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四川省成都七中2014届高三下学期开学考试数学(理)试题


四川省成都七中 2014 届高三下学期开学考试数学(理)试
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) 1. 设集合 U ? ?1,2,3,4,5,6? , M ? ?1,2,4? ,则 CU M ? A. U B. ?1,3,5? C. ?3,5,6? D. ?2,4,6? ) ( )

2. 若复数 z 满足 z (2 ? i) ? 5i ( i 为虚数单位),则 z 为 ( A. ?1 ? 2i B. ?1 ? 2i C. 1 ? 2 i D. 1 ? 2 i 3. 公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 a4 是 a3与a7 的等比中项, S2 ? ?4 , 则 a1 ? ( ) A. 2 B. 3 C. ?2 D. ?3 ?x ? 3y ? 3 ? 0 ? 4. 若实数 x , y 满足不等式组 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ,则 x ? y 的最大值为( ) ? x ? y ?1 ? 0 ? A. 9 B. ?9 C. 1 D. ?1
( (C

5 将正方形 (如图 1 所示) 截去两个三棱锥,得到图 2 所示的几何体, 则该几何体的左视图为 (



6.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x ? y ? 4 相交于 A 、 B 两点,则弦 AB 的 长等于( )
2 2

A. 3 3 B. 2 3 C. 3 D. 1 7.把函数 y ? cos 2 x ? 1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左平移 1 个单 位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是( )

8.给出定义: 若函数 f ( x ) 在 D 上可导, 即 f ?( x ) 存在, 且导函数 f ?( x ) 在 D 上也可导, 则称函数 f ( x ) 在 D 上存在二阶导函数,记 f ??( x) ? ( f ?( x))? .若 f ??( x) ? 0 在 D 上恒成立,则称函数 f ( x ) 在 D 上为

·1 ·

凸函数,以下四个函数在 (0, A. f ( x ) =sin x+cos x C. f ( x ) =-x +2x-1
3

?
2

) 上不是凸函数的是
B. f ( x ) =ln x-2x D. f ( x ) =-xe-x

(

)

9.已知定义在 (?1,0) 上的函数 y ? f ( x) 的图像如图所示,对于满足 ? 1 ? x1 ? x2 ? 0 的任意 x1 , x 2 ,
错误的结论是( ) A. 当 x ? (?1,0) 时, x ? f ( x) B. 当 x ? (?1,0) 时,导函数 f ?( x) 为增函数 C. f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 D. x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) 10. 若 S n ? cos A. 882 -1 O -1 1 x
y

?
8

? cos

2? n? ? ? ? ? cos (n? N ) ,则在 S1 , S2 ,..., S2014 中,正数的个数是( 8 8
C.750 D. 378



B. 756

二、填空题(本大题有 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卷的相应位置.) 11. 命题“ ?x0 ? ?R Q , x03 ? Q ”的否定是 ;

12. (1 ? 3x)5 的展开式中 x 3 的系数为 13.椭圆
x 3y ? ? 1 上点 P(1,1) 处的切线方程是 4 4
2 2



14. 将边长为 1 m 的正三角形薄铁片,沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记
(梯形的周长) 2 ,则 s 的最小值是________. 梯形的面积 ? ?? 15.对任意两个非零的平面向量 ? 和 ? ,定义 ? ? ? ? ,若平面向量 a 、 b 满足 a ? b ? 0 , a 与 ? ?? s?

?n ? ? b 的夹角 ? ?[0, ] ,且 a ? b 和 b ? a 都在集合 ? m ? Z , n ? Z ? 中.给出下列命题: 4 ?m ? 1 ① 若 m ? 1 时,则 a ? b ? b ? a ? 1 . ② 若 m ? 2 时,则 a ? b ? . 2 ③ 若 m ? 3 时,则 a ? b 的取值个数最多为 7.
④ 若 m ? 2014 时,则 a ? b 的取值个数最多为

2014 2 . 2

其中正确的命题序号是

(把所有正确命题的序号都填上)

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分.其中 16-19 每题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分。解答应 写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

16. 已知 f (t ) ?

1? t ? , g( x) ? cos x ? f (sin x) ?sin x ? f (cos x), x ?( , ?). 1? t 2
·2 ·

(1)将函数 g ( x) 化简成 A sin(? x ? ? ) ? B ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ?[?? , ? ) )的形式; (2)若 g( x0 ) ?

? 3? ? 4 2 ) ,求 g( x0 ? ) 的值. ,且 x0 ? ( , 2 4 4 5

17. 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n2 ? 2n, 数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ? 2 ? bn (1)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; (2)设 cn ? anbn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 An .
w.w.w.

18. 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投 1 1 球 3 次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为 ,乙每次投篮投中的概率为 ,且各次投篮互不影响. 2 3 ? (1)求甲获胜的概率; (2)求投篮结束时甲的投篮次数 的分布列与期望.

19. 如图, 平面 PAC ? 平面 ABC ,?ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形,E , F , O 分别为 PA ,

PB , AC 的中点, AC ? 16 , PA ? PC ? 10 . (1)设 G 是 OC 的中点,证明: FG / / 平面 BOE ; (2)证明:在 ?ABO 内存在一点 M ,使 FM ? 平面 BOE , 并求点 M 到 OA , OB 的距离.

20.设函数 f ( x) ? x4 ? ax3 ? 2 x2 ? b( x ? R) ,其中 a,b∈R. 10 (1)当 a ? ? 时, 讨论函数 f(x)的单调性; 3
(2)若函数 f(x)仅在 x=0 处有极值,求 a 的取值范围; (3)若对于任意的a∈ [-2,2],不等式f(x)≤1在[-1,0]上恒成立,求b的取值范围.

·3 ·

21. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l : x ? ?2 交 x 轴于点 A,设 P 是 l 上一点,M 是线段 OP 的垂直
平分线上一点,且满足∠MPO=∠AOP. (1)当点 P 在 l 上运动时,求点 M 的轨迹 E 的方程; (2)已知 T (1, ?1) ,设 H 是 E 上动点,求 HO + HT 的最小值,并给出此时点 H 的坐标; (3) 过点 T (1, ?1) 且不平行与 y 轴的直线 l1 与轨迹 E 有且只有两个不同的交点, 求直线 l1 的斜率 k 的 取值范围.

·4 ·

成都七中高 2014 届高三下期入学考试数学试卷(理科参考答案)
CADAB BADCB 11. , 12. 13. 3 14.3 15.① ③

16. 解(1)



⑵因为 由 ,知

,由⑴有 .所以 .

,即

.

. 17. 解(1)由于 当 又当 时, 时

数列

是等比数列,其首项为 1,公比为

(2)

.

?

?

? ?得

·5 ·

所以

.

18. 解设

分别表示甲、乙在第 次投篮投中,则

,

(1)记“甲获胜”为事件 C,

(2) 的所有可能为:

综上知, 有分布列 1 2 3

从而,

(次)

19. 证明:(1)如图,连结 OP,以 O 为坐标原点,分别以 OB、OC、OP 所在直 线为 轴, 轴, , ,由题意得, 因 ,
·6 ·

轴,建立空间直角坐标系 O 则

得到 , 又直线 不在平面

, 因此平面 BOE 的法向量 为





内,因此有 , 则

平面 , 因为 平面 BOE, 所以有 ,

(2)设点 M 的坐标为

因此有

,即点 M 的坐标为



在平面直角坐标系

中,

的内部区域满足不等式组 内存在一点

, ,使 平面 ,由

经检验,点 M 的坐标满足上述不等式组,所以在

点 M 的坐标得点





的距离为



20.解 (1)f′(x)=4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ax+4). 10 当 a=- 3 时,f′(x)=x(4x2-10x+4)=2x(2x-1)(x-2). 1 令 f′(x)=0,得 x1=0,x2=2,x3=2.

x f′(x) f(x)

(-∞,0) - 单调递减

0 0 极小值 + 单调递增

1 2 0 极大值 - 单调递减

2 0 极小值

(2,+∞) + 单调递增

所以 f(x)在

和(2,+∞)上是增函数,在(-∞,0)和

上是减函数.

(2)f′(x)=x(4x2+3ax+4),显然 x=0 不是方程 4x2+3ax+4=0 的根. 由于 f(x)仅在 x=0 处有极值,则方程 4x2+3ax+4=0 有两个相等的实根或无实根,

Δ=9a2-4×16≤0,解此不等式,得-3≤a≤3.这时,f(0)=b 是唯一极值.

8

8

因此满足条件的 a 的取值范围是

.
·7 ·

(3)由(2)知,当 a∈[-2,2]时,4x2+3ax+4>0 恒成立. ∴当 x<0 时,f′(x)<0,f(x)在区间(-∞,0]上是减函数.因此函数 f(x)在[-1,0]上的最大值是 f(-1). 又∵对任意的 a∈[-2,2],不等式 f(x)≤1 在[-1,0]上恒成立,∴f(-1)≤1,即 3-a+b≤1. 于是 b≤a-2 在 a∈[-2,2]上恒成立.∴b≤-2-2,即 b≤-4. 因此满足条件的 b 的取值范围是(-∞,-4].

21.解:(1)如图 1,设 MQ 为线段 OP 的垂直平分线,交 OP 于点 Q,

因此





另一种情况,见图 2(即点 M 和 A 位于直线 OP 的同侧)。

MQ 为线段 OP 的垂直平分线, 又 为分析 因此 M 在 轴上,此时,记 M 的坐标为 的变化范围,设 为 上任意点

由 故

(即 的轨迹方程为

) 得, ②

综合①和②得,点 M 轨迹 E 的方程为 (2)由(1)知,轨迹 E 的方程由下面 E1 和 E2 两部分组成(见图 3): ;



时,过T作垂直于 的直线,垂足为

,交 E1 于



再过 H 作垂直于 的直线,交
·8 ·

因此,

(抛物线的性质)。 (该等号仅当 重合(或 H 与 D 重合)时取

得). 当 时,则

综合可得,|HO|+|HT|的最小值为 3,且此时点 H 的坐标为 (3)方法 1: 由图 3 知,直线 的斜率 不可能为零。 设



的方程得:

因判别式 所以 与 E 中的 E1 有且仅有两个不同的交点。 又由 E2 和 的方程可知,若 与 E2 有交点,

则此交点的坐标为 从而 与轨迹 E 有三个不同的交点。

有唯一交点



因此,直线

的取值范围是

方法 2: 由图 3 可计算 因为 在抛物线 内部,当

, 时必与抛物线 有两个不同交点,

所以直线

的取值范围是
·9 ·

·10·


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