kl800.com省心范文网

数学概率(排列组合)练习题(含答案)


数学概率(排列组合)练习题(含答案)
1.学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、文综 4 科的专题 讲座,每科一节课,每节至少有一科,且数学、文综不安排在同一节,则不同的安排方 法共有. 2.从 4 名男生 4 名女生中选 3 位代表,其中至少两名女生的选法有 种. 3.用数字 0,1,2,3,4 组成没有重复数字的五位数,则其中数字 1,2 相邻的偶数有 个(用数字作答) . 4.将一个白球,一个红球,三个相同的黄球摆放成一排 ,则白球与红球不相邻的放法 有 . 5.用 1、2、3、4、5、6 六个数组成没有重复数字的六位数,其中 5、6 均排在 3 的同 侧,这样的六位数共有个(用数字作答) . 6. 某工厂将 4 名新招聘员工分配至三个不同的车间, 每个车间至少分配一名员工, 甲、 乙 两名员工必须分配至同一车间,则不同的分配方法总数为(用数字作答). 7.用 4 种颜色给一个正四面体的 4 个顶点染色,若同一条棱的两个端点不能用相同的 颜色,那么不同的染色方法共有_____________种。 8.数字 1,2,3,4,5,6 按如图形式随机排列,设第一行的数为 N1,其中 N2,N3 分别表示 第二、三行中的最大数,则满足 N1<N2<N3 的所有排列的个数是________.

9. 4 名男生和 2 名女生站成一排照相,要求男生甲不站在最左端,女生乙不站在最右 端,有种不同的站法. (用数字作答) 10.记者要为 5 名志愿都和他们帮助的 2 位老人拍照,要求排成一排,2 位老人相邻但 不排在两端,不同的排法共有种(用数字作答)

1 x 12.某班级要从 4 名男生、 2 名女生中选派 4 人参加社区服务,如果要求至少有 1 名女
5 11. (1 ? x)(2 x ? ) 的展开式中的常数项为.

生,那么不同的选派方案种数为. (用数字作答) 13. 将 7 个市三好学生名额分配给 5 个不同的学校, 其中甲、 乙两校至少各有两个名额, 则不同的分配方案种数有 _________ .
x x 2 x?2 14.方程 C17 - C16 = C16 的解集是________.

15.从 4 名男生、3 名女生中任选 3 人参加一次公益活动,其中男生、女生均不少于 1 人的组合种数为(用数字作答) . 16.从 4 名同学中选出 3 人,参加一项活动,则不同的选方法有种(用数据作答) ; 17.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人担任奥运志愿者,若选出的 4 人中既有男生又有 女生,则不同的选法共有________种. 18.将 6 位志愿者分配到甲、已、丙 3 个志愿者工作站,每个工作站 2 人,由于志愿者 特长不同,A 不能去甲工作站,B 只能去丙工作站,则不同的分配方法共有__________ 种. 19.现有一大批种子,其中优良种占 30℅,从中任取 8 粒,记 X 为 8 粒种子中的优质
试卷第 1 页,总 9 页

良种粒数,则 X 的期望是: . 20.9 粒种子分种在 3 个坑内,每坑 3 粒,每粒种子发芽的概率为 0.5,若一个坑内至 少有 1 粒种子发芽,则这个坑不需要补种,若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要 补种。假定每个坑至多补种一次,每补种 1 个坑需 10 元,用 ? 表示补种费用,则 ? 的 数学期望值等于. 21.m 是从集合 ??1,0,1, 2,3? 中随机抽取的一个元素,记随机变量 ? ? cos( m ? 的数学期望 E? ? . 22. (本小题满分 13 分)国家环境标准制定的空气质量指数(简称 AQI)与空气质量等 级对应关系如下表: 空气质量等 级 AQI 值范围 优 [0,50) 良 [50,100) 轻度污染 [100,150) 中度污染 [150,200) 重度污染 [200,300) 严重污染 300 及以上

?
3

) ,则 ?

下表是由天气网获得的全国东西部各 6 个城市 2015 年 3 月某时刻实时监测到的数据: 西部城市 西安 西宁 克拉玛依 鄂尔多斯 巴彦淖尔 库尔勒 AQI 数值 108 92 37 56 61 456 东部城市 北京 金门 上海 苏州 天津 石家庄 AQI 数值 104 42 x 114 105 93

AQI 平均值:135

AQI 平均值:90

(Ⅰ)求 x 的值,并根据上表中的统计数据,判断东、西部城市 AQI 数值的方差的大小 关系(只需写出结果) ; (Ⅱ)环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取 3 个城市组织专 家进行调研, 记选到空气质量 “轻度污染” 的城市个数为 ? , 求 ? 的分布列和数学期望. 23.已知某一随机变量 X 的分布列如下: X P 3 0.2 b 0.5 8 a

且 E ( X ) ? 6 ,则 a=__________;b=__________。

24. 某保险公司新开设了一项保险业务, 若在一年内事件 E 发生, 该公司要赔偿 a 元. 设 在一年内 E 发生的概率为 p,为使公司收益的期望值等于 a 的百分之十,公司应要求顾 客交保险金为________元. 25. 袋中有大小、 质地均相同的 4 个红球与 2 个白球. 若从中有放回地依次取出一个球, 记 6 次取球中取出红球的次数为 ξ ,则 ξ 的期望 E(ξ )=________. 26.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕 业生得到甲公司面试的概率为

2 ,得到乙、丙两公司面试的概率均为 p,且三个公司是 3

试卷第 2 页,总 9 页

否让其面试是相互独立的.记 X 为该毕业生得到面试的公司个数.若 P(X=0)= 则随机变量 X 的数学期望 E(X)=________. 27 . 设 随 机 变 量 的 分 布 列 为 P( ? ? k )= E? ? .

1 , 12

c ,(k=1,2,3), 其 中 c 为 常 数 , 则 2k

28. [2013·厦门质检]有一批产品, 其中有 12 件正品和 4 件次品, 有放回地任取 3 件, 若 X 表示取到次品的次数,则 D(X)=________. 29.设随机变量 ? ~ B (10, ) ,则 D? ? . 30.某游戏的得分为 1,2,3,4,5,随机变量 ? 表示小白玩游戏的得分.若 ?(? ) =4.2,则 小白得 5 分的概率至少为. 31.设随机变量的概率分布为 ε P 0 1 2 1-

2 5

p 3

p 3

2p 3

则 ξ 的数学期望的最小值是________. 32. (本小题满分 12 分)某校学生会进行了一次关于“消防安全”的调查活动,组织部 分学生干部在几个大型小区随机抽取了 50 名居民进行问卷调查.活动结束后,团委会 对问卷结果进行了统计,并将其中“是否知道灭火器使用方法(知道或不知道)”的调 查结果统计如下表: 年龄(岁) 频数 知道的人数 [10,20) m 4 [20,30) n 6 [30,40) 15 12 [40,50) 10 6 [50,60) 7 3 [60,70] 3 2

表中所调查的居民年龄在[10,20) ,[20,30) ,[30,40)的人数成等差数列. (Ⅰ)求上表中的 m,n 值,若从年龄在[20,30)的居民中随机选取两人,求这两人至 少有一人知道灭火器使用方法的概率; (Ⅱ)在被调查的居民中,若从年龄在[10,20) ,[20,30)的居民中各随机选取 2 人参 加消防知识讲座,记选中的 4 人中不知道灭火器使用方法的人数为 ? ,求随机变量 ? 的 分布列和数学期望. 33.为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分 别抽取 14 件和 5 件,测量产品中微量元素 x,y 的含量(单位:毫克).下表是乙厂的 5 件产品的测量数据: 编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81

(1)已知甲厂生产的产品共 98 件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素 x,y 满足≥175 且 y≥75,该产品为优等品,用上述样本数据 估计乙厂生产的优等品的数量; (3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随即抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中优等品数 X 的 分布列及其均值(即数学期望). 34.设随机变量 X ~ B (6, ) ,则 P( X ? 3) ? ________.

1 2

试卷第 3 页,总 9 页

35. 在一个盒子中,放有标号分别为 1 , 2 , 3 的三张卡片,现从这个盒子中,有放回 地先后抽得两张卡片的标号分别为 x 、y , 记? ? x ? 2 ? y ? x . ? 的数学期望▲ . 36.一盒中放有大小相同的 10 个小球,其中 8 个黑球、2 个红球,现甲、乙二人先后 各自从盒子中无放回地任意抽取 2 个小球,已知甲取到了 2 个黑球,则乙也取到 2 个黑 球的概率是________. 37.把一枚硬币任意抛掷三次,事件 A=“至少一次出现反面”,事件 B=“恰有一次 出现正面”,则 P(B|A)=________. 38.一批 10 件产品,其中 3 件次品,不放回抽取 3 次,已知第一次抽到是次品,则第 三次抽到次品的概率. 39.袋中有大小相同的 个红球, 个白球,从中不放回地依次摸取 2 球,在已知第一 3 7 次取出白球的前提下,第二次取得红球的概率是 40.抛掷红、蓝两颗骰子,设事件 A 为“蓝色骰子的点数为 3 或 6”,事件 B 为“两颗 骰子的点数之和大于 8”.当已知蓝色骰子的点数为 3 或 6 时,则两颗骰子的点数之和 大于 8 的概率为________. 41.甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是 0.8,0.6,0.5,则三人 都达标的概率为________,三人中至少有一人达标的概率为________. 42.某种电子元件用满 3000 小时不坏的概率为

3 1 ,用满 8000 小时不坏的概率为 .现 4 2

有一只此种电子元件, 已经用满 3000 小时不坏, 还能用满 8000 小时的概率是________. 43.设 A、B 是两个事件,0<P(A)<1,P( B |A)=1. 则下列结论:①P(AB)=0;②P(A+ B )=P(A); ③P( A )=P(B);④P(A)=P( B ).其中正确的是________. 44.已知 P(AB)=

3 3 ,P(A)= ,则 P(B|A)=________. 10 5

45. (文)袋中有大小相同的 5 个白球和 3 个黑球,从中任意摸出 4 个,求至少摸出 1 个黑 球的概率. 46.一个七位号码 a1a2 a3 a4 a5 a6 a7 ,如果前面三位数码 a1a2 a3 与 a 4 a5 a6 或 a5 a6 a7 相 同 (可能三者都一样) , 则称此号码为 “可记忆的” , 如果 a1 , a 2 ..a7 可取的数码为 0,1,2...9 中的任一个,则不同的“可记忆的”的号码共有个。
t ?t ? ?x ? e ? e (t为参数) 的普通方程为__________________。 47.参数方程 ? t ?t ? ? y ? 2(e ? e )

48.在极坐标系中,直线 ? (cos? ? sin ? ) ? 2 ? 0 被曲线 C : ? ? 2 所截得弦的中点的 极坐标为. 49.直线 ?

? x ? ?2 ? 2t ? y ? 3 ? 2t

?t为参数? 上与点 P?? 2, 3? 距离等于

2 的点的坐标是

试卷第 4 页,总 9 页

50.将参数方程 ?

2 ? ? x ? 2 ? sin ? (? 为参数)化为普通方程为 2 ? y ? sin ? ?

51.把点 M 的球坐标(8, 52.点 M 的球坐标为(4,

, ,

化为直角坐标为. ) ,则 M 的直角坐标为.

53.柱坐标 A(2, 标是.

,5)化为直角坐标是.直角坐标 B(﹣3,

,﹣

)化为柱坐

54. (2008?佛山二模) (坐标系与参数方程)球坐标

对应的点的直角

坐标是,对应点的柱坐标是. 55. (2013?闸北区二模)设 M(x,y,z)为空间直角坐标系内一点,点 M 在 xOy 平面 上的射影 P 的极坐标为(ρ ,θ ) (极坐标系以 O 为极点,以 x 轴为极轴) ,则我们称三 元数组(ρ ,θ ,z)为点 M 的柱面坐标.已知 M 点的柱面坐标为 则直线 OM 与 xOz 平面所成的角为. 56 . 在 极 坐 标 系 中 , 曲 线 ? ? 2sin ? 与 ? cos ? ? ? _________. (0 ? ? ? 2? ) 57.已知圆 C 的极坐标方程为 ? =2 ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直 角坐标系, 则圆 C 的直角坐标方程为_______________, 若直线 l : kx ? y ? 3 ? 0 与圆 C 相切,则实数 k 的值为_____________. 58.在极坐标系 ( ? ,? )(0 ? ? ? 2? ) 中,曲线 ? ? 2 sin ? 坐标为_____. 59. 已知直线 l : 与 ? cos? ? ?1 的交点的极 ,

3 的交点的极坐标为 2

??

3 交极轴于 A 点, 过极点 O 作 l 的垂线, 垂足为 C , 3 cos ? ? sin ?

现将线段 CA 绕极点 O 旋转

? ,则在旋转过程中线段 CA 所扫过的面积为________ 2
x
C

60.以平面直角坐标系的原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线

? x ? 2cos t ? 的参数方程为 ? y ? 2(1 ? sin t ) (其中 t 为参数,且
程为.

0 ? t ? 2?

) ,则曲线

C

的极坐标方

61.在极坐标系中,圆 ? ? 2cos ? 在点 M (2,0) 处的切线的极坐标方程为.

试卷第 5 页,总 9 页

62.若直线 ?

? x ? t cos ? t ? ( 为参数)被圆 ? ? 2 2 cos(? ? ) 截得的弦长为最大,则 4 ? y ? t sin ?

此直线的倾斜角为; 63.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为ρ sin ? ? ?

? ?

??

? x ? ? cos? (0<α <π ),若曲线 C1 与 C2 有 ? +m=0,曲线 C2 的参数方程为 ? 6? ? y ? sin ?

两个不同的交点,则实数 m 的取值范围是____________. 64.在极坐标系中,曲线 C1 : ? ( 2 cos? ? sin ? ) ? 1与曲线 C2 : ? ? a, (a ? 0) 的一个 交点在极轴上,则 a 的值为__________. 65.在极坐标系中,圆 ? ? 4 sin ? 的圆心到直线 ? ? 66.在极坐标系中,圆 ? ? 4 sin ? 的圆心到直线 ? ?

?

?

3

(? ? R ) 的距离是

3

(? ? R ) 的距离是

? 2 ? 2 ?1 A 67.已知矩阵 的逆矩阵 A ? ? ? 2 ?? ? 2
用下所得的曲线方程. 68.选修 4—2:矩阵与变换

2? ? 2 ? ,求曲线 xy ? 1 在矩阵 A 对应的交换作 2? ? 2 ?

?3 3 ? ?1? 已知矩阵 A= ? ,若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 α 1= ? ? ,属于 ? ?c d ? ?1? ?3? 特征值 1 的一个特征向量为 α 2= ? ? .求矩阵 A,并写出 A 的逆矩阵. ? ?2 ?

?1 0 ? 69. 求曲线 x ? y ? 1在矩阵 M ? ? 1 ? 对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积. ?0 ? ? ? 3? ? 70. (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 二阶矩阵 M 对应的变换将点(1,-1)与(-2,1)分别变换成点(-1,-1)与(0, -2) . (Ⅰ)求矩阵 M; (Ⅱ)设直线 l 在变换 M 作用下得到了直线 m:2x-y=4,求 l 的方程
71.已知 a, b, c 都是正数,求证:

a 2b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ? abc. a?b?c
1 1 1 , , 不可能是等 a b c

72.已知正数 a, b, c 成等差数列,且公差 d ? 0 ,用反证法求证: 差数列。 73. (本小题满分 12 分)已知 a, b, c 都是正实数,求证:.

试卷第 6 页,总 9 页

a2 ? 2a ? b ; (Ⅰ) b
(Ⅱ)

a 2 b2 c2 ? ? ? a?b?c b c a
1 1 1 13 ? ?? ? ? n ?1 n ? 2 2n 24
, 中至少有一个小于 2.

74.若 n 为大于 1 的自然数,求证: 75. (Ⅰ)求证: + <2

(Ⅱ)已知 a>0,b>0 且 a+b>2,求证:

76.在锐角三角形 ABC 中,求证:sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC. 77.用三段论证明:

a 2 ? b2 ? b2 ? c2 ? c2 ? a 2 ≥ 2(a ? b ? c)



78.有 3 名男生,4 名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数: (1)选其中 5 人排成一排; (2)排成前后两排,前排 3 人,后排 4 人; (3)全体排成一排,甲不站在排头也不站在排尾; (4)全体排成一排,女生必须站在一起; (5)全体排成一排,男生互不相邻; (6)全体排成一排,甲、乙两人中间恰好有 3 人. 79.某地有 10 个著名景点,其中 8 个为日游景点,2 个为夜游景点.某旅行团要从这 10 个景点中选 5 个作为二日游的旅游地.行程安排为第一天上午、下午、晚上各一个 景点,第二天上午、下午各一个景点. (1)甲、乙两个日游景点至少选 1 个的不同排法有多少种? (2)甲、乙两日游景点在同一天游玩的不同排法有多少种? (3)甲、乙两日游景点不同时被选,共有多少种不同排法? 80.如图所示,在以 AB 为直径的半圆周上,有异于 A,B 的六个点 C1,C2,?,C6,直 径 AB 上有异于 A,B 的四个点 D1,D2,D3,D4.则:

(1)以这 12 个点(包括 A,B)中的 4 个点为顶点,可作出多少个四边形? (2)以这 10 个点(不包括 A,B)中的 3 个点为顶点,可作出多少个三角形?其中含点 C1 的有多少个? 81.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 3cos ? (? 为参数) , 在同一平面直角坐标系中, 将曲线 C 上 ? y ? 2sin ?

? ? 1 x ? x ? ? 3 的点按坐标变换 ? 得到曲线 C? . 1 ? y? ? y ? ? 2
(1)求曲线 C? 的普通方程;

试卷第 7 页,总 9 页

(2)若点 A 在曲线 C? 上,点 B (3, 0) ,当点 A 在曲线 C? 上运动时,求 AB 中点 P 的 轨迹方程. 82.已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? cos(? ?

?
4

)??

2 ,以极点为原点,极轴为 x 轴的 2

非负半轴建立平面直角坐标系,曲线 C2 的参数方程为 ? 交点的直角坐标 83. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 (1)化 ( 2 )若 ( 为参数) , 的方程为普通方程; 上的点 P 对应的参数为 为

? x ? cos ?
2 ? y ? sin ?

,求曲线 C1 与曲线 C2

( 为参数) .

上的动点,求

中点

到直线

( 为参数)距离的最小值.

84. 《选修 4-4:坐标系与参数方程》已知直线 L 的参数方程:? 和圆 C 的极坐标方程: ?=2 2 sin(?+ ) (θ 为参数) .

?x ? t (t 为参数) ? y ? 1 ? 2t

?

4

(1)求圆 C 的直角坐标方程. (2)判断直线 L 和圆 C 的位置关系.

x=t cos ?+m 85.选修 4-4:坐标系与参数方程已知直线 l: ? (t 为参数)恒经过椭圆 ? ? y=t sin ? x ? 5 cos? C: ? (为参数)的右焦点 F. ? ? y ? 3 sin ?
(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,求|FA|·|FB|的最大值与最小值.

? 1 3 x? ? t ? ? 2 2 86.已知圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? ,直线 l 的参数方程为 ? ?x ? 1 ? 1 t ? ? 2 2
( t 为参数) ,点 A 的极坐标为 ?

? 2 ?? l C P ? 2 ,4? ? ,设直线 与圆 交于点 、 Q . ? ?

(1)写出圆 C 的直角坐标方程; (2)求 AP ? AQ 的值.

试卷第 8 页,总 9 页

87.在极坐标系中, O 为极点, 半径为 2 的圆 C 的圆心的极坐标为 ( 2 ,

? ). 3

(1)求圆 C 的极坐标方程; (2)在以极点 O 为原点,以极轴为 x 轴正半轴建立的直角坐标系中,直线 l 的参数方程

1 ? x ? 1? t ? 2 ? ? 为? ,直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,已知定点 M (1 , ? 2) , 3 (t 为参数) y ? ? 2 ? t ? 2 ?
求|MA|·|MB|. 88.在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? ?3t ? 2 (t 为参数) ,P 为 C1 上的 ? y ? 4t

动点,Q 为线段 OP 的中点. (1)求点 Q 的轨迹 C2 的方程; (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴(两坐标系取相同的长度单位)的极坐标系 中,N 为曲线 p=2sinθ 上的动点,M 为 C2 与 x 轴的交点,求|MN|的最大值. 89.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系中 x 轴的正半轴 重合, 且两坐标系有相同的长度单位, 圆 C 的参数方程为 ? 点 Q 的极坐标为 (2 2, ? ) 。 (1)化圆 C 的参数方程为极坐标方程; (2)直线 l 过点 Q 且与圆 C 交于 M,N 两点,求当弦 MN 的长度为最小时,直线 l 的直角 坐标方程。 90.已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? 2cos ? ( ? 为参数) , y ? ? 1 ? 2sin ? ?

7 4

? x ? ?10 ? t , (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正 ? y ?t
2

半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4? sin ? ? 2 ? 0 . (1)把圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)将直线 l 向右平移 h 个单位,所得直线 l 与圆 C 相切,求 h.
'

试卷第 9 页,总 9 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

参考答案 1.30 【解析】先将语文、数学、英语、文综 4 科分成 3 组,每组至少 1 科,
2 则不同的分法种数为 C 4 ,其中数学、文综安排在同一节的分法种数为 1,
2 故数学、文综不安排在同一节的分法种数为 C4 ?1 ,

3 再将这 3 组分给 3 节课有 A3 种不同的分配方法,
2 3 根据分步计数原理知,不同的安排方法共有 (C4 ? 1) A3 ? 30 .

【命题意图】本题考查排列组合基础知识,意在考查分析转化能力. 2.28 【解析】
1 2 3 试题分析:分两类,一是两名女生, C4 =4 种,故至少两名 C4 =24 种,二是三名女生, C4

女生的选法有 28 种. 考点:本题主要考查组合知识的应用。 3.24 【解析】 试题分析:首先考虑 1 在前 2 在后,2 ? 2+3 ? 2+2 2=14 再考虑 2 在前 1 在后,2 ? 2+3 ? 2=10

?

共有 24 个满足条件的偶数 考点:排列、组合。 4.12 种 【解析】 试题分析:先排三个黄球,把白球和红球插入 4 个空中,共有 A4 ? 12
2

考点:排列的应用. 5.480. 【解析】
6 试题分析:用 1、2、3、4、5、6 六个数组成没有重复数字的六位数共有 A6 ? 720个数;其

中 3,5,6 共包括三种情况:①5,6 在 3 的前面;②5,6 在 3 的后面;③5,6 在 3 的两侧;三 种情况是等可能的,各占

2 1 ;因此其中 5、6 均排在 3 的同侧的六位数共 720 ? =480 个. 3 3

考点:排列应用题. 6.6. 【解析】 试题分析:根据题意,可将甲乙两人看成一组,余下两人各看成一组,共三组分配到三个不
3 同的车间,因此有: A3 ? 6 种不同的分配方法.

考点:排列数与组合数. 7.24
答案第 1 页,总 32 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

【解析】 试题分析: 因为同一条棱的两个端点不能用相同的颜色, 则相当于把四个元素排往四个位置 全排,有 A4 种。 考点: 排列的定义及排列数公式。 8.240
1 【解析】由题意知 6 必在第三行,安排 6 有 C3 种方法,第三行中剩下的两个空位安排数字 2 1 有 A5 种方法,在留下的三个数字中,必有一个最大数,把这个最大数安排在第二行,有 C2 2 种 方 法 , 剩 下 的 两 个 数 字 有 A2 种排法,按分步乘法计数原理,所有排列的个数是 1 1 2 =240. C3 A52 C2 A2

4

9. 504 【解析】
5 1 1 4 试题分析:当乙在最左端时,有 A5 ? 120 种;当乙不在最左端时,有 A4 A4 A4 ? 384 种,所

以共有 504 种. 考点:排列与排列数. 10. 960 【解析】
5 试题分析:法一:先让 5 名志愿者排队,有 A5 种排法;再安排老人排队,由于 5 名志愿者 1 2 5 1 2 之间有 4 个位,则有 C4 A2 ,所以不同的排法共有 A5 C4 A2 ? 960 种

法二:可分 3 步
2 第一步:排两端,∵从 5 名志愿者中选 2 名有 A5 ? 20 种排法 4 第二步:∵2 位老人相邻,把 2 个老人看成整体,与剩下的 3 名志愿者全排列,有 A4 ? 24

种排法
2 第三步:2 名老人之间的排列,有 A2 ? 2 种排法

最后,三步方法数相乘,共有 20 ? 24 ? 2 ? 960 种排法. 考点:排列与组合的综合问题. 11.40 【解析】
5 r 5? r r 5? r r 5? 2 r 试题分析: (2 x ? ) 的展开式的通项为 Tr ?1 ? C5 (2 x) ( ) ? 2 C5 x , 5 ? 2r ? 0 ,

1 x

1 x

r?

5 3 5?3 不合题意, 5 ? 2r ? ?1 , r ? 3 ,因此展开式中的常数项为 C5 2 ? 40 . 2

考点:二项式定理. 12.14
答案第 2 页,总 32 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

【解析】
4 6 人中选 4 人的方案 C6 ? 15 种,没有女生的方案只有一种,所以满足要求的方案总数有 14

种。 13.35 【解析】 试题分析:∵7 个市三好学生名额是相同的元素,∴要满足甲、乙两校至少各有两个名额, 可以先给甲和乙各两个名额, 余下的三个相同的元素在五个位置任意放, 当三个元素都给一 个学校时,有 5 种结果,当三个元素分为 1 和 2 两种情况时,有 4 ? 5 ? 20 种结果,当三个
3 元素按照 1、1、1 分成三份时,有 C5 ? 10 种结果,∴不同的分配方案有 5 ? 20 ? 10 ? 35 种

结果. 考点:排列、组合及简单计数问题. 14. {5} 【解析】
x x 2 x +16 x- 1 2 x +2 试题分析: C17 ,即 C16 ,∴x﹣1+2x+2=16,解得 x=5. - C16 = C16 = C16

故答案为:{5}. 考点:组合及组合数公式. 15.30 【解析】
2 1 1 2 试题分析:由题意知满足条件的组合应该为: C4 C3 ? C4 C3 ? 18 ?12 ? 30 .

考点:组合数. 16.4 【解析】 试题分析:从 4 名同学中选出 3 人,则不同的选法有 C4 ? 4 种. 考点:组合数. 17.34 【解析】
4 试题分析:根据题意,从 4 名男生和 3 名女生共 7 人中,选出 4 人有 C7 ? 35 种情况,

3

由于 7 人中有 4 名男生和 3 名女生, 则不会出现选取 4 人全部为女生的情况, 出现全部为男 生的情况有 1 种,则选出的 4 人中既有男生又有女生的情况有 35-1=34 种, 故答案为 34. 考点:分类加法计数原理,分步乘法计数原理 18.18 【解析】 试题分析:分析可知丙工作站除 B 外还需要 1 人,当 A 在丙工作站时不同的分配方法有
2 2 C4 C2 ?

4?3 ?1 ? 6 ; 当 A 不在丙工作站时又 A 不能去甲工作站则说明 A 只能在乙工作站, 1? 2

答案第 3 页,总 32 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

2 2 此 时 不 同 的 分 配 方 法 有 C4 A2 ?

4?3 ? ?1? 2 ? ? 12 . 综 上 可 得 不 同 的 分 配 方 法 共 有 1? 2

6 ? 12 ? 18 .
考点:排列组合. 19. 2 .4 【解析】 试题分析: X ~ B?8, 0.3? , EX ? 8 ? 0.3 ? 2.4 考点:二项分布的期望 20.

15 4

【解析】

1 ,所以此问题相当于 8 1 1 3 独立重复试验,做了三次,每次发生的概率都是 ,所以需要补种的坑的期望为 3? , 8 8 8 3 15 所以补种费用 ? 的期望为 10 ? . 8 4
3 试题分析:根据题意,每个坑需要补种的概率是相等的,都是 ( ) =

1 2

考点:独立重复试验. 21.

1 10 1 1 1 1 ,1, , ? , ?1 , 因此 P (? ? ?1) ? , 2 2 2 5 1 P (? ? 1) ? , , 所 以 5 2 1 1 ? ? ? ? ? .? 1 5 5 1 0

【解析】 试题分析: 由 m ?{?1,0,1, 2,3} , 计算得 ? 的值分别为

1 1 P(? ? ? ) ? 2 5 1 E? ? 1 ? 5



? (

1 2

1 P (? ? ) ? 2 1 ?) ? 5

2 5 1 2

考点:随机变量的数学期望. 22. (Ⅰ) x ? 82 , D东部 ? D西部 ; (Ⅱ) ? 的分布列为:

?
P

1
1 5

2
3 5

3

1 5

1 3 1 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 . 5 5 5
【解析】 试题分析: (Ⅰ)根据表格计算得到 x ? 82 ,比较可得 D东部 ? D西部 ; (Ⅱ)“优”类城市有 2 个,“轻度污染”类城市有 4 个.
答案第 4 页,总 32 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

C 2 C1 3 C1C 2 1 ? 的 所 有 可 能 取 值 为 : 1, 2 , 3 . 计 算 P(? ? 1) ? 4 3 2 ? , P(? ? 2) ? 4 3 2 ? , C6 5 C6 5 P(? ? 3) ?
3 0 C4 C2 1 ? . 即得? ? 的分布列为及数学期望. 3 C6 5

试题解析: (Ⅰ) x ? 82

2分

D东部 ? D西部

4分

(Ⅱ)“优”类城市有 2 个,“轻度污染”类城市有 4 个. 根据题意 ? 的所有可能取值为:

1, 2, 3 .

5分 11 分

? P(? ? 1) ?

1 2 2 1 3 0 C4 C2 1 C4 C2 3 C4 C2 1 ? P ( ? ? 2) ? ? P ( ? ? 3) ? ? . , , 3 3 3 C6 5 C6 5 C6 5

? ? 的分布列为:
?
P

1
1 5

2
3 5

3

1 5
13 分

所以 E? ? 1?

1 3 1 ? 2 ? ? 3? ? 2 . 5 5 5

考点:1.随机变量的分布列及其数学期望;2.频率分布表. 23. a ? 0.3 , b ? 6 【解析】 试题分析: 由 0.2 ? 0.5 ? a ? 1 得 a ? 0.3 , 又由 E? X ? ? 3 ? 0.2 ? b ? 0.5 ? 8 ? a ? 6 得 b ? 6 。 考点:随机变量的期望 24.(0.1+p)a 【解析】设保险公司要求顾客交 x 元保险金,若以 ξ 表示公司每年的收益额,则 ξ 是一个 随机变量,其分布列为: ξ P x 1-p x-a p

因此,公司每年收益的期望值为 E(ξ )=x(1-p)+(x-a)p=x-ap.为使公司收益的期望值 等于 a 的百分之十,只需 E(ξ )=0.1a,即 x-ap=0.1a,解得 x=(0.1+p)a. 即顾客交的保险金为(0.1+p)a 时,可使公司期望获益 10%a. 25.4 【解析】依题意得,ξ 的可能取值分别是 0,1,2,3,4,5,6,且每次取球取出红球的概率均是

2 2 2 4 = ,故 ξ ~B(6, ),因此 E(ξ )=6× =4. 3 3 4?2 3 5 26. 3
答案第 5 页,总 32 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

1 1 1 2 =(1-p) × ,∴p= ,随机变量 X 的可能值为 0,1,2,3,因此 12 3 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 P(X = 0) = , P(X = 1) = ×( ) +2× ×( ) = , P(X = 2) = ×( ) ×2+ 12 3 2 3 2 3 3 2 1 1 2 5 2 1 2 1 1 5 1 5 ×( ) = ,P(X=3)= ×( ) = ,因此 E(X)=1× +2× +3× = . 3 2 12 3 2 6 3 12 6 3 11 27. 7
【解析】∵P(X=0)= 【解析】 试题分析: ∵随机变量 ξ 的概率分布列为 P( ? ? k )=

1 1 1 c ,(k=1,2,3), ∴ c( ? ? ) ? 1 , k 2 2 4 8

∴c=

8 1 1 1 8 11 11 ,∴E ? ? ? ( ? 1 ? ? 2 ? ? 3) ? ,故答案为: 7 7 7 7 2 4 8
9 16 1 , 4

考点:1.离散型随机变量的分布列和期望. 28.

【解析】由题意知取到次品的概率为

1 ). 4 1 1 9 ∴D(X)=3× ×(1- )= . 4 4 16 12 29. 5
∴X~B(3, 【解析】 试题分析: : ∵随机变量 ξ 服从二项分布, 且 ? ~ B (10, ) , ∴ D? ? 10×

2 5

2 2 12 × (1- ) = , 5 5 5

故答案为:

12 5

考点:二项分布的方差,二项分布与 n 次独立重复试验的模型. 30. 0.2 【 解 析 】 设 ? = 1,2,3,4,5 的 概 率 分 别 为 P 1, P 2, P 3, P 4, P 5 , 则 由 题 意 有

P 1 ? 2P 2 ? 3P 3 ? 4P 4 ? 5P 5 ? 4.2 , P 1?P 2 ?P 3?P 4 ?P 5 ? 1,对于 P 1 ? 2P 2 ? 3P 3 ? 4P 4 ,当
? 4 ( 1? P P4 越 大 时 , 其 值 越 大 , 又 P4 ? 1 , 因 此 P 1 ?2 P 2 ?3 P 3 ?4 P 4 5 ), 所 以

4(1 ? P 5 ) ? 5P 5 ? 4.2 ,解得 P 5 ? 0.2 .
【考点】随机变量的均值(数学期望) ,排序不等式.

答案第 6 页,总 32 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

31.

1 2

2p p p +1× +2×(1- )=2-p, 3 3 3 2p p 又∵1> ≥0,1≥1- ≥0, 3 3 3 ∴0≤p≤ . 2 3 3 1 ∴当 p= 时,E(ξ )的值最小,E(ξ )=2- = . 2 2 2 13 32. (Ⅰ) p ? ; 15
【解析】E(ξ )=0× (Ⅱ) ? 的分布列是:

?
P

0

1
34 75

2
22 75

3

15 75

4 75

? 的数学期望

6 . 5

【解析】 试题分析: (Ⅰ) 总数为 50, 所以 m ? n ? 15 ? 10 ? 7 ? 3 ? 50 , 又因为居民年龄在[10,20) , n ? 10 . [20,30) , [30,40) 的人数成等差数列, 所以 m ? 15 ? 2n .解这个方程组可得 m ? 5 , 从
2 2 10 人中选取 2 人,共有 C10 种结果,两人都不知道使用方法的共有 C4 种结果,这样可得选
2 C4 6 13 ?1? ? . (Ⅱ) 由于年 2 C10 45 15

取的两人至少有一人知道灭火器使用方法的概率为 P( A) ? 1 ?

龄在[10,20)的人中只有 1 人不知道使用方法,故随机变量 ? 的最大值为 3,即 ? 的所有可 能值为 0,1,2,3. ? ? 0 表示从各组中选出的两人都知道使用方法; ? ? 1 包括[10,20) 中 1 人知道 1 人不知道[20,30)中 2 人都知道和[10,20)中 2 人都知道[20,30)中 1 人知 道 1 人不知道两种情况;? ? 2 包括[10,20)中及[20,30)中各有 1 人不知道和[10,20)中 2 人都不知道两种情况; ? ? 3 表示[10,20)中 1 人知道 1 人不知道而[20,30)中 2 人都不 知道.利用排列组合公式及古典概型公式可求出 ? 分布列,进而可求出其期望
E? ? 0 ? 15 34 22 4 6 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 75 75 75 75 5

?m ? n ? 15, 试题解析: (Ⅰ)由题 ? 解得 m ? 5 , n ? 10 . ?m ? 15 ? 2n,

记选取的两人至少有一人知道灭火器使用方法为事件 A,

答案第 7 页,总 32 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

则 P( A) ? 1 ?

2 C4 6 13 ?1? ? . 4分 2 C10 45 15

(Ⅱ)随机变量 ? 的所有可能值为 0,1,2,3. 则 P ?? ? 0 ? ?
2 C2 C4 6 15 45 15 ? 6 ? ? ? ? , 2 2 C5 C10 10 45 225 75

P ?? ? 1? ?

2 1 1 1 2 C6 C4 ? C6 C4 C4 4 15 6 24 102 34 ? ? ? ? ? ? ? ? = , 2 2 C52 C10 C52 C10 10 45 10 45 225 75

P ?? ? 2 ? ?

1 1 1 2 2 C4 ? C6 C4 C4 C4 4 24 6 6 66 22 ? ? ? ? ? ? ? ? = , 2 2 2 2 C5 C10 C5 C10 10 45 10 45 225 75

P ? ? ? 3? ?

1 2 C4 C4 4 6 12 4 ? ? ? ? = . 10 分 2 2 C5 C10 10 45 225 75

所以 ? 的分布列是:

?
P

0

1
34 75

2
22 75

3

15 75

4 75

所以 ? 的数学期望 E? ? 0 ?

15 34 22 4 6 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 12 分 75 75 75 75 5

考点:1、统计基础;2、古典概型;3、随机变量的分布列及期望. 33. (1)35 件(2)14(件)优等品(3)X 的分布列为 X P 0 1 2

3 10

6 10

1 10

4 5
【解析】 解:(1)

98 =7,5×7=35,即乙厂生产的产品数量为 35 件. 14

2 (2)易见只有编号为 2,5 的产品为优等品, 所以乙厂生产的产品中的优等品 , 故乙厂生产有 5 大约 35×

2 =14(件)优等品, 5 3 C32 = , 2 C5 10

(3)X 的取值为 0,1,2. P(X=0)=

1 1 3 C3 ? C2 P(X=1)= = , 2 5 C5

答案第 8 页,总 32 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

P(X=2)=

1 C32 = . 2 C5 10
X P 0 1 2

所以 X 的分布列为

3 6 10 10 3 3 1 4 故 X 的均值为 E(X)=0× +1× +2× = . 10 5 10 5 5 34. . 16
【解析】

1 10

试 题 分 析 : 由 随 机 变 量 X ~ B (6, ) , 利 用 二 项 分 布 的 概 率 计 算 公 式 能 求 出

1 2

5 3 1 3 1 3 P( X ? 3) ? C 6 ( ) ( ) ? . 2 2 16
考点:二项分布与 n 次独立重复试验的模型.

14 35. 9
【解析】略 36.

15 28

【解析】 记事件“甲取到 2 个黑球”为 A, “乙取到 2 个黑球”为 B, 则有 P(B|A)=

P ? AB ? P ? A?



C82 ? C62 15 15 = ,即事件“甲取到 2 个黑球,乙也取到 2 个黑球”的概率是 . 2 2 28 C8 ? C8 28
3 7

37.

【解析】 试题分析:事件 A 发生有(正,正,反) (正,反,反) (正,反,正) (反,正,反) (反, 正,正) (反,反,正) (反,反,反)共有 7 种,事件 AB 发生有(正,反,反) (反,正, 反) (反,反,正)有 3 种, 因此 P?B | A? ?

n? AB? 3 ? . n? A? 7

考点:条件概率的应用. 38.

2 9

【解析】 试题分析:本题属于条件概率,已知第一次抽到是次品,第二次可以正品也可以是次品,第

答案第 9 页,总 32 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

三次一定是次品,故第三次抽次品的概率 P = 考点:条件概率的问题 39.

1 1 1 1 C7 C2 ? C2 C1 2 ? 1 1 9 C9 C8

1 3

【解析】 试题分析:袋中有 7 个白球,3 个红球,在第一次取出白球的条件下, 还剩下 6 个白球,3 个红球,故第二次取出的情况共有种 其中第二次取出的是红球有 3 种 故在第一次取出白球的条件下,第二次取出的是红球的概率是 考点:条件概率。 40.

1 。 3

5 12 2 1 = . 6 3 5 10 = . 36 18

【解析】本题考查了古典概率,独立事件概率和条件概率. P(A)=

∵两颗骰子的点数之和共有 36 个等可能的结果,点数之和大于 8 的结果共有 10 个. ∴P(B)=

当蓝色骰子的点数为 3 或 6 时, 两颗骰子的点数之和大于 8 的结果有 5 个, 故 P(AB)=

5 . 36

5 P ? AB ? 36 5 ∴P(B|A)= = = . 1 12 P ? A? 3
41.0.24 0.96 【解析】 每个人是否达标是相互独立的, “三人中至少有一人达标”的对立事件为“三人均 未达标”, 设三人都达标为事件 A, 三人中至少有一人达标为事件 B, 则 P(A)=0.8×0.6×0.5 =0.24,P(B)=1-0.2×0.4×0.5=0.96. 42.

2 3 3 ; 4

【解析】记事件 A:“用满 3000 小时不坏”,P(A)= 记事件 B:“用满 8000 小时不坏”,

1 1 .因为 B? A,所以 P(AB)=P(B)= , 2 2 1 P ? AB ? 2 1 4 2 则 P(B|A)= = = × = . 3 2 3 3 P ? A? 4
P(B)= 43.① 【解析】由 P( B |A)=1,得 P(B|A)=0,
答案第 10 页,总 32 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。



P ? AB ? =0,所以 P(AB)=0. P ? A?
1 2

44.

3 P ? AB ? 10 1 【解析】P(B|A)= = = . 3 2 P ? A? 5
13 45. 14

【解析】略 46.19990 【解析】 (分析: a1a2 a3 的取法有 10 , a 4 a5 a6 与它相同则另一数有 10 种取法, a5 a6 a7 同 样,其中重复情况只有“1111111”等 10 种,∴有 10 ? 10 ? 2 ? 10 ? 19990,本题考查排
3 3

列组的知识) 47. x ? y ? 1, ( x ? 2) 4 16 【解析】 试题分析:参数方程消参得: x ?
2
2 2

y2 x2 y2 ? 4?x ? 2? ,整理得 ? ? 1 , ?x ? 2? 4 4 16

考点:参数方程与普通方程的互化 48. ? 2 , 【解析】 试题分析:由题: ? (cos? ? sin ? ) ? 2 ? 0 ? x ? y ? 2 ? 0 , ? ? 2 ? x ? y ? 1 的,所以
2 2

? ?

3? ? ? 4 ?

直线与圆相交 2 点 (?2,0) (0,2) ,故弦中点为(-1,-1) ,所以极坐标为 ? 2 , 考点:参数方程与直角坐标互化 49. (-3,4)或(-1,2) 【解析】 试题分析:由题: ?

? ?

3? 4

? ? ?。

? ? x0 ? y0 ? 1 ? x ? ?2 ? 2t ? x ? y ?1 ? 0 , ? ? (-3,4) 2 2 ( x ? 2 ) ? ( 3 ? y ) ? 2 ? y ? 3 ? 2 t 0 ? 0 ?

或(-1,2) 。 考点:直线的参数方程 50. x ? y ? 2 ? 0(2 ? x ? 3)

答案第 11 页,总 32 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

【解析】
2 ? 2 ? x ? 2 ? sin ? 试题分析:由题:? ,又因为 sin ? ? ?0,1? , ? x ? 2 ? 1 ? y ? 1 ? x ? y ? 2 ? 0 2 ? 1 ? y ? cos ? ?

故 x ? ?2,3? 。 考点:直线的参数方程 51. (6, ,4) . 【解析】 试题分析: 利用球面坐标(r,θ ,φ ) 与直角坐标(x,y,z)之间的关系 即可得出.

解:由点 M 的球坐标(8,



化为直角坐标为

∴点 M 的直角坐标为(6, ,4) . 故答案为(6, ,4) . 点评:本题考查了球面坐标(r,θ ,φ )与直角坐标(x,y,z)之间的关系,属于基础题. 52. (2,2 ,0)

【解析】 试题分析: 利用球坐标系 (r, θ , φ) 与直角坐标系 (x, y, z) 的转换关系: x=rsinθ cosφ , y=rsinθ sinφ ,z=rcosθ ,代入可得 M 的直角坐标 解:∵M 的球坐标为(4, , ) ,

∴r=4,θ =

,φ =

∴x=rsinθ cosφ =4?1? =2, y=rsinθ sinφ =4?1? z=rcosθ =4?0=0, 故 M 的直角坐标为(2,2 故答案为(2,2 ,0) ,0) =2 ,

点评:假设 P(x,y,z)为空间内一点,则点 P 也可用这样三个有次序的数 r,φ ,θ 来 确定,其中 r 为原点 O 与点 P 间的距离,θ 为有向线段 OP 与 z 轴正向的夹角,φ 为从正 z
答案第 12 页,总 32 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

轴来看自 x 轴按逆时针方向转到 OM 所转过的角,这里 M 为点 P 在 xOy 面上的投影.这样的 三个数 r,φ ,θ 叫做点 P 的球面坐标,显然,这里 r,φ ,θ 的变化范围为 r∈[0,+∞) , φ ∈[0,2π ],θ ∈[0,π ] 53. ;B .

【解析】 试题分析:柱坐标系和球坐标系之间的变换公式:x=rcost y=rsint z=z,进行直角坐标与 柱坐标之间转换即可.

解:∵

即柱坐标 A(2,

,5)化为直角坐标是:





得:

∴直角坐标 B(﹣3, 故答案为:

,﹣

)化为柱坐标是 B ;B .



点评:本题主才考查了柱坐标刻画点的位置,以及柱坐标与直角坐标的互化,设 P 是空间的 一点,P 在过 O 且垂直于 OZ 轴的平面上的射影为 Q,取 OQ=ρ ,∠xOQ=θ ,QP=z,那么点 P 的柱坐标为有序数组(ρ ,θ ,z) . 54. , .

【解析】 试题分析:利用球坐标和柱坐标的计算公式即可得出. 解:∵点的球坐标 ,





计算球坐标

对应的点的直角坐标是



答案第 13 页,总 32 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

又由



,即对应点的柱坐标是



故答案为:





点评: 本题主要考查了柱坐标系与球坐标系. 熟练掌握球坐标和柱坐标的计算公式是解题的 关键. 55. 【解析】 试题分析:根据题意:“M 点的柱面坐标为 示.利用长方体模型进行计算即可.在长方体 OM 中,∠PON= ,”作出立体图形,如图所 ,ON=6,MN=1,直线 OM 与

xOz 平面所成的角为∠MOQ,利用长方体的性质得到对角线的长,再在直角三角形 MOQ 中, 求出 sin∠MOQ,从而得出则直线 OM 与 xOz 平面所成的角的大小. 解:根据题意作出立体图形,如图所示. 在长方体 OM 中,∠PON= ,ON=6,MN=1,直线 OM 与 xOz 平面所成的角为∠MOQ, =3,PN=ONsin = = , = . . =3 ,

在直角三角形 OPN 中,OP=ONcos ∴OM= =

在直角三角形 MOQ 中,sin∠MOQ=

∴则直线 OM 与 xOz 平面所成的角∠MOQ 为 故答案为: .

点评: 本题考查直线与平面所成的角和线面角, 本题解题的关键是构造长方体, 属于中档题.
答案第 14 页,总 32 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

56. (?

3 1 3 3 , ), (? , ) 2 2 2 2 3 可 得 普 通 方 程 分 别 是 2

【 解 析 】 因 为 曲 线 ? ? 2sin ? 与 ? cos ? ? ?

x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0, x ? ?

3 3 1 3 3 .所以交点坐标为 (? , ), (? , ). 2 2 2 2 2

【考点】1.极坐标方程与普通方程的相互转化.2.直线与圆的位置关系. 57. x +y =4 , 【解析】由
2 2

k ??

5 2
得 x ? y ? 4. 因为直线 l : kx ? y ? 3 ? 0 与圆 C 相切,所以
2 2

? ? x2 ? y2 ? 2
k??
,解得

|3| k ?1
2

?2

5 . 2

考点:直线与圆相切 58. ( 2, 【解析】 试题分析:将 ? ? 2 sin ? 化为直角坐标方程为 x2 ? ( y ?1)2 ? 1 。 ? cos? ? ?1 化为直角坐 标方程为 x ? ?1 。将以上两式联立解得 x ? ?1 且 y ? 1 ,即交点的直角坐标为 ? ?1,1? ,极坐 标为 ( 2,

3? ) 4

3? )。 4

考点:极坐标方程与直角坐标方程的互化。 59.

? 16

【解析】 试题分析:直线 l 的直角坐标方程为 3x ? y ? 3 ,如图,

作出直线 l , 线段 CA 绕原点 O 旋转

? 后到 C1 A1 位置, 则所求面积 S 为曲边四边形 OCAA1 的 2

面 积 减 去 曲 边四 边 形 OCC1 A1 的 面 积 等 于 扇 形 OAA 1 的 面 积 减去 扇 形 OCC1 的 面 积,
答案第 15 页,总 32 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

OA ? 1, OC ?

3 1 3 2 1 ,∴ S ? ? [12 ? ( ) ]? ? . 2 4 2 16

考点:直线的极坐标方程与直角坐标方程,曲边多边形的面积. 60. ? ? 4 sin ? 【解析】 试题分析:把曲线 C 的参数方程 ?

t ? ?x ? 2 c o s ( t 为参数)化为普通方程可得 y ? 2 1 ? s i n t ? ? ? ?

? x ? ? cos ? 2 x2 ? ? y ? 2? ? 4 , 再 利 用 直 角 坐 标 到 极 坐 标 的 转 化 公 式 ? 可得 ? y ? ? sin ?

? ? cos ? ? ? ? ? sin ? ? 2 ?
2

2

? 4 ? ? 2 ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? ? 4 ? sin ? ? 4 ? 4

? ? 2 ?4 ? s i n ? ? ? ? 4 s,i故填 ?n ? ? 4sin ? .
考点:参数方程 极坐标方程 61. ? cos ? ? 2 【解析】 试题分析:∵ ? ? 2cos ? ,∴ ? 2 ? 2? cos ? ,∴ x 2 ? y 2 ? 2 x ,由图象可知在 M(2,0)处的 切线为 x ? 2 ,即 ? cos ? ? 2 .

考点:1.极坐标与直角坐标的互化;2.圆的切线问题. 62.

3? 4
2 2

【解析】 试题分析:直线的普通方程为 y ? tan ? ? x ,圆的直角坐标方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 ; 直线被圆截得的弦长最大,即圆心到直线的距离 d 最小,d ?
答案第 16 页,总 32 页

tan ? ? 1 tan 2 ? ? 1

? 0 ,当 dmin ? 0

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

时, tan ? ? ?1, ? ?

3? . 4

考点:参数方程与普通方程的转化、极坐标与直角坐标的转化、最值问题. 63. ? ?1, ? ? . 【解析】 试题分析:曲线 C1 的直角坐标方程为 x ? 3 y ? 2 m ? 0 ,曲线 C2 的直角坐标方程为

? ?

1? 2?

x2 ? y 2 ? 1? y ? 0?

,如图,

直线与圆有两个不同的交点,即在直线 l1 (经过点 B 的直线)与 l2 (经过点 A 的直线)之

m ? ?1 , m?? 间, 当直线与 l1 重合时, 当直线经过点 A ?1,0 ? 时,

1? 1 ? , 综上得 m ? ? ?1, ? ? . 2 2? ?

考点:直角坐标与极坐标的转化、参数方程与普通方程的转化、直线与圆的位置关系. 64.

2 2

【解析】 试题分析:∵曲线 C1 的极坐标方程为: C1 : ? ( 2 cos? ? sin ? ) ? 1,∴曲线 C1 的普通方 程是 2x ? y ?1 ? 0 ,∵曲线 C2 的极坐标方程为 C2 : ? ? a, (a ? 0) ,∴曲线 C2 的普通方 程是 x ? y ? a ,∵曲线 C1 : ? ( 2 cos? ? sin ? ) ? 1与曲线 C2 : ? ? a, (a ? 0) 的一个交
2 2 2

点在极轴上,∴令 y ? 0 则 x ?

? 2 ? 2 2 2 2 2 ,0? ,点 ? 在圆 x ? y ? a 上,解得 a ? ,故答 ? ? 2 2 ? 2 ?

案为:

2 . 2

考点:简单曲线的极坐标方程. 65.1 【解析】 试题分析:如下图, 设圆心到直线距离为 d ,因为圆的半径为 2 , d ? 2 ? sin 30 ? 1
?

答案第 17 页,总 32 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

d x o

考点:参数方程 极坐标 点线距离 66.1 【解析】 试题分析:如下图, 设圆心到直线距离为 d ,因为圆的半径为 2 , d ? 2 ? sin 30 ? 1
?

d x o

考点:参数方程 极坐标 点线距离 67. y 2 ? x2 ? 2 【解析】 试题分析:由矩阵变换公式直接代入计算可求曲线方程. 试题解析: 解法一: 设 xy ? 1 上任意一点 ? x, y ? 在矩阵 A 对应的变换作用下对应的点 ? x?, y?? , 则

? 2 ? ? ?x ? 2 ?1 ? x ? ? y ? ? A ? y ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? ? 2
? ?x ? ? 由此得 ? ?y ? ? ?

2? ? 2 ? ? x? ? ,4 分 ? ? 2 ? ? y ?? ? 2 ?

2 ? x? ? y ? ? , 2 6分 2 ? y ? ? x? ? , 2
2 2

代入方程 xy ? 1 ,得 y? ? x? ? 2 . 所以 xy ? 1 在矩阵 A 对应的线性变换作用下的曲线方程为 y ? x ? 2 .10 分
2 2

解法二:

? ? A?? ? ? ?

2 2 2 2

?

2? ? 2 ? ,4 分 2 ? ? 2 ?

设 xy ? 1 上任意一点 ? x, y ? 在矩阵 A 对应的线性变换作用下得到点 ? x?, y?? ,则
答案第 18 页,总 32 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

? ? x? ? ? ? y? ? ? ? ? ? ? ? ?

2 2 2 2

?

? 2? ? ?x ? ? x? ? ? 2 ? ,其坐标变换公式为 ? ? ? 2 ? ? y? ? y? ? ? ? ? 2 ?

2 x? 2 2 x? 2

2 y, 2 2 y, 2

? ?x ? ? 由此得 ? ?y ? ? ?

2 ? x? ? y?? , 2 6分 2 ? y? ? x?? , 2

代入方程 xy ? 1 ,得 y?2 ? x?2 ? 2 . 所以 xy ? 1 在矩阵 A 对应的线性变换作用下的曲线方程为 y 2 ? x2 ? 2 . 10 分 考点:矩阵变换.
? 2 ? 1? ? 3 2? ?3 3? ? 1 1 ? ?2 4? ?? ? ? ,A 的逆矩阵 ? 3 2 ? 68.A= ?

【解析】
?3 3 ? ?1? ?1? ?3 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ?c d ? ?1? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? =6 ?1? , ?c d ? ? ?2 ? = ? ?2 ? ,即 c+d 试题分析:由特征值与特征向量关系得: ?

? 2 ? 1? ? 3 2? ?c ? 2 ?3 3? ? 1 1 ? ? ?2 4? ?? ? d ?4 ? ,从而 A 的逆矩阵是 ? 3 2 ? . =6,3c-2d=-2, ,因此 ? 即 A= ?
?1? ?1? ? ?

试题解析:由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 α 1=
?3 3 ? ?1? ?1? ?c d ? ?1? ? ? ? ? ? ? =6 ?1? ,即 c+d=6,

可得,

2分

?3? ? ?2 ? 由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 α 2= ? ? , ?3 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ?c d ? ? ?2 ? ? ?2 ? ? ? ? = ? ? ,即 3c-2d=-2,4 分 可得 ? ?c ? 2 ? ?d ? 4 ?3 3? ?2 4? ?, 即 A= ?

解得

6分

答案第 19 页,总 32 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

? 2 ? 1? ? 3 2? ? 1 1 ? ?? ? 所以 A 的逆矩阵是 ? 3 2 ? .10 分

考点:特征值与特征向量,逆矩阵 2 69. 3 【解析】 试题分析: 先由矩阵变换得到曲线方程:
1 2 2 ? 2? ? 2 3 3.

x ? 3 y ?1

, 再根据曲线形状: 菱形, 计算其面积:

?1 0 ? M ? ? 1? ?0 ? x ? y ?1 ? ? 3? ? 对应的变换作用下 试题解析:设点 ( x0 , y0 ) 为曲线 上的任一点,在矩阵
? ? 得到的点为 ( x , y ) ,

?1 0 ? ? 1 ? ? x0 ? ? ? x? ? ? ? ? ?0 ?? ? y0 ? ? y?? ? ? 3 ? ? 则由 ,

3分

? x? ? x0 , ? ? x0 ? x?, 1 ? ? y? ? y0 , ? y ? 3 y ?, 3 得: ? 即? 0 5分 ?1 0 ? M ? ? 1? ?0 ? x ? y ?1 ? 3? ? 对应的变换作用下得到的曲线为 x ? 3 y ?1 , ? 所以曲线 在矩阵
8分
1 2 2 ? 2? ? 3 3. 所围成的图形为菱形,其面积为 2

10 分

考点:矩阵变换
?1 ?3 ? 2? 4? ? (Ⅱ)x+4 =0

70. (Ⅰ) 【解析】

?a ?c 试题分析: (Ⅰ)求矩阵,实际上就是联立方程组解待定系数,设 ?

b? d? ? ,则有

答案第 20 页,总 32 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

?a ?c ?

b ? ?1 ? ? ?1? ? a ? ? ? ? ? d? ? ? ?1? = ? ?1? , ?c ?1 ?3 ?

?a ? 1 ?b ? 2 ? ? b ? ? ?2 ? ?0 ? ?a ? b ? ?1 ??2a ? b ? 0, ?c ? 3 ,且 ? ? ? ? ? ? ? ?d ? 4 d ? ?1 ? ? ?2 ? c ? d ? ?1 ??2c ? d ? ?2 = ,所以 ? ,解得 ?

所 以 M=
? x? ? ?1 ? y ? ? ? ?3 ? ? ?

2? 4? ? (Ⅱ)矩阵变换,实际上就是转移法求轨迹方程,因为

2 2 ? ? ?x ? ?x ? y ?? ? ? ? 4 ? ? y ? ?3 x ? 4 y ? ? 且 2 x? ? y ? ? 4 ,所以 2(x+2y)-(3x+4y)=4,即 x+4 =0 b? ?a ? ?c d? ,则有 ? b ? ?1 ? ? ?1? ? a ? ? ? ? ? d? ? ? ?1? = ? ?1? , ?c b ? ? ?2 ? ?0 ? ? ? ? ? d? ? ?1 ? = ? ?2 ? ,

?a ?c 试题解析:解: (Ⅰ)设 ?

?a ? b ? ?1 ??2a ? b ? 0, ,且 ? ? c ? d ? ?1 ??2c ? d ? ?2 ? 所以 ,

2分

解得

?a ? 1 ?b ? 2 ? ? ?c ? 3 ? ?d ? 4

所以 M=

?1 ?3 ?

2? 4? ?

4分

? x? ? ?1 ? y ? ? ? ?3 (Ⅱ)因为 ? ? ?

2? ? x ? ? x ? 2 y ? ? ??? ? 4? ? ? y ? ?3x ? 4 y ? 且 m:2 x? ? y ? ? 4 ,

5分 7分

所以 2(x+2y)-(3x+4y)=4,即 x+4 =0,这就是直线 l 的方程 考点:矩阵运算,矩阵变换 71.见解析. 【解析】

2 2 2 2 2 2 2 试题分析:由基本不等式 b ? c ≥ 2bc 及 a ≥ 0 得, a (b ? c ) ≥ 2a bc ,同理得出三

个相应的不等式相加即可. 试题解析:证明:因为 b ? c ≥ 2bc, a ≥ 0 ,所以 a (b ? c ) ≥ 2a bc ①
2 2 2 2 2 2 2

同理 b (a ? c ) ≥ 2ab c ② c (a ? b ) ≥ 2abc ③4 分
2 2 2 2 2 2 2 2

①②③相加得 2(a b ? b c ? c a ) ≥ 2a bc ? 2ab c ? 2abc ,6 分
2 2 2 2 2 2 2 2 2

从而 a b ? b c ? c a ≥ abc(a ? b ? c) .
2 2 2 2 2 2

由 a, b, c 都是正数,得 a ? b ? c ? 0 ,

因此

a 2b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ≥ abc . 10 分 a?b?c
答案第 21 页,总 32 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

考点:基本不等式的应用. 72.见解析 【解析】 试题分析:反证法证明先

1 1 1 , , 成等差数列,得 a,b,c 成等差数列,且公差不为零, a b c

与已知数列 a,b,c 的公差不为零,a≠c 相矛盾,从而原结论成立。 试题解析:假设 得

1 1 1 1 1 1 1 a ?b b?c , , 成等差数列,则 ? ? ? ,即 ? 两边乘以 b, a b c b a c b ab bc

a ?b b?c ? ,又∵a,b,c 成等差数列,且公差不为零, a c 1 1 ∴a-b=b-c≠0.由以上两式,可知 ? .两边都乘以 ac,得 a=c. a c
这与已知数列 a,b,c 的公差不为零,a≠c 相矛盾, 所以数列

1 1 1 , , 不可能成等差数列。 a b c

考点:反证法 73. (Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析 【解析】 试题分析:证明不等式可采用分析法寻找思路与入手点, (Ⅰ)中证明主要借助了完全平方 公式(Ⅱ)中证明主要借助了(Ⅰ)中的结论 试题解析: (Ⅰ)∵ a ? 2ab ? b ? (a ? b) ? 0
2 2 2

∴ a ? 2ab ? b
2

2



a2 ? 2a ? b . b
a2 b2 c2 ? 2a ? b , ? 2b ? c , ? 2c ? a b c a

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知

a 2 b2 c2 ? ? ? 2a ? b ? 2b ? c ? 2c ? a ? a ? b ? c ∴ b c a
考点:不等式的证明

1 1 13 ? ? ,不等式成立 2 ? 1 4 24 1 1 1 13 ? ?? ? ? 假定 n ? k 时,不等式成立,即 k ?1 k ? 2 2k 24
74.证明:当 n ? 2 时, 当 n ? k +1 时,

1 1 1 ? ?? ? k ?2 k ?3 2 ? k +1?

?

1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? ? k ?1 k ? 2 2k k ? 1 2k ? 1 2k ? 2

答案第 22 页,总 32 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

?

13 1 1 1 13 ? ? ? ? ,其中 24 k ? 1 2k ? 1 2k ? 2 24 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?0 k ? 1 2k ? 1 2k ? 2 2k ? 1 2k ? 2

由数学归纳法得命题成立 【解析】 试题分析用数学归纳法证明。 考点;数学归纳法. 点评:本题考查了数学归纳法,注意 n=k 到时 n=k+1 的过程. 75. (Ⅰ)证明见解析; (Ⅱ)证明见解析. 【解析】 试题分析: 解题思路: (Ⅰ)用分析法进行证明; (Ⅱ)用反证法进行证明. 规律总结:证明方法主要有:综合法、分析法、反证法,要根据所证明题目的类型,灵活选 择. 试题解析: (Ⅰ)证明:因为 3 ? 7 和 2 5 都是正数,所以为了证明 3 ? 7 ? 2 5 , 只要证
( 3 ? 7)2 ? (2 5)2 ,

只需证: 10 ? 2 21 ? 20 , 即证: 2 21 ? 10 , 21 ? 5 , 即证: 即证: 21 ? 25 , 因为 21<25 显然成立,所以原不等式成立. (Ⅱ)证明:假设
1? b 1? a 1? b 1? a 都不小于 2,则 , ? 2, ?2 a b a b

? a ? 0, b ? 0, ?1 ? b ? 2a, 1 ? a ? 2b, ? 1 ? 1 ? a ? b ? 2(a ? b) ,

即 a?b ? 2

这与已知 a ? b ? 2 矛盾,故假设不成立,从而原结论成立. 考点:1.分析法;2.反证法. 76.见解析 【解析】证明:∵△ABC 为锐角三角形,

? ? ,∴A> -B, 2 2 ? ∵y=sinx 在(0, )上是增函数, 2 ? ∴sinA>sin( -B)=cosB, 2
∴A+B> 同理可得 sinB>cosC,sinC>cosA, ∴sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC. 77.见解析 【解析】
2 2 试题分析:首先,我们知道 a ? b ≥ 2ab ,

则有 2(a ? b ) ≥ a ? b ? 2ab ,
2 2 2 2

答案第 23 页,总 32 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

所以 a 2 ? b2 ≥

2 2 a ?b ≥ (a ? b) , 2 2 2 2 (b ? c) , a 2 ? c 2 ≥ (a ? c) , 2 2

同理,得 b 2 ? c 2 ≥

则有 a 2 ? b2 ? b2 ? c 2 ? c 2 ? a 2 ≥ 2(a ? b ? c) . 考点:本题主要考查演绎推理的意义, “三段论”推理一般形式。 点评:“三段论”是演绎推理的一般形式,包括:大前提——已知的一般原理;小前提,所 研究的特殊情况;结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断。 78. (1)2520(种) (2)5040(种) (3)3600(种) (4)576(种) (5)1440(种) (6)720(种) 【解析】本题考查了有限制条件的排列问题.
5 (1)从 7 个人中选 5 个人来排列,有 A7 =2520(种). 3 4 (2)分两步完成,先选 3 人排在前排,有 A7 种方法,余下 4 人排在后排,有 A4 种方法,故 3 4 共有 A7 · A4 =5040(种).事实上,本小题即为 7 人排成一排的全排列,无任何限制条件. 6 6 (3)(优先法)甲为特殊元素.先排甲,有 5 种方法;其余 6 人有 A6 种方法,故共有 5× A6 =

3600(种).
4 (4)(捆绑法)将女生看成一个整体,与 3 名男生在一起进行全排列,有 A4 种方法,再将 4 4 4 4 名女生进行全排列,也有 A4 种方法,故共有 A4 × A4 =576(种). 4 (5)(插空法)男生不相邻,而女生不作要求,∴应先排女生,有 A4 种方法,再在女生之间及 3 4 3 首尾空出的 5 个空位中任选 3 个空位排男生,有 A5 种方法,故共有 A4 × A5 =1440(种). 2 (6)把甲、乙及中间 3 人看作一个整体 ,第一步先排甲、乙两人有 A2 种方法,再从剩下的 3 5 人中选 3 人排到中间,有 A5 种方法,最后把甲、乙及中间 3 人看作一个整体,与剩余 2 3 2 3 3 人排列,有 A3 种方法,故共有 A2 × A5 × A3 =720(种).

79. (1)甲、乙两个日游景点至少选 1 个的不同排法有 2640 种; (2)甲、乙两日游景点在同一天游玩的不同排法有 240 种; (3)甲、乙两日游景点不同时被选,共有 2640 种不同排法. 【解析】 试题分析: (1)甲、乙两个日游景点选 1 个为
1 3 4 C2 ? C6 ? A4 种,甲、乙两个日游景点都选有

答案第 24 页,总 32 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
1 2 4 1 3 4 1 2 4 C2 ? ? C6 A4 ? C2 ? C6 ? A4 ? 种; C6 A4 ,夜游景点的选法为 C2 种,所以有

1 1 2 (2) 甲、 乙两日游景点在同一天游玩: 排在第一天或第二天有 C2 种, 安排在上下午有 C2 A2 2 种,剩下的两个景点从除去甲乙外的 6 个里选有 A6 种,共 C2 ? C2 ? A2 ? A6 种;
1 1 2 2

1 4 1 2 4 (3)日游景点的排法为 C2 A8 种,甲、乙两日游景点都不选有 C2 C6 A4 种,所以甲、乙两日
1 4 C2 ? ? A84 ? C62 ? A4 ?

游景点不同时被选,共有
1 2 4 1

种不同排法. 5分 10 分 15 分

(1) C2 ? ?C6 A4 ? C2 ? C6 ? A4 ? ? 2640(种)
3 4

(2) C2 ? C2 ? A2
1 1

2

? A62 ? 240(种)

(3) C2 ?
1

?A

4 8

? C62 ? A44 ? ? 2640(种)

答:分别不同排法总数是 2640 种,240 种,2640 种. 16 分 考点:排列组合综合应用. 80. (1)360 (2)36 【解析】 解:(1)构成四边形,需要四个点,且无三点共线,可以分成三类: 4 ①四个点从 C1,C2,?,C6 中取出,有 C6 个四边形; 3 1 ②三个点从 C1,C2,?,C6 中取出,另一个点从 D1,D2,D3,D4,A,B 中取出,有 C6 C6 个四 边形; 2 2 ③二个点从 C1,C2,?,C6 中取出,另外二个点从 D1,D2,D3,D4,A,B 中取出,有 C6 C6 个 四边形. 故满足条件的四边形共有 4 3 1 2 2 N=C6 +C6 C6 +C6 C6 =360(个). (2)类似于(1)可分三种情况讨论得三角形个数为 3 1 2 2 1 C6 +C6 C4 +C6 C4 =116(个). 2 1 1 2 其中含点 C1 的有 C5 +C5 C4 +C4 =36(个). 81. (1) x ? y ? 1 ;(2) ? x ?
2 2

? ?

3? 1 2 ? ?y ? 2? 4

2

【解析】 试题分析: (1) 将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程, 需要根据参数方程的结构特征, 选取恰当的消参方法,常见的消参方法有:代入消参法、加减消参法、平方消参法; (2)将 参数方程转化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,不要增解、漏解,若 x, y 有范围限 制, 要标出 x, y 的取值范围; (3)直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式 x ? ? cos? 及

y ? ? sin ? 直接代入并化简即可;而极坐标方程化为极坐标方程要通过变形,构造形如

? cos? , ? sin ? , ? 2 的形式,进行整体代换,其中方程的两边同乘以(或同除以) ? 及

答案第 25 页,总 32 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

方程的两边平方是常用的变形方法. 试题解析: (1) C : ?

? x ? 3cos ? x2 y2 ? 1, ?C: ? 9 4 ? y ? 2sin ?

? ? 1 x ? x ? ? x ? 3 x? ? 3 将? 代入 C 的普通方程得 x?2 ? y?2 ? 1 ,即 C? : x2 ? y 2 ? 1; ?? ? y ? 2 y? ? y? ? 1 y ? ? 2
(2)设 P( x, y),

A( x0 , y0 ) , 则 x ?

x0 ? 3 y ,y? 0 2 2

所以 x0 ? 2 x ? 3, y0 ? 2 y ,即 A(2 x ? 3, 2 y)
2 2 2 2 2 2 代入 C? : x ? y ? 1,得 (2 x ? 3) ? (2 y) ? 1,即 ( x ? ) ? y ?

3 2

1 4

3 1 AB 中点 P 的轨迹方程为 ( x ? ) 2 ? y 2 ? . 2 4
考点:1、参数方程与普通方程的互化;2、点的轨迹方程. 82. (?1, 0) 【解析】

? , 将 曲 线 C1 的 极 坐 标 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程 试 题 分 析 : 由 x ? ? cos? ,y ? ? sin
x ? y ? 1 ? 0 , 由 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 消 去 参 数 得 曲 线 C2 的 普 通 方 程 为

x2 ? y ? 1(?1 ? x ? 1) ,联立方程组解得交点的直角坐标为 (?1, 0)

? 2 ? cos(? ? ) ? ?
试 题 解析 :由 3分

4

2 , 得 曲线 C1 的 直 角坐 标系 的方 程为 x ? y ? 1 ? 0 ,

? x ? cos ? ? y ? sin 2 ? ,得曲线 C2 的普通方程为 x2 ? y ? 1(?1 ? x ? 1) , 由? ?x ? y ?1 ? 0 ? 2 x ? y ? 1 ,得 x2 ? x ? 2 ? 0 ,即 x ? 2 (舍去)或 x ? ?1 , 由?
所以曲线

7分

C1 与曲线 C2 交点的直角坐标为 (?1, 0) .

10 分

考点:极坐标方程化为直角坐标,参数方程化普通方程 83. (1) C1 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 , C2 : 【解析】
答案第 26 页,总 32 页

x2 y 2 8 5 ? ? 1; (2) . 64 9 5

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

试题分析: (1)利用同角三角函数的基本关系,分别消去参数 t 和 ? 即可; (2)首先利用参数方程求出点 P 的坐标,把直线 C3 : ?

? x ? 3 ? 2t ( t 为参数)化为直角坐 ? y ? ?2 ? t

标下的一般方程, 再利用点到直线的距离公式把点 M 到直线的距离表示成参数 ? 的函数并求 出其最小值. 试题解析: (1)由 ?

? x ? ?4 ? cos t ? x ? 4 ? cos t 得? , ? y ? 3 ? sin t ? y ? 3 ? sin t

所以 C1 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 ,

?x ? cos ? ? x ? 8cos ? ? x2 y 2 ?8 ? ?1 由? 得? ,所以 C2 : 64 9 ? y ? 3sin ? ? y ? sin ? ? ?3
(2)当 t ?

4分

? 3 时, P(?4, 4), Q(8cos? ,3sin ? ) ,故 M (?2 ? 4cos ? , 2 ? sin ? ) , 2 2

C3 为直线 x ? 2 y ? 7 ? 0 , M 到 C3 的距离
d?

5 5 8 5 5 5cos ?? ? ? ? ? 13 ? 5 ? 13 ? | 4cos ? ? 3sin ? ? 13 | = 5 5 5 5
4 3 ,sin ? ? ) 5 5
4 3 8 5 . ,sin ? ? ? 时, d 取得最小值 5 5 5
10 分

(其中, cos ? ? 从且仅当 cos ? ?

考点:1、参数方程的应用;2、点到直线的距离;3、三角函数的最值. 84. (1) ( x- (2)相交. 1) +( y-1) =2 ; 【解析】 试题分析: (Ⅰ)将直线 l 的参数方程的参数 t 消去即可求出直线的普通方程,利用极坐标 转化成直角坐标的转换公式求出圆的直角坐标方程; (Ⅱ) 要判断直线 l 和圆 C 的位置关系, 只需求圆心到直线的距离与半径进行比较即可, 根据点到线的距离公式求出圆心到直线的距 离然后与半径比较. 试题解析: (1)消去参数 t,得直线 l 的方程为 y=2 x+ 1 ;
2 2

? ?=2 2sin(?+ ) ,
4
即 ?=2(sin?+cos? ) , 两边同乘以 ρ 得 ? =2( ? sin?+?cos? ) ,
2

答案第 27 页,总 32 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

消去参数 θ ,得⊙C 的直角坐标方程为:

( x- 1)2+( y- 1)2=2 .
(2)圆心 C 到直线 l 的距离

d=

2 ?1 ? 1 22 ? 12



2 5 < 2 , 5

所以直线 l 和⊙C 相交. 考点:1.简单曲线的极坐标方程;2.直线与圆的位置关系;3.直线的参数方程. 85. (Ⅰ)4; (Ⅱ)最大值 9 ,最小值 【解析】 试题分析: (Ⅰ)将椭圆的参数方程化为普通方程得

81 . 25

x2 y 2 ? ? 1 ,易求其右焦点为 (4, 0) , 25 9

因为直线直线 l 经过点 (m, 0),? m ? 4 ; (Ⅱ)在标准直线参数方程中, t 的几何意义是 t 表 示 直 线 上 的 点 到 定 点 (m , 0 )的 距 离 , 故 将 直 线 参 数 方 程 带 入 椭 圆 普 通 方 程 得

(9 cos2 ? ? 25sin 2 ? )t 2 ? 72t cos ? ? 81 ? 0 ,则 | FA | ? | FB |?| t1t2 | ,利用韦达定理用参数
将目标函数用 ? 表示,转化为三角函数的最值问题处理. 试题解析: (Ⅰ)椭圆的参数方程化为普通方程,得

x2 y 2 ? ?1, 25 9

? a ? 5, b ? 3, c ? 4, 则点 F 的坐标为 (4, 0) .
? 直线 l 经过点 (m, 0),? m ? 4 .
(4 分)

(Ⅱ)将直线 l 的参数方程代入椭圆 C 的普通方程,并整理得:

(9 cos 2 ? ? 25sin 2 ? )t 2 ? 72t cos ? ? 81 ? 0 .
设点 A, B 在直线参数方程中对应的参数分别为 t1 , t2 ,则

| FA | ? | FB |?| t1t2 | =
当 sin 当 sin

81 81 ? . 2 9 cos ? ? 25sin ? 9 ? 16sin 2 ?
2

(8 分)

? ? 0 时, | FA | ? | FB | 取最大值 9 ;

? ? ?1 时, | FA | ? | FB | 取最小值
2

81 . 25

(10 分)

考点:1、直线和椭圆的参数方程;2、直线参数方程中参数的几何意义.
2 86. (1) ? x ? 1? ? y ? 1 ; (2)

1 . 2

【解析】
答案第 28 页,总 32 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

试题分析: ( 1 )在极坐标方程 ? ? 2 cos? 的两边同时乘以 ? ,然后由 ? 2 ? x 2 ? y 2 , (2)将直线 l 的标准参数方程代入圆的直角坐 ? cos? ? x 即可得到圆 C 的直角坐标方程; 标方程,消去 x 、 y 得到有关 t 的参数方程,然后利用韦达定理求出 AP ? AQ 的值. (1)由 ? ? 2cos ? ,得 ? 2 ? 2? cos?

? ? 2 ? x2 ? y 2 , ? cos? ? x , ? x2 ? y 2 ? 2 x 即 ? x ? 1? ? y 2 ? 1 ,
2 2 即圆 C 的直角坐标方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 ; 2

(2)由点 A 的极坐标 ?

? 2 ?? ?1 1? A , ?, ? 2 ,4? ? 得点 直角坐标为 ? ?2 2? ? ?

? 1 3 x? ? t ? ? 2 2 代入 ? x ? 1?2 ? y 2 ? 1 消去 x 、 y ,整理得 t 2 ? 3 ? 1 t ? 1 ? 0 , 将? 2 2 ?y ? 1 ? 1 t ? ? 2 2
设 t1 、 t 2 为方程 t 2 ?

1 3 ?1 1 t ? ? 0 的两个根,则 t1t2 ? ? , 2 2 2 1 . 2

所以 AP ? AQ ? t1t2 ?

考点:1.圆的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化;2.韦达定理 87.(1) ? ? 4 sin(? ?

?
6

) (2) 8 3 ? 3

【解析】 试题分析:(1)把圆心极坐标转化为直角坐标,在直角坐标系里求出圆的方程,再利用极坐标 与直角坐标的转化公式,把圆的直角坐标方程转化为极坐标方程 (2)把直线 l 的参数方程消参转化为普通方程后,利用联立直线与圆方程式与韦达定理相结 合,采用设而不求的方式求出|MA|·|MB|的值. 试 题 解 析 : (1) 由 题 得 , 圆 心 的 直 角 坐 标 为 (1, 3) , 所 以 圆 的 直 角 坐 标 方 程 为

( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 , 再 利 用 极 坐 标 与 直 角 坐 标 的 转 化 公 式 可 得

? ( ? cos? ?1)2 ? ( ? sin ? ? 3)2 ? 4 , 化 简 可 得 ? ? 4 sin(? ? ) , 故 圆 的 极 坐 标 方 程 为 6 ? ? ? 4 sin(? ? ) . 6

答案第 29 页,总 32 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

1 ? x ? 1? t ? 2 ? ? (2)由题得直线 ? 3 的普通方程为 y ? 3x ? 3 ? 2 ,设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ), y ? ? 2 ? t ? 2 ?
联 立 圆 与 直 线 方 程

2 2 ? ?( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 4 ? ? y ? 3 x ? 3 ? 2 ? ?

4x2 ? (14 ? 4 3) x ?13 ? 8 3 ? 0

? x1 ? x2 ?
|MA|·|MB|

7?2 3 13 ? 8 3 . , x1 x2 ? 2 4
? ( x1 ? 1) 2 ? ( y1 ? 2) 2 ? ( x2 ? 1) 2 ? ( y2 ? 2) 2

? ( x1 ? 1)2 ? ( 3x1 ? 3 ? 2 ? 2) 2 ? ( x2 ? 1) 2 ? ( 3x1 ? 3 ? 2 ? 2) 2
? 4 [( x1 ? 1)( x2 ? 1)]2 ? 4 | x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1| ? 8 3 ? 3
考点: 极坐标 参数方程 圆的方程

3 ? ?x ? ? t ?1 88. (1) ? ; (2) 2 . 2 ? ? y ? 2t
【解析】 试题分析: 本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化, 参数方程与普通方程的互化等 数学知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力以及计算能力.第一问,设出 Q 点坐标,利用中点坐标公式得到 P 点坐标,而 P 在 C1 上,代入到 C1 的参数方程中即可得到

C2 的参数方程;第二问,利用第一问 C2 的方程可先求出 M 点坐标,将曲线 ? ? 2sin ? 化为
直角坐标方程,利用两点间距离公式再利用数形结合即可求出|MN|的最大值. 试题解析:①设 Q(x,y),则点 P(2x,2y),又 P 为 C1 上的动点,

3 ? ?2 x ? ?3t ? 2 ?x ? ? t ?1 所以 ? (t 为参数),即 ? (t 为参数). 2 ?2 y ? 4t ? ? y ? 2t 3 ? ?x ? ? t ?1 所以 C2 的方程为 ? (t 为参数)(或 4x+3y-4=0).(4 分) 2 ? ? y ? 2t
②由①可得点 M(1,0),且曲线 ρ =2sinθ 的直角坐标方程为 x +(y-1) =1, 所以|MN|的最大值为 12 ? 12 ? 1 ? 1 ? 2 .(7 分)
2 2

答案第 30 页,总 32 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

考点:1.极坐标方程与直角坐标方程的互化;2.参数方程与普通方程的互化. 89. (1) ? ? 2? cos? ? 2? sin ? ? 2 ? 0 (2) x ? y ? 4 ? 0
2

【解析】 试题分析: (1) 先化参数方程为普通方程,然后利用平面直角坐标与极坐标互化公式: (2)先把 Q 点坐标化为平面直角坐标,根据圆 x2 ? y2 ? ? 2 , x ? ? cos? , y ? ? sin ? 即可; 的相关知识明确:当直线 l ⊥CQ 时,MN 的长度最小,然后利用斜率公式求出 MN 斜率. 试题解析: (Ⅰ)圆 C 的直角坐标方程为 ( x ?1) ? ( y ? 1) ? 4 ? x ? y ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 ,
2 2 2 2

2分 又 x ? y ? ? , x ? ? cos? , y ? ? sin ?
2 2 2

4分 5分

∴圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2? cos? ? 2? sin ? ? 2 ? 0
2

(2)因为点 Q 的极坐标为 (2 2, ? ) ,所以点 Q 的直角坐标为(2,-2) 7 分 则点 Q 在圆 C 内,所以当直线 l ⊥CQ 时,MN 的长度最小 又圆心 C(1,-1) ,∴ kCQ ? 直线 l 的斜率 k ? 1 ∴直线 l 的方程为 y ? 2 ? x ? 2 ,即 x ? y ? 4 ? 0

7 4

?2 ? (?1) ? ?1 , 2 ?1
9分 10 分

考点: (1)参数方程与普通方程; (2)平面直角坐标与极坐标; (3)圆的性质. 90. (1) x ? y ? 4 y ? 2 ? 0 ; (2) h ? 6 或 h ? 10 .
2 2

【解析】 试题分析:本题考查直角坐标系与极坐标系之间的互化、参数的几何意义、函数图像的平移 等基础知识, 考查学生的转化能力和计算能力. 第一问, 利用极坐标方程与直角坐标方程的
2 2 2 互化公式 ? ? x ? y , ? sin ? ? y 可将圆 C 化为直角坐标方程;第二问,直接将直线的

参数方程进行平移,消参,由于直线与圆相切,所以消参后的方程的判别式等于 0,解出 h 的值.
2 2 2 试题解析: (Ⅰ)因为 ? ? x ? y , ? sin ? ? y ,所以圆 C 的直角坐标方程为

x 2 ? y 2 ? 4 y ? 2 ? 0 .4 分
(Ⅱ)平移直线 l 后,所得直线 l 的 ?

? x ? h ? 10 ? t (t 为参数) . y ?t ?

2t 2 ? 2(h ?12)t ? (h ?10)2 ? 2 ? 0 .
因为 l 与圆 C 相切,所以
'

答案第 31 页,总 32 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

? ? 4(h ?12)2 ? 8[(h ?10)2 ? 2] ? 0 ,即 h2 ? 16h ? 60 ? 0 ,
解得 h ? 6 或 h ? 10 . 10 分 考点:1.极坐标方程与直角坐标方程的互化;2.参数方程;3.图像平移.

答案第 32 页,总 32 页


赞助商链接

排列组合与概率(含习题答案)

排列组合概率(含习题答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2014 高三暑期保送复习排列组合与概率》专题第一讲 排列组合与二项式定理 【基础梳理】 1.排列...

排列组合概率练习题(含答案)

排列组合概率练习题(含答案)_环境科学/食品科学_工程科技_专业资料。排列组合...数学练习题 2012-02-29 -- 1.如图,三行三列的方阵中有 9 个数 aij (i...

新GRE数学排列组合练习题(附答案解析)

新GRE 数学排列组合练习题(附答案解析) gre 考试改革之后,新版 GRE 数学部分的几何、概率排列组合、数据统计、数列等题 型有所增多,对考生来说也是不小的挑战...

高中数学排列组合二项式定理与概率检测试题及答案

每小题 5 分,共 60 分) 1.3 名老师随机从 3 男 3 女共 6 人中各带 2 名学生进行实验, 其中每名老师 各带 1 名男生和 1 名女生的概率( ) A....

排列组合概率练习题

排列组合概率练习题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。排列,组合,概率练习题 复数、排列组合概率练习题 1.在 100 件产品中有 6 件次品,现从中任取 3 件产品...

高中《数学》排列组合及概率练习题

高中《数学排列组合概率练习题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中《数学》,练习题精选 《数学》练习三 《数学》练习三(排列.概率) 一、选择题。 1、A...

高中数学排列组合概率练习题

高中数学排列组合概率练习题 - 高中数学排列组合概率练习题 1.如图,三行三列的方阵中有 9 个数 a ij ( i ? 1, 2, 3; j ? 1, 2, 3) ,从中任取...

《排列组合与概率统计基础》试题及答案解析

排列组合概率统计基础》试题及答案解析_高考_高中教育_教育专区。高中数学《...(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填写在题中横线 ...

排列组合与概率试题含答案

排列组合概率试题含答案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。排列组合概率试题...甲、乙都抽到物理题的概率 是 6 __,甲和乙至少有一人抽到数学题的概率是 ...

高中数学排列组合及概率的基本公式、概念及应用

高中数学排列组合概率的基本公式、概念及应用_数学_高中教育_教育专区。高中数学排列组合概率的基本公式、概念及应用 1 分类计数原理(加法原理) : N ? m1 ?...