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高二数学选修12推理与证明测试题(2006 (4)


高二数学选修 1-2 1.如果数列 ?an ? 是等差数列,则 A. a1 ? a8 ? a4 ? a5 B. a1 ? a8 ? a4 ? a5

推理与证明测试题(2006.4) D. a1a8 ? a4 a5

C. a1 ? a8 ? a4 ? a5

2.下面使用类比推理正确的是 A.“若 a ? 3 ? b ? 3 ,则 a ? b ”类推出“若 a ? 0 ? b ? 0 ,则 a ? b ” B.“若 (a ? b)c ? ac ? bc ”类推出“ (a ? b)c ? ac ? bc ”

a?b a b ? ? (c≠0) ” c c c n n (ab) ? a nbn ” 类推出“ (a ? b) ? a n ? bn ” D.“
C.“若 (a ? b)c ? ac ? bc ” 类推出“ 3.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数” 结论显然是错误的,是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 4.设 f 0 ( x) ? sin x, f1 ( x) ? f 0 ( x) , f 2 ( x) ? f1' ( x),?, fn?1 ( x) ? fn' ( x) ,n∈N,则 f 2007 ( x) ? A. sin x B.- sin x
0 1

'

C. cos x
2 3

D.- cos x

5.在十进制中 2004 ? 4 ?10 ? 0 ?10 ? 0 ?10 ? 2 ?10 ,那么在 5 进制中数码 2004 折合成十进制为 A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 6.函数 y ? ax 2 ? 1 的图像与直线 y ? x 相切,则 a = A.

1 8

B.

1 4

C.

1 2

D. 1

2 2 2 7. 下 面 的 四 个 不 等 式 : ① a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ; ② a ?1 ? a ? ?

1 a b ? ?2 ; ③ 4 b a

; ④

?a

2

2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ?ac ? bd? .其中不成立的有

??
2

?

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

8.抛物线 x ? 4 y 上一点 A 的纵坐标为 4,则点 A 与抛物线焦点的距离为 A.2 B.3 C.4 D. 5 9.设 f ( x) ?| x ? 1| ? | x | , 则 f [ f ( )] ? A. ?

1 2

1 2
?

B. 0
?

C.

1 2
?

D. 1

10.已知向量 a ? ( x ? 5,3) , b ? (2, x) ,且 a ? b , 则由 x 的值构成的集合是 A.{2,3} B. {-1, 6} C. {2} D. {6} 11. 有一段演绎推理是这样的: “直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线 b ? ? 平面 ? ,直线 a ? 平面 ? , 直线 b ∥平面 ? ,则直线 b ∥直线 a ”的结论显然是错误的,这是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 12.已知 f ( x ? 1) ?
?

?

2 f ( x) , f (1) ? 1 (x ? N *) ,猜想 f ( x) 的表达式为 f ( x) ? 2 4 2 1 2 A. f ( x ) ? x B. f ( x ) ? C. f ( x ) ? D. f ( x) ? 2 ?2 x ?1 x ?1 2x ?1

13.证明: 2, 3, 5 不能为同一等差数列的三项.

14.在△ABC 中, sin A ?

sin B ? sin C ,判断△ABC 的形状. cos B ? cos C

15.已知:空间四边形 ABCD 中,E,F 分别为 BC,CD 的中点,判断直线 EF 与平面 ABD 的关系,并证明你的结论.

16.已知函数 f ( x) ? ln( 1 ? x) ? x ,求 f ( x) 的最大值.

17.△ABC 三边长 a, b, c 的倒数成等差数列,求证:角 B ? 90 .
0

18. 类比平面几何中的勾股定理:若直角三角形 ABC 中的两边 AB 、 AC 互相垂直,则三角形三边长之间满足关系:

AB2 ? AC 2 ? BC 2 。若三棱锥 A-BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两互相垂直,则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的
关系为 .

2 ? 3 ? 4 ? 3 ,3+4+5+6+7=5 中,可得到一般规律为 19.从 1 ? 1 ,
2 2 2

(用数学表达式表示)

20.函数 y=f (x) 在 (0, 2) 上是增函数, 函数 y=f(x+2)是偶函数, 则 f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是

.

21.设平面内有n条直线 (n ? 3) ,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用 f ( n) 表示这n条直 线交点的个数,则 f (4) = 当n>4时, f ( n ) = ; (用含 n 的数学表达式表示)

四.解答题. (每题 13 分,共 26 分.选答两题,多选则去掉一个得分最低的题后计算总分) 22.在各项为正的数列 ?an ? 中,数列的前 n 项和 S n 满足 S n ?

1? 1 ? a ? n 2? an ?

? ? ? ?

(1) 求 a1 , a2 , a3 ; (2) 由(1)猜想数列 ?an ? 的通项公式; (3) 求 S n

23.自然状态下鱼类是一种可再生资源, 为持续利用这一资源, 需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响, 用 xn 表示某鱼群在第 n 年年初的总量,n ? N , 且 x1 >0.不考虑其它因素, 设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 xn 成正比,死亡量与 x n 成正比,这些比例系数依次为正常数 a, b, c . (Ⅰ)求 x n ?1 与 xn 的关系式; (Ⅱ)猜测:当且仅当 x1 , a, b, c 满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明)
2
?

24. 设函数 f ( x) ? x sin x( x ? R) .

(1)证明: f ( x ? 2k? ) ? f ( x) ? 2k? sin x, k ? Z ; (2)设 x0 为 f ( x) 的一个极值点,证明 [ f ( x0 )]2 ?
4 x0 . 2 1 ? x0

五.解答题. (共 8 分.从下列题中选答 1 题,多选按所做的前 1 题记分) 25. 通过计算可得下列等式:

2 2 ? 12 ? 2 ? 1 ? 1

32 ? 2 2 ? 2 ? 2 ? 1 4 2 ? 32 ? 2 ? 3 ? 1
┅┅

(n ? 1) 2 ? n 2 ? 2 ? n ? 1
将以上各式分别相加得: (n ? 1) ? 1 ? 2 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? n
2 2

即: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?

n(n ? 1) 2
2 2 2 2

类比上述求法:请你求出 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n 的值. 26. 直角三角形的两条直角边的和为 a ,求斜边的高的最大值 27.已知 f ( x)(x ? R) 恒不为 0,对于任意 x1 , x2 ? R 等式 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 2 f ?

? x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ? ?? f ? ? 恒成立.求证: f ( x) 是偶函数. ? 2 ? ? 2 ?
a?b c ? 1? a ? b 1? c

28.已知Δ ABC 的三条边分别为 a,b,c 求证:

高二数学选修 1-2
题号 答案 1 B 2 C 3 C

推理与证明测试题答案(2006.4)
4 D 5 B 6 B 7 A 8 D 9 D 10 C 11 A 12 B

13.证明:假设 2 、 3 、 5 为同一等差数列的三项,则存在整数 m,n 满足

3 = 2 +md



5 = 2 +nd


2 2 2

① ? n-② ? m 得: 3 n- 5 m= 2 (n-m)

两边平方得: 3n +5m -2 15 mn=2(n-m)

左边为无理数,右边为有理数,且有理数 ? 无理数 所以,假设不正确。即

2 、 3 、 5 不能为同一等差数列的三项
sin B ? sin C cos B ? cos C

14. ? ABC 是直角三角形; 因为 sinA=
2 2 2

据正、余弦定理得 : (b+c)(a -b -c )=0; 又因为 a,b,c 为 ? ABC 的三边,所以 b+c ? 0 2 2 2 所以 a =b +c 即 ? ABC 为直角三角形. 15.平行; 提示:连接 BD,因为 E,F 分别为 BC,CD 的中点, EF∥BD. 16.提示:用求导的方法可求得 f ( x) 的最大值为 0 17.证明: cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 2ac ? b 2 b2 b2 b ? ? 1? =1 ? ? 1? 2ac 2ac 2ac b(a ? c) a?c
b ? 0 ? cos B ? 0 ? B ? 900 . a?c

? a, b, c 为△ABC 三边,?a ? c ? b ,?1 ?
2 2 2 2 18. S ? BCD ? S ?ABC ? S ?ACD ? S ?ADB .

19. n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ...... ? (3n ? 2) ? (2n ?1) 20. f(2.5)>f(1)>f(3.5) 22.(1) a1 ? 1, a2 ?

2

21. 5; (n+1)(n-2).

1 2

(2) an ? n ? n ? 1 ; (3) S n ? n . 2 ? 1, a3 ? 3 ? 2 ;

23.解(I)从第 n 年初到第 n+1 年初,鱼群的繁殖量为 axn,被捕捞量为 bxn,死亡量为
2 2 cxn ,因此xn?1 ? xn ? axn ? bxn ? cxn , n ? N *.(*) 即xn?1 ? xn (a ? b ? 1 ? cxn ), n ? N *.(**)

(II)若每年年初鱼群总量保持不变,则 xn 恒等于 x1, n∈N*,从而由(*)式得

x n (a ? b ? cx n )恒等于 0, n ? N *, 所以 a ? b ? cx1 ? 0.即x1 ?
且 x1 ?

a ?b . 因为 x1>0, 所以 a>b. 猜测: 当且仅当 a>b, c

a?b 时,每年年初鱼群的总量保持不变. c

24. 证明:1) f ( x ? 2k? ) ? f ( x) ? (x ? 2k?)sin(x ? 2k? )-xsinx

(x ? 2k?)sinx-xsinx = 2k? sinx =
2) f ?( x) ? sin x ? x cos x

f ?( x0 ) ? sin x0 ? x0 cos x0 ? 0
由①②知 sin 2 x0 =
3 3

① 又 sin 2 x0 ? cos2 x0 ? 1
2 2 2 2



x0 2 1 ? x0 2
2

所以 [ f ( x0 )] ? x0 sin x0 ? x0

x02 x04 ? 1 ? x02 1 ? x02

25.[解] 2 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 1 ? 1

33 ? 23 ? 3 ? 2 2 ? 3 ? 2 ? 1
┅┅

43 ? 33 ? 3 ? 32 ? 3 ? 3 ? 1

(n ? 1) 3 ? n 3 ? 3 ? n 2 ? 3 ? n ? 1
将以上各式分别相加得: (n ? 1) ? 1 ? 3 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ) ? 3 ? (1 ? 2 ? 3? ? n) ? n
3 3 2 2 2 2

所以: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
2 2 2 2

1 1? n 1 [( n ? 1) 3 ? 1 ? n ? 3 n] ? n( n ? 1)( 2n ? 1) 3 2 6

26.

2 a 27.简证:令 x1 ? x2 ,则有 f ? 0? ? 1,再令 x1 ? ? x2 ? x 即可 4
x , x ? (0, ??) 1? x

28.证明:设 f ( x) ?

设 x1 , x2 是 (0, ??) 上的任意两个实数,且 x2 ? x1 ? 0 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

x1 x x1 ? x2 ? 2 ? 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 )
x 在 (0, ??) 上是增函数。 1? x

因为 x2 ? x1 ? 0 ,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 。所以 f ( x ) ? 由 a ? b ? c ? 0 知 f (a ? b) ? f (c) 即

a?b c ? . 1? a ? b 1? c


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