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高中数学必修二第三章学案


嫩江一中高中数学导学案(必修 2)
设计(主备人) 王杰 学生姓名 审核人 学号 马金香 授课时间 课前批改 编号 课后批改 22

※ 典型例题 例 1 已知直线的倾斜角,求直线的斜率: ⑴ ? ? 30? ;⑵ ? ? 135? ;⑶ ? ? 60? ;⑷ ? ? 90?

§3.1 直线的倾斜角与斜率
学习目标 1.理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率; 2.掌握过两点的直线斜率的计算公式; 3.能用公式和概念解决问题. 学习过程 一、新课导学 ※ 学习探究 新知 1: 当直线 l 与 x 轴相交时, x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 ? 取 叫做直线 l 的倾斜角(angle of inclination). 关键:①直线向上方向;② x 轴的正方向;③小于平角的正角. 注意:当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度.. 试试:请描出下列各直线的倾斜角.

变式:已知直线的斜率,求其倾斜角. ⑴ k ? 0 ; ⑵ k ? 1 ;⑶ k ? ? 3 ;⑷ k 不存在.

例 2 求经过两点 A(2,3), B(4, 7) 的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是 钝角.

※ 动手试试 练 1. 求经过下列两点直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角还是钝角. ⑴ A(2,3), B(?1, 4) ;⑵ A(5, 0), B(4, ?2) .

练 2.判断 A(?2,12), B(1,3), C (4, ?6) 三点的位置关系,并说明理由.

反思:直线倾斜角的范围? 新知 2:一条直线的倾斜角 ? (? ?

?

※ 学习小结 1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角,直线斜角的范围是 [0,180? ) . 2.直线斜率的求法:⑴利用倾斜角的正切来求;⑵利用直线上两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 的坐标 1
) 的正切值叫做这条直线的斜率(slope).记为 k ? tan ? .

2 试试:已知各直线倾斜角,则其斜率的值为 ⑴当 ? ? 0o 时,则 k ; ⑵当 0o ? ? ? 90o 时,则 k ⑶当 ? ? 90o 时,则 k ; ⑷当 900 ? ? ? 180o 时,则 k

; .

y2 ? y1 . x2 ? x1 1.已知直线上两点 A(a1 , a2 ), B(b1 , b2 ), 运用上述公式计算直线的斜率时,与 A, B 两点坐标的顺 序有关吗?

新知 3:已知直线上两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) 的直线的斜率公式: k ? 1

来求;⑶当直线的倾斜角 ? ? 90? 时,直线的斜率是不存在的 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列叙述中不正确的是( ). A.若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应 B.每一条直线都惟一对应一个倾斜角 C. 与坐标轴垂直的直线的倾斜角为 0o 或 90? D. 若直线的倾斜角为 ? , 则直线的斜率为 tan ? 2. 经过 A(?2, 0), B(?5,3) 两点的直线的倾斜角( ). A. 45? B. 135? C. 90? D. 60? 3. 过点 P(-2,m)和 Q(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为( ). A.1 B.4 C.1 或 3 D.1 或 4 4. 直线经过二、三、四象限, l 的倾斜角为 ? ,斜率为 k ,则 ? 为 角; k 的取值范 围 . 5. 已知直线 l1 的倾斜角为 ? 1,则 l1 关于 x 轴对称的直线 l2 的倾斜角 ? 2 为________.
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2.当直线平行于 y 轴时,或与 y 轴重合时,上述公式还需要适用吗?为什么?

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之,如果它们的斜率互为负倒数,则它们互相垂直.即 l1 ? l2 ? k1 ? ?

1 ? k1k2 ? ?1 k2

※ 典型例题 例 1 已知 A(2,3), B(?4, 0), P(?3,1), Q(?1, 2) ,试判断直线 BA 与 PQ 的位置关系, 并证明 你的结论.

§3.2 两直线平行与垂直的判定
学习目标 1. 熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件, 能够根据直线的方程判断两条直线 的位置关系; 学习过程 一、课前准备: 复习 1:1.已知直线的倾斜角 ? (? ? 90? ) ,则直线的斜率为 ;已知直线上两 点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 且 x1 ? x2 ,则直线的斜率为 . 二、新课导学: ※ 学习探究 问题 1:特殊情况下的两直线平行与垂直.当两条直线中有一条直线没有斜率时: (1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角为 ,两直线位置关系是 . (2)当另一条直线的斜率为 0 时,一条直线的倾斜角为 ,另一条直线的倾斜 角为 ,两直线的位置关系是 . y l1 问题 2:斜率存在时两直线的平行与垂直.设直线 l1 和 l 2 的斜 l2 率为 k1 和 k 2 . ?2 ?1 x ⑴ 两条直线平行的情形.如果 l1 // l 2 ,那么它们的倾斜角与 斜率是怎么的关系,反过来成立吗?
O

例 2 已知 A(1, ?1), B(2, 2), C (3, 0) 三点,求点 D 的坐标,使直线 CD ? AB ,且 CB // AD .

变式:已知 A(5, ?1), B(1,1), C (2,3) ,试判断三角形 ABC 的形状.

新知 1:两条直线有斜率且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之, 如果它们的斜率相等,则它们平行,即 l1 // l2 ? k1 = k2 注意,上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前 提,结论并不存立. ⑵两条直线垂直的情形.如果 l1 ? l2 , 那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系, 反过 来成立吗?
y
y

三、总结提升:※ 学习小结: 1. l1 // l2 ? k1 ? k2 或 l1 , l2 的斜率都不存在且不重合. 2. l1 ? l2 ? k1 ?k2 ? ?1 或 k1 ? 0 且 l2 的斜率不存在,或 k2 ? 0 且 l1 的斜率不存在. ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列说法正确的是( ). A.若 l1 ? l2 ,则 k1 ?k2 ? ?1 B.若直线 l1 // l2 ,则两直线的斜率相等 C.若直线 l1 、 l2 的斜率均不存在,则 l1 ? l2 D.若两直线的斜率不相等,则两直线不平行 2. 过点 A(1, 2) 和点 B(?3, 2) 的直线与直线 y ? 1 的位置关系是( ). A.相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对 3. 经过 (m,3) 与 (2, m) 的直线 l 与斜率为 ?4 的直线互助垂直,则 m 值为( ).
7 14 14 C. ? D. 5 5 5 4. 已知三点 A(a, 2), B(5,1), C (?4, 2a) 在同一直线上,则 a 的值为

A. ?

7 5

B.

y
l2

l1 ?2
O

l2 ?1
x

l1

l1 ?1
x
O

l2 ?2
x

?1
O

?2

. 5. .. 试确定 m 的值,使过点 A(m,1), B(?1, m) 的直线与过点 P(1, 2), Q(?5, 0) 的直线 ⑴ 平行; ⑵垂直







新知 2:两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,则它们的斜率互为负倒数;反
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⑶直线过点 (?1, 2) ,且过原点的直线方程 例 2 写出下列直线的斜截式方程, 3 ⑴ 斜率是 ,在 y 轴上的距截是-2; 2

.

§ 3.2.1 直线的点斜式方程
学习目标 1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围; 2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程; 3.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 学习过程 一、课前准备: 复习 1.已知直线 l1 , l2 都有斜率,如果 l1 // l2 ,则 ;如果 l1 ? l2 ,则 . 2.直线的倾斜角与斜率有何关系?什么样的直线没有斜率? 二、新课导学: ※ 学习探究 新知 1:已知直线 l 经过点 P( x0 , y0 ) ,且斜率为 k ,则方程 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 为直线的点斜式 方程. 问题 2:直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢? 问题 3:⑴ x 轴所在直线的方程是 , y 轴所在直线的方程是 . ⑵经过点 P0 ( x0 , y0 ) 且平行于 x 轴 (即垂直于 y 轴) 的直线方程是 . ⑶经过点 P0 ( x0 , y0 ) 且平行于 y 轴(即垂直于 x 轴)的直线方程是 . 问题 4:已知直线 l 的斜率为 k ,且与 y 轴的交点为 (0, b) ,求直线 l 的方程. 新知 2:直线 l 与 y 轴交点 (0, b) 的纵坐标 b 叫做直线 l 在 y 轴上的截距(intercept).直线 y ? kx ? b 叫做直线的斜截式方程. 注意:截距 b 就是函数图象与 y 轴交点的纵坐标. 问题 5:能否用斜截式表示平面内的所有直线? 斜截式与我们学过的一次函数表达式比较你 会得出什么结论. ※ 典型例题 例 1 直线过点 (?1, 2) ,且倾斜角为 135? ,求直线 l 的点斜式和斜截式方程,.



斜角是 1350 ,在 y 轴上的距截是 0

变式:已知直线的方程 3x ? 2 y ? 6 ? 0 ,求直线的斜率及纵截距.

※ 动手试试 练 1. 求经过点 (1, 2) ,且与直线 y ? 2 x ? 3 平行的直线方程.

练 2. 求直线 y ? 4 x ? 8 与坐标轴所围成的三角形的面积.

:※ 学习小结 1.直线的方程:⑴点斜式 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ;⑵斜截式 y ? kx ? b ;这两个公式都只能在斜率 存在的前提下才能使用. ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 过点 (4, ?2) ,倾斜角为 135? 的直线方程是( ). A. 3x ? y ? 2 ? 4 3 ? 0 B. 3x ? 3 y ? 6 ? 4 3 ? 0 C. x ? 3 y ? 2 3 ? 4 ? 0 D. x ? 3 y ? 2 3 ? 4 ? 0 2. 已知直线的方程是 y ? 2 ? ? x ? 1 ,则( ). A.直线经过点 (2, ?1) ,斜率为 ?1 B.直线经过点 (?2, ?1) ,斜率为 1 C.直线经过点 (?1, ?2) ,斜率为 ?1 D.直线经过点 (1, ?2) ,斜率为 ?1 3. 直线 kx ? y ? 1 ? 3k ? 0 ,当 k 变化时,所有直线恒过定点( ). A. (0,0) B. (3,1)C. (1,3) D. (?1, ?3) 4. 直线 l 的倾斜角比直线 y ?
2 1 ? 的倾斜角大 45? ,且直线 l 的纵截距为 3,则直线的方 2 2

程 . 5. 已知点 A(1, 2), B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程 变式:⑴直线过点 (?1, 2) ,且平行于 x 轴的直线方程 ⑵直线过点 (?1, 2) ,且平行于 x 轴的直线方程
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.

; ;
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※ 典型例题 例 1 求过下列两点的直线的两点式方程,再化为截距式方程. ⑴ A(2,1), B(0, ?3) ; ⑵ A(?4, ?5), B(0, 0) .

§ 3.2.2 直线的两点式方程
学习目标 1.掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围; 2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围. 学习过程 一、课前准备: 复习 1:直线过点 (2, ?3) ,斜率是 1,则直线方程为 直线的倾斜角为 60 ,纵截距为 ?3 ,则直线方程为 2.与直线 y ? 2 x ? 1 垂直且过点 (1, 2) 的直线方程为
?

※ 动手试试 练 1.求出下列直线的方程。 ⑴ 倾斜角为 45 0 ,在 y 轴上的截距为 0; ; . . 2、 在 x 轴上的截距为-5,在 y 轴上的截距为 6;

二、新课导学: ※ 学习探究 新知 1:已知直线上两点 P ( x1 , x2 ), P2 ( x2 , y2 ) 且 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,则通过这两点的直线方程为 1 y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,由于这个直线方程由两点确定,所以我们把它叫直线的两 y2 ? y1 x2 ? x1 点式方程,简称两点式(two-point form). 问题 1:哪些直线不能用两点式表示? 例 已知直线过 A(1, 0), B(0, ?2) ,求直线的方程.

3、 在 x 轴上截距是-3,与 y 轴平行;

⑷ 在 y 轴上的截距是 4,与 x 轴平行.

三、总结提升: ※ 学习小结 1.直线方程的各种形式: 2. 中点坐标公式:已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 AB 的中点 M ( x, y ) ,则 x ?
x2 ? x1 y ? y1 . ,y? 2 2 2

新知 2:已知直线 l 与 x 轴的交点为 A(a, 0) ,与 y 轴的交点为 B(0, b) ,其中 a ? 0, b ? 0 ,则

x y ? ? 1 叫做直线的截距式方程. a b 注意: 直线与 x 轴交点 a ,0) ( 的横坐标 a 叫做直线在 x 轴上的截距; 直线与 y 轴交点 (0, b ) 的纵坐标 b 叫做直线在 y 轴上的截距. 问题 3: a , b 表示截距,是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离?
直线 l 的方程 问题 4:到目前为止,我们所学过的直线方程的表达形式有多少种?它们之间有什么关系?

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 直线 l 过点 (?1, ?1), (2,5) 两点,点 (1002, b) 在 l 上,则 b 的值为( ). A.2003 B.2004 C.2005 D.2006 2. 若直线 Ax ? By ? C ? 0 通过第二、三、四象限,则系数 A, B, C 需满足条件( A. A, B, C 同号 B. AC ? 0, BC ? 0 C. C ? 0, AB ? 0 D. A ? 0, BC ? 0 3. 直线 y ? ax ? b ( a ? b ? 0 )的图象是( )
y
y

)

y

y

-1

O

x

-1

O

x

O

x

O

1

x

D C A B 4. 在 x 轴上的截距为 2,在 y 轴上的截距为 ?3 的直线方程 5. 直线 y ? 2 x ? 1 关于 x 轴对称的直线方程 ,关于 y 轴对称的直线方程 关于原点对称的方程 .
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. ,

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变式:求下列直线的斜率和在 y 轴上的截距 x y ⑴ 3x ? y ? 5 ? 0 ;⑵ ? ? 1 ;⑶ x ? 2 y ? 0 ;⑷ 7 x ? 6 y ? 4 ? 0 ;⑸ 2 y ? 7 ? 0 . 4 5

§ 3.2.3 直线的一般式方程
学习目标 1.明确直线方程一般式的形式特征; 2.会把直线方程的一般式化为斜截式,进而求斜率和截距; 3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式. 学习过程 一、课前准备: 复习 1:写出我们所学过的直线方程的表达形式? ※ 动手试试 练 1.根据下列各条件写出直线的方程,并且化成一般式: 1 1、 斜率是 ? ,经过点 A(8, ?2) ; 2 ⑵ 经过点 B(4, 2) ,平行于 x 轴;

3 ⑶ 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 , ?3 ; 2

⑷ 经过两点 P (3, ?2), P2 (5, ?4) . 1 二、新课导学: ※ 学习探究 新知:关于 x, y 的二元一次方程 Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不同时为 0)叫做直线的一般式方程, 简称一般式(general form) . 注意:直线一般式能表示平面内的任何一条直线. 问题 1:直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比,它有什么优点? 问题 2:在方程 Ax ? By ? C ? 0 中, A, B, C 为何值时,方程表示的直线⑴平行于 x 轴;⑵平 行于 y 轴;⑶与 x 轴重合;⑷与 y 重合. ※ 典型例题 例 1 已知直线经过点 A(6, ?4) ,斜率为
1 ,求直线的点斜式和一般式方程. 2

※ 学习小结 1.通过对直线方程的四种特殊形式的复习和变形,概括出直线方程的一般形式: ; Ax ? By ? C ? 0 (A、B 不全为 0) 2.点 ( x0 , y0 ) 在直线 Ax ? By ? C ? 0 上 ? Ax0 ? By0 ?C ? 0 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1 斜率为 ?3 ,在 x 轴上截距为 2 的直线的一般式方程是( ). A. 3x ? y ? 6 ? 0 B. 3x ? y ? 2 ? 0 C. 3x ? y ? 6 ? 0 D. 3x ? y ? 2 ? 0 2. 若方程 Ax ? By ? C ? 0 表示一条直线,则( A. A ? 1 B. B ? 0 C. AB ? 0 ). D. A2 ? B 2 ? 0

3. 已知直线 l1 和 l2 的夹角的平分线为 y ? x , 如果 l1 的方程是 ax ? by ? c ? 0(ab ? 0) , 那么 l2 的 方程为( ). A. bx ? ay ? c ? 0 B. ax ? by ? c ? 0 C. bx ? ay ? c ? 0 D. bx ? ay ? c ? 0 例 2 把直线 l 的一般式方程 x ? 2 y ? 6 ? 0 化成斜截式,求出直线 l 的斜率以及它在 x 轴与 y 轴 上的截距。 4. 直线 2 x ? y ? 7 ? 0 在 x 轴上的截距为 a ,在 y 轴上的截距为 b ,则 a ? b ? 5. 直线 l1 : 2 x ? (m ? 1) y ? 4 ? 0 与直线 l2 : mx ? 3 y ?2 ? 0 平行,则 m ? . .

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例 2 求经过两直线 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 和 x ? y ? 2 ? 0 的交点且与直线 3x ? y ? 1 ? 0 平行的直线方 程.

§3.3.1 两条直线的交点坐标
学习目标 1.掌握判断两直线相交的方法;会求两直线交点坐标;? 2.体会判断两直线相交中的数形结合思想. 学习过程 一、课前准备: 1.经过点 A(1, ?2) ,且与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直的直线 . 2.点斜式、斜截式、两点式和截距式能否表示垂直于坐标轴的直线? 3.平面直角系中两条直线的位置关系有几种? 二、新课导学: ※ 学习探究 问题 1:已知两直线方程 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ,l2 : A2 x ? B2 y ?C2 ? 0 ,如何判断这两条直线的 位置关系? 问题 2:如果两条直线相交,怎样求交点坐标?交点坐标与二元一次方程组有什关系? ※ 典型例题 例 1 求下列两直线 l1 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 , l2 : 2 x ? y ? 2 ? 0 的交点坐标. 变式:求经过两直线 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 和 x ? y ? 2 ? 0 的交点且与直线 3x ? y ? 1 ? 0 垂直的直线方 程.

三、总结提升:※ 学习小结
? A x ? B1 y ? C1 ? 0 1.两直线的交点问题.一般地,将两条直线的方程联立,得方程组 ? 1 ,若方 ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 程组有唯一解,则两直线相交;若方程组有无数组解,则两直线重合;若方程组无解,则两 直线平行. 2.直线与直线的位置关系,求两直线的交点坐标,能将几何问题转化为代数问题来解决. ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 两直线 l1 : x ? 2 y ? 1 ? 0, l2 : ? x ? 2 y ? 2 ? 0 的交点坐标为( ). 1 3 1 3 1 3 1 3 A. ( , ) B. ( , ? ) C. (? , ? ) D. (? , ) 2 4 2 4 2 4 2 4 2. 两条直线 3x ? 2 y ? n ? 0 和 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的位置关系是( ). A.平行 B.相交且垂直 C.相交但不垂直 D.与 n 的值有关 3. 与直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 关于点 (1, ?1) 对称的直线方程是( ). A. 3x ? 2 y ? 2 ? 0 B. 2 x ? 3 y ? 7 ? 0 C. 3x ? 2 y ? 12 ? 0 D. 2 x ? 3 y ? 8 ? 0

变式:判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交点坐标. ⑴ l1 : x ? y ? 0 , l2 : 3x ? 3 y ? 10 ? 0 ;

⑵ ⑵ l1 : 3x ? y ? 0 , l2 : 6 x ? 3 y ? 0 ;

4. 光线从 M (?2,3) 射到 x 轴上 的一点 P(1, 0) 后被 x 轴反 射,则反射光线所在的 直线方 程 . 5. 已知点 A(5,8), B(4,1) ,则点 A 关于点 B 的对称点 C 的坐标 . 6、 已知两点 A(?2,1), B(4,3) ,求经过两直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 和 3x ? 2 y ? 1 ? 0 的交点和线段 AB 中点的直线 l 的方程.

⑶ l1 : 3x ? 4 y ? 5 ? 0 , l2 : 6 x ? 8 y ? 10 ? 0 .
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※ 动手试试 练 1.已知点 A(1, 2), B(3, 4), C (5, 0) ,求证: ?ABC 是等腰三角形.

§ 3.3.2 两点间的距离
学习目标 1.掌握直角坐标系两点间距离,用坐标法证明简单的几何问题. 2.通过两点间距离公式的推导,能更充分体会数形结合的优越性. 3.体会事物之间的内在联系, ,能用代数方法解决几何问题. 学习过程 一、课前准备: 1.直线 mx ? y ? m ? 0 ,无论 m 取任意实数,它都过点 二、新课导学: ※ 学习探究 特殊地: P( x, y ) 与原点的距离为 OP ? x 2 ? y 2 . 练 2.已知点 A(4,12) ,在 x 轴上的点 P 与点 A 的距离等于 13,求点 P 的坐标.

.

新知:已知平面上两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ,则 P P2 ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 . 1 1

三、总结提升 ※ 学习小结 1.坐标法的步骤:①建立适当的平面直角坐标系,用坐标表示有关的量;②进行有关的代数 运算;③把代数运算结果“翻译”成几何关系. ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 两点 A(?1,3), B(2,5) 之间的距离为( ). A. 2 3 B. 13 C. 11 D. 3 2. 以点 A(?3, 0), B(3, ?2), C (?1, 2) 为顶点的三角形是( )三角形. A.等腰 B.等边 C.直角 D.以上都不是 3. 直线 a x +2 y +8=0,4 x +3 y =10 和 2 x - y =10 相交于一点,则 a 的值( A. ?2 B. 2 C. 1 D. ?1 4. 已知点 A(?1, 2), B(2, 7) ,在 x 轴上存在一点 P ,使 PA ? PB ,则 PA ?

※ 典型例题 例 1 已知点 A(8,10), B(?4, 4) 求线段 AB 的长及中点坐标.

). .

5. 光线从点 M(-2,3)射到 x 轴上一点 P(1,0)后被 x 轴反射,则反射光线所在的直线的方 程 . 变式:已知点 A(?1, 2), B(2, 7) ,在 x 轴上求一点,使 PA ? PB ,并求 PA 的值. 6. 经过直线 y ? 2 x ? 3 和 3x ? y ? 2 ? 0 3 的交点,且垂直于第一条直线.

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※ 典型例题 例 1 已知点 A(1,3), B(3,1), C (?1, 0) ,求三角形 ABC 的面积.

§ 3.3 点到直线的距离及两平行线距离
学习目标 1.理解点到直线距离公式的推导,熟练掌握点到直线的距离公式; 2.会用点到直线距离公式求解两平行线距离 3.认识事物之间在一定条件下的转化.用联系的观点看问题 学习过程 一、课前准备: 复习 1.已知平面上两点 A(0,3), B(?2,1) ,则 AB 的中点坐标为 , AB 间的长度为 二、新课导学: ※ 学习探究 新 知 1 : 已 知 点 P( x0 , y0 ) 和 直 线 l : Ax ? By ? C ? 0 , 则 点 P 到 直 线 l 的 距 离 为 : . A2 ? B 2 注意:⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离; ⑵在运用公式时,直线的方程要先化为一般式. 例 分别求出点 A(0, 2), B(?1, 0) 到直线 3x ? 4 y ? 1 ? 0 的距离.
d? Ax0 ? By0 ? C

例 2 求两平行线 l1 : 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 , l2 : 4 x ? 6 y ?1 ? 0 的距离.

※ 动手试试 练 1. 求过点 A(?1, 2) ,且到原点的距离等于
2 的直线方程. 2

练 2.求与直线 l : 5 x ? 12 y ? 6 ? 0 平行且到 l 的距离为 2 的直线方程.

新知 2:已知两条平行线直线 l1 Ax ? By ? C1 ? 0 , l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l2 的距离为
A2 ? B 2 注意:应用此公式应注意如下两点: (1)把直线方程化为一般式方程; (2)使 x, y 的系数相 等.
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三、总结提升:※ 学习小结 1.点到直线距离公式的推导过程,点到直线的距离公式,能把求两平行线的距离转化为点到 直线的距离公式 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 求点 P(?5, 7) 到直线 12 x ? 5 y ? 3 ? 0 的距离( ) 14 28 A. 1 B. 0 C. D. 13 13 2. 过点 (1, 2) 且与原点距离最大的直线方程是( ). A. x ? 2 y ? 5 ? 0 B. 2 x ? y ? 4 ? 0 C. x ? 3 y ? 7 ? 0 D. 3x ? y ? 5 ? 0 3. 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是( ). A. x ? y ? 0 B. x ? y ? 0 C. x ? y ? 0 D. x ? y ? 0 4. 两条平行线 3 x -2 y -1=0 和 3x-2 y +1=0 的距离 5. 在坐标平面内, 与点 A(1, 2) 距离为 1, 且与点 B(3,1) 距离为 2 的直线共有 条.

d?

C1 ? C2

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嫩江一中高中数学导学案(必修 2)
设计(主备人) 王杰 学生姓名 审核人 学号 马金香 授课时间 课前批改 编号 课后批改 29

例 2、 已知两直线 l1 : ax ? by ? 4 ? 0 ,l2 : (a ? 1) x ? y ?b ? 0 , 求分别满足下列条件的 a, b 的值. ⑴ 线 l1 过点 (?3, ?1) ,并且直线 l1 与直线 l2 垂直;

§ 3.3.3 章未复习提高
学习目标 1. 掌握直线的倾斜角的概念、斜率公式; 2. 掌握直线的方程的几种形式及其相互转化,以及直线方程知识的灵活运用; 3. 掌握两直线位置关系的判定,点到直线的距离公式及其公式的运用. 学习过程 一、课前准备: 复习知识点: 一.直线的倾斜角与斜率 1. 倾斜角的定义 斜率公式 k ? ,或 二.直线的方程 1. 点斜式: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 4.截距式:

, 倾斜角 ? 的范围 . 2.斜截式: y ? kx ? b 3.两点式:
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1



三、总结提升:※ 学习小结 1.理解直线的倾斜角和斜率的要领,掌握过两点的斜率公式;掌握由一点和斜率写出直线方 程的方法,掌握直线方程的点斜式、两点式、一般 式,并能根据条件熟练地求出直线方程. 2.掌握两条直线平行和垂直的条件,点到直线的距离公式;能够根据直线方程判断两直线的 位置关系. ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 点 (3,9) 关于直线 x ? 3 y ? 10 ? 0 对称的点的坐标是( ). A. (?1, ?3) B. (17, ?9) C. (?1,3) D. (?17,9) 2.方程 (a ? 1) x ? y ? 2a ? 1 ? 0(a ? R) 所表示的直线( ). A.恒过定点 (?2,3) B.恒过定点 (2,3) C.恒过点 (?2,3) 和 (2,3) D.都是平行直线 3.已知点 (3, m) 到直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 的距离等于 1,则 m ? ( A. 3 B. ? 3 C. ? ).
3 3 D. 3 或 ? 3 3 4.已知 P(3, a) 在过 M (2, ?1) 和 N (?3, 4) 的直线上,则 a ?

x y 5.一般式: Ax ? By ? C ? 0 ? ?1 a b 三.两直线的位置关系 1. 两直线平行 2. 两直线相交.⑴两直线垂直,⑵两直线相交 3. 两直线重合 四.距离 1. 两点之间的距离公式 , 2. 点线之间的距离公式 , 3. 两平行直线之间的距离公式 . 新课 例 1 、求经过直线 3x ? 2 y ? 6 ? 0 和 2 x ? 5 y ? 7 ? 0 的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直

. .

5. 将直线 y ? ? 3( x ? 2) 绕点 (2,0) 按顺时针方向旋转 30o ,所得的直线方程是 6.已知直线 l1 : x ? ay ? 2a ? 2 ? 0, l2 : ax ? y ? 1 ?a ? 0 . ⑴若 l1 // l2 ,试求 a 的值; ⑶ l1 ? l2 ,试求 a 的值

线方程.

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