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2013漳州市高中毕业班质量检查理科数学试卷


2013 漳州市高中毕业班质量检查理科数学试卷
满分 150 分.考试时间 120 分钟.

第I卷

(选择题

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1. 已知集合 A={ x ? R| A. (?1 3) , C. ( , 3)

1 ? 2 x ? 8 },B={ x ? R| ?2 ? x ? 4 },则 A∩B 等于 2
B. (?1 4) , D. ( , 4)
1 1

1 2

1 2

2. 一个几何体的三视图如图,则该几何体的表面积是 A. 28 B.27 C.24 D.21

正视图

侧视图

3. 下列有关命题说法正确的是 A. 命题 p:“ ?x ? R,sinx + cosx =

1

2 ”,则?p 是真命题

1 1

俯视图

1

第 2 题图

B. x ? ?1”是“x 2 ? 5 x ? 6 ? 0” 的必要不充分条件 “ C.命题 ?x ? R , 使得x 2 ? x ? 1 ? 0” 的否定是:“ ?x ? R,x 2 ? x ? 1 ? 0 ” “ D.“ a ? 1 ”是“ f ( x) ? log a x(a ? 0,a ? 1) 在(0, ?) 上为增函数”的充要条件 ? 4.执行如图所示的程序,若输出的结果是 4,则判断框内实数 m 的值可以是 A. 1 B. 2 C.3 D. 4
n

开始 x= -1

5. 等比数列 ?an ? 中,其前 n 项和为 S n ? 3 ? 1 ,则

a12 ? a2 2 ? a32 + ??? ?an 2 等于
1 n (3 ? 1) 2 1 C. (9n ? 1) 2
A. 6.已知函数 f ( x) ? ? A. ?4 B. B. 3n ? 1 D. 9n ? 1

x ? m?




x ? x ?1

x ? x2
输出 x 结束

第 4 题图

? x , x ? 0, ? 是奇函数,则 g (?4) 的值等于 ? g ( x), x ? 0 ?
?2
C. 2 D. 4

7. 过点 M(-2,0)作斜率为 k1 ( k1 ≠0)的直线与双曲线 x 2 ?

y2 ? 1 交于 A、B 两点,线段 AB 的 3

中点为 P,O 为坐标原点,OP 的斜率为 k2 ,则 k1k2 等于

1 D. -3 3 ? ? 8. 过点 M(2,0)的直线与函数 y ? tan( x ? ) (0 ? x ? 4) 的图像交于 4 2
A.

1 3

B.3

C. -

y A O M B 第 8 题图 x

A、B 两点,则 OM ? (OA ? OB) 等于 A. 2 B.4 C. 6 D.8

9. 在区间[0,2] 上随机取两个数 x、y,则 xy ? [0, 2] 的概率是 A.

1 ? ln 2 2

B.

3 ? 2 ln 2 4

C.

1 ? ln 2 2

D.

1 ? 2 ln 2 2

10. 已知函数 f ( x) 及其导数 f ?( x ) ,若存在 x0 ,使得 f ( x0 ) = f ?( x0 ) ,则称 x0 是 f ( x) 的一个“巧值点”,下列函数中,有“巧值点”的是 ① f ( x) ? x 2 ,② f ( x ) ? e ? x ,③ f ( x) ? ln x ,④ f ( x) ? tan x ,⑤ f ( x ) ? x ? A. ①③⑤ B. ③④ C. ②③④ D. ②⑤

1 x

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 把答案填在答题卡的相应位置.
频率

? x ? y ? 2 ? 0, 组距 11. 若实数 x, 满足 ? x ? 4, y 则 z ? x ? y 的最大值为_____. ? 0.04 ? y ? 5, 0.03 ?
12.某校高三年级的学生共 1000 人,一次测验成绩的分布直方 图如右图所示,现要按右图所示的 4 个分数段进行分层抽样, 抽取 50 人了解情况,则 80~90 分数段应抽取 13.已知( 3 x ? 人.
0.02 0.01

0

60 70 80 90 100 分数

3

1 n ) 展开式的第 4 项为常数项,则其展开式中各项系数的和为________. x

14. 将7个不同的小球全部放入编号为2 和3 的两个小盒子里,使得每个盒子里的球的个数 不小于盒子的编号,则不同的放球方法共有____________ 种(用数字作答) . 15. 在实数集 R 中,我们定义的大小关系“ ? ”为全体实数排了一个“序”,类似地,我们在复 数集 C 上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“ ? ” .定义如下:对于任意两个复数

z1 ? a1 ? b1i , z2 ? a2 ? b2i ( a1 , b1 , a2 , b2 ? R ,为虚数单位),“ z1 ? z2 ”当且仅当
“ a1 ? a2 ”或“ a1 ? a2 且 b1 ? b2 ”.现有以下命题:

①若 z1 ? z2 ,则 z1 ? z2 ;

2 ②若 z1 ? z2 ,则 z12 ? z2 ;

③若 z1 ? z2 , z2 ? z3 ,则 z1 ? z3 ;④对于复数 z ? 0 ,若 z1 ? z2 ,则 z ? z1 ? z ? z2 ; 其中正确命题的序号的是 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 16.(本题满分 13 分) 工商部门对甲、乙两家食品加工企业的产品进行深入检查后,决定对甲企业的 5 种产品 和乙企业的 3 种产品做进一步的检验.检验员从以上 8 种产品中每次抽取一种逐一不重复 地进行化验检验. (Ⅰ)求前 3 次检验的产品中至少 1 种是乙企业的产品的概率; (Ⅱ)记检验到第一种甲企业的产品时所检验的产品种数共为 X, X 的分布列和数学期望. 求 17. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 cos 2 x ? m 的图像经过点 ( , . 0) (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式及最大值; (写出所以正确命题的序号).

? 8

(Ⅱ)若 f ( ) ?

?

2

3 2 ? ,? ? (0, ) ,求 sin ? 的值. 5 2

18. (本题满分 13 分) 如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60o, 四边形 ACFE 为矩形,平面 ACFE⊥平面 ABCD,CF=1. (Ⅰ) 求证:BC⊥平面 ACFE; (Ⅱ) 若点 M 在线段 EF 上移动,试问是否存在点 M ,使得平面 MAB 与 平面 FCB 所成的二面角为 45o ,若存在,求出点 M 的坐标;若不存在, A 说明理由. 19. (本题满分 13 分) 如图,已知椭圆 ? : y 第 18 题图 M E D C B F

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 b2 a 2
O

P M A N x

e?

2 ,短轴右端点为 A , M (1, 0) 为线段 OA 的中点. 2

Q 第 19 题图

(Ⅰ) 求椭圆 ? 的方程;

(Ⅱ)过点 M 任作一条直线与椭圆 ? 相交于两点 P, Q ,试问在 x 轴上是否存在定点 N , 使得 ?PNM ? ?QNM ,若存在,求出点 N 的坐标;若不存在,说明理由.

20. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ln( x ? 1) ? ax ? x 2 . (Ⅰ) 若 x ? 1 为函数 f ( x) 的零点,求 a 的值; (Ⅱ) 求 f ( x) 的极值; (Ⅲ) 证明:对任意正整数 n, ln(n ? 1) ? 2 ?

3 4 n ?1 ? 2 ??? 2 . 2 2 3 n

21. 本题(1)、(2)、(3)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分, 如果多做,则按所做的前两题计分。作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应 的题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (1)(本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换

?1 a? 设矩阵 M ? ? ?. ?b 1?
(I)若 a ? 2,b ? 3 ,求矩阵 M 的逆矩阵 M ?1 ; (II)若曲线 C: x 2 ? 4 xy ? 2 y 2 ? 1 在矩阵 M 的作用下变换成曲线 C ? : x 2 ? 2 y 2 ? 1 , 求 a ? b 的值.

(3)(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 3 | ?2 , g ( x) ? ? | x ? 1| ?4 . (Ⅰ)若函数 f ( x) 的值不大于 1,求 x 的取值范围; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? g ( x) ? m ? 1 的解集为 R,求 m 的取值范围.

2013 漳州市质量检查理科数学试卷参考答案
一、 选择题: 1-5 A,C,D,B,C, 6-10 B, B, D, C, A. 二、 填空题:11.9; 12.20; 13.32; 14.91; 15.③. 三、 解答题: 16.解:(Ⅰ) P ? 1 ? ?

5 4 3 23 , ? ? 8 7 6 28
23 . ………………4 分 28

∴ 前 3 次检验的产品中至少 1 种是乙企业的产品的概率为 (Ⅱ) X 可取值 1,2,3,4

5 3 5 15 , P ( X =1) , = P ( X =2) ? ? = 8 8 7 56 3 2 5 5 3 2 1 1 , P ( X =4) ? ? ? , ……………………9 分 P( X =3) ? ? ? = = 8 7 6 56 8 7 6 56
X 的分布列如下表: X P 1 5 8 2 15 56 3 5 56 4

1 56

X 的数学期望为:

5 15 5 1 3 E ( X ) ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . …………………………………………13 分 8 56 56 56 2
17. 解:(Ⅰ) f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? m ,

? 1 ? m ? m ? 1 ? 0 , m ? 1 ,…………………………3 分 4 ? ∴ f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) , 4 ? ? 3? 所以当 2 x ? ? ? 2k? ,即 x ? ? k? , k ? Z 时, f ( x) 取最大值 2 . ……6 分 4 2 8
∴ f ( ) ? sin

?

?

8

4

? cos

?

(Ⅱ) f ( ) ?

?

2

? 3 ? 3 2 ,∴ sin(? ? ) ? ,……………………8 分 2 sin(? ? ) ? 4 5 4 5

∵ ? ? (0, ) , ∴ ? ?

?

?

2

? (? , ) , 4 4 4

? ?

∴ cos(? ?

?
4

) ? 1 ? sin 2 (? ?

?
4

)?

4 , ………………………………………10 分 5

∴ sin ? ? sin[(? ?

2 ? 2 ? ? sin(? ? ) ? cos(? ? ) )? ] ? 2 4 2 4 4 4 2 3 4 7 2 . ………………………………………………13 分 ? ( ? )? 2 5 5 10

?

18. 解(Ⅰ) 证明:在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60o,

∴ AB ? 2 , AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos 60? ? 3 , ∴ AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ,∴ AC ? BC ,……………………3 分 又平面 ACFE⊥平面 ABCD,AC 是交线, BC ? 平面 ABCD, ∴ BC⊥平面 ACFE. ……………………………………5 分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,AC、BC、CF 两两垂直,以 C 为原点,AC、BC、CF 所在的直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系(如图), 则 A( 3,, , B (0, 0) ,设 M (a,, , 0 0) 1 , 0 1) 则 AB ? (? 3 ,1,0) , BM ? (a,?1,1) , …………………7 分 设 m ? ( x, y, z ) 是平面 AMB 的法向量,则 M E D A x 第 18 题图 C B y z F

?m ? AB ? ? 3 x ? y ? 0, ? 取 x=1,得 m ? (1, 3 , 3 ? a ) , ? ?m ? BM ? ax ? y ? z ? 0, ?
显然 n ? (1, 0, 0) 是平面 FCB 的一个法向量,………………10 分

n 于是 cos ? m, ??

1 4 ? ( 3 ? a)2

?

2 , 2
…………………………12 分

化简得 2 ? ( 3 ? a ) 2 ? 0 ,此方程无实数解,

∴ 线段 EF 上不存在点 M 使得平面 MAB 与平面 FCB 所成的二面角为 45o.………13 分

a2 ? 4 2 2 ? 19. 解:(Ⅰ)由已知, b ? 2 ,又 e ? ,即 , a 2 2
解得 a ? 2 2 ,所以椭圆方程为

y P O Q 第 19 题图 M A N x

x y ? ? 1. 4 8

2

2

…………4 分

(Ⅱ)假设存在点 N ( x0 , 0) 满足题设条件. 当 PQ ⊥x 轴时, 由椭圆的对称性可知恒有 ?PNM ? ?QNM , 即 x0 ? R ; ……6 分

当 PQ 与 x 轴不垂直时,设 PQ 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,代入椭圆方程化简得:

(k 2 ? 2) x 2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 8 ? 0 .
设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

2k 2 k2 ?8 , x1 x2 ? , …………8 分 2 ? k2 2 ? k2

k PN ? kQN ?

y1 y2 k ( x1 ? 1) k ( x2 ? 1) ? ? ? x1 ? x0 x2 ? x0 x1 ? x0 x2 ? x0 k ( x1 ? 1)( x2 ? x0 ) ? k ( x2 ? 1)( x1 ? x0 ) , ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 )
………………………9 分

?

∵ ( x1 ? 1)( x2 ? x0 ) ? ( x2 ? 1)( x1 ? x0 ) ? 2 x1 x2 ? (1 ? x0 )( x1 ? x2 ) ? 2 x0

?

2(k 2 ? 8) 2(1 ? x0 )k 2 ? ? 2 x0 . 2 ? k2 2 ? k2
……………………………………11 分

若 ?PNM ? ?QNM , 则 k PN ? kQN ? 0 , 即 k[

2(k 2 ? 8) 2(1 ? x0 )k 2 ? ? 2 x0 ] ? 0 , 整理得 k ( x0 ? 4) ? 0 , 2 ? k2 2 ? k2

∵ k ? R ,∴ x0 ? 4 . 综上在 x 轴上存在定点 N (4, 0) ,使得 ?PNM ? ?QNM . ……………………13 分 20. (Ⅰ) 解:因为 f (1) ? 0 ,所以 a ln 2 ? a ? 1 ? 0 ,

1 . ……………………………………………………3 分 ln 2 ? 1 a?2 ?2 x( x ? ) a 2 ,…………………………4 分 (Ⅱ) f ?( x) ? ? a ? 2x ? x ?1 x ?1 a?2 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 ,或 x ? ? ,又 f ( x) 的定义域为 (?1, ??) . 2 a?2 ①当 ? ? ?1 ,即 a ? 0 时,若 x ? (?1, 0) ,则 f ?( x) ? 0 , f ( x) 递增;若 x ? (0, ??) , 2
解得 a ? 则 f ?( x) ? 0 , f ( x) 递减;所以 f ( x)极大值 ? f (0) ? 0 ,无极小值. ②当 ?1 ? ?

a?2 a?2 ? 0 ,即 ?2 ? a ? 0 时,若 x ? (?1, ? ) ,则 f ?( x) ? 0 , f ( x) 递减; 2 2 a?2 若 x ? (? , 0) ,则 f ?( x) ? 0 , f ( x) 递增;若 x ? (0, ??) ,则 f ?( x) ? 0 , f ( x) 递 2 a?2 a a2 ? 4 减; 所以 f ( x)极小值 =f ( ? , f ( x)极大值 ? f (0) ? 0 . ) ? a ln(? ) ? 2 2 4 a?2 ③当 ? ? 0 ,即 a ? ?2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (?1, ??) 内递减, f ( x) 无极值. 2 a?2 a?2 ④当 ? 即 若 则 若 ? 0 , a ? ?2 时, x ? (?1, 0) , f ?( x) ? 0 ,f ( x) 递减; x ? (0, ? ), 2 2 a?2 则 f ?( x) ? 0 , f ( x) 递增;若 x ? (? , ??) ,则 f ?( x) ? 0 , f ( x) 递减; 2

所以 f ( x)极小值 ? f (0) ? 0 , f ( x)极大值 =f ( ?

a?2 a a2 ? 4 . ………9 分 ) ? a ln(? ) ? 2 2 4

(Ⅲ)由(Ⅱ)知当 a ? 1 时, f ( x) 在 [0,? ?) 上递减, f ( x) ? f (0) , ln( x ? 1) ? x ? x 2 , ∴ 即

1 1 i ?1 ? (i ? 1,,, ,n) , 2 3? i i2 i2 3 n ?1 3 n ?1 ∴ ln 2 ? ln ? ? ? ln ? 2 ? ??? 2 , 2 n 4 n 3 n ?1 ∴ ln(n ? 1) ? 2 ? ? ? ? 2 . ……………………………………………14 分 4 n
∵ ? 0 ,∴ ln(1 ? ) ? ?

1 i

1 i

21(1). 解:(I)当 a ? 2,b ? 3 时, M 的行列式 det( M ) ? ?5 ,

? 1 2? ??5 5 ? ?1 故所求的逆矩阵 M ? ? ?. ?3 ? 1? ? ? 5? ?5

………………………………………3 分

(II)设曲线 C 上任意一点 P ( x,y ) ,它在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到点

? x ? ay ? x?, ?1 a? ? x ? ? x'? P '( x?,y ?) ,则 ? ? ? ? ? ? ? ,即 ? ? b 1 ? ? y ? ? y '? ?bx ? y ? y ?,
又点 P?( x?,y ?) 在曲线 C ' 上,所以 x? 2 ? 2 y ? 2 ? 1 ,则 ( x ? ay ) 2 ? 2(bx ? y ) 2 ? 1 , 即 (1 ? 2b 2 ) x 2 ? (2a ? 4b) xy ? ( a 2 ? 2) y 2 ? 1 为曲线 C 的方程,……………………5 分 又已知曲线 C 的方程为 x 2 ? 4 xy ? 2 y 2 ? 1 ,

?1 ? 2b 2 ? 1 ? 比较系数可得 ?2a ? 4b ? 4 ,解得 b ? 0 ,a ? 2 ,∴ a ? b ? 2 .…………………7 分 ? 2 ?a ? 2 ? 2
21(3). 解:(Ⅰ)由题意得 f ( x) ? 1 ,即 | x ? 3 | ?2 ? 1 因为 | x ? 3 |? 3 ? ?3 ? x ? 3 ? 3 ? 0 ? x ? 6 , 所以 x 的取值范围是[0,6]. ……………………………………………………3 分 得 | x ? 3 |? 3 ,

(Ⅱ) f ( x) ? g ( x) ?| x ? 3 | ? | x ? 1| ?6 , 因为对于 ?x ? R , f ( x) ? g ( x) ?| x ? 3 | ? | x ? 1| ?6 ?| 3 ? x | ? | x ? 1| ?6

?| (3 ? x) ? ( x ? 1) | ?6 ? 4 ? 6 ? ?2 .
于是有 m ? 1 ? ?2 ,得 m ? ?3 ,即 m 的取值范围是 (??,?3] ………………7 分


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