. (2014?凉山州模拟)设函数 f(x)=lnx,g(x)=

(1)当 a=2 时,求 h(x)=f(x)+g(x)的最小值; (2)若 h(x)=f(x)+g(x) ,在(0,+∞)上有两个不同的零点,求 a 的取值范围. 考点: 专题: 分析: 导数在最大值、最小值问题中的应用. 导数的综合应用. (1)把 a=2 代入函数解析式,求导后由导函数的零点对定义域分段,求出在各区间段内导函 数的符号,则原函数的单调性可求,最小值可求; (2)把 f(x) ,g(x)的解析式代入函数 h(x)=f(x)+g(x) ,利用导数求出函数 h(x) 在定义域内的最小值,由最小值小于 0 求得实数 a 的取值范围.
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解答:

解: (1)a=2 时,g(x)= ,∴ h(x)=lnx+

(x>0) ,





当 0<x<2 时,h′ (x)<0, 当 x>2,h′ (x)>0, ∴ h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,
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www.jyeoo.com ∴ x=2 时,h(x)取得最小值 h(2)=ln2+1; (2)h(x)=f(x)+g(x)= ,





当 0<x<a 时,h′ (x)<0, 当 x>a 时,h′ (x)>0, h(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增, ∴ h(x)的最小值为 h(a) , ∴ 要使 h(x)在(0,+∞)上有两个不同的零点,则只需 h(a)<0, ∴ lna+1<0,即 lna<﹣1, ∴ .

∴ a 的取值范围是(0, ) . 点评: 本题考查利用导数求函数的最值,考查函数零点个数的判断,体现了数学转化思想方法,属中 高档题. ,

18.单调递增数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足

(1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{bn}满足 an+1+log3bn=log3an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 考点: 专题: 分析: 数列的求和;数列的函数特性;等比数列的通项公式. 计算题;等差数列与等比数列. (1)由 ,可求 a1,当 n≥2,

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,2Sn﹣1=

+n﹣1 两式相减可得,结合数

列{an}单调递增可得数列的项之间的递推公式,结合等差数列的通项公式即可求解 (2)由 an+1+log3bn=log3an,可求 bn,利用错位相减求和即可 解答: 解: (1)∵ ∴ n=1 时 ∴ a1=1 当 n≥2, ,2Sn﹣1= +n﹣1 ,

两式相减可得,2Sn﹣2Sn﹣1= 即2 ∴ ∵ 数列{an}单调递增 ∴ an>an﹣1 ∴ an﹣an﹣1=1 即数列{an}是以 1 为首项,以 1 为公差的等差数列 ∴ an=1+1×(n﹣1)=n (2)∵ an+1+log3bn=log3an,
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www.jyeoo.com ∴ n+1+log3bn=log3n 即 ∴ bn= ∴ = 两式相减可得, =

=

∴ Tn= 点评: 本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求解通项公式, 数列的错位相减求和方法的应用 是求和的重点,要注意掌握
*

19. (2010?杨浦区一模)已知数列 an 的前 n 项和 Sn 满足条件 2Sn=3(an﹣1) ,其中 n∈N . (1)求证:数列 an 成等比数列; (2)设数列 bn 满足 bn=log3an.若 ,求数列 tn 的前 n 项和.

考点: 专题: 分析:

数列递推式;数列的求和;等比数列的性质. 计算题;转化思想.

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(1)直接利用 an=Sn﹣Sn﹣1 (n≥2)和题中条件求出 an 和 an﹣1 的关系即可证得数列{an}为等比数 列; (2)先由(1)的结论求出数列{bn}的通项公式,再代入求出数列{tn}的通项公式,最后用裂项相 消法求数列{tn}的前 n 项和即可. 解: (1)由题得 (2 分)

解答:

所以 an=3an﹣1 故有 又

(4 分)

,解得 a1=3,

所以数列 an 成等比数列(6 分) n n (2)由(1)得 an=3 ,则 bn=log3an=log33 =n(8 分) 故有 所以 = = 点评: (16 分) (10 分) (14 分)

本题主要考查数列递推关系式的应用以及数列求和的裂项相消法求和.数列求和的常用方法有: 公式法,错位相减法,裂项相消法,分组求和等.
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www.jyeoo.com 20.设数列{an}为单调递增的等差数列,a1=1,且 a3,a6,a12 依次成等比数列. (Ⅰ )求数列{an}的通项公式 an; (Ⅱ )若 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn;

(Ⅲ )若

,求证:



考点: 专题: 分析:

解答:

等差数列与等比数列的综合;数列的求和;数列与不等式的综合. 综合题;等差数列与等比数列. (Ⅰ )利用 a3,a6,a12 依次成等比数列,可求数列的公差,从而可得数列{an}的通项公式 an; (Ⅱ )确定数列的通项,利用累加法,可求数列{bn}的前 n 项和 Sn; (Ⅲ )确定数列的通项,利用放缩、累加,即可证得结论. (Ⅰ )解:设等差数列的公差为 d,则
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∵ a3,a6,a12 依次成等比数列 ∴ ∴ 1+5d=2(1+2d) ∴ d=1,∴ an=n.…. (3 分) (Ⅱ )解: ,

. 则 .… (7 分) (Ⅲ )证明: 而 . 所以 ,

.…. (13 分) 点评: 本题考查等差数列与等比数列的综合,考查数列的通项与求和,考查不等式的证明,属于中 档题.

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www.jyeoo.com 21. (2014?虹口区一模)数列{an}是递增的等差数列,且 a1+a6=﹣6,a3?a4=8. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn 的最小值; (3)求数列{|an|}的前 n 项和 Tn. 考点: 专题: 分析: 数列的求和. 综合题;等差数列与等比数列.
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(1)依题意,解方程组 列{an}的通项公式;

?

可得 a3=﹣4,a4=﹣2,从而可求数

(2)由(1)知,an=2n﹣10,于是可得 Sn=



,继而可得 Sn 的最小值;

(3)由 an≥0 解得 n≥5,分 1≤n≤5 与 n≥6 讨论,可分别求得数列{|an|}的前 n 项和 Tn. 解答: 解: (1)由
2

得:



∴ a3、a4 是方程 x +6x+8=0 的二个根, ∴ x1=﹣2,x2=﹣4; ∵ 等差数列{an}是递增数列, ∴ a3=﹣4,a4=﹣2, ∴ 公差 d=2,a1=﹣8. ∴ an=2n﹣10; (2)∵ Sn= =n ﹣9n=
2





∴ (Sn)min=S4=S5=﹣20; (3)由 an≥0 得 2n﹣10≥0,解得 n≥5,此数列前四项为负的,第五项为 0,从第六项开始为 正的. 当 1≤n≤5 且 n∈N 时, Tn=|a1|+|a2|+…+|an| =﹣(a1+a2+…+an) =﹣Sn 2 =﹣n +9n; * 当 n≥6 且 n∈N 时, Tn=|a1|+|a2|+…+|a5|+|a6|+…+|an| =﹣(a1+a2+…+a5)+(a6+…+an) =Sn﹣2S5 2 =n ﹣9n﹣2(25﹣45) 2 =n ﹣9n+40. ∴ Tn= 点评: .
*

本题考查数列的求和, 着重考查等差数列的求和, 突出方程思想与分类讨论思想的综合运用, 属于中档题.

22. (2013?绵阳一模)已知函数 f(x)=lnx﹣ax+1 在 x=2 处的切线斜率为﹣ .

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www.jyeoo.com (I)求实数 a 的值及函数 f(x)的单调区间; (II)设 g(x)=kx+1,对?x∈(0,+∞) ,f(x)≤g(x)恒成立,求实数 k 的取值范围; (III)设 bn= ,证明:b1+b2+…+bn<1+ln2(n∈N ,n≥2) .
*

考点: 专题: 分析:

导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点 切线方程. 综合题;导数的综合应用.
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(Ⅰ )求导数,利用函数 f(x)=lnx﹣ax+1 在 x=2 处的切线斜率为﹣ ,可确定 a 的值,利用 导数的正负,可得函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ )?x∈(0,+∞) ,f (x)≤g(x) ,即 lnx﹣(k+1)x≤0 恒成立,构造函数 h(x)=lnx﹣(k+1) x,利用 h(x)max≤0,即可求得 k 的取值范围; (Ⅲ )先证明当 n≥2 时,有 ln(n+1)<n,再利用放缩法,裂项法,即可证得结论.

解答:

(Ⅰ )解:由已知:

(x>0) ,

∵ 函数 f(x)=lnx﹣ax+1 在 x=2 处的切线斜率为﹣ . ∴ ∴ ,∴ a=1. ,

当 x∈(0,1)时,f′ (x)>0,f (x)为增函数,当 x∈(1,+∞)时,f′ (x)<0,f (x) 为减函数, ∴ f (x)的单调递增区间为(0,1) ,单调递减区间为(1,+∞) . …(5 分) (Ⅱ )解:?x∈(0,+∞) ,f (x)≤g(x) ,即 lnx﹣(k+1)x≤0 恒成立, 设 h(x)=lnx﹣(k+1)x,有 .

① 当 k+1≤0,即 k≤﹣1 时,h′ (x)>0,此时 h(1)=ln1﹣(k+1)≥0 与 h(x)≤0 矛盾. ② 当 k+1>0,即 k>﹣1 时,令 h′ (x)=0,解得 ∴ 为减函数, ∴ h(x)max=h( )=ln ﹣1≤0, . ,h′ (x)>0,h(x)为增函数, , ,h′ (x)<0,h(x)

即 ln(k+1)≥﹣1,解得 k≥ 综合 k>﹣1,知 k≥ .

∴ 综上所述,k 的取值范围为[

,+∞) .…(10 分)

(Ⅲ )证明:由(Ⅰ )知 f (x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数, ∴ f (x)≤f (1)=0,∴ lnx≤x﹣1. 当 n=1 时,b1=ln(1+1)=ln2, 当 n≥2 时,有 ln(n+1)<n,

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www.jyeoo.com ∵ bn= < = < = ,

∴ b1+b2+…+bn<b1+( 点评:

)+…+(

)=ln2+(1﹣ )<1+ln2.…(14 分)

本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查恒成立问题,考查不等式的证明,考查学 生分析解决问题的能力,属于中档题.

23. (2012?黄冈模拟)已知函数 f(x)=ax+lnx(a∈R) . (1)若 a=1,求曲线 处切线的斜率;

(2)求函数 f(x)的单调增区间; x (3)设 g(x)=2 ,若对任意 x1∈(0,+∞) ,存在 x2∈[0,1],使 f(x1)<g(x2) ,求实数 a 的取值范围. 考点: 专题: 分析: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 计算题;导数的综合应用. (1)运用求导数法则,得 f'(x)=1+ ,从而得到曲线 ( )=3; (2)首先 f'(x)=a+ , (x>0) ,再根据 a 的正负讨论 f'(x)的取值,可得当 a≥0 时,函数 f(x)=ax+lnx 是(0,+∞)上的增函数;当 a<0 时,f(x)=ax+lnx 在(0,﹣ )上为增函 数,在(﹣ ,+∞)上为减函数. (3)由题意,得 f(x1)在(0,+∞)上的最大值小于 g(x2)在[0,1]上的最大值.由指数 函数单调性可得 g(x2)在[0,1]上的最大值为 g(1)=2,从而得到 f(x1)在(0,+∞)上 的最大值小于 2.再结合(2)中函数单调性的结论,列出不等式并解之,即可得到实数 a 的 取值范围为(﹣∞,﹣ 解答: ) .

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处切线的斜率 k=f'

解: (1)a=1 时,f(x)=x+lnx ∴ f'(x)=1+ ,可得 f'( )=3 ∴ 曲线 处切线的斜率 k=f'( )=3

(2)由题意,得 f'(x)=a+ , (x>0) ∴ 当 a≥0 时,f'(x)>0 在(0,+∞)上恒成立; 当 a<0 时,f'(x)=a+ 在(0,﹣ )上为正数,在(﹣ ,+∞)上为负数 由此可得:当 a≥0 时,函数 f(x)=ax+lnx 是(0,+∞)上的增函数; 当 a<0 时,f(x)=ax+lnx 在(0,﹣ )上为增函数,在(﹣ ,+∞)上为减函数 (3)由题意,得 f(x1)在(0,+∞)上的最大值小于 g(x2)在[0,1]上的最大值. x ∵ g(x)=2 ,[0,1]上是增函数 ∴ g(x2)在[0,1]上的最大值为 g(1)=2 即 f(x1)在(0,+∞)上的最大值小于 2
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www.jyeoo.com 当 a≥0 时,函数 f(x)=ax+lnx 是(0,+∞)上的增函数,f(x1)没有最大值; 当 a<0 时,f(x1)在(0,+∞)上的最大值为 f(﹣ )=﹣1+ln(﹣ )<2 解之得 a 点评: ,可得实数 a 的取值范围为(﹣∞,﹣ ) .

本题给出含有对数的基本初等函数,讨论函数的单调性并解决不等式恒成立的问题,着重考 查了利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义和含有参数不等式的讨论等知识,属于中 档题.

24. (2013?东城区二模)已知函数 (1)求 f(x)的单调区间;

(a>0) .

(2)如果 P(x0,y0)是曲线 y=f(x)上的点,且 x0∈(0,3) ,若以 P(x0,y0)为切点的切线的斜率 立,求实数 a 的最小值. 考点: 专题: 分析: 解答: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 导数的概念及应用. (1)先求导数,然后解导数不等式,可求函数的单调区间. (2)求出导数得到切线的斜率,利用斜率关系求实数 a 的最小值.
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恒成

解: (Ⅰ )

,定义域为(0,+∞) ,





因为 a>0,由 f'(x)>0,得 x∈(a,+∞) ,由 f'(x)<0,得 x∈(0,a) , 所以 f(x)的单调递增区间为(a,+∞) ,单调递减区间为(0,a) . (Ⅱ )由题意,以 P(x0,y0)为切点的切线的斜率 k 满足 (0<x0<3) ,

所以 又当 x0>0 时, 所以 a 的最小值为 . 点评:

对 0<x0<3 恒成立. ,

本题考查导数与单调性的关系,以及利用导数求切线斜率.熟练掌握各种导数的运算是解决导数 问题的关键.

25. (2013?眉山二模)已知数列{an}为等差数列,{an}的前 n 项和为 Sn,a1+a3= ,S5=5 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 anbn= ,Tn=b1b2+b2b3+b3b4+…+bnbn+1,求 Tn.

考点:

数列的求和;等差数列的性质.

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www.jyeoo.com 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用等差数列的通项公式即可得到 a1 与 d,进而得到 an; (2)利用(1)及 anbn= 即可得到 bn,再利用裂项求和即可得到 Tn. 解答: 解: (1)由 ,S5=5,得

解得 ∴ (2)∵ ∴ .



,∴

, , +…+ = =

∴ Tn=b1b2+b2b3+b3b4+…+bnbn+1= . 点评:

熟练掌握等差数列的通项公式及其裂项求和是解题的关键. +2an+1,n∈N+.

26.各项均为正数的数列{an}前 n 项和为 Sn,且 4Sn=

(1)求数列{an}的通项公式; (2)已知公比为 q(q∈N+)的等比数列{bn}满足 b1=a1,且存在 m∈N+满足 bm=am,bm+1=am+3,求数列{bn}的通项 公式. 考点: 专题: 分析: 数列递推式;等比数列的通项公式;等比关系的确定. 等差数列与等比数列. (1)利用数列递推式,再写一式,两式相减,结合数列{an}各项均为正数,可得数列{an}为首 项为 1,公差为 2 的等差数列,从而可求数列{an}的通项公式; (2)利用 bm=am,bm+1=am+3,求出公比,即可求得数列{bn}的通项公式.
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解答:

解: (1)∵ 4Sn=

+2an+1,∴ 4Sn+1= ﹣

+2an+1+1,

两式相减得:4an+1=

+2an+1﹣2an,…(2 分)

即(an+1+an) (an+1﹣an﹣2)=0 ∵ 数列{an}各项均为正数 ∴ an+1﹣an=2,…(4 分) ∴ 数列{an}为首项为 1,公差为 2 的等差数列, 故 an=2n﹣1…(6 分) (2) ,依题意得 ,相除得 =1+ ∈N+,…(8 分)

∴ 2m﹣1=1 或 2m﹣1=3,代入上式得 q=3 或 q=7,…(10 分) ∴ 或 .…(12 分)

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www.jyeoo.com 点评: 本题考查数列递推式,考查数列的通项,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 27.已知等差数列{an}和公比为 q(q>1)的等比数列{bn}满足:a1=b1=1,a2=b2,a5=b3. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)求数列{anbn}的前 n 项和为 Sn. 考点: 专题: 分析: 解答: 解: (1)设等差数列的公差为 d,根据题意,得 ∴ d=2,q=3 或 d=0,q=1(舍去) ∴
2

等差数列与等比数列的综合. 等差数列与等比数列. (1)利用等差数列、等比数列的通项公式,列出方程组,即可求出向量的通项; (2)利用错位相减法,即可求数列{anbn}的前 n 项和为 Sn.
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n﹣1

点评:

(2)Sn=1×1+3×3+5×3 +…+(2n﹣1)?3 ① 2 n﹣1 n ∴ 3Sn=1×3+3×3 +…+(2n﹣3)?3 +(2n﹣1)?3 ② 2 n﹣1 n ① ﹣② :﹣2Sn=1+2×(3+3 +…+3 )﹣(2n﹣1)?3 ② n ∴ Sn=(n﹣1)?3 +1. 本题考查等差数列与等比数列的基本关系式,考查错位相减法的应用,考查计算能力,属于中 档题.

28. (2013?广元二模)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=10,an+1=9Sn+10. ① 求证:数列{lgan}是等差数列; ② 设 bn= 求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

考点: 专题: 分析:

数列的求和;等差关系的确定. 等差数列与等比数列.

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① 利用 an 与 Sn 的关系即可得到 an,从而 lga1=lg10=1 为首项,1 为公差的等差数列; ② 由① 可得: ,lgan+1=n+1, =3

=1,即可得到数列{lgan}是以

,利用裂项求和

解答:

即可得到 Tn. 解:① 当 n=1 时,a2=9S1+10=9×10+10=100; 当 n≥2 时,由 an+1=9Sn+10,an=9Sn﹣1+10, 可得 an+1﹣an=9an,即 an+1=10an,此式对于 n=1 时也成立. ∴ 数列{an}是以 10 为首项,10 为公比的等比数列, ∴ .



=1,

∴ 数列{lgan}是以 lga1=lg10=1,为首项,1 为公差的等差数列;
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www.jyeoo.com ② 由① 可得: ∴ ∴ Tn= 点评: =3 ,lgan+1=n+1, , = = .

熟练掌握 an 与 Sn 的关系、等差数列与等比数列的定义及其通项公式、裂项求和等是解题的关 键.

29. (2013?凉山州二模)已知等差数列{an},等比数列{bn}均为递增数列,且 a1=1,b1=2,b2=2a2,b3=a3+a5. (1)求{an},{bn}的通项公式; (2)记 Cn=an?bn,数列{an}的前 n 项和为 Sn,求证 Sn<2Cn. 考点: 专题: 分析: 数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 等差数列与等比数列. (1)利用等差数列和等比数列的通项公式即可得到 即可; (2)由(1)可知: ,而 ,即证明 n+1<2 解答:
n+2

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,及 q>0,d>0,解出

,要证 Sn<2Cn,只要证明 ,利用二项式定理证明即可.

解: (1)设等差数列{an}的公差为 d>0,等比数列{bn}公比为 q>0. 由题意 得 ,及 q>0,d>0,

解得

. . ,而 ,即证明 n+1<2
n+2

∴ an=1+(n﹣1)×1=n, (2)证明:由(1)可知: 要证 Sn<2Cn,只要证明 下面利用二项式定理证明: ∵ 2
n+2

, ,

=(1+1)
n+2

n+2

=1+

+

+…=1+n+2+

+…>n+1.

点评:

∴ n+1<2 , 即原命题成立. 熟练等差数列和等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、分析法、 二项式定理等是解题的关键.
*

30.等差数列{an}的各项均为正数,a1=1,前 n 项和为 Sn,{bn}为等比数列,b1=1,且 b2S2=6,b3S3=24,n∈N . (Ⅰ )求数列{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ )令 ① 求 Tn; ,Tn=C1+C2+C3+…+Cn,求 Tn.

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② 记

www.jyeoo.com ,若 恒成立,求 k 的最大值.

考点: 专题: 分析:

数列与不等式的综合;数列的求和. 综合题;等差数列与等比数列.

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(Ⅰ )设{an}的公差为 d(d>0) ,{bn}的公比为 q,则利用 b2S2=6,b3S3=24,可建立方程组,从而 可求数列的公差与公比,从而可得数列{an}和{bn}的通项公式; (II)由(I)知 ,



是一个典型的错位相减法模型,

. ② 记

是一个典型的裂项求和法模型,由此可得结论;

,确定 在(k∈N )上单调递减,即可求 k
*

的最大值. 解答: 解: (Ⅰ )设{an}的公差为 d(d>0) ,{bn}的公比为 q,则 ,

依题意有

,∴
*



(舍去)

解得

,故 an=n,

(n∈N ) ,

(II)由(I)知



是一个典型的错位相减法模型,

.

是一个典型的裂项求和法模型,

=

. ② 记 ∵ ∴ , 在(k∈N )上单调递减,
*



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www.jyeoo.com ∴ ,

点评:

∴ k≤9, ∴ (k)max=9. 本题考查数列的通项与求和,考查等差数列与等比数列的综合,考查函数的单调性,正确求通项, 用合适的方法求数列的和是关键.

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