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江西省抚州市七校2017届高三上学期联考文数试题Word版含答案.doc


第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.若集合 M ? ?x ? N | x ? 6? , N ? ?x | ( x ? 2)( x ? 9) ? 0? ,则 M ? N 等于( A. ?3,4,5? B. ?x | 2 ? x ? 6? C. ?x | 3 ? x ? 5? )

D. ?2,3,4,5?

2. A , B , C 三个学生参加了一次考试, A , B 的得分均为 70 分, C 的得分为 65 分.已 知命题 p :若及格分低于 70 分,则 A , B , C 都没有及格.在下列四个命题中,为 p 的 逆否命题的是( )

A.若及格分不低于 70 分,则 A , B , C 都及格 B.若 A , B , C 都及格,则及格分不低于 70 分 C.若 A , B , C 至少有 1 人及格,则及格分不低于 70 分 D.若 A , B , C 至少有 1 人及格,则及格分高于 70 分 3.设 f ( x) ? x2 ? g ( x) , x ? R ,若函数 f ( x) 为偶函数,则 g ( x) 的解析式可以为( A. x
3



B. cos x

C. 1 ? x )

D. xe

x

4.若 cos x ? sin 63? cos18? ? cos 63? sin18? ,则 cos 2 x 等于( A. ?

1 2

B. ?

3 4

C .0

D.

1 2
2

5.在△ ABC 中,A ,B ,C 的对边分别是 a ,b ,c , 若 b cos A ? a cos B ? c ,a ? b ? 2 , 则△ ABC 的周长为( A. 7.5 ) B. 7 C. 6 D. 5

6.设正项等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 等于( ) B.252

an?1 ? 1 ,若 a3 ? a5 ? 20 , a3a5 ? 64 ,则 S6 an

A.63 或 126 7.若 3 sin x ? cos x ? A. ?

C.126 )

D.63

2 7? ) 等于( ,则 tan( x ? 3 6
B. ?

7 9

4 2 7

C. ?2 2

D. ?

2 4

8.已知点 O 为△ ABC 内一点,?AOB ? 120? ,OA ? 1 ,OB ? 2 ,过 O 作 OD 垂直 AB 于 点 D ,点 E 为线段 OD 的中点,则 OE ? EA 的值为( A.

??? ? ??? ?

) D.

5 14

B.

2 7

C.

3 14

3 28


9.已知函数 f ( x) 与 f '( x) 的图象如下图所示,则函数 g ( x ) ? A. (0, 4) B. (??,1) , ( , 4) C. (0, )

f ( x) 的递减区间( ex

4 3

4 3

D. (0,1) , (4, ??)

10.已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x (其中 a ,b 为正实数)的图象关于直线 x ? ? 且 ?x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 , f ( x1 ) f ( x2 ) ? 4 恒成立,则下列结论正确的是( A. a ? 3 , b ? 1 B.不等式 f ( x1 ) f ( x2 ) ? 4 取到等号时 | x2 ? x1 | 的最小值为 2? C.函数 f ( x) 的图象的一个对称中心为 ( D.函数 f ( x) 在区间 ? 11.若数列 ?an ? 满足 的项数为( A.42
x

?
6


对称,

2? , 0) 3

?? ? , ? 上单调递增 ?6 ? ?

an ?1 a ? n ? 1 ,且 a1 ? 5 ,则数列 ?an ? 前 100 项中,能被 5 整除 2n ? 5 2n ? 3

) B.40
2

C.30

D.20

12.已知函数 f ( x) ? 2 ? 5 , g ( x) ? 4 x ? x ,给出下列 3 个命题:

p1 :若 x ? R ,则 f ( x) f (? x) 的最大值为 16.
p2 :不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集为集合 ?x | ?1 ? x ? 3? 的真子集.

p3 :当 a ? 0 时,若 ?x1 , x2 ??a, a ? 2? , f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,则 a ? 3 .
那么,这 3 个命题中所有的真命题是( )

A. p1 、 p2 、 p3

B. p2 、 p3 第Ⅱ卷(共 90 分)

C. p1 、 p2

D. p1

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
2 n ?1 13.等比数列 4 的公比为

?

?

. 则 f (3) ? f (4) ?

14.设函数 f ( x ) ? ?

?1 ? log 6 x, x ? 4,
2 ? f ( x ), x ? 4,



15.在△ ABC 中, A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,已知 a ? b ? c ? 3ab ,且
2 2 2

??? ? ??? ? ac sin B ? 2 3 sin C ,则 CA ? CB ?
16.若函数 f ( x) ? k ?



x 4 ? 3x 2 有 3 个零点,则实数 k 的取值范围是 x



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知 m ? 0 ,向量 a ? (m,3m) ,向量 b ? (m ? 1,6) ,集合

?

?

A ? ? x | ( x ? m 2 )( x ? m ? 2) ? 0? .
(1)判断“ a / / b ”是“ | a |? 10 ”的什么条件; (2)设命题 p :若 a ? b ,则 m ? ?19 .命题 q :若集合 A 的子集个数为 2,则 m ? 1 .判 断 p ? q , p ? q , ? q 的真假,并说明理由. 18.在等差数列 ?an ? 中, a12 ? a3 ? 4 ,且 a5 ? a6 ? a7 ? 18 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 a1 , a2 , a4 成等比数列,求数列 ?

?

?

?

?

?

?

? 1 ? 的前 n 项和 Sn . ? (2n ? 2) an ?

19.食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的 危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入 200 万元,搭建了甲、乙两个 无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入 20 万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根 据以往的种菜经验,发现这种西红柿的年收入 P 、种黄瓜的年收入 Q 与投入 a (单位:万 元)满足 P ? 80 ? 4 2a , Q ?

1 a ? 120 .设甲大棚的投入为 x (单位:万元) ,每年能两 4

个大棚的总收益为 f ( x) (单位:万元) . (1)求 f (50) 的值; (2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益 f ( x) 最大? 20.如图所示, 在△ ABC 中, 点 D 为 BC 边上一点, 且 BD ? 1 ,E 为 AC 的中点,AE ?

3 , 2

cos B ?

2? 2 7 , ?ADB ? . 3 7

(1)求 AD 的长; (2)求△ ADE 的面积.

21.已知函数 f ( x) ? ( x ? a)e x ( x ? ?3) ,其中 a ? R . (1)若曲线 y ? f ( x) 在点 A(0, a ) 处的切线 l 与直线 y ?| 2a ? 2 | x 平行,求 l 的方程; (2)讨论函数 y ? f ( x) 的单调性. 22.记 max ?m, n? 表示 m , n 中的最大值,如 max 3, 10 ? 10 .已知函数

?

?

f ( x) ? max ? x 2 ? 1, 2 ln x? , g ( x) ? max ? x ? ln x, ax 2 ? x? .
(1)求函数 f ( x) 在 ? , 2 ? 上的值域; 2 (2)试探讨是否存在实数 a ,使得 g ( x) ? 取值范围;若不存在,说明理由.

?1 ?

? ?

3 x ? 4a 对 x ? (1, ??) 恒成立?若存在,求 a 的 2

江西省抚州市高三七校联考数学试卷(文科)答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 13.16 14.4 15.3 16. (?2, 0) ? (0, 2) 1 A 2 C 3 B 4 C 5 D 6 C 7 D 8 D 9 D 10 B 11 B 12 A

三、解答题 17.解: (1)若 a / / b ,则 6m ? 3m(m ? 1) ,∴ m ? 1 ( m ? 0 舍去) , 此时, a ? (1,3) , | a |? 10 .

?

?

?

?

则 m ? 2 ? m ,∴ m ? 1 或 m ? ?2 ,故 q 为假命题.
2

∴ p ? q 为真命题, p ? q 为假命题, ? q 为真命题. 18.解: (1)设 ?an ? 的公差为 d ,由 a5 ? a6 ? a7 ? 3a6 ? 18 ,得 a6 ? 6 . ∴?

?a12 ? a1 ? 2d ? 4, ?a1 ? 5d ? 6,

整理得 5a12 ? 3a1 ? 8 ? (5a1 ? 8)(a1 ?1) ? 0 ,解得 a1 ? ?

8 或 a1 ? 1 . 5

8 38 时,∴ d ? , 5 25 38 78 n? . ∴ an ? 25 25
当 a1 ? ? 当 a1 ? 1 时,∴ d ? 1 ,∴ an ? n . (2)若 a1 , a2 , a4 成等比数列,则 an ? n . ∵

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ), (2n ? 2)an 2 n(n ? 1) 2 n n ? 1
1 1 1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? … ? ? ) ? (1 ? )? . 2 2 2 3 n n ?1 2 n ? 1 2n ? 2

∴ Sn ?

19.解: (1)因为甲大棚投入 50 万元,则乙大棚投入 150 万元,

1 ?150 ? 120 ? 277.5 . 4 1 1 (2) f ( x) ? 80 ? 4 2 x ? (200 ? x) ? 120 ? ? x ? 4 2 x ? 250 , 4 4
所以 f (50) ? 80 ? 4 2 ? 50 ? 依题意得 ?

? x ? 20, 1 解得 20 ? x ? 180 ,故 f ( x) ? ? x ? 4 2 x ? 250 4 ?200 ? x ? 20,

( 20 ? x ? 180 ) . 令t ?

? x ?? ? 2 5, 6 5 ? ,
1 2 1 t ? 4 2t ? 250 ? ? (t ? 8 2) 2 ? 282 , 4 4

则 f ( x) ? ?

当 t ? 8 2 ,即 x ? 128 时, f ( x)max ? 282 , 所以投入甲大棚 128 万元,乙大棚 72 万元时,总收益最大,且最大收益为 282 万元. 20.解: (1)在△ ABD 中,∵ cos B ?

2 7 , B ? (0, ? ) , 7

∴ sin B ? 1 ? cos2 B ? 1 ? (

2 7 2 21 , ) ? 7 7
21 1 2 7 3 21 . ? (? ) ? ? ? 7 2 7 2 14
1? 21 7 ? 2. 21 14

∴ sin ?BAD ? sin( B ? ?ADB) ?

由正弦定理

BD ? sin B AD BD ? ? 知, AD ? sin B sin ?BAD sin ?BAD

(2)由(1)知 AD ? 2 ,依题意得 AC ? 2 AE ? 3 ,在△ ACD 中由余弦定理得

AC 2 ? AD2 ? DC 2 ? 2 AD ? CD cos ?ADC ,
即 9 ? 4 ? DC ? 2 ? 2 ? CD cos
2

?
3

,解得 DC ? 1 ? 6 (负值舍去) .

∴ S?ACD ?

1 1 3 3 ?3 2 AD ? DC sin ?ADC ? ? 2 ? (1 ? 6) ? ? . 2 2 2 2 1 3 ?3 2 S?ACD ? . 2 4
x

从而 S?ADE ?

21.解: (1) f '( x) ? ( x ? a ? 1)e ,

∵ f '(0) ? a ? 1 ?| 2a ? 2 | ,∴ a ? 3 或

1 . 3

当 a ? 3 时, f ( x) ? ( x ? 3)e x , f (0) ? 3 ,∴ l 的方程为 y ? 4 x ? 3 , 当a ?

1 1 x 1 4 1 时, f ( x) ? ( x ? )e , f (0) ? ,∴ l 的方程为 y ? x ? . 3 3 3 3 3

(2)令 f '( x) ? ( x ? a ?1)e x ? 0 ,得 x ? ?a ? 1 . 当 ?a ? 1 ? 3 ,即 a ? 2 时, f '( x) ? ( x ? a ? 1)e x ? 0 , f ( x) 在 (?3, ??) 上递增; 当 ?a ? 1 ? ?3 ,即 a ? 2 时,令 f '( x) ? 0 ,得 x ? ?a ? 1 , f ( x) 递增;令 f '( x) ? 0 ,得

?3 ? x ? ?a ? 1 , f ( x) 递减.
综上所述,当 a ? 2 时, f ( x) 的增区间为 (?a ? 1, ??) ,减区间为 (?3, ?a ? 1) ; 当 a ? 2 时, f ( x) 在 (?3, ??) 上递增. 22.解: (1)设 F ( x) ? x ? a ? 2ln x , F '( x) ? 2 x ?
2

2 2( x ? 1)( x ? 1) ? , x x

令 F '( x) ? 0 ,得 x ? 1 , F ( x) 递增;令 F '( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 , F ( x) 递减. ∴ F ( x)min ? F (1) ? 0 ,∴ F ( x) ? 0 ,
2 即 x ? 1 ? 2ln x ,∴ f ( x) ? x ?1 .
2

故函数 f ( x) 在 ? , 2 ? 上的值域为 ? ? ,3? . 2 4 (2) (i)当 a ? 0 时, ∵ x ? (1, ??) ,∴ x ? ln x ? (ax ? x) ? ln x ? ax ? 0 ,
2 2

?1 ?

? ?

? 3 ?

? ?

∴ x ? ln x ? ax ? x ,∴ g ( x) ? x ? ln x .
2

3 1 x ? 4a 对 x ? (1, ??) 恒成立,则 ln x ? x ? 4a 对 x ? (1, ??) 恒成立. 2 2 1 1 1 2? x 设 h( x) ? ln x ? x ,则 h '( x) ? ? ? , 2 x 2 2x
若 g ( x) ? 令 h '( x) ? 0 ,得 1 ? x ? 2 , h( x) 递增;令 h '( x) ? 0 ,得 x ? 2 , h( x) 递减. ∴ h( x)max ? h(2) ? ln 2 ?1,∴ 4a ? ln 2 ? 1 ,∴ a ? ∵ a ? 0 ,∴ a ? (

ln 2 ? 1 , 0] . 4

ln 2 ? 1 , 4

3 x ? 4a 对 x ? (1, ??) 恒成立, 2 3 3 2 若 g ( x) ? x ? 4a 对 x ? (1, ??) 恒成立,则 ax ? x ? x ? 4a 对 x ? (1, ??) 恒成立, 2 2
(ii)当 a ? 0 时,由(i)知 x ? ln x ? 即 2ax ? x ? 8a ? 0 对 x ? (1, ??) 恒成立,这显然不可能,
2

即当 a ? 0 时,不满足 g ( x) ? 故存在实数 a , 使得 g ( x) ?

3 ln 2 ? 1 x ? 4a 对 x ? (1, ??) 恒成立, , 0] . 且 a 的取值范围为 ( 2 4

3 x ? 4a 对 x ? (1, ??) 恒成立, 2


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