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2015步步高理科数学第五章 5.4


数学

R A(理)

§5.4 平面向量的应用
第五章 平面向量

基础知识·自主学习
要点梳理
1.向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及 数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、 长度、夹角等问题. (1)证明线段平行或点共线问题,包括相似问题,常用共线 向量定理:a∥b? a=λb(b≠0) ? x1 y2-x2 y1=0 . (2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质 a⊥b? a· b=0 ? x1x2+y1 y2=0 . (3)求夹角问题,利用夹角公式 cos θ=
基础知识
a· b |a||b|

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x1x2+y1y2 2 2 2 x2 1+y1 x2+y2

(θ 为 a 与 b 的夹角).
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基础知识·自主学习
要点梳理
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2.平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是 矢量 ,它们的分 解与合成与向量的 加法和减法 相似,可以用向量的知识 来解决. (2)物理学中的功是一个标量,这是力 F 与位移 s 的数量 积.即 W=F· s=|F||s|cos θ (θ 为 F 与 s 的夹角).

基础知识

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基础知识·自主学习
要点梳理
3.平面向量与其他数学知识的交汇 平面向量作为一个运算工具,经常与函数、不等式、三角函 数、数列、解析几何等知识结合,当平面向量给出的形式中 含有未知数时, 由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于 该未知数的关系式.在此基础上,可以求解有关函数、不等 式、三角函数、数列的综合问题. 此类问题的解题思路是转化为代数运算, 其转化途径主要有 两种: 一是利用平面向量平行或垂直的充要条件; 二是利用 向量数量积的公式和性质.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)√ (2) √ (3)√ (4)× (5) √ (6)√

解析

C C

y2=8x (x≠0)
2 26 m/s

基础知识

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题型分类·深度剖析
题型一 平面向量在平面几何中的应用
思维启迪 解析

思维升华

【例1】

如图所示,四

边形 ABCD 是正方形, P 是对角线 DB 上的一点(不 包括端点 ) , E , F 分别在边 BC,DC 上,且四边形 PFCE 是矩形, 试用向量法证明: PA =EF.

基础知识

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题型分类·深度剖析
题型一 平面向量在平面几何中的应用
思维启迪 解析

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【例1】

如图所示,四
正方形中有垂直关系,因此 考虑建立平面直角坐标系, 求出所求线段对应的向量, 根据向量知识证明.

边形 ABCD 是正方形, P 是对角线 DB 上的一点(不 包括端点 ) , E , F 分别在边 BC,DC 上,且四边形 PFCE 是矩形, 试用向量法证明: PA =EF.

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题型分类·深度剖析
题型一 平面向量在平面几何中的应用
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【例1】

如图所示,四

证明

建立如图所示

边形 ABCD 是正方形, P 是对角线 DB 上的一点(不 包括端点 ) , E , F 分别在边 BC,DC 上,且四边形 PFCE 是矩形, 试用向量法证明: PA =EF.

的平面直角坐标系, 设正方形的边长为 1,DP= λ(0<λ< 2),

2 2 则 A(0,1),P( λ, λ), 2 2 2 2 E(1, λ),F( λ,0), 2 2 2 2 → ∴PA=(- λ,1- λ), 2 2 → =( 2λ-1,- 2λ), EF 2 2
思想方法 练出高分

基础知识

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题型分类·深度剖析
题型一 平面向量在平面几何中的应用
思维启迪 解析

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【例1】

如图所示,四

边形 ABCD 是正方形, P 是对角线 DB 上的一点(不 包括端点 ) , E , F 分别在边 BC,DC 上,且四边形 PFCE 是矩形, 试用向量法证明: PA =EF.

→ |= ∴|PA

?-

2 2 2 λ? +?1- λ?2 2 2

= λ2- 2λ+1,

→ |= | EF

?

2 2 λ-1?2+?- λ?2 2 2

= λ2- 2λ+1,

→ |=|EF → |, ∴|PA
即 PA=EF.

基础知识

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题型分类·深度剖析
题型一 平面向量在平面几何中的应用
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【例1】

如图所示,四

用向量方法解决平面几何问题 可分三步:

边形 ABCD 是正方形, P 是对角线 DB 上的一点(不 包括端点 ) , E , F 分别在边 BC,DC 上,且四边形 PFCE 是矩形, 试用向量法证明: PA =EF.

(1)建立平面几何与向量的联系, 用 向量表示问题中涉及的几何元素, 将平面几何问题转化为向量问题;

(2)通过向量运算,研究几何元素之 间的关系,如距离、夹角等问题;
(3) 把运算结果 “ 翻译 ” 成几何 关系.

基础知识

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题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 → =a,OB →= (1)平面上 O,A,B 三点不共线,设OA ( C ) B. |a|2|b|2+?a· b?2 1 D. |a|2|b|2+?a· b?2 2
?a· b?2 1- 2 2, |a| |b|

b,则△OAB 的面积等于 A. |a|2|b|2-?a· b?2 1 C. |a|2|b|2-?a· b?2 2

解析

a· b (1)∵cos∠BOA=|a||b|, 则 sin∠BOA=

1 ∴S△OAB= |a||b| 2

?a· b?2 1 1- 2 2 = |a|2|b|2-?a· b?2. |a| |b| 2

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
→ → ? ? AB AC ?→ → 与AC → 满足? + (2)在△ABC 中,已知向量AB · BC=0 且 ?→ ? → ?|AB| |AC| ? → AC → 1 AB · = ,则△ABC 为 ( A ) 2 → → |AB| |AC| A.等边三角形 C.等腰非等边三角形 B.直角三角形 D.三边均不相等的三角形

→ →? ? AB AC ? ? → → 与AC → 满足 + (2) 因为非零向量 AB BC =0,所以 ∠BAC ?→ ?· → ?|AB| |AC|? 的平分线垂直于 BC,所以 AB=AC. → AC → 1 AB π 又 cos∠BAC= · = ,所以∠BAC= . 3 → →| 2 |AB| |AC 所以△ABC 为等边三角形.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 平面向量在三角函数中的应用
思维启迪 解析

【例 2】 已知在锐角△ABC 中,两 向量 p=(2-2sin A, cos A+sin A), q=(sin A-cos A,1+sin A),且 p 与 q 是共线向量. (1)求 A 的大小; (2) 求函数 y = 2sin
2

思维升华

?C-3B? ? ? B + cos ? 2 ? ? ?

取最大值时,B 的大小.

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型二 平面向量在三角函数中的应用
思维启迪 解析

【例 2】 已知在锐角△ABC 中,两 向量 p=(2-2sin A, cos A+sin A), q=(sin A-cos A,1+sin A),且 p 与 q 是共线向量. (1)求 A 的大小; (2) 求函数 y = 2sin
2

思维升华

向量与三角函数的结合往 往是简单的组合.如本题 中的条件通过向量给出, 根据向量的平行得到一个

?C-3B? ? ? B + cos ? 2 ? ? ?

等式.因此这种题目较为 简单.

取最大值时,B 的大小.

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型二 平面向量在三角函数中的应用
思维启迪 解析

【例 2】 已知在锐角△ABC 中,两 向量 p=(2-2sin A, cos A+sin A), q=(sin A-cos A,1+sin A),且 p 与 q 是共线向量. (1)求 A 的大小; (2) 求函数 y = 2sin
2

思维升华

(1)∵p∥q,
∴(2-2sin A)(1+sin A)-(cos A +sin A)(sin A-cos A)=0,

?C-3B? ? ? B + cos ? 2 ? ? ?

3 3 ∴sin2A= ,sin A= , 4 2
∵△ABC 为锐角三角形, ∴A=60° .
思想方法 练出高分

取最大值时,B 的大小.

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
题型二 平面向量在三角函数中的应用
思维启迪
2

【例 2】 已知在锐角△ABC 中,两 向量 p=(2-2sin A, cos A+sin A), q=(sin A-cos A,1+sin A),且 p 与 q 是共线向量. (1)求 A 的大小; (2) 求函数 y = 2sin
2

解析

思维升华

?C-3B? ? ? (2)y=2sin B+cos? 2 ? ? ? ?180° -B-A-3B? ? ? 2 =2sin B+cos? ? 2 ? ?

=2sin2B+cos(2B-60° ) =1-cos 2B+cos(2B-60° ) =1-cos 2B+cos 2Bcos 60° +sin
?C-3B? ? ? B + cos ? 2 ? ? ?

取最大值时,B 的大小.

2Bsin 60° 1 3 = 1 - cos 2B + sin 2B = 1 + 2 2 sin(2B-30° ),
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
题型二 平面向量在三角函数中的应用
思维启迪 解析

【例 2】 已知在锐角△ABC 中,两 向量 p=(2-2sin A, cos A+sin A), q=(sin A-cos A,1+sin A),且 p 与 q 是共线向量. (1)求 A 的大小; (2) 求函数 y = 2sin
2

思维升华

当 2B-30° =90° ,

即 B=60° 时,函数取最大值 2.

?C-3B? ? ? B + cos ? 2 ? ? ?

取最大值时,B 的大小.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 平面向量在三角函数中的应用
思维启迪 解析

【例 2】 已知在锐角△ABC 中,两 向量 p=(2-2sin A, cos A+sin A), q=(sin A-cos A,1+sin A),且 p 与 q 是共线向量. (1)求 A 的大小; (2) 求函数 y = 2sin
2

思维升华

解决平面向量与三角函 数的交汇问题的关键, 准 确利用向量的坐标运算

?C-3B? ? ? B + cos ? 2 ? ? ?

化简已知条件, 将其转化 为三角函数中的有关问 题解决.
思想方法 练出高分

取最大值时,B 的大小.

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 △ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边长分别是 a, b,c,设向量 m=(a+b,sin C),n=( 3a+c,sin B-sin A),
5π 若 m∥n,则角 B 的大小为________ . 6

解析

∵m∥n,

∴(a+b)(sin B-sin A)-sin C( 3a+c)=0, a b c 又∵ = = , sin A sin B sin C

则化简得 a2+c2-b2=- 3ac,
a2+c2-b2 3 ∴cos B= =- , 2ac 2 ∵0<B<π, 5π ∴B= . 6
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

平面向量在解析几何中的应用
思维启迪 解析

思维升华

已知平面上一定点 C(2,0)和

直线 l:x=8,P 为该平面上一动点, → +1PQ →) 作 PQ⊥l,垂足为 Q,且(PC 2 → -1PQ → )=0. · (PC 2 (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若 EF 为圆 N: x2+(y-1)2=1 的任 → → 一条直径,求PE· PF的最值.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

平面向量在解析几何中的应用
思维启迪 解析

思维升华

已知平面上一定点 C(2,0)和

直线 l:x=8,P 为该平面上一动点, → +1PQ →) 作 PQ⊥l,垂足为 Q,且(PC 2 → -1PQ → )=0. · (PC 2 (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若 EF 为圆 N: x2+(y-1)2=1 的任 → → 一条直径,求PE· PF的最值.
基础知识 题型分类

(1) 直接利用数量积的坐 标运算代入;
→· → 转化为关于 y (2)将PE PF 的函数,求函数的最值.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

平面向量在解析几何中的应用
思维启迪 解析

思维升华

已知平面上一定点 C(2,0)和

(1)设 P(x,y),则 Q(8,y).

直线 l:x=8,P 为该平面上一动点, → +1PQ → )· → -1PQ → )=0, 由 ( PC ( PC 2 2 → +1PQ →) 作 PQ⊥l,垂足为 Q,且(PC 2 → |2-1|PQ → |2=0, 得|PC 4 1→ → · (PC- PQ)=0. 1 2 即(x-2)2+y2- (x-8)2=0, 4 (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若 EF 为圆 N: x2+(y-1)2=1 的任 → → 一条直径,求PE· PF的最值.
基础知识 题型分类

x2 y2 化简得 + =1. 16 12
所以点 P 在椭圆上, x2 y2 其方程为16+12=1.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

平面向量在解析几何中的应用
思维启迪 解析

思维升华

→ = PN → +NE → , PF → = PN → (2)∵ PE →, 直线 l:x=8,P 为该平面上一动点, +NF → +NF → =0. → +1PQ → ) 又NE 作 PQ⊥l,垂足为 Q,且(PC 2 →· → =PN → 2-NE →2 1→ ∴PE PF → · (PC- PQ)=0. 2 =x2+(y-1)2-1 y2 (1)求动点 P 的轨迹方程; =16(1- )+(y-1)2-1 12 1 (2)若 EF 为圆 N: x2+(y-1)2=1 的任 =- y2-2y+16 3 → → 1 一条直径,求PE· PF的最值. =- (y+3)2+19. 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

已知平面上一定点 C(2,0)和

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

平面向量在解析几何中的应用
思维启迪 解析

思维升华

已知平面上一定点 C(2,0)和

∵-2 3≤y≤2 3.

直线 l:x=8,P 为该平面上一动点, →· → 的最大 ∴ 当 y =- 3 时, PE PF → +1PQ →) 作 PQ⊥l,垂足为 Q,且(PC 值为 19, 2 → -1PQ → )=0. →· → 的最小值 · (PC 当 y = 2 3 时, PE PF 2 为 12-4 3. (1)求动点 P 的轨迹方程; →· → 的最大值为 19; 综上: PE PF (2)若 EF 为圆 N: x2+(y-1)2=1 的任 → → 一条直径,求PE· PF的最值.
基础知识 题型分类

→· → 的最小值为 12-4 3. PE PF

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

平面向量在解析几何中的应用
思维启迪 解析

思维升华

已知平面上一定点 C(2,0)和

平面向量与平面解析几何交汇

直线 l:x=8,P 为该平面上一动点, 的题目,涉及向量数量积的基 → +1PQ →) 作 PQ⊥l,垂足为 Q,且(PC 2 本运算,数量积的求解以及轨 → -1PQ → )=0. · (PC 迹、直线和圆、直线和椭圆中 2 (1)求动点 P 的轨迹方程;

最值等问题,解决此类问题应

(2)若 EF 为圆 N: x2+(y-1)2=1 的任 从向量的坐标运算入手,这也 → → 一条直径,求PE· PF的最值.
基础知识 题型分类

是解决解析几何问题的基本方 法——坐标法.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 已知点 P(0,-3),点 A 在 x 轴上,点 Q 在 y 轴 3 → → → → 的正半轴上,点 M 满足PA· AM=0,AM=- 、MQ,当点 A 2 在 x 轴上移动时,求动点 M 的轨迹方程.
解 设 M(x,y)为所求轨迹上任一点,设 A(a,0),Q(0,b)(b>0),

→ =(a,3),→ → =(-x,b-y), 则PA AM=(x-a,y),MQ
→· → =0,得 a(x-a)+3y=0.① 由PA AM

3→ → 由AM=- MQ, 2
3 3 3 得(x-a,y)=- (-x,b-y)=( x, (y-b)), 2 2 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 已知点 P(0,-3),点 A 在 x 轴上,点 Q 在 y 轴 3 → → → → 的正半轴上,点 M 满足PA· AM=0,AM=- 、MQ,当点 A 2 在 x 轴上移动时,求动点 M 的轨迹方程.
3 ? x - a = x, ? 2 ∴? ?y=3y-3b, ? 2 2 x ? ?a=-2, ∴? ?b=y . 3 ?

x x x 把 a=-2代入①,得-2(x+2)+3y=0, 1 2 整理得 y=4x (x≠0).
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题型分类·深度剖析
题型四 平面向量在物理中的应用
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 4 】

在长江南岸渡口 25 处, 江水以 km/h 的速度 2 向东流,渡船的速度为 25 km/h.渡船要垂直地渡过长 江,则航向为________.

基础知识

题型分类

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题型分类·深度剖析
题型四 平面向量在物理中的应用
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 4 】

在长江南岸渡口 25 处, 江水以 km/h 的速度 2 向东流,渡船的速度为 25 km/h.渡船要垂直地渡过长 江,则航向为________.

题中涉及的三个速度(向 量):江水速度、渡船的速 度、船实际过江的速度, 三个速度的关系是本题的 核心.

基础知识

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题型分类·深度剖析
题型四 平面向量在物理中的应用
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 4 】

在长江南岸渡口 25 处, 江水以 km/h 的速度 2 向东流,渡船的速度为 25 km/h.渡船要垂直地渡过长 江,则航向为________.

如图所示,渡船速度 → ,水流速度为 为OB →, OA →, 船实际垂直过江的速度为OD 25 → → 依题意知|OA|= ,|OB|=25. 2 → =OB → +OA →, ∵OD →· → =OB →· → +OA → 2, ∴OD OA OA → ⊥OA →, → → ∵OD ∴OD· OA=0, 25 ∴25× cos(∠BOD + 90° )+ 2 25 2 ( ) =0, 2
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
题型四 平面向量在物理中的应用
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 4 】

在长江南岸渡口 25 处, 江水以 km/h 的速度 2 向东流,渡船的速度为 25

1 ∴cos(∠BOD+90° )=- , 2 1 ∴sin∠BOD=2,
∴∠BOD=30° ,

km/h.渡船要垂直地渡过长 江,则航向为________.
∴航向为北偏西 30° .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型四 平面向量在物理中的应用
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 4 】

在长江南岸渡口 25 处, 江水以 km/h 的速度 2 向东流,渡船的速度为 25

1 ∴cos(∠BOD+90° )=- , 2 1 ∴sin∠BOD= , 2
∴∠BOD=30° ,

km/h.渡船要垂直地渡过长

北偏西30° 江,则航向为__________ .

∴航向为北偏西 30° .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型四 平面向量在物理中的应用
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 4 】

在长江南岸渡口 25 处, 江水以 km/h 的速度 2 向东流,渡船的速度为 25 km/h.渡船要垂直地渡过长

在使用向量解决物理问题时要 注意: (1)认真分析物理问题, 深刻把握 物理量之间的相互关系;
(2)通过抽象、 概括, 把物理问题 转化为与之相关的向量问题; (3)利用向量知识解决这个向量
问题,并获得这个向量的解;

北偏西30° 江,则航向为__________ .

(4)利用这个结果, 对原物理现象 作出合理解释, 即用向量知识圆 满解决物理问题.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 4 质点受到平面上的三个力 F1, F2, F3(单位: 牛顿)

的作用而处于平衡状态,已知 F1,F2 成 60° 角,且 F1,F2 的

2 7 . 大小分别为 2 和 4,则 F3 的大小为________
解析 方法一 由已知条件 F1+F2+F3=0,
2 2 则 F3=-F1-F2,F2 =28. 3=F1+F2+2|F1||F2|cos 60°

因此,|F3|=2 7.
→ 方法二 如图,|F1F2|2=|F1|2+|F2|2-2|F1||F2|cos 60° =12, → |2+|F→ → 2 2 则|OF 1 1F2| =|OF2| ,

即∠OF1F2 为直角,
|F3|=2
基础知识
2 F1 +?|F1F2|?2=2

? → ? ? 2 ?

7.
思想方法 练出高分

题型分类

题型分类·深度剖析
高频小考点5 高考中以向量为背景的创新题
α· β 典例:(1)(5 分)对任意两个非零的平面向量 α 和 β,定义 α?β= .若两个 β· β π π 非零的平面向量 a,b 满足 a 与 b 的夹角 θ∈( , ),且 a?b 和 b?a 都 4 2 n 在集合{ |n∈Z}中,则 a?b 等于 ( ) 2 5 3 1 A. B. C.1 D. 2 2 2

思维启迪

解析

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点5 高考中以向量为背景的创新题
α· β 典例:(1)(5 分)对任意两个非零的平面向量 α 和 β,定义 α?β= .若两个 β· β π π 非零的平面向量 a,b 满足 a 与 b 的夹角 θ∈( , ),且 a?b 和 b?a 都 4 2 n 在集合{ |n∈Z}中,则 a?b 等于 ( ) 2 5 3 1 A. B. C.1 D. 2 2 2

思维启迪

解析

温 馨 提 醒

n 先根据定义表示出 a?b 和 b?a,利用其属于集合{ |n∈Z},将其表示成集合 2 π π 中元素的形式,两式相乘即可表示出 cos θ,然后利用 θ∈( , )确定 cos θ 4 2 的取值范围,结合集合中 n∈Z 的限制条件即可确定 n 的值,从而求出 a?b 的值.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点5 高考中以向量为背景的创新题
α· β 典例:(1)(5 分)对任意两个非零的平面向量 α 和 β,定义 α?β= .若两个 β· β π π 非零的平面向量 a,b 满足 a 与 b 的夹角 θ∈( , ),且 a?b 和 b?a 都 4 2 n 在集合{ |n∈Z}中,则 a?b 等于 ( D ) 2 5 3 1 A. B. C.1 D. 2 2 2

思维启迪

解析

温 馨 提 醒

a· b |a||b|cos θ |a| b· a |a||b|cos θ |b| 根据新定义, 得 a?b= = = cos θ, b?a= = = cos θ. 2 b· b |b| |b| a· a |a|2 |a| n n1 n2 又因为 a?b 和 b?a 都在集合{ |n∈Z}中,设 a?b= ,b?a= (n1,n2∈Z),那 2 2 2 n1n2 么(a?b)· (b?a)=cos2θ= , 4 n1 1 π π 又 θ∈( , ),所以 0<n1n2<2. 所以 n1,n2 的值均为 1.故 a?b= 2 =2. 4 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点5 高考中以向量为背景的创新题
(2)(5 分)设向量 a=(a1, a2), b=(b1, b2), 定义一种向量积 a?b=(a1b1, a2b2), 1 π 已知向量 m=(2, ),n=( ,0),点 P(x,y)在 y=sin x 的图象上运动,Q 2 3 → =m?OP → +n(其中 O 为坐标原点),则 是函数 y=f(x)图象上的点,且满足OQ 函数 y=f(x)的值域是________.

思维启迪

解析

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点5 高考中以向量为背景的创新题
(2)(5 分)设向量 a=(a1, a2), b=(b1, b2), 定义一种向量积 a?b=(a1b1, a2b2), 1 π 已知向量 m=(2, ),n=( ,0),点 P(x,y)在 y=sin x 的图象上运动,Q 2 3 → =m?OP → +n(其中 O 为坐标原点),则 是函数 y=f(x)图象上的点,且满足OQ 函数 y=f(x)的值域是________.

思维启迪

解析

温 馨 提 醒

→ ,进而求出OP → ,确定函数 y=f(x)的解析式. 根据定义先写出 m?OP

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
高频小考点5 高考中以向量为背景的创新题
(2)(5 分)设向量 a=(a1, a2), b=(b1, b2), 定义一种向量积 a?b=(a1b1, a2b2), 1 π 已知向量 m=(2, ),n=( ,0),点 P(x,y)在 y=sin x 的图象上运动,Q 2 3 → =m?OP → +n(其中 O 为坐标原点),则 是函数 y=f(x)图象上的点,且满足OQ
? 1 1? ?- , ? ? 2 2? . 函数 y=f(x)的值域是________

思维启迪

解析

温 馨 提 醒

→ =m?OP → +n=(2x,1sin x)+(π,0) =(2x+π, 设 Q(c,d),由新的运算可得OQ 2 3 3 π ? 1 sin x), ?c=2x+3, 1 1 π 2 由? 消去 x 得 d= sin( c- ), 2 2 6 ?d=1sin x, 2 ? ? 1 1? 1 1 π ? ? 所以 y=f(x)= sin( x- ), 易知 y=f(x)的值域是?-2,2?. 2 2 6 ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点5 高考中以向量为背景的创新题
(2)(5 分)设向量 a=(a1, a2), b=(b1, b2), 定义一种向量积 a?b=(a1b1, a2b2), 1 π 已知向量 m=(2, ),n=( ,0),点 P(x,y)在 y=sin x 的图象上运动,Q 2 3 → =m?OP → +n(其中 O 为坐标原点),则 是函数 y=f(x)图象上的点,且满足OQ
? 1 1? ?- , ? ? 2 2? . 函数 y=f(x)的值域是________

思维启迪

解析

温 馨 提 醒

解答创新型问题,首先需要分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本 质弄清楚,然后应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义信息题难点的 关键所在.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1.向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来,这 就为向量和函数的结合提供了前提,运用向量的 有关知识可以解决某些函数问题. 2.以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与

方 法 与 技 巧

函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问 题.通过向量的坐标运算,将问题转化为解不等 式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.
3.向量的两个作用:①载体作用:关键是利用向 量的意义、作用脱去“向量外衣”,转化为我 们熟悉的数学问题;②工具作用:利用向量可 解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.注意向量夹角和三角形内角的关系,两者并不等价.

失 误 与 防 范

2.注意向量共线和两直线平行的关系;两向量 a,b 夹角为锐角和 a· b>0 不等价.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

→ → → 1.已知 P 是△ABC 所在平面内一点,若CB=λPA+PB,其中 λ∈R,则点 P 一定在 A.△ABC 的内部 C.AB 边所在直线上
解析

( B ) B.AC 边所在直线上 D.BC 边所在直线上

→ → → 由题意知:CB-PB=λPA,

→ +BP → =λPA →, 即CB → =λPA → ,即CP → 与PA → 共线, ∴CP
∴点 P 在 AC 边所在直线上.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

→ +BA → )· → =|AC → |2,则△ABC 的形状一定 2.在△ABC 中,(BC AC 是 A.等边三角形 C.直角三角形 B.等腰三角形 D.等腰直角三角形 ( C )

→ → → →2 解析 由(BC+BA)· AC=|AC| , →· → +BA → -AC → )=0, 得AC (BC →· → +BA → +CA → )=0,2AC →· → =0, 即AC (BC BA → ⊥BA →, ∴A=90° . ∴AC → |=|AC → |, 又根据已知条件不能得到|AB 故△ABC 一定是直角三角形.
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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

3.已知|a|=2|b|,|b|≠0 且关于 x 的方程 x2+|a|x-a· b=0 有两 相等实根,则向量 a 与 b 的夹角是 π π π A.- B.- C. 6 3 3
解析 由已知可得 Δ=|a|2+4a· b=0,

2π D. 3

( D )

即 4|b|2+4· 2|b|· |b|cos θ=0,
1 ∴cos θ=- , 2 又∵0≤θ≤π, 2π ∴θ= . 3
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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

→· → =x2,则 4.已知点 A(-2,0)、B(3,0),动点 P(x,y)满足PA PB 点 P 的轨迹是 A.圆 B.椭圆 C.双曲线 ( D ) D.抛物线

解析

→ =(-2-x,-y),PB → =(3-x,-y), PA

→· → =(-2-x)(3-x)+y2=x2, ∴PA PB

∴y2=x+6.
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1 2 3

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4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

π 5.若函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )在一个周期内的图 2 象如图所示,M,N 分别是这段图象的最高点和最低点,且 →· → =0(O 为坐标原点),则 A 等于 ( OM ON B ) π 7 7 7 A. B. π C. π D. π 6 12 6 3
π 7 解析 由题意知 M(12,A),N(12π,-A), π 7 → → 又OM· ON= × π-A2=0, 12 12 7 ∴A= π. 12
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专项基础训练
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6.(2013· 天津)在平行四边形 ABCD 中,AD=1,∠BAD=60° , → → E 为 CD 的中点.若AC· BE=1,则 AB 的长为________.

→ → 解析 在平行四边形 ABCD 中, 取 AB 的中点 F, 则BE=FD, 1→ → → → → =AD → +AB →, ∴BE=FD=AD- AB, 又AC 2 1→ → → → → → ∴AC· BE=(AD+AB)· (AD- AB) 2 1 → → → → 1→2 → 2 =AD - AD· AB+AD· AB- AB 2 2 1→ → 1→2 → 2 =|AD| + |AD||AB|cos 60° - |AB| 2 2 1 1→ 1→2 =1+ × |AB|- |AB| =1. 2 2 2
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6.(2013· 天津)在平行四边形 ABCD 中,AD=1,∠BAD=60° , 1 → → 2 E 为 CD 的中点.若AC· BE=1,则 AB 的长为________ .
?1 ? → → ∴?2-|AB|?|AB|=0, ? ?

→ |≠0, 又|AB
1 → ∴|AB|= . 2

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专项基础训练
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7.已知三个力 f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同时 作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,再加上一个力

(1,2) f4,则 f4=________.

解析

由物理知识知:f1+f2+f 3+f4=0,

故 f4=-(f1+f2+f3)=(1,2).

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专项基础训练
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8.已知在平面直角坐标系中,O(0,0),M(1,1),N(0,1),Q(2,3), →· → ≤1,0≤OP →· → ≤1,则 动点 P(x,y)满足不等式 0≤OP OM ON →· → 的最大值为________. z=OQ OP 3

解析

→ =(x,y),OM → =(1,1),ON → =(0,1), OP

→· → =x+y,OP →· → =y, ∴OP OM ON
? ?0≤x+y≤1, 即在? ? ?0≤y≤1

条件下,

求 z=2x+3y 的最大值,由线性规划知识,
当 x=0,y=1 时,zmax=3.
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专项基础训练
5 6 7 8 9 10

9.已知△ABC 中,∠C 是直角,CA=CB,D 是 CB 的中点, E 是 AB 上一点,且 AE=2EB,求证:AD⊥CE.

证明

建立如图所示的直角坐标系,

设 A(a,0),则 B(0,a),E(x,y). a ∵D 是 BC 的中点,∴D(0,2). → =2EB → ,即(x-a,y)=2(-x,a-y), 又∵AE
? ?x-a=-2x, ∴? ? ?y=2a-2y,

a 2 解得 x= ,y= a. 3 3
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1 2 3

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4

专项基础训练
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9.已知△ABC 中,∠C 是直角,CA=CB,D 是 CB 的中点, E 是 AB 上一点,且 AE=2EB,求证:AD⊥CE.

a a → ∵AD=(0,2)-(a,0)=(-a,2), a 2 → → OE=CE=( , a), 3 3 a 2 a → → ∴AD· CE=-a× + a× =-1a2+1a2=0. 3 3 2 3 3 → ⊥CE →, ∴AD

即 AD⊥CE.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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专项基础训练
5 6 7 8 9 10

10.已知 A,B,C 三点的坐标分别为 A(3,0),B(0,3),C(cos α, π 3π sin α),其 α∈( , ). 2 2 → |=|BC → |,求角 α 的值. (1)若|AC π → → (2)若AC· BC=-1,求 tan(α+ )的值. 4 → =(cos α-3,sin α),BC → =(cos α,sin α-3), 解析 (1)∵AC

→ |= ?cos α-3?2+sin2α= 10-6cos α, ∴|AC → |= 10-6sin α. |BC

→ |=|BC → |得 sin α=cos α, 由|AC π 3π ∴α=5π. 又 α∈( , ), 4 2 2
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基础知识

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1 2 3

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4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

10.已知 A,B,C 三点的坐标分别为 A(3,0),B(0,3),C(cos α, π 3π sin α),其 α∈( , ). 2 2 → |=|BC → |,求角 α 的值. (1)若|AC π → → (2)若AC· BC=-1,求 tan(α+ )的值. 4 →· → =-1, (2)由AC BC

得(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1, 2 π 2 ∴sin α+cos α= , ∴sin(α+ )= >0. 3 4 3 π 3π π 7 由于 <α< , ∴3π<α+π<π, ∴cos(α+ )=- . 2 2 4 4 4 3 π 14 故 tan(α+ )=- . 4 7
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1

B组
2

专项能力提升
3

4

5

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B组
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专项能力提升
3

4

5

1 1. (2013· 浙江)设△ABC, P0 是边 AB 上一定点, 满足 P0B= AB, 4 →· → ≥P → → 且对于边 AB 上任一点 P,恒有PB PC B · P ) 0 0C,则( A.∠ABC=90° C.AB=AC 解析 设 BC 中点为 M, B.∠BAC=90° D.AC=BC

→ +PC → ?2 ?PB → -PC → ?2 → 2 1 → 2 ?PB → → ? -? ? =PM - CB , 则P0B· P0C=? 4 2 ? ? 2 ? ? 1→2 → → → 2 同理P0B· P0C=P0M - CB , 4 →· → ≥P → → ∵PB PC B · P 0 0C恒成立, → |≥|P → ∴|PM M|恒成立.
0

基础知识

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1

B组
2

专项能力提升
3

4

5

1 1. (2013· 浙江)设△ABC, P0 是边 AB 上一定点, 满足 P0B= AB, 4 →· → ≥P → → 且对于边 AB 上任一点 P,恒有PB PC B · P 0 0C,则( D ) A.∠ABC=90° B.∠BAC=90° C.AB=AC
即 P0M⊥AB,
1 取 AB 的中点 N,又 P0B= AB, 4
则 CN⊥AB,
∴AC=BC.故选 D.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

D.AC=BC

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3

4

5

15 → → 2.已知在△ABC 中,AB=a,AC=b,a· b<0,S△ABC= ,|a| 4

150° =3,|b|=5,则∠BAC=________.
解析 →· → <0, ∵AB AC

∴∠BAC 为钝角, 1 15 又 S△ABC= |a||b|sin∠BAC= . 2 4 1 ∴sin∠BAC= , 2 ∴∠BAC=150° .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1

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专项能力提升
3

4

5

3.已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90° ,AD=2, → +3PB → |的最小值为 BC=1,P 是腰 DC 上的动点,则 |PA ________.
解析 方法一 以 D 为原点,分别以 DA、DC 所在直线

为 x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,
设 DC=a,DP=x. ∴D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x), → =(2,-x),PB → =(1,a-x), PA

→ +3PB → |2=25+(3a-4x)2≥25, → +3PB → =(5,3a-4x), |PA ∴PA → +3PB → |的最小值为 5. ∴|PA
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1

B组
2

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3

4

5

3.已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90° ,AD=2, → +3PB → |的最小值为 BC=1,P 是腰 DC 上的动点,则 |PA ________ . 5
方法二 → =xDC → (0<x<1). 设DP

→ =DA → -DP → =DA → -xDC →, → =(1-x) DC →, PA ∴PC 1→ → → → → PB=PC+CB=(1-x) DC+ DA. 2 5 → +3PB → = DA → +(3-4x) DC →, ∴PA 2 25 → 2 5 → → →· → +(3-4x)2· →2 2 |PA+3PB| = DA +2× ×(3-4x) DA DC DC 4 2 → 2≥25, → → |的最小值为 5. =25+(3-4x)2DC ∴|PA+3PB
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练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3

4

5

4.已知点 A(2,0),B(0,2),C(cos α,sin α),且 0<α<π. → +OC → |= 7,求OB → 与OC → 的夹角; (1)若|OA → ⊥BC → ,求 tan α 的值. (2)若AC
解析 → +OC → |= 7, (1)因为|OA

1 所以(2+cos α)2+sin2α=7, 所以 cos α= . 2 π 又因为 α∈(0,π),所以 α=∠AOC= . 3 π π → → 又因为∠AOB= ,所以OB与OC的夹角为 . 6 2
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练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3

4

5

4.已知点 A(2,0),B(0,2),C(cos α,sin α),且 0<α<π. → +OC → |= 7,求OB → 与OC → 的夹角; (1)若|OA → ⊥BC → ,求 tan α 的值. (2)若AC
→ → (2)AC=(cos α-2,sin α),BC=(cos α,sin α-2).

1 → → → → 因为AC⊥BC, 所以AC· BC=0, 所以 cos α+sin α= ,① 2 1 3 2 所以(cos α+sin α) = ,所以 2sin αcos α=- . 4 4 π 又因为 α∈(0,π),所以 α∈( ,π). 2 7 2 因为(cos α-sin α) =1-2sin αcos α= ,cos α-sin α<0, 4
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练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3

4

5

4.已知点 A(2,0),B(0,2),C(cos α,sin α),且 0<α<π. → +OC → |= 7,求OB → 与OC → 的夹角; (1)若|OA → ⊥BC → ,求 tan α 的值. (2)若AC
7 所以 cos α-sin α=- 2 . ②

1- 7 1+ 7 由①②得 cos α= ,sin α= , 4 4
4+ 7 所以 tan α=- . 3
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1

B组
2

专项能力提升
3

4

5

5.如图所示,已知点 F(1,0),直线 l:x=-1,P 为平面上的一动点,过 P 作直线 l 的垂线,垂 →· → =FP →· →. 足为点 Q,且QP QF FQ (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A、B 两点,交直线 l 于点 M.已 → =λ AF → ,MB → =λ BF → ,求 λ +λ 的值. 知MA
1 2 1 2

解析

(1)设点 P(x,y),则 Q(-1,y),

→· → =FP →· →, 由QP QF FQ
得(x+1,0)· (2,-y)=(x-1,y)· (-2,y),
化简得 P 的轨迹 C 的方程为 y2=4x.
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练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3

4

5

5.如图所示,已知点 F(1,0),直线 l:x=-1,P 为平面上的一动点,过 P 作直线 l 的垂线,垂 →· → =FP →· →. 足为点 Q,且QP QF FQ (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A、B 两点,交直线 l 于点 M.已 → =λ AF → ,MB → =λ BF → ,求 λ +λ 的值. 知MA
1 2 1 2

(2)设直线 AB 的方程为 x=my+1(m≠0). 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),又 M(-1,- ), m 2 ? ?y =4x, 联立方程? 消去 x,得 ? ?y1+y2=4m, ? x = my + 1 , ? 故? y2-4my-4=0,Δ=(-4m)2+16>0, ? ?y1y2=-4.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3

4

5

5.如图所示,已知点 F(1,0),直线 l:x=-1,P 为平面上的一动点,过 P 作直线 l 的垂线,垂 →· → =FP →· →. 足为点 Q,且QP QF FQ (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A、B 两点,交直线 l 于点 M.已 → =λ AF → ,MB → =λ BF → ,求 λ +λ 的值. 知MA
→ → → → 由MA=λ1AF,MB=λ2BF,得 2 2 y1+ =-λ1y1,y2+ =-λ2y2,整理,得 m m 2 2 λ1=-1- ,λ2=-1- , my1 my2 2 4m 2 1 1 2 y1+y2 =-2- · =0. 所以 λ1+λ2=-2- ( + )=-2- · m -4 m y1 y 2 m y1y2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
1 2 1 2


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