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【轻松突破120分】2014高考数学精炼18 理


2014 高考数学(理)轻松突破 120 分 18
【选题明细表】 知识点、方法 给角求值问题 给值求角问题 给值求值问题 综合问题 一、选择题 1.sin 163°sin 223°+sin 253°sin 313°等于( B (A)(B) 题号 1、5 6 2、3、7 4、8、9、10、11

)

(C)-

(D)

解析:sin 163°sin 223°+sin 253°sin 313°= sin(180°-17°)sin(180°+43°)+sin(270°-17°)sin(270° +43°)=-sin 17°sin 43°+cos 17°cos 43°= cos(17°+43°)=cos 60°= . 故选 B. 2.若点 P(cos α ,sin α )在直线 y=-2x 上,则 sin 2α +2cos 2α 等于( C (A)(B)-

)

(C)-2

(D)

解析:因为点 P 在 y=-2x 上, 所以 sin α =-2cos α , 2 所以 sin 2α +2cos 2α =2sin α cos α +2(2cos α -1) 2 2 =-4cos α +4cos α -2=-2.故选 C. 3.若α ∈ ,且 3cos 2α =sin ,则 sin 2α 的值为( D )

(A)

(B)-

(C)

(D)-

解析:cos 2α =sin
-1-

=sin

=2sin

cos

代入原式,得 6sin

cos

=sin

,

∵α ∈

,

∴cos

= ,

∴sin 2α =cos

=2cos

2

-1=- .

故选 D. 4.已知 tan α 和 tan (A)b=a+c (C)c=b+a (B)2b=a+c (D)c=ab 是方程 ax +bx+c=0 的两个根,则 a、b、c 的关系是(
2

C )

解析:依题意有

又 tan =tan

=

=

,

所以 1=

,

即 a+b=c.故选 C. 5.化简 等于( C )

-2-

(A)-2

(B)-

(C)-1

(D)1

解析: 故选 C. 6.定义运算

=

=

=-1.

=ad-bc.若 cos α = ,

=

,0<β <α < ,则β 等于(

D )

(A)

(B) (C) (D)

解析:依题意有 sin α cos β -cos α sin β =sin(α -β )=

,

又 0<β <α < ,

∴0<α -β < ,

故 cos(α -β )=

= ,

而 cos α = ,∴sin α =

,

于是 sin β =sin[α -(α -β )]= sin α cos(α -β )-cos α sin(α -β )= × - × = ,

故β = .故选 D. 二、填空题 7. 已知 sin α +cos α =, (α ∈[-π ,0)),则(sin α +cos α )tan α = .

解析:由 sin α +cos α =得 sin(α + )=,

-3-

∴sin(α + )=-1, ∵α ∈[-π ,0), ∴α + ∈ - π , ,

∴α + =- ,α =- .

此时 sin α =- ,cos α =- ,tan α =1,

∴(sin α +cos α )tan α =答案:-

.

8.方程 x +3ax+3a+1=0(a>2)的两根为 tan A、tan B,且 A、B∈ 解析:由题意知 tan A+tan B=-3a<-6, tan A·tan B=3a+1>7, ∴tan A<0,tan B<0, tan(A+B)= = =1,

2

,则 A+B=

.

∵A、B∈

,tan A<0,tan B<0,

∴A、B∈

,

∴A+B∈(-π ,0), ∴A+B=- .

答案:-

9.设函数 f(x)=sin x+cos x,f'(x)是 f(x)的导数,若 f(x)=2f'(x),则 解析:f'(x)=cos x-sin x, 由 f(x)=2f'(x)得

=

.

-4-

sin x+cos x=2cos x-2sin x, ∴cos x=3sin x, 于是 = =

=- .

答案:三、解答题 10.已知函数 f(x)=-1+2 sin xcos x+2cos x.
2

(1)求 f(x)的单调递减区间; (2)求 f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标; (3)若角α 、β 的终边不共线,且 f(α )=f(β ),求 tan (α +β )的值. 解:f(x)= sin 2x+cos 2x=2sin ,

(1)由 2kπ + ≤2x+ ≤2kπ + (k∈Z)

得 kπ + ≤x≤kπ + (k∈Z),

∴f(x)的单调递减区间为

(k∈Z)

(2)由 sin

=0 得 2x+ =kπ (k∈Z),

即 x= - (k∈Z),

∴f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标是 (3)由 f(α )=f(β )得 2sin =2sin ,

.

又∵角α 与β 的终边不共线,
-5-



+

=2kπ +π (k∈Z),

即α +β =kπ + (k∈Z),

∴tan(α +β )=

.
2

11.已知函数 f(x)=2cos -

sin x.

(1)求函数 f(x)的最小正周期和值域; (2)若α 为第二象限角,且 f = ,



的值.

解:(1)因为 f(x)=1+cos x-

sin x

=1+2cos

,

所以函数 f(x)的最小正周期为 2π ,值域为[-1,3]. (2)因为 f = ,所以 1+2cos α = ,

所以 cos α =- .

=

=

=

,

因为α 为第二象限角,所以 sin α =

.

原式=

=

=

.

-6-

-7-


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