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江苏省淮安市淮海中学2017届高三上学期第一次阶段测试(10月)数学(理)试题Word版含答案.doc


淮海中学 2017 届高三第一次阶段性考试 数学试题(理科)
....... 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.把答案填写在答题卡相应位置上.
2 1.设集合 M ? ?? 1,0,1?, N ? x x ? x ? 0 ,则 M ? N ?

?

?

▲ .

2.命题“ ?x ? 1 ,使得 x ? 2 ”的否定是: ▲ .
2

3.

2 lg 32 ? lg 4 3 ? (27) ? lg 2
2

▲ .

4. “ x ? 1 ”是“ x ? x ”成立的 ▲ 条件. (填“充分不必要” “必要不充分” “充要”或“既不充分也不必要”) 5.幂函数 f ? x ? ? x
?

?? ? R? 过点 ? 2,

2 ,则 f ?16? ?

?

▲ .

2 6.若函数 f ? x ? ? log 2 ? x ? ax 的图像过点(2,2) ,则函数 f ? x ? 的值域为 ▲ .

?

?

7.若函数 f ? x ? ?

x?a 在区间( ??, 2 )上为单调递增函数,则实数 a 的取值范围是 ▲ . ex

8.已知 f ? x ? 在 R 上是偶函数,且满足 f (4 ? x) ? f ( x) ,若 x ? (0,2) 时, f ? x ? ? 2x2 , 则 f (7)= ▲ .

, 3) 内有零点,则实数 a 的取值范围为 ▲ . 9.设 f(x)=x2-2x+a.若函数 f(x)在区间 (?1
10.已知 f ( x) ? 3x x , 且 f (1 ? a ) ? f (2a) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是 ▲ . 11.已知曲线 S : y ? x3 +4 及点 A(1,5) ,则过点 A 的曲线 S 的切线方程为 ▲ .

?12x-x3, x≤0, ? 12.已知函数 f(x)=? 当 x∈(-∞, m] 时, f(x)的取值范围为 [-16, +∞), x>0. ?-2x, ?

则实数 m 的取值范围是 ▲ .

13. 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, 且当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? a ? a( a ? R ) . 若

?x ? R, f ( x ? 2016 ) ? f ( x) ,则实数 a 的取值范围是 ▲ .
1 14.已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,且 f(x)+g(x)=( )x.若存在 2 1 x0∈[ ,1],使得等式 af(x0)+g(2x0)=0 成立,则实数 a 的取值范围是 ▲ . 2

........ 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答卷纸指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15、(本小题满分 14 分) 已知命题 p :函数 f ( x) ? ? x2 ? 4 ax ? 3在区间 ? ??,1? 上是单调增函数;命题 q :函数

g ( x) ? lg(x2 ? 2ax ? a )的定义域为 R,如果命题“ p 或 q ”为真, “ p 且 q ”为假,求实
数 a 的取值范围.

16、(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? lg(2 ? x) ? lg(? x) (1)求函数 f ( x) 的解析式及定义域; (2)解不等式 f ( x) <1.

17、 (本小题满分 14 分)

1 1 已知:已知函数 f ( x) ? ? x3 ? x2 ? 2ax , 3 2

(1)若 a ? 1 ,求 f ( x) 的极值; (2)当 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在 ?1, 4? 上的最小值为 ?
16 ,求 f ( x) 在该区间上的最大值. 3

18、 (本小题满分 14 分) 如图, 有一块半径为 R 的半圆形空地,开发商计划征地建一个矩形游泳池 ABCD 和其附属设 施,附属设施占地形状是等腰△CDE,其中 O 为圆心, A, B 在圆的直径上,C,D, E 在圆周上. (1)设 ?BOC ? ? ,征地面积记为 f (? ) ,求 f (? ) 的表达式; (2)当 ? 为何值时,征地面积最大?
D E C

A

O

B

19、 (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 1 , g ( x) ? 4x ? 4 ? 2x ? a ,其中 a ? R . (1)当 a ? 0 时,求函数 g ( x) 的值域; (2)若对任意 x ? [0,2] ,均有 f ( x) ≤ 2 ,求 a 的取值范围;
? f ( x ) , x ? a, 7 (3)当 a ? 0 时,设 h( x) ? ? ,若 h( x) 的最小值为 ? ,求实数 a 的值. g ( x ) , x ≤ a 2 ?

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=ax2-bx+lnx,a,b∈R. (1)当 a=b=1 时,求曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程; (2)当 b=2a+1 时,讨论函数 f(x)的单调性; (3)当 a=1,b>3 时,记函数 f(x)的导函数 f ′(x)的两个零点是 x1 和 x2 (x1<x2). 3 求证:f(x1)-f(x2)> -ln2. 4

淮海中学 2017 届高三第一次阶段性考试 数学试题(理科)参考答案 2016.10.6
....... 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.把答案填写在答题纸相应位置上. 1.?? 1,0? 2.?x ? 1 ,使得 x 2 ? 2 3.12 4.充分不必要 5.4 6.(??, 2] 7. (??,-1] 8.2 9、(?31) , 10.? ??, ?1? 11. 3x ? y ? 2 ? 0或3x-4 y ? 17 ? 0 12.[-2,8] 13.a ? 504 5 14.[2 2,2 2] 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15.(本小题满分 14 分) 因为函数 f ( x) ? ? x2 ? 4ax ? 3 在区间 ? ??,1? 上是单调增函数, 所以对称轴方程 x ? ?

4a 1 ≥ 1 ,所以 a ≥ , 2 ? (?1) 2

?????????3 分

又因为函数 g ( x) ? lg( x2 ? 2ax ? a) 的定义域为 R , 所以 ? ? (2a)2 ? 4a ? 0 ,解得 0 ? a ? 1 , ???????????6 分 ?????8 分

又因为“ p 或 q ”为真,“ p 且 q ”为假,所以命题 p, q 一真一假,

?a ≤ 0或a ≥1 ?0 ? a ? 1 ? ? 所以 ? 或? 1 , 1 a? a≥ ? ? ? 2 ? 2
所以 a ≥ 1 或 0 ? a ?

?????12 分

1 , 2
?????14 分

? ? 1 所以实数 a 的取值范围是 ?a 0 ? a ? , 或a ≥1? . 2 ? ?
16.(本小题满分 14 分) 16. (1)因为 f ( x ? 1) ? lg(2 ? x) ? lg(? x) , 令 t ? x ? 1 ,则 x ? t ? 1 , 所以, f (t ) ? lg(1 ? t ) ? lg(1 ? t ) ,

即 f ( x) ? lg(1 ? x) ? lg(1 ? x) ,??????????????????????5 分

由?

?1 ? x ? 0 ,得﹣1<x<1, ?1 ? x ? 0

所以函数 f(x)的定义域是 (?1,1) .??????????????????????7 分 (2) f ( x) ? lg(1 ? x) ? lg(1 ? x) ? lg

1? x ? 1 ,??????????????? 10 分 1? x

?1 ? x ? 10, ? 即 ?1 ? x ?????????????????????????????12 分 ? ? 1 ? x ? 1 , ?
解得 ?1 ? x ?

9 . 11

??????????????????????????14 分

17. (本小题满分 14 分)
1 1 解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? ? x3 ? x2 ? 2x , 3 2

f ?( x) ? ? x2 ? x ? 2 ? ?( x ? 1)( x ? 2) ----2 分
x
f ?( x) (??, ?1)

?1
0

(?1, 2)

2
0

(2, ??)

单调减

+ 单调增

单调减

f ( x)

?

7 6

10 3

所以, f ( x) 的极大值为

10 7 , f ( x) 的极小值为 ? . --------------------------7 分 3 6
1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a , x2 ? 2 2

(2)令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ?

f ( x) 在 (??, x1 ),( x2 , ??) 上单调递减,在 ( x1 , x2 ) 上单调递增,-------------10 分

当 0 ? a ? 2 时,有 x1 ? 1 ? x2 ? 4 ,所以 f ( x) 在 ?1, 4? 上的最大值为 f ( x2 ) , f (4) ? f (1) , 所以 f ( x) 在 ?1, 4? 上的最小值为 f (4) ? 8a ? 故 f ( x) 在 ?1, 4? 上的最大值为 f (2) ? 18. (本小题满分 16 分)
10 . 3 40 16 ? ? ,解得: a ? 1, x2 ? 2 . 3 3

-------------------14 分

? ?? 解: (1)连接 OE ,可得 OE ? R, OB ? R cos ? , BC ? R sin ? ; ? ? ? 0, ? .……4 分 ? 2? ? ?? ∴ f ?? ? ? 2S梯形OBCE ? R2 ?sin? cos? ? cos? ? ? ? ? 0, ? .……8 分 ? 2?
(2) f ? ?? ? ? ?R2 (2sin? ? 1)(sin? ? 1) .……10 分 令 f ? ?? ? ? 0 ∴ sin ? ? 1 ? 0 (舍)或者 sin ? ?

1 2

∵ ? ? ? 0,

? ?? ? ,……12 分 ? 2?

? ? ? ? ? (0, ) , f ? ?? ? ? 0 , ? ? ( , ) , f ? ?? ? ? 0 ,……14 分
6
6 2

π ∴当 θ ? 时, f (? ) 取得最大. ……15 分 6
19. (本小题满分 16 分)

答: θ ?

π 时,征地面积最大. ……16 分 6

(1)当 a ? 0 时, g ( x) ? (2 x ? 2) 2 ? 4 ,?????????????????2 分 因为 2 x ? 0 , 所以 g ( x) ≥ g (2) ? ?4 , g ( x) 的值域为 [ ?4, ?? ) (2)若 x ? 0 , a ? R 若 x ? (0,2] 时, f ( x) ≤ 2 可化为 ?2 ≤ x2 ? ax ? 1 ≤ 2 ??????????6 分 ????7 分 ??????????4 分

1 3 即 x 2 ? 1 ≤ ax ≤ x 2 ? 3 ,所以 x ? ≤ a ≤ x ? x x
因为 y ? x ?

3 1 1 在 (0, 2] 为递增函数,所以函数 y ? x ? 的最大值为 ,????8 分 2 x x

3 3 3 因为 x ? ≥ 2 x? ? 2 3 (当且仅当 x ? ,即 x ? 3 取“=” ) ????9 分 x x x 3 所以 a 的取值范围是 a ?[ , 2 3] . 2
? f ( x), x ? a, (3)因为 h( x) ? ? ? g ( x), x ≤ a

??????????10 分

当 x ≤ a 时, h( x) ? 4x ? 4 ? 2 x ?a , 令 t ? 2 x , t ? (0,2 a ] ,则 p (t ) ? t ?
2
a 当 x ≤ a 时,即 2 ≤

????11 分

4 2 4 t ? (t ? a ) 2 ? a , a 2 2 4
????12 分

2 , p(t ) ? [4 a ? 4,0) ; 2a

a a2 当 x ? a 时, h( x) ? x2 ? ax ? 1 ,即 h( x) ? ( x ? )2 ? 1 ? , 2 4

a a2 ? a , h( x) ?[1 ? , ??) . 4 2 1 7 a 2 15 7 a ? ?? , 若 4 ? 4 ? ? , a ? ? ,此时 1 ? 4 16 2 2 2
因为 a ? 0 ,所以 若1 ?

????14 分

a2 7 a ?3 ? ? ,即 a ? ?3 2 ,此时 4 ? 4 ? 4 4 2

2

7 ?4?? , 2
????16 分

a??
所以实数

1 2.

20. (本小题满分 16 分) 解: (1)因为 a=b=1,所以 f(x)=x 2-x+lnx,

1 从而 f ′(x)=2x -1+ . x 因为 f(1)=0,f ′(1)=2,故曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y-0=2(x-1), 即 2x-y-2=0. (2)因为 b=2a+1,所以 f(x)=ax2-(2a+1)x+lnx,
2 1 2ax -(2a+1)x+1 (2ax-1)(x-1) 从而 f ′(x)=2ax-(2a+1)+ = = ,x>0.???? 5 分 x x x

???????? 3 分

当 a≤0 时, x∈(0,1)时,f ′(x)>0,x∈(1,+∞)时,f ′(x)<0, 所以,f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减.??????? 7 分 1 当 0<a< 时, 2 1 1 由 f′(x)>0 得 0<x<1 或 x> ,由 f ′(x)<0 得 1<x< , 2a 2a 1 1 所以 f(x)在区间(0,1)和区间( ,+∞)上单调递增,在区间(1, )上单调递减. 2a 2a 1 当 a= 时, 2 因为 f ′(x)≥0(当且仅当 x=1 时取等号) , 所以 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增. 1 当 a> 时, 2 1 1 由 f ′(x)>0 得 0<x< 或 x>1,由 f ′(x)<0 得 <x<1, 2a 2a 1 1 所以 f(x)在区间(0, )和区间(1,+∞)上单调递增,在区间( ,1)上单调递减. 2a 2a ???????? 10 分 (3)方法一:因为 a=1,所以 f(x)=x2-bx+lnx,从而 f ′(x)= 2x2-bx+1 (x>0). x

1 由题意知,x1,x2 是方程 2x2-bx+1=0 的两个根,故 x1x2= . 2 1 3- b 记 g(x) =2x2-bx+1,因为 b>3,所以 g( )= <0,g(1)=3-b<0, 2 2 1 所以 x1∈(0, ),x2∈(1,+∞),且 bxi=2x2 i +1 (i=1,2). ???????? 12 分 2 x1 x1 2 2 2 f(x1)-f(x2)=(x2 1-x2)-(bx1-bx2)+lnx2=-(x1-x2)+lnx2. 1 1 2 因为 x1x2= ,所以 f(x1)-f(x2)=x2 2- 2-ln(2x2),x2∈(1,+∞).?????? 14 分 2 4x2

t 1 令 t=2x2 2∈(2,+∞),φ(t)=f(x1)-f(x2)=2-2t-lnt. 因为 φ′(t)= (t-1)2 ≥0,所以 φ(t)在区间(2,+∞)单调递增, 2t2 ???????? 16 分 2x2-bx+1 (x>0). x

3 3 所以 φ(t)>φ(2)= -ln2,即 f(x1)-f(x2)> -ln2. 4 4 方法二:因为 a=1,所以 f(x)=x2-bx+lnx,从而 f ′(x)= 由题意知,x1,x2 是方程 2x2-bx+1=0 的两个根.

1 3- b 记 g(x) =2x2-bx+1,因为 b>3,所以 g( )= <0,g(1)=3-b<0, 2 2 1 所以 x1∈(0, ),x2∈(1,+∞),且 f(x)在[x1,x2]上为减函数.???????? 12 分 2 1 1 b 1 3 b 所以 f(x1)-f(x2)>f( )-f(1)=( - +ln )-(1-b)=- + -ln2. 2 4 2 2 4 2 3 b 3 因为 b>3,故 f(x1)-f(x2)>- + -ln2> -ln2.???????? 16 分 4 2 4


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