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江西省抚州市七校2017届高三上学期联考理数试题(解析版).doc


一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.)
2 1.若集合 M ? ?x ? N | x ? 6? , N ? x | x ? 11x ? 18 ? 0 ,则 M ? N 等于(

?

?



A. ?3,4,5? D. ?2,3,4,5? 【答案】A 【解析】

B. ?x | 2 ? x ? 6?

C. ?x | 3 ? x ? 5?

试题分析:由题意得 M ? ?0,1,2,3,4,5?, N ? x 2 ? x ? 9 ,故 M ? N ? ?3,4,5?,故选 A. 考点: (1)一元二次不等式的解; (2)集合的运算. 2. A , B , C 三个学生参加了一次考试, A , B 的得分均为 70 分, C 的得分为 65 分.已 知命题

?

?

p :若及格分低于 70 分,则 A , B , C 都没有及格.在下列四个命题中,为 p 的逆否
命题的是( )

A.若及格分不低于 70 分,则 A , B , C 都及格 B.若 A , B , C 都及格,则及格分不低于 70 分 C.若 A , B , C 至少有 1 人及格,则及格分不低于 70 分 D.若 A , B , C 至少有 1 人及格,则及格分高于 70 分 【答案】C 【解析】

考点:原命题与逆否命题. 3.设 f ( x) ? g ( x) ? A. x D. xe
x

?

x ?1

x

若函数 f ( x ) 为奇函数, 则 g ( x) 的解析式可以为 ( 2tdt ,x ? R , B. 1 ? x C. cos x



3

【答案】B

【解析】 试题分析: f ?x ? ? g ?x ? ?

?

x ?1

x

2tdt ? t 2

x ?1 x

则 f ?x ? ? 2 x ? 1 ? g ?x ? , ? ?x ? 1? ? x 2 ? 2 x ? 1,
2

代入 g ?x ? ? x ? 1 ,得 f ?x ? ? x 为奇函数,满足题意,故选 B. 考点: (1)函数的奇偶性; (2)定积分的计算. 4.在△ ABC 中,A ,B ,C 的对边分别是 a ,b ,c , 若 b cos A ? a cos B ? c ,a ? b ? 2 ,
2

则△ ABC 的周长为( A. 7.5 D. 5 【答案】D 【解析】

) B. 7 C. 6

试题分析:由正弦定理得 sin B cos A ? sin A cos B ? c sin C ,即 sin C ? c sin C 得 c ? 1 , 故 ?ABC 的周长为 a ? b ? c ? 2 ? 2 ? 1 ? 5 ,故选 D. 考点:正弦定理. 5.在正项等差数列 ?an ? 中, a12 ? 2a5 ? a9 ,且 a5 ? a6 ? a7 ? 18 ,则( A. a1 , a2 , a3 成等比数列 C. a3 , a4 , a8 成等比数列 【答案】B 【解析】 )

B. a4 , a6 , a9 成等比数列 D. a2 , a3 , a5 成等比数列

考点: (1)等差数列的性质; (2)等比数列的性质. 6.若 sin( x ?

?

1 ? ) ? ,则 tan(2 x ? ) ? ( 6 3 3
B. ?



A.

7 9

7 9

C.

4 2 7

D. ?

4 2 7

【答案】D

【解析】 试题分析:由 sin ? x ?

? ?

?? 1

?? ? 2 2 ? ,故 ? ? ,得 cos? x ? ? ? ? 1 ? sin(x ? ) ? ? 6? 3 6? 6 3 ?

?? ? 2 tan ? x ? ? 4 2 ?? ?? 6? ? ? ? ?? ,故选 D. tan ? 2x ? ? ? tan 2 ? x ? ? ? ?? 7 3? 6? 2? ? ? 1- tan ? x ? ? 6? ?
考点: (1)两角和的正弦; (2)三角恒等式. 7.在 Rt △ AOB 中, OA ? OB ? 0 , | OA |? 5 , | OB |? 2 5 , AB 边上的高线为 OD ,点

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

E位
于线段 OD 上,若 OE ? EA ? A. D.

??? ? ??? ?

3 2

???? ??? ? 3 ,则向量 EA 在向量 OD 上的投影为( 4 1 B. 1 C. 1 或 2



1 3 或 2 2

【答案】D 【解析】

考点:向量的数量积. 8.已知函数 f ( x ) 与 f '( x) 的图象如下图所示,则函数 g ( x ) ?

f ( x) 的递减区间( ex



A. (0, 4) D. (0,1) , (4, ??)

B. (??,1) , ( , 4)

4 3

C. (0, )

4 3

【答案】D 【解析】 试题分析: g ??x ? ?

f ??x ?e x ? f ?x ?e x

?e ?

x 2

?

f ??x ? ? f ?x ? ,令 g ??x ? ? 0 即 f ??x ? ? f ?x ? ? 0 ,由 ex

图可得 x ? ?0,1? ? ?4,??? ,故函数单调减区间为 ? 0,1? , ? 4, ??? ,故选 D. 考点:利用导数研究函数的单调性. 9.将函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? 的图 象.若 g ( x1 ) g ( x2 ) ? 9 ,且 x1 , x2 ???2? ,2? ? ,则 2x1 ? x2 的最大值为( A. D. )

?
6

) 的图象向左平移

? 个单位, 再向上平移 1 个单位, 得到 g ( x) 12

17? 4

49? 12

B.

35? 6

C.

25? 6

【答案】A 【解析】

考点:三角函数的性质. 10.若数列 ?an ? 满足 (2n ? 3)an ?1 ? (2n ? 5)an ? (2n ? 3)(2n ? 5) lg(1 ? ) ,且 a1 ? 5 ,则数 列

1 n

? an ? ? ? 的第 100 项为( ? 2n ? 3 ?
A.2 D. 2 ? lg 99 【答案】B 【解析】

) C. 1 ? lg 99

B.3

考点:数列递推式. 【方法点晴】本题主要考查了通过数列递推式,构造特殊数列求数列的通项公式,解决该题 的关键是寻找式子的特征,在递推式两边同时除以 ?2n ? 3??2n ? 5? ,难度中档;在求数列 的 通 项 公 式 中 , 形 如 an ? an ? f ?n? , 用 累 加 法 求 通 项 公 式 , 即

an ? an ? an?1 ? an ? an?2 ? ? ? a2 ? a1 ? a1 ;形如
即 an ?

an ? g ?n ? 时,利用累乘法求其通项, an ?1

an an?1 a ? ??? 2 ? a1 ,在该题中利用累加法. an?1 an?2 a1

11.已知函数 f ( x) ? 2x ? 5 , g ( x) ? 4 x ? x 2 ,给出下列 3 个命题:

p1 :若 x ? R ,则 f ( x) f (? x) 的最大值为 16. p2 :不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集为集合 ?x | ?1 ? x ? 3? 的真子集. p3 :当 a ? 0 时,若 ?x1 , x2 ?? a, a ? 2? , f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,则 a ? 3 .
那么,这 3 个命题中所有的真命题是( A. p1 、 p2 、 p3 D. p1 【答案】A 【解析】 试 题 分 析 : 由 ) C. p1 、 p2

B. p2 、 p3

f ?x ? ? 2 x ? 5
? ? 5 ?
?



f ?? x ? ? 2? x ? 5
x





f

f ? 2x ? ? ? ? x ?? ? ?

x ?? 5? ? x?2?

2 ?x

6

5

2

2

? 26 ? 5 ? 2 ? 16 ,当且仅当 2 x ? 2 ? x ,即 x ? 0 时取等号,故其最大值为 16 ,即 p1 为真;
如图所示作出 f ? x ? ? 2 ? 5, g ? x ? ? 4x ? x 的简图,且 f ?? 1? ? g ?? 1? 由图可知不等式
x 2

f ? x ? ? g ? x ? 的 解 集 为 集 合 ?x | ?1 ? x ? 3? 的 真 子 集 , 即 p2 为 真 ; 要 使 ?x1, x2 ? , a ??2 ,? f ?1 x ?? ? a
知 a ? 3 ,即 p3 正确,故选 A.

f ?x?min ? g ?x?max 即可,通过观察图象可 ?g恒成立,只需 2 x

考点: (1)基本不等式; (2)恒成立问题.

【方法点晴】 本题主要考查了函数的解析式以及利用基本不等式求函数最值问题, 同时还考 查了数形结合在函数中的重要性,画出函数 f ?x ? 、 g ?x ? 的简图是判断 p2 、 p3 正确性的关 键所在;对于 p1 代入 f ?? x ? 的解析式结合基本不等式可直接得到最大值;要使不等式

f ? x ? ? g ? x ? 成立,即 y ? f ?x ? 的图象始终在 y ? g ?x ? 图象的下方; ?x1, x2 ??a, a ? 2?, f ? x1 ? ? g ? x2 ? 恒成立,即在给定区间内 y ? f ?x ? 的最低点不低于
y ? g ?x ? 的最高点.

? x 2 ? x ? a, x ? 0, ? B, 12.已知函数 f ( x) ? ? 1 的图象上存在不同的两点 A , 使得曲线 y ? f ( x) ?? , x ? 0, ? x
在这 两点处的切线重合,则实数 a 的取值范围是( A. (??, ) D. ( ??, 2) ? ( , ??) 【答案】C 【解析】 ) C. ( ?2, )

1 4

B. (2, ??)

1 4

1 4

考点:利用导数研究曲线上某点处的切线方程. 【方法点晴】 本题主要考查了导数的几何意义等基础知识, 考查了推理论证能力、 运算能力、 创新意识,考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.先根据导数的几何意 义写出函数 f ?x ? 在点 A 、 B 处的切线方程,再利用两直线重合的充要条件:斜率相等且纵 截距相等, 列出关系式, 从而得出 a 的表达式, 构造 h?t ? ?

1 4 1 2 1 t ? t ? 2t ? , (0 ? t ?1) , 4 2 4

最后利用导数研究它的单调性和最值,即可得出 a 的取值范围. 第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分. ) 13. sin 63? cos18? ? cos 63? cos108? ? .

【答案】 【解析】 试

2 2













? sin 63? cos18? ? cos63? cos 90? ? 18? ? sin 63? cos18? ? cos63? sin 18? ? sin 45? ?

?

?

2 2

,故答案为

2 . 2

考点: (1)诱导公式; (2)两角差的正弦. 14.设函数 f ( x ) ? ? 【答案】 4 【解析】

?1 ? log 6 x, x ? 4,
2 ? f ( x ), x ? 4,

则 f (3) ? f (4) ?



考点:分段函数的值. 15.在△ ABC 中, D 为线段 BC 上一点(不能与端点重合) , ?ACB ?

?
3

, AB ? 7 ,

AC ? 3 ,
BD ? 1 ,则 AD ?
【答案】 7 【解析】 .

AC 2 ? BC 2 ? AB2 2 试题分析: 在 ?ABC ,cos ? , 化简得 BC ? 3BC ? 2 ? 0 , 得 BC ? 1 3 2 ? AC ? BC
2 (舍去) BC ? 2 ,? CD ? BC ? BD ? 1 ,在 ?ACD 中 AD ? 9 ? 1 ? 2 ? 1? 3 ?

?

1 ? 7 ,则 2

AD ? 7 ,故答案为 7 .

考点:余弦定理.

16.在数列 ?an ? 及 ?bn ? 中,an ?1 ? an ? bn ? an ? bn ,bn ?1 ? an ? bn ? an ? bn ,a1 ? 1 ,
2 2 2 2

b1 ? 1 .设
cn ? 2n (
【答案】 2 【解析】

1 1 ? ) ,则数列 ?cn ? 的前 n 项和为 an bn
n?2



?4

考点:数列求和. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知 m ? 0 ,向量 a ? (m,3m) ,向量 b ? (m ? 1,6) ,集合

?

?

A ? ? x | ( x ? m 2 )( x ? m ? 2) ? 0? .
(1)判断“ a / / b ”是“ | a |? 10 ”的什么条件; (2)设命题 p :若 a ? b ,则 m ? ?19 .命题 q :若集合 A 的子集个数为 2,则 m ? 1 .判 断 p ? q, p ? q,

?

?

?

?

?

? q 的真假,并说明理由.
【答案】 (1)充分不必要条件; (2) p ? q 为真命题 p ? q 为假命题 ? q 为真命题. 【解析】 试题分析: (1)由 a ? b ,得 6m ? 3m(m ? 1) 可得 m ? 1 的值,由 a ? 10 可得 m ? ?1 , 故可得 a ? b ” 是“ a ? 10 ”的充分不必要条件; (2)先判断 p 、 q 的真假,然后判断 复合命题的真假.

? ?
?

?

? ?

试题解析: (1)若 a ? b ,则 6m ? 3m ? m ?1? ,?m ? 1(m ? 0 舍去) ,此时,

? ?

? ? a ? ?1,3? , a ? 10 ,
若 a ? 10 ,则 m ? ?1 ,故“ a ? b ” 是“ a ? 10 ”的充分不必要条件. (2)若 a ? b ,则 m ? m ?1? ?18m ? 0,?m ? ?19(m ? 0 舍去),? p 为真命题.
2 由 x?m

?

? ?

?

?

?

?

? ? x ? m ? 2? ? 0 得 x ? m

2

,或 x ? 2 ? m ,若集合 A 的子集个数为 2 ,则集合 A

中只有 1 个元素,则 m2 ? 2 ? m,? m ? 1或 ?2 ,故 q 为假命题? p ? q 为真命题 p ? q 为假 命题 ? q 为真命题. 考点: (1)充分条件、必要条件的判断; (2)复合命题的真假. 【方法点睛】本题主要以向量平行、垂直的关系和真子集的个数为背景,考查了充分条件、 必要条件的判断以及复合命题的真假的判断,注重了对基础的考查,难度不大;假设 A 是 条件, B 是结论;由 A 可以推出 B ,由 B 不可以推出 A ,则 A 是 B 的充分不必要条件 ( A ? B ); 若由 A 不可以推出 B , 由 B 可以推出 A , 则 A 是 B 的必要不充分条件( B ? A );

p ? q 只要有一个为真即为真, p ? q 有一个为假即为假, ? q 的真假性和 q 相反.
18.已知△ ABC 的面积为 (1)求

? ???? 3 ??? AB ? AC ,且 AC ? 2 , AB ? 3 . 2

sin A ; sin B

(2)若点 D 为 AB 边上一点,且△ ACD 与△ ABC 的面积之比为 1:3. (i)求证: AB ? CD ; (ii)求△ ACD 内切圆的半径 r . 【答案】 (1) 【解析】

7 3 ?1 ; (2) (i)证明见解析; (ii) r ? . 2 2

(2) (i)∵△ ACD 与△ ABC 的面积之比为 AD : AB ? 1: 3 ,∴ AD ? 1 , 由余弦定理得 CD ? 3 , ∴ AD ? CD ? AC ,∴ AD ⊥ CD ,即 AB ⊥ CD .
2 2 2

(ii)在 Rt △ ADC 中, r ?

AD ? CD ? AC 3 ?1 . ? 2 2

考点: (1)余弦定理; (2)三角形面积公式; (3)三角形内切圆. 【方法点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合运用,以及三角形中的面积和三角 形的内切圆的性质,是平面向量和解三角形的综合,比较注重基础,难度一般;首先将面积 公式和向量数量积的公式同时代入可得 A ,在三角形中已知两边及其夹角运用余弦定理解 三角形,结合正弦定理

sin A a ? 得所求;运用勾股定理证明垂直也是常用的一种手段. sin B b

19.食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的 危害, 为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入 200 万元,搭建了甲、乙两个无公 害蔬菜大棚, 每个大棚至少要投入 20 万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经 验,发现这种西 红柿的年收入 P 、种黄瓜的年收入 Q 与投入 a (单位:万元)满足 P ? 80 ? 4 2a ,

Q?

1 a ? 120 .设 4

甲大棚的投入为 x (单位:万元) ,每年能两个大棚的总收益为 f ( x ) (单位:万元) . (1)求 f (50) 的值; (2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益 f ( x ) 最大? 【答案】 (1) 277 .5 ; (2)甲大棚 128 万元,乙大棚 72 万元时,总收益最大, 且最大收益 为 282 万元. 【解析】

(2) f ? x ? ? 80 ? 4 2 x ?

1 1 ? 200 ? x ? ? 120 ? ? x ? 4 2 x ? 250 ,依题意得 4 4

? x ? 20 1 ? 20 ? x ? 180 ,故 f ? x ? ? ? x ? 4 2 x ? 250 ? 20 ? x ? 180 ? .令 ? 4 ?200 ? x ? 20
1 2 1 ? t ? x ?? ? 2 5, 6 5 ? ,则 f ? x ? ? ? 4 t ? 4 2t ? 250 ? ? 4 t ? 8 2
即 x ? 128 时, f ? x ?max ? 282 , 所以投入甲大棚 128 万元,乙大棚 72 万元时,总收益最大, 且最大收益为 282 万元. 考点:二次函数的应用. 20.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? an ?1 , 且 a1 ,a4 是等比数列 ?bn ? 的前两项, 记 bn 与

?

?

2

? 282 ,当 t ? 8 2 ,

bn ?1 之
间包含的数列 ?an ? 的项数为 cn ,如 b1 与 b2 之间包含 ?an ? 中的项为 a2 , a3 ,则 c1 ? 2 . (1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?ancn ? 的前 n 项和. 【答案】 (1) an ? 2n ? 1, bn ? 3 ; (2) n ? 3
n
n ?1

? n 2 ? 2n .

【解析】

(2) bn ? 3n , bn?1 ? 3n?1 ,因为数列 ?an ? 是由连续的奇数组成的数列,而 bn 和 bn ?1 都是奇 数,所以 bn 与 bn ?1 之间包含的奇数个数为

3n ?1 ? 3n ? 1 ? 3n ? 1 ,所以 cn ? 3n ?1. 2

ancn ? (2n ?1)(3n ?1) ? (2n ?1)3n ? (2n ?1) .设 ?(2n ? 1)3n ? 的前 n 项和为 Tn , Tn ? 3? 31 ? 5 ? 32 ? 7 ? 33 ? … ? (2n ? 1)3n ,① 3Tn ?
① ? ②,得

3? 32 ? 5 ? 33 ? …? (2n ?1)3n ? (2n ?1)3n?1 ,②

9 ? 3n?1 ?2Tn ? 9 ? 2 ? ? (2n ? 1)3n?1 ? ?2n ? 3n ?1 ,则 Tn ? n ? 3n?1 , 1? 3
所以数列 ?ancn ? 的前 n 项和为 Tn ? Sn ? n ? 3n?1 ? n2 ? 2n . 考点: (1)数列的通项公式; (2)数列求和. 【方法点睛】本题主要考查的是等差、等比数列的定义和等差、等比数列的通项公式以及数 列的前 n 项和公式,注重对基础的考查,有一定难度;解题中,利用 an ? Sn ? Sn?1 是数列 中常见的恒等式, 常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式, 分组求和类似 于 cn ? an ? bn ,其中 a n 和 ?bn ?分别为特殊数列,裂项相消法类似于 an ?

? ?

1 ,错位 n?n ? 1?

相减法类似于 cn ? an ? bn ,其中 a n 为等差数列,?bn ?为等比数列等;在该题中错位相减法

? ?

和分组求和相结合. 21.已知函数 f ( x) ? ( x ? a)e x ,其中 a ? R . (1)若曲线 y ? f ( x) 在点 A(0, a ) 处的切线 l 与直线 y ?| 2a ? 2 | x 平行,求 l 的方程; (2)若 ?a ??1,2? ,函数 f ( x ) 在 (b ? ea , 2) 上为增函数,求证: e ? 3 ? b ? e ? 2 .
2 a

【答案】 (1) y ? 4 x ? 3 , y ? 【解析】

4 1 x? ; (2)证明见解析. 3 3

(2)由题意可得 f '( x) ? ( x ? a ? 1)e ? 0 对 x ? (b ? e , 2) 恒成立,
x a a ∵ e ? 0 ,∴ x ? a ? 1 ? 0 ,即 x ? ?a ? 1 对 x ? (b ? e , 2) 恒成立,
x

∴ ?a ? 1 ? b ? e ,即 b ? e ? a ? 1对 a ??1, 2? 恒成立,
a

a

设 g (a) ? ea ? a ? 1 , a ??1, 2? , 则 g '(a) ? e ?1 ? 0 ,
a

∴ g (a ) 在 ?1, 2? 上递增,∴ g (a)max ? g (2) ? e2 ? 3 ,∴ b ? e ? 3 .
2

又 b ? e ? 2 ,∴ e ? 3 ? b ? e ? 2 .
a
2 a

考点: (1)利用导数研究函数在某点处的切线; (2)利用导数研究函数的单调性. 【方法点睛】本题考查利用导数研究切线方程、函数的单调性,考查学生分析解决问题的能 力,是一道基础题.切线与 y ? 2a ? 2 x 平行,由导数的几何意义以及直线平行时斜率间的

关系可得 f ??0? ? 2a ? 2 ;将函数在某个区间内为增函数转化为在该区间内 f ??x ? ? 0 恒成 立,在该题中分离参数 b ? e ? a ? 1对 a ??1, 2? 恒成立,在转化为 b ? ea ? a ?1 max 即可.
a

?

?

22.记 max ?m, n? 表示 m , n 中的最大值,如 max 3, 10 ? 10 .已知函数

?

?

1 ? ? f ( x) ? max ? x 2 ? 1, 2 ln x? , g ( x) ? max ? x ? ln x, ? x 2 ? (a 2 ? ) x ? 2a 2 ? 4a ? . 2 ? ?
(1)设 h( x) ? f ( x) ? 3( x ? )( x ?1) ,求函数 h( x) 在 (0,1] 上零点的个数;
2

1 2

(2) 试探讨是否存在实数 a ? (?2, ??) , 使得 g ( x) ? 若存在,求 a 的 取值范围;若不存在,说明理由. 【答案】 (1) 2 个; (2)存在, ( 【解析】

3 x ? 4a 对 x ? (a ? 2, ??) 恒成立? 2

ln 2 ? 1 , 2] . 4

试题解析: (1)设 F ( x) ? x ?1 ? 2ln x , F '( x) ? 2 x ?
2

2 2( x ? 1)( x ? 1) ? , x x

令 F '( x) ? 0 ,得 x ? 1 , F ( x) 递增;令 F '( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 , F ( x) 递减.
2 ∴ F ( x)min ? F (1) ? 0 ,∴ F ( x) ? 0 ,即 x ? 1 ? 2ln x ,∴ f ( x) ? x ?1 .
2

设 G ( x) ? 3( x ? )( x ? 1) ,结合 f ( x ) 与 G ( x) 在 (0,1] 上图象可知,这两个函数的图象在
2

1 2

(0,1] 上有两个交点,即 h( x) 在 (0,1] 上零点的个数为 2 .

(ii)若 ( x ? 2)( x ? a2 ) ? 0 对 x ? (a ? 2, ??) 恒成立,则 a ? 2 ? a ,∴ a ?? ?1, 2? .
2

由(i)及(ii)得, a ? (

ln 2 ? 1 , 2] . 4 3 x ? 4a 对 x ? (a ? 2, ??) 恒成立, 2

故存在实数 a ? (?2, ??) ,使得 g ( x) ? 且 a 的取值范围为 (

ln 2 ? 1 , 2] . 4

考点: (1)函数零点个数的判断; (2)利用导数研究函数的最值.


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