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1.1.2正弦定理和余弦定理(第2课时)

备课教案 课题 课型 1.1.2 余弦定理 新授课 主备人 汇课地点 宋升贇 参与教师 汇课时间 何东亮、姚志远、 赵斌斌、孟文杰 高中数学办 公室 三维目标 (法制渗透) 1.知识与技能 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法, 并会运用余弦定理 解决两类基本的解三角形问题。 2.过程与方法 利用向量的数量积推出余弦定理及其推论, 并通过实践演算掌握运用余弦定理 解决两类基本的解三角形问题。 3.情感、态度与价值观 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;通过三角函数、余 弦定理、 向量的数量积等知识间的关系, 来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 教学重点: 重难点 余弦定理的发现和证明过程及其基本应用。 教学难点: 勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 教法方法 课时安排 教学准备 观察、思考、交流、讨论、概括 共 1 课时 投影仪、直尺、彩色粉笔 教学过程 第 1 课时余弦定理 授课时间: 一、问题引入: C 如图 1.1-4,在 ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 已知 a,b 和 ? C,求边 c b a A 个性化设计 c (图 1.1-4) B 二、新课讲授: 联系已经学过的知识和方法,可用什么途径来解决这个问题? 用正弦定理试求,发现因 A、B 均未知,所以较难求边 c。 由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A 如图 1.1-5,设 CB ? a , CA ? b , AB ? c ,那么 c ? a ? b ,则 1 ??? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ?? bc c ? c ?c ? a ? b a ? b ? ? ? ? ? ? ?a b ? b ?? 2a?? b ??2a ? ? 2 ? a ? b ? 2a ? b ?2 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? Ca 从而 B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC (图 1.1-5) 同理可证 于是得到以下定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 余弦定理: 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这 两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 思考:这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量,可以求出 第四个量,能否由三边求出一角? (由学生推出)从余弦定理,又可得到以下推论: cos A? cos B ? cosC ? b2 ? c 2 ? a 2 2bc a 2 ? c 2 ? b2 2ac b2 ? a 2 ? c 2 2ba [理解定理] 从而知余弦定理及其推论的基本作用为: ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。 思考:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理 则指出了一般三角形中三边平方之间的关系, 如何看这两个定理之间的关 系? (由学生总结)若 ? ABC 中,C= 90 0 ,则 cos C ? 0 ,这时 c 2 ? a 2 ? b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例。 三、例题讲解 例 1.在 ? ABC 中,已知 a ? 2 3 , c ? 6 ? 2 , B ? 600 ,求 b 及 A ⑴解:∵ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B = (2 3)2 ? ( 6 ? 2)2 ? 2?2 3 ?( 6 ? 2) cos 450 = 12 ? ( 6 ? 2)2 ? 4 3( 3 ?1) 2 =8 ∴ b ? 2 2. 求 A 可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理: ⑵解法一:∵cos A ? ∴ A ? 600. b2 ? c 2 ? a 2 (2 2)2 ? ( 6 ? 2 )2 ? (2 3)2 1 ? ? , 2bc 2 2? 2 2 ?( 6 ? 2) a 2 3 ?sin450 , 解法二:∵sin A ? sin B ? b 2 2 又∵ 6 ? 2 > 2.4 ?1.4 ? 3.8, 2 3 < 2?1.8 ? 3.6, ∴ a < c ,即 00 < A < 900 , ∴ A ? 600. 评述:解法二应注意确定 A 的取值范围。 【变式训练 1】 .在△ABC 中,若 (a ? c)(a ? c) ? b(b ? c) ,则 ? A ? 解: a ? c ? b ? bc, b ? c ? a ? ?bc, cos A ? ? 2 2 2 2 2 2 1 , A ? 1200 2 例 2.在 ? ABC 中,已知 a ?134.6cm , b ? 87.8cm , c ?161.7cm ,解三角 形 (见课本第 8 页例 4,可由学生通过阅读进行理解) 例 3. 例 2. 在 △ ABC 中 , BC = a , AC = b , 且 a , b 是 方 程 x 2 ? 2 3x ? 2 ? 0 的两根, 2 cos? A ? B ? ? 1。 (1) 求角 C 的度数; (2) 求 AB 的长; (3)求△ABC 的面积。 解:(1) cos C ? cos[? ? ? A ? B ?] ? ? cos 2 ? C ? 120 ? A ? B? ? ? 1 2 0 (2)因为 a , b 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两根,所以 ? ?a ? b ? 2 3 ? ab ? 2 ? AB2 ? b2 ? a 2 ? 2ab cos1200 ? ? a ? b ? ? ab ? 10 ? AB ? 10 2 (3) S ?ABC ? 1 3 ab sin

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