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1.1.2正弦定理和余弦定理(第2课时)


备课教案 课题 课型 1.1.2 余弦定理 新授课 主备人 汇课地点 宋升贇 参与教师 汇课时间 何东亮、姚志远、 赵斌斌、孟文杰 高中数学办 公室 三维目标 (法制渗透) 1.知识与技能 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法, 并会运用余弦定理 解决两类基本的解三角形问题。 2.过程与方法 利用向量的数量积推出余弦定理及其推论, 并通过实践演算掌握运用余弦定理 解决两类基本的解三角形问题。 3.情感、态度与价值观 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;通过三角函数、余 弦定理、 向量的数量积等知识间的关系, 来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 教学重点: 重难点 余弦定理的发现和证明过程及其基本应用。 教学难点: 勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 教法方法 课时安排 教学准备 观察、思考、交流、讨论、概括 共 1 课时 投影仪、直尺、彩色粉笔 教学过程 第 1 课时余弦定理 授课时间: 一、问题引入: C 如图 1.1-4,在 ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 已知 a,b 和 ? C,求边 c b a A 个性化设计 c (图 1.1-4) B 二、新课讲授: 联系已经学过的知识和方法,可用什么途径来解决这个问题? 用正弦定理试求,发现因 A、B 均未知,所以较难求边 c。 由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A 如图 1.1-5,设 CB ? a , CA ? b , AB ? c ,那么 c ? a ? b ,则 1 ??? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ?? bc c ? c ?c ? a ? b a ? b ? ? ? ? ? ? ?a b ? b ?? 2a?? b ??2a ? ? 2 ? a ? b ? 2a ? b ?2 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? Ca 从而 B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC (图 1.1-5) 同理可证 于是得到以下定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 余弦定理: 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这 两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 思考:这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量,可以求出 第四个量,能否由三边求出一角? (由学生推出)从余弦定理,又可得到以下推论: cos A? cos B ? cosC ? b2 ? c 2 ? a 2 2bc a 2 ? c 2 ? b2 2ac b2 ? a 2 ? c 2 2ba [理解定理] 从而知余弦定理及其推论的基本作用为: ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。 思考:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理 则指出了一般三角形中三边平方之间的关系, 如何看这两个定理之间的关 系? (由学生总结)若 ? ABC 中,C= 90 0 ,则 cos C ? 0 ,这时 c 2 ? a 2 ? b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例。 三、例题讲解 例 1.在 ? ABC 中,已知 a ? 2 3 , c ? 6 ? 2 , B ? 600 ,

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