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等比数列教案9

研卷知古今;藏书教子孙。

课 题:等比数列第一课时 教学目的:
1.掌握等比数列的定义. 2.理解等比数列的通项公式及推导 教学重点:等比数列的定义及通项公式 教学难点:灵活应用定义式及通项公式解决相关问题 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 内容分析: 在等比数列也是一类重要的特殊数列,在讲等比数列的概念和通项公式时要突出它与指数函数的 联系这不仅可加深对等比数列的认识,而且可以对处理某类问题的指数函数方法和等比数列方法进行 比较,从而有利于对这些方法的掌握从全面提高学生的素质考虑,本节课把等比数列定义及通项公式 的探索、发现、创新等思维过程的暴露,知识形成过程的揭示作为教学重点,同时,由于“思维过程 的暴露,知识形成过程的揭示”不像将知识点和盘托出那么容易,而是要求教师精心设计问题层次, 由浅入深,循序渐进,不断地激发学生思维的积极性和创造性,使学生自行发现知识.“创造”知识.这 是对教师,也是对学生高层次的要求,因而是教学的难点之一. 教学过程:
一、复习引入:
首先回忆一下前几节课所学主要内容:
1.等差数列的定义: an - an?1 =d ,(n≥2,n∈N ? )
2.等差数列的通项公式:
an ? a1 ? (n ?1)d ( an ? am ? (n ? m)d 或 an =pn+q (p、q 是常数))

3.几种计算公差

d

的方法:d= an

- an?1 =

an n

? a1 ?1

=

an n

? am ?m

4.等差中项: A ? a ? b ? a,b, 成等差数列 2

5.等差数列的性质: m+n=p+q ? am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ∈N )

6.数列的前

n

项和 S n : Sn

?

n(a1 ? an ) 2

, Sn

?

na1

?

n(n ?1)d 2

Sn

?

d n2 2

? (a1

?

d )n ,当 2

d≠0,是一个常数项为零的二次式

7. S n 是等差数列前 n 项和,则 Sk , S 2k ? Sk , S3k ? S2k 仍成等差数列

前面我们已经研究了一类特殊的数列—等差数列,今天我们一起研究第二类新的数列——等比数 列

二、讲解新课: 一.定义

研卷知古今;藏书教子孙。

等比数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这

个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母 q 表示(q≠0),即: an =q a n ?1

(q≠0) 注:1)每一项都不为 0,
2)必须从第 2 项起。例如:2、4、8、16、32、…、为等比数列;2、3、6、12、24、 … 、不 是等比数列。
3)存在既是等差又是等比的数列——常数列,反之,常数列一定是等差数列,但未必是等比数 列。如:0、0、0、 …

4){an}为G.P

?

an+1 an

?

q(q为常数)

? a2 ? a3 ? a4 ? a1 a2 a3

? an?1 ? an (n ? 2) an a n-1

? an ? an?1 q?n ? 2?

? ? ? an2 ? an?1 an+1 n ? 2

二.通项公式:迭乘法 ? an ? a1 qn?1

an ? a1

a2 a1

a3 a2

a4 a3

an an?1

?

a1

q n ?1

? a1 qn q

注:函数角度:点(n,an)在函数 y ? a1 ? qx 上,类似于指数函数 q

方程角度: an , a1, q, n 这四个量,知三求一。

思考:
由一个等比数列?an? 中的任意两项,是否可以唯一确定它的通项公式?
如:a2 ? 2, a4 ? 8,则由a4 ? a1 q3, a2 ? a1 q得:q ? ?2, 不唯一确定
a2 ? 2, a5 ? 8,由a5 ? a1 q4, a2 ? a1 q得,q ? 2, 唯一确定
答案:不一定。当给出的为一个奇数项和一个偶数项时可以唯一确定。

研卷知古今;藏书教子孙。
三.等比数列?an? 的单调性——与首项和公比都有关
? ? an?1 ? an ? a1qn ? a1qn?1 q ?1
?1? a1 ? 0, q ? 1,?an?为递增数列, a1 ? 0, 0 ? q ? 1,?an?为递减数列.
?2? a1 ? 0, 0 ? q ? 1,?an?为递增数列, a1 ? 0, q ? 1,?an?为递减数列.
?3?q ?1,?an?为常数列.
?4? q ? 0,摆动数列
(所有奇数项符号相同,偶数项符号也相同)
四 等比中项 1.定义:若 a,G,b 成等比数列,则 G 是 a,b 的等比中项.
2.公式: G ? b aG 即: G2 ? ab,G ? ? ab
注:1)只有同号的两项才有等比中项,而且有两个. 2)在一个等比数列中,从第二项起,每一项都是它前一项与后一项的等比中项
五 课堂练习:
1.已知数列?an?为等比数列:
(1)若a5 ? 4, a7 ? 6, 求a12. (2)若a4 ? a2 ? 24, a2 ? a3 ? 6, an ? 125, 求n.
2.课本: P124 1,2,3,4,5
六 课后小结: 等比数列的定义
通项公式: an ? a1 qn?1
等比中项: G ? ? ab
作业:
P125 习题 3.4 1,7,8,9