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江西省南昌市三校(南昌一中南昌十中南铁一中)2017届高三12月联考数学(文)试题


南昌市三校(南昌一中、南昌十中、南铁一中)高三第三次联考试卷 数学(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每小题只有一个选项符合题意,

请将正确答案填入答题卷中。)
1.已知复数 z 满足(z+1) ·i =1-i, 则 z=( A. -2+i B. 2+i C. -2-i ) D. 2-i

2.下列命题中,真命题是() A..存在 x ? R, e x ? 0 B. a ? b ? 0 的充要条件是

a ? ?1 b

C.任意 x ? R, 2x ? x2 D. a ? 1, b ? 1 是 ab ? 1的充分条件
3.在各项都为正数的等差数列{an}中,若 a1+a2+?+a10=30,则 a5·a6 的最大值等于( A .3 4.设 m= B.6 C.9 D.36 ) )

6 ? 5 ,n= 7 ? 6 , p ? 8 ? 7 , 则 m, n, p 的大小顺序为(
B. p>n>m C. n>m>p D. m>n>p
)

A. m>p>n

5.在△ABC 中,有如下命题,其中正确的是(

→ → → → → → → → → → ①AB-AC=BC;②AB+BC+CA=0;③若(AB+AC)· (AB-AC)=0,则△ABC 为等腰三角形;④若 → → AB· BC>0,则△ABC 为锐角三角形. A.①②B.①④C.②③D.②③④ 6.“-3<m<5”是“方程 A.充分不必要条件 C.充要条件 x2 y2 + =1 表示椭圆”的( 5-m m+3 )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

7.一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为(

·1·

A.21+ 3B.18+ 3C.21

D.18

π π 8.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+m 的最大值为 4,最小值为 0.两个对称轴间最短距离为 ,直线 x= 是其图像 2 6 的一条对称轴,则符合条件的解析式为( π A.y=4sin(2x+ ) 6 π C.y=-2sin(x+ ) 3 ) π B.y=-2sin(2x+ )+2 6 π D.y=2sin(2x+ )+2 3

9.已知 a,b,c 为三条不同的直线,且 a?平面 M,b?平面 N,M∩N=c.①若 a 与 b 是异面直线,则 c 至少与 a, b 中的一条相交; ②若 a 不垂直于 c, 则 a 与 b 一定不垂直; ③若 a∥b, 则必有 a∥c; ④若 a⊥b, a⊥c,则必有 M⊥N.其中正确命题的个数是( A .0 B .1 C.2 ) D .3

10.如果函数 y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:

1? ①函数 y=f(x)在区间? ?-3,-2?内单调递增; 1 ? ②函数 y=f(x)在区间? ?-2,3?内单调递减; ③函数 y=f(x)在区间(4,5)内单调递增; ④当 x=2 时,函数 y=f(x)有极小值; 1 ⑤当 x=- 时,函数 y=f(x)有极大值. 2 则上述判断中正确的是( )
·2·

A.①②
2

B.②③

C.③④⑤

D.③ )

y → → 11.已知双曲线 x2- =1 的左顶点为 A1, 右焦点为 F2, P 为双曲线右支上一点, 则PA1· PF2的最小值为( 3 A.-2 81 B.- C.1 16 D.0

x2 y2 12.已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点,若 AB 的中点坐 a b 标为(1,-1),则 E 的方程为( A. C. x2 y2 + =1 45 36 ) x2 y2 B. + =1 36 27 D. x2 y2 + =1 18 9

x2 y2 + =1 27 18

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,请将正确答案填入答题卷中。)
y≤x, ? ? 13.若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤4, ? ?y≥k, 且 z=2x+y 的最小值为-6,则 k=______

14.已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4 相交于 A, B 两点, 且△ABC 为等边三角形, 则实数 a=________. 15.已知数列{an}的通项公式为 an=log2 小值=________ 16. 曲线 f ( x) ? n+1 (n∈N+),设其前 n 项和为 Sn,则使 Sn<-5 成立的自然数 n 最 n+2

f ?(1) x 1 e ? f (0) x ? x2 在点(1,f(1))处的切线方程为 e 2

三、解答题(本大题 6 个小题,共 70 分,要求在答题卷中写出解答过程) 17. (本题 10 分) 已知: A、 B、 C 是 ?ABC 的内角,a, b, c 分别是其对边长, 向量 m ?

? 3, cos A ?1?,

n ? ?sin A,?1? , m ? n .
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2, cos B ?

3 , 求 b 的长. 3

18. (本题 12 分)已知等比数列{an}满足 an+1+an=9· 2n 1,n∈N+.


(1)求数列{an}的通项公式;
·3·

(2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若不等式 Sn>kan-2 对一切 n∈N+恒成立,求实数 k 的取值范围.

1? 19. (本题 12 分)设函数 f(x)=? ?1-x ?(x>0). (1). 写出函数的单调区间和极值。 1 1 (2). 当 0<a<b,且 f(a)=f(b)时,求 + 的值; a b

20. (本题 12 分)如图所示,在四棱锥 S-ABCD 中,AD∥BC,AD⊥AB,CD⊥平面 SAD,SA=AD=2, AB=1,SB= 5,SD=2 2,M,N 分别为 AB,SC 的中点.

(1)证明:AB∥CD; (2)证明:平面 SMC⊥平面 SCD.

x2 y2 3 21. (本题 12 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,以原 a b 2 点为圆心,椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x-y+2=0 相切.

·4·

(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P(0,1),Q(0,2).设 M,N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称的不同两点,直线 PM 与 QN 相交于点 T.求证:点 T 在椭圆 C 上.

22. (本题 12 分)已知函数 f(x)=ax3+bx2-3x 在 x=± 1 处取得极值. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若过点 A(1,m)(m≠-2),可作曲线 y=f(x)的三条切线,求实数 m 的取值范围.

·5·

南昌市三校(南昌一中。南昌十中。南铁一中)高三第三次联考 数学答案(文科) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每小题只有一个选项符合题意,请将正确答 案填入答题卷中。) 1. C
7. A

2. D
8. B

3. C 4. D 5.C 6. B
9. C 10. D 11. A 12.D

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,请将正确答案填入答题卷中。) 13.k=-214. a=4± 15 15. 63 16.

三、解答题(本大题 6 个小题,共 70 分,要求在答题卷中写出解答过程)

17.(本题 10 分) 解:(Ⅰ)? m ? n

?m ? n ?

? 3, cos A ? 1?? ?sin A,?1? ?

3 sin A ? ?cos A ? 1?? ?? 1? ? 0

? 3 sin A ? cos A ? 1 ??4 分

?? 1 ? ? sin? A ? ? ? ??6 分 6? 2 ?
∵ 0 ? A ? ? ,? ?

?
6

? A?

?
6

?

5? ? ? ,? A ? ? , ??7 分 6 6 6

?A?

?
3

.??8 分

(Ⅱ)在 ?ABC 中, A ?

?
3

, a ? 2 , cos B ?

3 3

? sin B ? 1 ? cos2 B ? 1 ?
由正弦定理知:

1 6 ? ??9 分 3 3

a b ? , ??10 分 sin A sin B

?b ?

a sin B =? sin A

2?

6 3 ? 4 2 .? b ? 4 2 ??12 分 3 3 3 2

18.解析:(1)设等比数列{an}的公比为 q, ∵an+1+an=9· 2n 1,n∈N+,∴a2+a1=9,a3+a2=18,


·6·

∴q=

a3+a2 18 = =2,∴2a1+a1=9,∴a1=3. a2+a1 9


∴an=3· 2n 1,n∈N+................(5 分) (2)由(1)知 Sn= a1?1-qn? 3?1-2n? = =3(2n-1), 1- q 1- 2


∴不等式化为 3(2n-1)>k· 3· 2n 1-2, 即 k<2- 1 - 对一切 n∈N+恒成立. 3· 2n 1 1 - ,易知 f(n)随 n 的增大而增大, 3· 2n 1

令 f(n)=2-

1 5 5 ∴f(n)min=f(1)=2- = ,∴k< . 3 3 3 5 ∴实数 k 的取值范围为(-∞, ).…………..(12 分) 3 19. (本题 12 分) 解析:(1) f(x)在(0,1]上是减函数,而在(1,+∞)上是增函数, 当 x=1 时有极小值 0……………….(6 分) (2)由 f(x)在(0,1]上是减函数,而在(1,+∞)上是增函数,由 0<a<b 且 f(a)=f(b), 1 1 1 1 取 0<a<1<b,且 -1=1- ,∴ + =2…….(12 分) a b a b

20. (本题 12 分)

证明:(1)由 SA2+AD2=22+22=8=SD2,SA2+AB2=22+12=5=SB2,得 SA⊥AB, 又 AB⊥AD,AD∩SA=A,所以 AB⊥平面 SAD. 又 CD⊥平面 SAD,所以 AB∥CD. (2)取 SD 的中点 E,连接 AE,NE,如图所示.

·7·

1 易知 NE= CD=AM,NE∥CD∥AM,所以四边形 AMNE 为平行四边形. 2 所以 MN∥AE. 又因为 CD⊥平面 SAD.AE∈平面 SAD 所以 CD⊥AE. 由(1)知△SAD 为等腰直角三角形. 所以 AE⊥SD. 又 SD∩CD=D,所以 AE⊥平面 SCD. 因为 MN∥AE,所以 MN⊥平面 SCD. 又 MN∈平面 SMC,所以平面 SMC⊥平面 SCD.

21. (本题 12 分)
解析:(1)由题意知,b= c 3 因为离心率 e= = , a 2 b 所以 = a c 1 1 - ? ?2 = . a 2 2 = 2. 2

所以 a=2 2. x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1…………….5 分 8 2 (2)证明:由题意可设 M,N 的坐标分别为(x0,y0),(-x0,y0),则直线 PM 的方程为 y= ① 直线 QN 的方程为 y= y0-2 x+2.② - x0 3y0-4 x0 , y= , 2y0-3 2y0-3
·8·

y0-1 x+ 1 , x0

法一:联立①②解得 x=

3y0-4 x0 x2 y2 0 0 2 即 T( , ).由 + =1,可得 x0 =8-4y2 0. 8 2 2y0-3 2y0-3
2 2 1 x0 2 1 3y0-4 2 x0+4?3y0-4? 因为 ( )+ ( )= 2 8 2 y 0- 3 2 2y0-3 8?2y0-3? 2 8-4y2 0+4?3y0-4? 8?2y0-3?2

= =

32y2 8?2y0-3?2 0-96y0+72 = =1, 2 8?2y0-3? 8?2y0-3?2

所以点 T 的坐标满足椭圆 C 的方程,即点 T 在椭圆 C 上.…………..12 分 法二:设 T(x,y),联立①②解得 x0= 3 y- 4 x ,y = . 2 y- 3 0 2 y- 3

x2 y2 1 x 2 1 3 y- 4 2 0 0 因为 + =1,所以 ( )+ ( ) =1. 8 2 8 2 y- 3 2 2 y- 3 x2 ?3y-4? 整理得 + =(2y-3)2, 8 2 x2 9 y2 x2 y 2 所以 + -12y+8=4y2-12y+9,即 + =1. 8 2 8 2 所以点 T 坐标满足椭圆 C 的方程,即点 T 在椭圆 C 上. 22. (本题 12 分)
? ?3a+2b-3=0, 解析:(1)f′(x)=3ax2+2bx-3,依题意,f′(1)=f′(-1)=0,即? 解得 a=1,b= ?3a-2b-3=0, ?
2

0. ∴f(x)=x3-3x……………..4 分 (2)由(1)知 f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), ∵曲线方程为 y=x3-3x, ∴点 A(1,m)(m≠-2)不在曲线上. 设切点为 M(x0,y0),则点 M 的坐标满足 y0=x3 0-3x0. ∵f′(x0)=3(x2 0-1), x3 0-3x0-m ∴切线的斜率为 3(x2 - 1) = ,…………8 分 0 x0-1
2 整理得 2x3 0-3x0+m+3=0.

∵过点 A(1,m)可作曲线的三条切线,
2 ∴关于 x0 的方程 2x3 0-3x0+m+3=0 有三个实根. 2 2 设 g(x0)=2x3 0-3x0+m+3,则 g′(x0)=6x0-6x0,

由 g′(x0)=0,得 x0=0 或 1. ∴g(x0)在(-∞,0)和(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减.
·9·

2 ∴函数 g(x0)=2x3 0-3x0+m+3 的极值点为 x0=0 和 1.

?g?0?>0, ? 2 ∴关于 x0 的方程 2x3 解得-3<m<-2. 0-3x0+m+3=0 有三个实根的充要条件是? ?g?1?<0, ?

故所求实数 m 的取值范围是(-3,-2).…………..12 分

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·10·


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