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18年高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第2课时余弦定理练习新人教A版必修5

1.1 第 2 课时 余弦定理 A 级 基础巩固 一、选择题 1.(2016·天津卷)在△ABC 中,若 AB= 13,BC=3,∠C=120°,则 AC=( A.1 B.2 C.3 D.4 解析:由余弦定理得 13=9+AC +3AC? AC=1,选 A. 答案:A 2.在△ABC 中,已知 acos A+bcos B=ccos C,则△ABC 是( A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 B.直角三角形 D.等边三角形 ) 2 ) 解析:由 acos A+bcos B=ccos C,得 b2+c2-a2 a2+c2-b2 b2+a2-c2 a· +b· =c· , 2bc 2ac 2ab 化简得 a -2a b +b =c ,即(a -b ) =c . 所以 a -b =c 或 a -b =-c . 故△ABC 是直角三角形. 答案:B 3.在△ABC 中,有下列结论: ①若 a >b +c ,则△ABC 为钝角三角形; ②若 a =b +c +bc,则∠A 为 60°; ③若 a +b >c ,则△ABC 为锐角三角形; ④若 A∶B∶C=1∶2∶3,a∶b∶c=1∶2∶3. 其中正确的个数为( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 4 2 2 2 4 A.1 B.2 C.3 D.4 解析:①cos A= b2+c2-a2 <0,所以 A 为钝角,正确; 2bc b2+c2-a2 1 ②cos A= =- ,所以 A=120°,错误; 2bc 2 ③cos C= a2+b2-c2 >0,所以 C 为锐角,但 A 或 B 不一定为锐角,错误; 2ab ④A=30°,B=60°,C=90°,a∶b∶c=1∶ 3∶2,错误. 答案:A π 1 4.在△ABC 中,B= ,BC 边上的高等于 BC,则 cos A=( 4 3 ) 1 A. 3 10 10 10 10 B. 10 10 C.- 3 10 D.- 10 2 2 解析:设 BC 边上的高线为 AD,则 BC=3AD,所以 AC= AD +DC = 5AD,AB= 2AD. 由余弦定理, AB2+AC2-BC2 2AD2+5AD2-9AD2 10 知 cos A= = =- ,故选 C. 2AB·AC 10 2× 2AD× 5AD 答案:C 5.在△ABC 中,若 2cos Bsin A=sin C,则△ABC 的形状一定是( A.等腰直角三角形 C.等腰三角形 B.直角三角形 D.等边三角形 ) 解析:因为 2cos Bsin A=sin C,所以 2× 所以 a=b,所以△ABC 为等腰三角形. 答案:C 二、填空题 a2+c2-b2 ·a=c, 2ac 6.在△ABC 中,若(a+c)(a-c)=b(b+c),则∠A=________. 解析:由(a+c)(a-c)=b(b+c)得 b +c -a =-bc, 1 所以 cos A=- ,A=120°. 2 答案:120° 1 7.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 b-c= a,2sin B=3sin 4 2 2 2 C,则 cos A 的值为________. 解析:由正弦定理得到边 b,c 的关系,代入余弦定理的变化求解即可. 3 由 2sin B=3sin C 及正弦定理得 2b=3c,即 b= c. 2 1 1 1 又 b=c= a,所以 c= a,即 a=2c.由余弦定理得 4 2 4 9 2 3 c +c2-4c2 - c2 4 b +c -a 4 1 cos A= = = 2 =- . 2bc 3 2 3c 4 2× c 2 2 2 2 1 答案:- 4 8.三角形的一边长为 14,这条边所对的角为 60°,另两边长之比为 8∶5,则这个三 2 角形的面积是________. 64x +25x -14 解析:设另两边长分别为 8x,5x(x>0),则 cos 60°= ,解得 x=2 或 2 80x 2 2 2 x=-2(舍去). 故另两边长分别是 16,10.所以三角形的面积 S= ×16×10×sin 60°=40 3. 答案:40 3 三、解答题 9.在△ABC 中,已知 sin B-sin C-sin A= 3sin Asin C,求 B 的度数. 解:因为 sin B-sin C-sin A= 3sin Asin C, 由正弦定理得:b -c -a = 3ac, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 c2+a2-b2 3 由余弦定理得:cos B= =- , 2ca 2 又 0°<B<180°,所以 B=150°. 10.在△ABC 中,BC=a,AC=b,且 a,b 是方程 x -2 3x+2=0 的两根,2cos(A+B) =1 (1)求角 C 的度数; (2)求 AB 的长. 解:(1)因为 cos C=cos[π -(A+B)]= 1 -cos(A+B)=- ,且 C∈(0,π ), 2 2π 所以 C= . 3 (2)因为 a,b 是方程 x -2 3x+2=0 的两根, 所以? 2 2 ?a+b=2 3, ?ab=2. 2 2 2 2 所以 AB =b +a -2abcos 120°=(a+b) -ab=10, 所以 AB= 10. B 级 能力提升 1.在△ABC 中,sin A.正三角形 C.等腰直角三角形 2 A c-b = ,则△ABC 的形状为( 2 2c B.直角三角形 D.等腰三角形 ) 3 解析:因为 sin 2 A 1-cos A c-b = = , 2 2 2c 所以 cos A= = 2 2 2 b b2+c2-a2 , c 2bc 所以 a +b =c ,故△ABC 为直角三角形. 答案:B 2. 在△ABC 中, AB=2, AC= 6, BC=1+ 3, AD 为边 B