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四川省成都市第七中学2017届高三数学(理)一诊分推测试(一)试题+Word版含答案


成都七中高 2017 届高三一诊分推测试(1) 数学理科
一、选择题
10i ( i 为虚数单位)的虚部为( ) 3?i 15 A.1 B.3 C.-3 D. 4 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2.已知 A, B, O 三点不共线,若 AB ? OA ? OB ,则向量 OA 与 OB 的夹角为(
1.复数 z ? A.锐角 B.直角 C.钝角 D.锐角或钝角



3.已知 f ( x) ? 3sin x ? ? x ,命题 p : ?x ? (0, A. p 是真命题: ?p : ?x ? (0,

?
2

) , f ( x) ? 0 ,则(



?
2

) , f ( x) ? 0 ) , f ( x0 ) ? 0

B. p 是真命题: ?p : ?x0 ? (0, C. p 是假命题: ?p : ?x ? (0,

?
2

?

2

) , f ( x) ? 0

D. p 是假 s 命题: ?p : ?x0 ? (0,

?
2

) , f ( x0 ) ? 0

4.已知函数 f ( x) ? 2sin x sin( x ? 3? ) 是奇函数,其中 ? ? (0,

?
2

) ,则函数

g ( x) ? cos(2 x ? ? ) 的图象(
A.关于点 (



? 个单位得到 3 ? C. 可由函数 f ( x ) 的图象向左平移 个单位得到 6 ? D.可由函数 f ( x ) 的图象向左平移 个单位得到 3
B.可由函数 f ( x ) 的图象向右平移 5.如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )

? , 0) 对称 12

A. 10 ? 5

B. 10 ? 2

C. 6 ? 2 2 ? 6

D. 6 ? 2 ? 6

6.如图,正方形 ABCD 中, M 是 BC 的中点,若 AC ? ? AM ? ? BD ,则 ? ? ? ? (

??? ?

???? ?

??? ?



A.

4 3

B.

5 3

C.

15 8

D.2

7.已知函数 f ( x) ? f (3x) ,当 x ? [1,3) , f ( x) ? ln x ,若在区间 [1,9) 内,函数

g ( x) ? f ( x) ? ax 有三个不同零点,则实数 a 的取值范围是(
A. (

) D. (

ln 3 1 , ) 3 e

B. (

ln 3 1 , ) 9 3e

C. (

ln 3 1 , ) 9 2e

ln 3 ln 3 , ) 9 3

M 是 CC1 的中点,若点 P 在平面 ABA1B1 内,且满足 8.在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,

?PDB1 ? ?MDB1 ,则点 P 的轨迹是(
A.圆 B.椭圆 C. 双曲线

) D.抛物线

二、填空题
9.已知 sin ? ?

1 ? cos 2? ? cos ? ,且 ? ? (0, ) ,则 的值为 ? 2 2 sin(? ? ) 4



10.已知圆 C 过坐标原点,面积为 2? ,且与直线 l : x ? y ? 2 ? 0 相切,则圆 C 的方程 是 .
2

11.已知抛物线 C : y ? 4x 上一点 M (4, ?4) ,点 A, B 是抛物线 C 上的两动点,且

???? ???? MA ? MB ? 0 ,则点 M 到直线 AB 的距离的最大值是
三、解答题
12.已知数列 {an } 满足: a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? ?? 3
2 n?1



an ? n , n ? N * .

(1)求数列 {an } 的通项; (2)设数列 {bn } 满足 3 n ?
b

b 3 ,求数列 { n } 的前 n 项和 Sn . an an

13.国内某大学有男生 6000 人,女生 4000 人,该校想了解本校学生的 运 性 别 男生 女生 合计 动 时 运动达人 36 26 100 非运动达人 合计



(1)请根据题目信息,将 2 ? 2 列联表中的数据补充完整,并通过计算判断能否在犯错误概 率不超过 0.025 的前提下认为性别与“是否为‘运动达人’ ”有关; (2)将此样本的频率估计为总体的概率,随机调查该校的 3 名男生,设调查的 3 人中运动 达人的人数为随机变量 X ,求 X 的分布列和数学期望 E ( X ) 及方差 D( X ) . 附表及公式:

P( K 2 ? k0 )
k0
K2 ?

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.0247

0.010 6.635

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
x2 y 2 3 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 , F 是椭圆的右 2 a b 2

14.已知点 A(0, ?2) ,椭圆 E :

焦点,直线 AF 的斜率为 (1)求 E 的方程;

2 3 , O 为坐标原点. 3

(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点,当 ?POQ 的面积最大时,求 l 的方程.

试卷答案 一、选择题
1-5: BBBCC 6-8: BBC

二、填空题
9. ?

14 4

10. ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 或 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2

11.

4 5
三、解答题
12.解: (1)当 n ? 2 时, a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ?? 3n?1 an ? n ①

a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ?? 3n?2 an?1 ? n ?1 ②
由① ? ②得: 3n?1 an ? 1 ,∴ an ? 当 n ? 1 时, a1 ? 1 也满足上式 ∴ an ?

1 3n ?1

1 * (n? N ) 3n ?1
b

(2)由(1)及 3 n ?

3 b n 得, 3 n ? 3 ,∴ bn ? n an



bn ? n3n ?1 , an

∴ Sn ? 1? 30 ? 2 ? 31 ? 3 ? 32 ? ?? n ? 3n?1

3Sn ? 1? 31 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ?? n ? 3n
以上两式相减得:

?2Sn ? 1 ? 3 ? 32 ? ?? 3n?1 ? n ? 3n
1 ? 3n ? ? n ? 3n 1? 3
∴ Sn ? 13.解:

n n 1 n 1 ?3 ? ?3 ? 2 4 4

(1)由题意,该校根据性别采取分层抽样的方法抽取的 100 人中,有 60 人为男生,40 人 为女生,据此 2 ? 2 列联表中的数据被充如下. 运 性 别 男生 女生 合计 由表中数据得 K 的观测值 k ?
2







运动达人 36 14 50

非运动达人 24 26 50

合计 60 40 100

100 ? (36 ? 26 ? 24 ?14)2 ? 6 ? 5.024 , 50 ? 50 ? 60 ? 40

所以在犯错误概率不超过 0.025 的前提下,可以认为性别与“是否为‘运动达人’ ”有关. (2)由题意可知,该校每个男生是运动达人的概率为

36 3 3 ? ,故 X ~ B (3, ) , 60 5 5

X 可取的值为 0,1,2,3
所以 P ( X ? 0) ? C3 ( )
0

3 8 36 1 2 3?1 3 1 ( )0 ? , P ( X ? 1) ? C3 ( ) ( ) ? 5 125 5 5 125 2 3 54 27 3 2 3? 3 3 3 P( X ? 2) ? C32 ( )3? 2 ( ) 2 ? , P( X ? 3) ? C3 ( ) ( ) ? . 5 5 125 5 5 125
3? 0

2 5

X 的分布列为:
X
0 1 2 3

36 125 3 9 3 2 18 ∴ E ( X ) ? 3 ? ? , D( X ) ? 3 ? ? ? 5 5 5 5 25
P
14.(1)设 F (c, 0) ,由条件知

8 125

54 125

27 125

2 2 3 ,得 c ? 3 , ? c 3



x2 c 3 2 2 2 ? y 2 ? 1, ? ,所以 a ? 2 , b ? a ? c ? 1 ,故 E 的方程为 4 a 2

(2)当 l ? x 轴时不合题意,故可设 l : y ? kx ? 2 , P( x1 , y1 ) , P( x2 , y2 ) , 将 l : y ? kx ? 2 代入

x2 ? y 2 ? 1中得 (1 ? 4k 2 ) x2 ?16kx ? 12 ? 0 , 4
2

2 当 ? ? 16(4k ? 3) ? 0 时,即 k ?

3 , 4

由韦达定理得 x1 ? x2 ?

16k 12 , x1 x2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

从而 PQ ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ] ?

4 1 ? k 2 4k 2 ? 3 1 ? 4k 2

又点 O 到直线 PQ 的距离为 d ?

2 k 2 ?1

所以 ?POQ 的面积 S?OPQ ?

1 4 4k 2 ? 3 d ? PQ ? 2 4k 2 ? 1
4 4t 4 ,因为 t ? ? 4 ,当且仅当 t ? 2 , ? 4 t t ?4 t ? t
2

法一:设 4k 2 ? 3 ? t ,则 t ? 0 ,S?OPQ ?

即k ? ?

7 时等号成立,且满足 ? ? 0 , 2 7 7 x?2 或 y ? ? x?2 2 2

所以当 ?OPQ 的面积最大时, l 的方程为 y ?
2 法二:令 4k ? 1 ? m ,则 S?OPQ ?
2

16(m ? 4) 1 4 ? 16( ? 2 ) 2 m m m



1 1 7 ? 时,即 m ? 8 , 4k 2 ? 1 ? 8 , k ? ? 时等号成立,且满足 ? ? 0 m 8 2

所以当 ?OPQ 的面积最大时, l 的方程为 y ?

7 7 x?2 或 y ? ? x?2 2 2


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