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浙江省永嘉县楠江中学2013届高三上学期期中考试数学(文)试题

一、选择题(共 10 道小题,每一小题只有一个答案正确,每题 5 分,共 50 分) 1 、 已 知 R 是 实 数 集 , 集 合 P ? x x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , Q ? x ln x ? 1 , 则P I CRQ ? ( ) A、 ?? 3,1? 2、复数 B、 ?1? C、 ?? 3? ) C、第三象限 D、第四象限 ) D、 ?e?

?

?

?

?

2?i 在复平面上对应的点在( 3?i
B、第二象限

A、第一象限

3、已知 a, b, c 表示不同的直线, ? , ? , ? 表示不同的平面,则下列命题正确的是( A、 a ? c, b ? c ? a Pb C、 a Pb, b P? ? a P? B、 ? ? ? , ? ? ? ? ? P ? D、 a ? ? , b ? ?、? P ? ? a P b ) D、 ?

4、已知直线 y ? 3x ? 1 的倾斜角为 ? ,则 tan 2? =( B、 ? 3

A、 3

C、

3 3

3 3


5、掷两颗骰子,它的正面朝上的点数之和为 6 的概率为( A、

1 6

B、

5 12

C、

5 36


D、

1 9

6、已知 a, b ? R, 则 " a ? b " 是 "

1 1 ? " 的( a b

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件

C、充分条件 D、非充分非必要条件

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 7、若实数 x, y 满足: ? 2 x ? y ? 4 ? 0 , Z ? ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 , 则 Z 的取值范围为( ? x? y?2?0 ?
A、 ?



?2 5 ? ,2? ? ? 5 ?

B、 ? , 4 ?

?4 ?5

? ?

C、 ?

?4 ? ,4 ?5 ? ?

D、 ? , 4 ? 5

?4 ?

? ?

8、离心率 e ?

5 ?1 的椭圆称为“优美椭圆” a, b, c 分别表示椭圆的长半轴长,短半轴长, , 2
) B、 b 是 a , c 的等比中项;

半焦距长,则满足“优美椭圆”的是( A、 b 是 a , c 的等差中项;

C、2 b 是 a , c 的等差中项;

D、 b 是 a, 4c 的等比中项. )

9、用一个平面截一个长方体,截出的截面是一个三角形,则这个三角形的形状是( A、锐角三角形 10、已知函数 y ? A、1 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定 )
2

ax 2 ( x ? 1) 有最大值 ?4 ,则 a 的值为( x ?1
C、4 D、 ?4

B、 ?1

3

二、填空题(共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)
2

11、已知一个奇函数的定义域为 ??1, 2, a, b? , 则 a ? b = 12、某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老 年职工 150 人,为了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方 法从中抽取样本,若样本中的青年职工为 7 人,则样本容量为 ___人 13、已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图,侧视图,都 是由半圆和矩形组成,由图中标出的尺寸,计算这个几何体的表 面积是 14、按如图所示程序框图运算,若输出 k ? 2 ,则输入的 x 的取值范围是 15、已知菱形 ABCD 的边长为 2, ?DAB ? 60 的中点,则 AF ? BE = 16、对 a、b ? R, 记 max(a, b) ? ?
0

正视图

侧视图

俯视图 图1

,E、F 分别为 CD,BC

uuu uur r

?a(a ? b) ,函数 ?b(a ? b)
图2

f ( x) ? max( x ?1 , x ? 2 ) ? x ? R? 的最小值为
17、给出下列命题: (1)一个命题的逆命题与它的否命题不一定是等价关系; (2)若命题 P ? Q 是真命题,则 P ? Q 也是真命题;

(3)渐近线方程为 y ? ? x 的双曲线是等轴双曲线(实轴长等于虚轴长的双曲线) ; (4) 直线 y ? 1 与函数 y ? cos x(0 ? x ? 2? ) 的图象围成的图形面积正好是函数 y ? cos x

的周期; 其中命题判断正确的是 (填上你认为正确的序号)

三、解答题(共 5 题,第 18、19、20 题各 14 分,第 21、22 小题各 15 分) 18、已知 A ? 3, 2 , B 2sin x ? 1,sin x cos x , O 为坐标原点, f ( x) ? OA ? OB
2

?

? ?

?

uur uur u

(1)求 f ( x ) 的值域与最小正周期; (2)试描述函数 f ( x ) 的图象是由函数 y ? sin x 的图象经过怎样的变换得到? 19、 Sn 表示等差数列 ?an ? 的前 n 项的和,且 S4 ? S9 , a1 ? ?12 (1)求数列的通项 an 及 Sn ; (2)求和 Tn ? a1 ? a2 ? ?? ? an 20、在四棱锥 P ? ABCD 中(如图) 底面是正方形, ,

?PAD 是正三角形,平面 PAD ? 底面 ABCD ,
点 M , N 分别是 PC, AB 的中点. (1)求证: MN P平面PAD

P M

D

C N B

(2)求直线 PB与底面ABCD所成的角 的正切值。 21、已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ?1 在 x ? ?1 处取得极值。
3

A

(1)求 a 的值,并求 f ( x ) 在区间 ? ?2,3? 上的值域。 (2)若直线 y ? 9 x ? m与y ? f ( x) 的图像有三个不同的公共点,求 m 的取值范围。 22、已知动点 P( x, y) 到定点 F (1, 0) 的距离比它到定直线 x ? ?2 的距离小 1. (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)在轨迹 C 上是否存在两点 M、N,使这两点关于直线 l : y ? kx ? 3 对称,若存在, 试求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由。

数学参考答案(文科)

三、解答题

uur uur u 18、解: (1) OA ? (? 3,2), OB? ? (2sin2 x ?1,sin x cos x) ??1 分
f ( x) ? ? 3(2sin 2 x ? 1) ? 2sin x cos x ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ??5 3

?

故值域为 ? ?2, 2? ,周期为 T ? ? ??7 分 (2) 函数 y ? sin x 纵向不变, 横向图象缩短为原来的一半得到函数 y ? sin 2 x 的

? ? 个单位得到函数 y ? sin 2( x ? ) 的图象,再得 6 6 ? 到的图象横向不变,纵向伸长为原来的 2 倍得到 y ? 2sin(2 x ? ) 的图象。 3
图象;将得到的图象向左平移 这里三步变换,第一步和第三步都为 2 分,第二步为 3 分。有不同答案或 步骤不同,视情况给分。 19、 (1)Q S4 ? S9 , a1 ? ?12,?4 ? (?12) ? 6d ? 9 ? (?12) ? 36d ? d ? 2 ?? 解: 3分

?an ? ?12 ? 2(n ?1) ? 2n ?14, Sn ? ?12n ? n(n ?1) ? n2 ?13n ??7 分
(2)令,得 n ? 6 .当 n ? 6 时,Tn ? ?(a1 ? a2 ? ?? ?an ) ? ?Sn ? 13n ? n2 ?? 10



n ? 7时, an ? 0



Tn ? ?(a1 ? a2 ?

?

?a6 ) ? (a7 ?

?

?an ) ? Sn ? 2S6 ? n2 ?13n ? 84 ??14 分
20、解: (1)方法一: (利用面面平行)取 DC 的中点 E,连接 EM、EN,
Q M , N 分别是 PC、AB 的中点 ? ME P PD, NE P AD,?

平面 MNE P 平面 PAD ? MN P 平面 PAD ??7 分 方法二: (利用线线平行,一样得分,略) (2)取 AD 的中点 F,连接 PF,BF,
Q ?PAD 为正三角形,? PF ? AD,
M P

又平面 PAD ? 底面 ABCD ,
? PF ? 平面 ABCD,? ? PBF 是直线
A D N B

C

PB 与平面 ABCD 所成的角,??11 分 设 AD=2,则 PF ? 3, BF ? 5, 在 Rt ?PFB 中, tan ?PBF ?
PF 15 ??14 分 ? BF 5

22、解(1)由题意可知,动点 P 到定点和它到直线 x ? ?1 的距离相等,由 抛物线定义知点 P 的轨迹是以 F (1, 0) 为焦点,以直线 x ? ?1 为准线的抛物线,
? p ? 1 ? p ? 2,?轨迹方程为y 2 ? 4 x ??6 分 2

(2)设点 M (

y12 y2 , y1 ), N ( 2 , y2 ) 关于直线 l : y ? kx ? 3 对称,MN 的中点为 Q( x? , y? ) ,则 4 4

y2 ? y1 1 ? ? ? y1 ? y2 ? ?4k ? y? ? ?2k ,??9 分 2 2 y2 y1 k ? 4 4

Q( x? , y? ) 在直线 l : y ? kx ? 3 上,
? y? ? kx? ? 3 ? x? ? ?
即 (?2k ) ? 4(?
2

2k ? 3 , Q点Q在抛物线的内部? y?2 ? 4x? ??12 分 k

2k ? 3 k 3 ? 2k ? 3 (k ? 1)(k 2 ? k ? 3) )? ?0? ?0 k k k

1 11 k ?1 Q k 2 ? k ? 3 ? (k ? ) 2 ? ? 0 恒成立,? ?0 2 4 k
所以 k 的取值范围为 ? ?1,0? ??15 分