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第1讲 三角函数与三角变换


第1讲

三角函数与三角变换

一、填空题 ?π ? 1 ?π ? 1.(2013· 苏北四市模拟)若 sin?3+α?=3,则 sin?6+2α?=______. ? ? ? ? 解析 ?π ? ?π π ? sin?6+2α?=-cos?2+6+2α? ? ? ? ?

7 ?2π ? ?π ? =-cos? 3 +2α?=2sin2?3+α?-1=-9. ? ? ? ? 答案 7 -9

π 2. (2014· 南京、 盐城模拟)设函数 f(x)=cos(2x+φ), 则“f(x)是奇函数”是“φ=2” 的______条件. 解析 π? π ? φ=2?f(x)=cos?2x+2?=-sin 2x 为奇函数,∴“f(x)是奇函数”是 ? ?

π “φ=2”的必要条件. π 又 f(x)=cos(2x+φ)是奇函数?f(0)=0?φ=2+kπ(k∈Z) π ∴“f(x)是奇函数”不是“φ=2”的充分条件. 答案 必要不充分 7π? ? 3 ,则 sin ?α+ 6 ? 的值是 ? ? π φ=2.

π? 4 ? 3 . (2014· 苏锡常镇模拟 ) 已知 cos ?α-6? + sin α = 5 ? ? ________. 解析 π? ? cos?α-6?+sin α ? ?

3 3 4 = 2 cos α+2sin α=5 1 3 4 ∴2cos α+ 2 sin α=5, π? 4 ? 即 sin?α+6?=5. ? ?

3,

7π? π? 4 ? ? 故 sin?α+ 6 ?=-sin?α+6?=-5. ? ? ? ? 答案 4 -5

π? ? 4.(2014· 安徽卷)若将函数 f(x)=sin?2x+4?的图象向右平移 φ 个单位,所得图象 ? ? 关于 y 轴对称,则 φ 的最小正值是________. 解析 π?右平移φ π? π ? ? ? ? f(x)=sin?2x+4? ― ― → g(x)=sin?2?x-φ?+4?=sin?2x+4-2φ?, ? ? ? ? ? ?

关于 y 轴对称,即函数 g(x)为偶函数, π π k π 则4-2φ=kπ+2,∴φ=-2π-8(k∈Z), π π 3π 显然,k=-1 时,φ 有最小正值2-8= 8 . 答案 3π 8

π? ? 5.(2014· 苏北四市调研)已知函数 f(x)=2sin?2ωx-4?(ω>0)的最大值与最小正周 ? ? 期相同,则函数 f(x)在[-1,1]上的单调增区间为________. 解析 2π π 因为函数 f(x)的最大值是 2, 所以最小正周期 T=2=2ω, 解得 ω=2,

π? π π π 1 ? 所以 f(x)=2sin?πx-4?,当 2kπ-2≤πx-4≤2kπ+2,k∈Z,即 2k-4≤x≤2k ? ? 3 +4,k∈Z 时,函数 f(x)单调递增,所以函数 f(x)在 x∈[-1,1]上的单调递增 ? 1 3? 区间是?-4,4?. ? ? 答案 ? 1 3? ?-4,4? ? ?

π? ? ?π π? 6. 若函数 f(x)=sin ωx(ω>0)在区间?0,3?上单调递增, 在区间?3,2?上单调递减, ? ? ? ?

则 ω=________. 解析 π 由题意知 f(x)的一条对称轴为直线 x=3,和它相邻的一个对称中心

4π 3 为原点,则 f(x)的周期 T= 3 ,从而 ω=2. 答案 3 2

π 7.已知函数 f(x)=3sin(ωx-6)(ω>0)和 g(x)=3cos(2x+φ)的图象的对称中心完全 π? ? 相同,若 x∈?0,2?,则 f(x)的取值范围是______. ? ? 解析 由两三角函数图象的对称中心完全相同,可知两函数的周期相同,

π? π? π π 5π ? ? 故 ω=2,所以 f(x)=3sin?2x-6?,那么当 x∈?0,2?时,-6≤2x-6≤ 6 , ? ? ? ? 1 π ? 3 ? 所以-2≤sin(2x-6)≤1,故 f(x)∈?-2,3?. ? ? 答案 ? 3 ? ?-2,3? ? ?

8.给出下列说法: ①正切函数在定义域内是增函数; 3 π? ? π? ? ②函数 f(x)=2tan?x+4?的单调递增区间是?kπ-4π,kπ+4?(k∈Z); ? ? ? ?
? ? ? ? ? π? π ? ③函数 y=2tan?2x+3?的定义域是?x?x≠12+kπ,k∈Z ?; ? ? ? ? ? ? ?

? π π? ④函数 y=tan x+1 在?-4,3?上的最大值为 3+1,最小值为 0. ? ? 其中正确说法的序号是________. 解析 ①正切函数在定义域内不具有单调性,故错误;

3 π? π π π ? ②由 kπ-2<x+4<kπ+2(k∈Z),解得 x∈?kπ-4π,kπ+4?(k∈Z),故正确; ? ? π π π kπ ③由 2x+3≠2+kπ(k∈Z),解得 x≠12+ 2 (k∈Z),故错误; π ? π π? ④因为函数 y=tan x+1 在?-4,3?上单调递增, 所以 x=3时取得最大值为 3 ? ? π +1,x=-4时取得最小值为 0,故正确,所以正确说法是②④.

答案

②④

二、解答题 π 9.(2014· 宿迁摸底改编)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<2)的图象的 一部分如图所示.

. (1)求函数 f(x)的解析式; 2? ? (2)当 x∈?-6,-3?时,求函数 y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值及相应的 x ? ? 的值. 解 2π (1)由图象知 A=2,T=8= ω ,

π ?π ? ∴ω=4,得 f(x)=2sin?4x+φ?. ? ? π π π 由4×1+φ=2kπ+2?φ=2kπ+4, π π ?π π? 又|φ|<2,∴φ=4.∴f(x)=2sin?4x+4?. ? ? π? ?π π? ?π (2)y=2sin?4x+4?+2sin?4?x+2?+4? ? ? ? ? ?π π? ?π π? =2sin?4x+4?+2cos?4x+4?. ? ? ? ? π ?π π? =2 2sin?4x+2?=2 2cos4x, ? ? 2? ? ∵x∈?-6,-3?, ? ? π? π ? 3π ∴4x∈?- 2 ,-6?, ? ? π π 2 ∴当4x=-6,即 x=-3时,y 的最大值为 6; π 当4x=-π,即 x=-4 时,y 的最小值为-2 2.

5 ?π ? 10.(2014· 江苏卷)已知 α∈?2,π?,sin α= 5 . ? ? ?π ? (1)求 sin?4+α?的值; ? ? ?5π ? (2)求 cos? 6 -2α?的值. ? ? 解 5 ?π ? (1)因为 α∈?2,π?,sin α= 5 , ? ?

2 5 所以 cos α=- 1-sin 2α=- 5 . π π ?π ? 故 sin?4+α?=sin4cos α+cos4sin α ? ? 2 ? 2 5? 2 5 10 ?+ × =- = 2 ×?- 5 10 . 5 ? 2 ? 5 ? 2 5? 4 ?=- , (2)由(1)知 sin 2α=2sin αcos α=2× 5 ×?- 5 5 ? ? ? 5? 3 cos 2α=1-2 sin 2α=1-2×? ?2=5, ?5? 5π 5π ?5π ? 所以 cos? 6 -2α?=cos 6 cos 2α+sin 6 sin 2α ? ? ? 3? 3 1 ? 4? =?- ?×5+2×?-5? ? ? ? 2? =- 4+3 3 10 .

?π ? ?π ? 11. (2013· 苏北四市调研)已知函数 f(x)=sin?4+x?· sin?4-x?+ 3sin xcos x(x∈R). ? ? ? ? ?π? (1)求 f?6?的值; ? ? ?A? (2)在△ABC 中,若 f? 2 ?=1,求 sin B+sin C 的最大值. ? ? 解 1 3 ?π ? ?π ? (1)f(x) = sin ?4+x? sin ?4-x? + 3 sin xcos x = 2 cos 2x + 2 sin 2x = ? ? ? ?

π? ? ?π? sin?2x+6?,所以 f?6?=1. ? ? ? ? π? π π ?A? ?A? ? (2)由 f? 2 ?=1,有 f? 2 ?=sin?A+6?=1,因为 0<A<π,所以 A+6=2,即 A ? ? ? ? ? ?

π =3. π? 3 ?2π ? 3 ? sin B+sin C=sin B+sin? 3 -B?=2sin B+ 2 cos B= 3sin?B+3?. ? ? ? ? π? 2π π π ? 因为 0<B< 3 ,所以3<B+3<π,0<sin?B+3?≤1, ? ? 所以 sin B+sin C 的最大值为 3.


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