文抛物线精选例题

抛物线精选
．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。 1．椭圆 16x 2 ? y 2 ? 4 的焦点坐标为 （ ）

A． (

17 17 ,0) 或 (? ,0) 2 2 15 15 ,0)和（， 0） 2 2
2

B． (0,

17 17 ) ) 或 (0,? 2 2 15 15 )和（0， ） 2 2
（ ）

C． (

D． (0,

2．抛物线 y ? A． x ?

1 4

1 x ? 0 的准线方程为 2 1 B． x ? ? 4

C． x ?

1 8

D． x ? ?

1 8

3．双曲线 4 x 2 ? y 2 ? 64 ? 0 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 1，那么点 P 到另一个焦 点的距离等于 A．7 （ B．17 C．7 或 17 D．不能确定 （ ） ）

x2 y2 ? ? 1 的焦距是 4．双曲线 2 m ? 12 4 ? m 2
A． 4 B． 2 2 C． 8 D．与 m 有关

5．椭圆短轴长为 2，长轴是短轴的 2 倍，则椭圆的离心率是 A．

（ D． 2 ? 1 （ D．(3,1) （

）

2 2

B．

3 2

C．

1 2

2 6．直线 y ? x ? 1 被抛物线 y ? 4 x ? 0 截得线段的中点坐标为

）

A．(4,3) B．(1,3) 7．下列命题中，正确的命题的个数是 （1） ．圆是离心率等于 0 的椭圆； （2） ．直线 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 与双曲线
2

C．(3,2)

）

x2 y2 ? ? 1 有 2 个交点； 9 4
p ,0) ； 2
D.3 （ D．以上都不对 ）

（3） ．抛物线 x ? ?2 py( p ? 0) 的焦点坐标是 (? （4） ．椭圆与双曲线都有 4 个顶点 A．0 B．1 8．双曲线的渐近线方程为 y ? ? A．

C．2

5 3

B．

5 4

3 x ，则双曲线的离心率为 4 5 5 C． 或 3 4
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9． 过抛物线的焦点做直线与抛物线交于 A,B 两点， 则以 AB 为直径的圆与抛物线准线的位置 关系是 A．相离 B．相切 C．相交且不过圆心 （ D．相交且过圆心 ）

M 总在椭圆内部，则椭圆离 10．已知 F 1 、 F2 是椭圆的两个焦点，满足 MF 1 ? MF 2 ? 0 的点
心率的取值范围是 A． (0,1) B． (0, ] ( )

1 2

C． (0,

2 ) 2

D． [

2 ,1) 2

第二部分 非选择题（共 110 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分． 11．点 M(x,y)与定点 F(5,0)的距离和它到定直线 l :x= 方程为 ． ． 的距离的比是常数 ，则点 M 的轨迹

12．焦点在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上，则抛物线的标准方程为

13．已知椭圆 b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 (a ? b ? 0) 的中心 O 与一个焦点 F（c,0）及短轴的一个 端点 B 组成三角形 BFO,则 cos ?BFO 的值为 ．

2 14 ． P 是 抛 物 线 y ? 4 x 的 点 ， 则 点 P 到 直 线 4 x ? 3 y ? 15 ? 0 的 距 离 的 最 小 值

为

．

三．解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分 12 分） 求过定点 P （0，1）且与抛物线 y ? 2 x 只有一个公共点的直线方程.
2

16. （本小题满分 12 分） 一座抛物线拱桥，当水面离拱桥顶为 2m 时，水面宽度是 4m，求当水面上升 1m 后时，水 面的宽度.

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17. （本小题满分 14 分）

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点分别为 F1 、 F2 ，点 P 在双曲线上且满足 ?F1 PF2 ? 90? ， 双曲线 4
求 ?F1 PF2 的面积.

18. （本小题满分 14 分） 过抛物线 y ? 8x 的焦点作倾斜角为 450 的直线，交抛物线于 A、B 两点.求：
2

（1） 被抛物线截得的弦长 AB ； （2） 线段 AB 的中点到直线 x ? 2 ? 0 的距离.

19. （本小题满分 14 分）

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抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F，准线为 l ，经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴上方的 部分相交于点 A， AK ? l ，垂足为 K，求 ?AKF 的面积.

20.（本小题满分 14 分） 在直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点 (0， ? 3) ，(0，3) 的距离之和等于 4，设点 P 的轨迹为

C ，直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A，B 两点．
（1）写出 C 的方程； （2）若 OA ? OB ，求 k 的值； （3）若点 A 在第一象限，证明：当 k>0 时，恒有| OA |>| OB |．

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