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2011年全国各地中考数学真题分类汇编:第32章圆的有关性质


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第 32 章 一、选择题

圆的有关性质

1. (2011 广东湛江 16,4 分)如图, A, B, C 是 度.

O 上的三点, ∠BAC = 30° ,则 ∠BOC =

【答案】60 2. (2011 安徽,7,4 分)如图,⊙O 的半径是 1,A、B、C 是圆周上的三点,∠BAC=36°, ⌒ 则劣弧 BC 的长是( π A. 5 ) 2 B. π 5 3 C. π 5 4 D. π 5

【答案】B 3. (2011 福建福州,9,4 分)如图 2,以 O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 AB 切小圆于 点 C ,若 ∠AOB = 120o ,则大圆半径 R 与小圆半径 r 之间满足( A. R = 3r
A
C O

) D. R = 2 2r

B. R = 3r

C. R = 2r

B

图2

【答案】C 4. (2011 山东泰安,10 ,3 分)如图,⊙O 的弦 AB 垂直平分半径 OC,若 AB= 6,则⊙O 的半径为( )

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A. 2 【答案】A

B.2 2

C.

2 2

D.

6 2

5. (2011 四川南充市,9,3 分)在圆柱形油槽内装有一些油。截面如图,油面宽 AB 为 6 分米,如果再注入一些油 后,油面 AB 上升 1 分米,油面宽变为 8 分米,圆柱形油槽直径 MN 为( )

M A B

N

(A)6 分米

(B)8 分米

(C)10 分米

(D)12 分米

【答案】C 已知桥 AB 6. (2011 浙江衢州, 分) 1,3 一个圆形人工湖如图所示, AB 是湖上的一座桥, 弦 长 100m,测得圆周角 ∠ACB = 45° ,则这个人工湖的直径 AD 为( ) A. 50 2m
C D

B. 100 2m

C. 150 2m

D. 200 2m

O

A

B

(第 8 题) 【答案】B 7. (2011 浙江绍兴,4,4 分)如图, AB为 则 ∠BOC 的度数是( A. 74° ) B. 48°

O 的直径,点 C 在 O 上,若 ∠C = 16° ,
C. 32° D. 16°

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A O

B

C

(第 5 题图) 【答案】C 8.(2011 浙江绍兴, 4 分) 6, 一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径 OB = 10 , 截面圆圆心 O 到水面的距离 OC 是 6,则水面宽 AB 是( ) A.16 B.10 C.8 D.6

O C A
(第 6 题图) 【答案】A 9. (2011 浙江省,5,3 分)如图,小华同学设计了一个圆直径的测量器,标有刻度的尺子 OA、OB 在 O 点钉在一起,并使它们保持垂直,在测直径时,把 O 点靠在圆周上,读得刻 度 OE=8 个单位,OF=6 个单位,则圆的直径为( ) A. 12 个单位 B. 10 个单位 C.4 个单位 D. 15 个单位

B

【答案】B B 10.(2011 四川重庆,6,4 分)如图,⊙O 是⑵ABC 的外接圆,∠OCB=40°则∠A 的度数 . 等于( ) A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°

【答案】B 11. (2011 浙江省嘉兴,6,4 分)如图,半径为 10 的⊙O 中,弦 AB 的长为 16,则这条弦 的弦心距为( (A)6 ) (B)8 (C)10 (D)12

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O

A
(第 6 题)

B

【答案】A

12. (2011 台湾台北,16)如图(六), BD 为圆 O 的直径,直线 ED 为圆 O 的切线,A、C
两点在圆上, AC 平分∠BAD 且交 BD 于 F 点。若∠ADE= 19° ,则∠AFB 的度 数为何?

A.97

B.104

C.116

D.142

【答案】C 13. (2011 台湾全区,24)如图(六),△ABC 的外接圆上,AB、BC、CA 三弧的度数比为 12:13:11. 自 BC 上取一点 D, D 分别作直线 AC、 过 直线 AB 的并行线, 且交 BC 于 E、 两点, F 则∠EDF 的度数 为何?

A. 55

B. 60

C. 65

D. 70

【答案】C C 14. (2011 甘肃兰州,12,4 分)如图,⊙O 过点 B、C,圆心 O 在等腰 Rt△ABC 的内部, ∠BAC=90°,OA=1,BC=6。则⊙O 的半径为 A.6 B.13 C. 13 D. 2 13

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A O B C

【答案】C 15. (2011 四川成都,7,3 分)如图,若 AB 是⊙0 的直径,CD 是⊙O 的弦,∠ABD=58°, 则∠BCD=( B ) (A)116° (B)32° (C)58° (D)64°
D

A

O

B

C

【答案】B 16. (2011 四川内江,9,3 分)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠BAC=60°,若⊙O 的半 径 OC 为 2,则弦 BC 的长为 A.1 B. 3 C.2 D.2 3

A B
【答案】D

O C

17. (2011 江苏南京,6,2 分)如图,在平面直角坐标系中,⊙P 的圆心是(2,a)(a>2),半 径为 2,函数 y=x 的图象被⊙P 的弦 AB 的长为 2 3 ,则 a 的值是 A. 2 3 y y=x P B B. 2 + 2 2 C. 2 3 D. 2 + 3

A O (第 6 题) x

【答案】B 1. 18. (2011 江苏南通,8,3 分)如图,⊙O 的弦 AB=8,M 是 AB 的中点,且 OM=3,

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则⊙O 的半径等于 A. 8 B. 2 C. 10 D. 5

【答案】D 19. (2011 山东临沂,6,3 分)如图,⊙O 的直径 CD=5cm,AB 是⊙O 的弦,AB⊥CD, 垂足为 M,OM:OD=3:5,则 AB 的长是( ) A.2cm B.3cmC.4cm D.2 21 cm

【答案】C 20.(2011 上海,6,4 分)矩形 ABCD 中,AB=8, BC = 3 5 ,点 P 在边 AB 上,且 BP . =3AP,如果圆 P 是以点 P 为圆心,PD 为半径的圆,那么下列判断正确的是( ). (A) 点 B、C 均在圆 P 外; (B) 点 B 在圆 P 外、点 C 在圆 P 内; (C) 点 B 在圆 P 内、点 C 在圆 P 外; (D) 点 B、C 均在圆 P 内. 【答案】C 21. (2011 四川乐山 6,3 分)如图(3),CD 是⊙O 的弦,直径 AB 过 CD 的中点 M,若 ∠BOC=40°,则∠ABD=

A.40°

B.60° C.70°

D.80°

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【答案】 C 22. (2011 四川凉山州,9,4 分)如图, ∠AOB = 100o ,点 C 在 B 重合,则 ∠ACB 的度数为( A. 50
o o

O 上,且点 C 不与 A、


o

B. 80 或 50

C. 130

o

D. 50 或 130

o

o

【答案】D 23. (2011 广东肇庆,7,3 分)如图,四边形 ABCD 是圆内接四边形,E 是 BC 延长线上一 点,若∠BAD =105°, 则∠DCE 的大小是 D

A

B A. 115°

C

E C. 100° D. 95°

B. 105°

【答案】B 24. (2011 内蒙古乌兰察布, 3 分) 9, 如图, AB 为 ⊙ O 的直径, CD 为弦, AB ⊥ CD , 如果∠BOC = 70 0 ,那么∠A 的度数为( A . 70° B . 35° C . 30° ) D . 20°

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A

O C B D

第9题题

【答案】B 25. (2011 重庆市潼南,3,4 分)如图,AB 为⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,∠A=30°,则∠B 的度数为 A.15°
C

B. 30°

C. 45°

D. 60°

A

O

B

3题图

【答案】D 26. (2011 浙江省舟山,6,3 分)如图,半径为 10 的⊙O 中,弦 AB 的长为 16,则这条弦 的弦心距为( (A)6 ) (B)8 (C)10 (D)12

O

A
(第 6 题)

B

【答案】A 二、填空题 1. (2011 浙江省舟山,15,4 分)如图,AB 是半圆直径,半径 OC⊥AB 于点 O,AD 平分 ∠CAB 交弧 BC 于点 D,连结 CD、OD,给出以下四个结论:①AC∥OD;② CE = OE ; ③⑵ODE∽⑵ADO;④ 2CD 2 = CE ? AB .其中正确结论的序号是 .

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C

D
E

A

O
(第 16 题)

B

【答案】①④ 2. (2011 安徽,13,5 分)如图,⊙O 的两条弦 AB、CD 互相垂直,垂足为 E,且 AB=CD, 已知 CE=1,ED=3,则⊙O 的半径是 .

【答案】 5 3. (2011 江苏扬州, 15,3 分) 如图, 的弦 CD 与直径 AB 相交, ⊙O 若∠BAD=50°, 则∠ACD=

【答案】40° 4. (2011 山东日照,14,4 分)如图,在以 AB 为直径的半圆中,有一个边长为 1 的内接正 方形 CDEF,则以 AC 和 BC 的长为两根的一元二次方程是 .

【答案】如:x2- 5 x+1=0; 答案 如 ; 5. (2011 山东泰安,23 ,3 分)如图,PA 与⊙O 相切,切点为 A,PO 交⊙O 于点 C,点 B 是优弧 CBA 上一点,若∠ABC==320,则∠P 的度数为 。

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【答案】260 6. (2011 山东威海,15,3 分)如图,⊙O 的直径 AB 与弦 CD 相交于点 E,若 AE=5,BE=1, CD = 4 2 ,则∠AED= .

【答案】 30° ° 7. (2011 山东烟台,16,4 分)如图,△ABC 的外心坐标是__________. y
A B O

x

C

【答案】(-2,-1) 8. (2011 浙江杭州,14,4)如图,点 A,B,C,D 都在⊙O 上, 是∠OCD 的平分线,则∠ABD 十∠CAO= °. 的度数等于 84°,CA

【答案】53° 9. (2011 浙江温州,14,5 分)如图,AB 是⊙O 的直径,点 C,D 都在⊙O 上,连结 CA, CB,DC,DB.已知∠D=30°,BC=3,则 AB 的长是 .

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【答案】6 10.(2011 浙江省嘉兴,16,5 分)如图,AB 是半圆直径,半径 OC⊥AB 于点 O,AD 平 . 分∠CAB 分别交 OC 于点 E,交弧 BC 于点 D,连结 CD、OD,给出以下四个结论: ①S⑵AEC=2S⑵DEO ; ②AC=2CD ; ③ 线 段 OD 是 DE 与 DA 的 比 例 中 项 ; ④ 2CD 2 = CE ? AB .其中正确结论的序号是
C



D
E

A

O
(第 16 题)

B

【答案】①④ 11. (2011 福建泉州,16,4 分)已知三角形的三边长分别为 3,4,5,则它的边与半径为
1 的圆的公共点个数所有可能的情况是 .(写出符合的一种情况即

可) 【答案】 2(符合答案即可) 16 4 如图, 是⊙O 的半径, C、 在⊙O 上, DCB=27°, OB 点 D ∠ 12. (2011 甘肃兰州, , 分) 则∠OBD= 度。
D

O

B

C

【答案】63° 13. (2011 湖南常德, , 分) 7 3 如图 2, 已知⊙O 是△ABC 的外接圆, 且∠C =70°, 则∠OAB =__________.

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C

O A B

题2

【答案】20° 14. (2011 江苏连云港, 3 分) 15, 如图, D 为边 AC 上一点, O 为边 AB 上一点, 点 点 AD=DO. 以 O 为圆心, 长为半径作半圆, AC 于另一点 E, AB 于点 F, 连接 EF.若∠BAC=22?, OD 交 交 G, 则∠EFG=_____.

【答案】

1 2

15. (2011 四川广安,19,3 分)如图 3 所示,若⊙O 的半径为 13cm,点 p 是弦 AB 上一 动点,且到圆心的最短距离为 5 cm,则弦 AB 的长为________cm

O

A
图3

P

B

【答案】24 16. ( 2011 重庆江津, 16,4 分)已知如图,在圆内接四边形 ABCD 中,∠B=30?,则∠D=____________. A D C B 第 16 题图 【答案】150° 答案】 17. (2011 重庆綦江, 4 分) 如图,已知 AB 为⊙O 的直径, 13, ∠CAB=30°,则∠D= .

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【答案】:60° 18. ( 2011 江西 南昌 , 13 , 3 分) 如 图, 在△ABC 中, 点 P 是△ABC 的 内 心, 则 ∠PBC+∠PCA+∠PAB 度. =

第 13 题图 【答案】90 19. (2011 江苏南京,13,2 分)如图,海边有两座灯塔 A、B,暗礁分布在经过 A、B 两点的 弓形(弓形的弧是⊙O 的一部分)区域内,∠AOB=80°,为了避免触礁,轮船 P 与 A、 B 的张角∠APB 的最大值为______°. P

O A B

(第 13 题)

【答案】40 20.(2011 上海,17,4 分)如图,AB、AC 都是圆 O 的弦,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分 . 别为 M、N,如果 MN=3,那么 BC=_________.

C N O A M B

【答案】6 21. (2011 江苏无锡,18,2 分)如图,以原点 O 为圆心的圆交 x 轴于点 A、B 两点,交 y 轴的正半轴于点 C,D 为第一象限内⊙O 上的一点,若∠DAB = 20°,则∠OCD = _____________.

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y
C D A O B

x

(第 18 题)

【答案】65 22. (2011 湖北黄石,14,3 分)如图(5),⑵ABC 内接于圆 O,若∠B=300.AC= 3 , 则⊙O 的直径为 【答案】2 3 23. (2011 湖南衡阳,16,3 分)如图,⊙ O 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G,∠EOD=40°, . 则∠FCD 的度数为 。

【答案】 20 24. (2011 湖南永州,8,3 分)如图,在⊙O 中,直径 CD 垂直弦 AB 于点 E,连接 OB,CB, 已知⊙O 的半径为 2,AB= 2 3 ,则∠BCD=________度.
C

O A E B D

(第 8 题)

【答案】30 25. (20011 江苏镇江,15,2 分)如图,DE 是⊙O 的直径,弦 AB⊥DE,垂足为 C,若 AB=6,CE=1,则 OC=_____,CD=_____.

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答案:4,9 26. (2011 内蒙古乌兰察布, 14, 分) 4 如图,BE 是半径为 6 的⊙D 的

1 圆周, 点是 BE C 4

上的任意一点, ⑵ABD 是等边三角形,则四边形 ABCD 的周长 P 的取值范围是

E C

B

D

A
第14题题

【答案】 18 < p ≤ 18 + 6 2 27. (2011 河北,16,3 分)如图 7,点 O 为优弧 ACB 所在圆的圆心,∠AOC=108°,点 D 在 AB 的延长线上,BD=BC,则∠D=__°.

C O A B
题7

D

【答案】27 28. (2011 湖北荆州,12,4 分)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,CD 是直径,∠B=40°,

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则∠ACD 的度数是

.

C O B D

A

第 12 题图 【答案】50° ° 29. 30. 三、解答题 1. (2011 浙江金华,21,8 分)如图,射线 PG 平分∠EPF,O 为射线 PG 上一点,以 O 为 圆心,10 为半径作⊙O,分别与∠EPF 两边相交于 A、B 和 C、D,连结 OA,此时有 OA∥ PE. (1)求证:AP=AO; (2)若弦 AB=12,求 tan∠OPB 的值; (3)若以图中已标明的点(即 P、A、B、C、D、O)构造四边形,则能构成菱形的四个点 为 ,能构成等腰梯形的四个点为 或 或 .
E

D C P A B O

G

F

证明:(1)∵PG 平分∠EPF, ∴∠DPO=∠BPO , ∵OA//PE, ∴∠DPO=∠POA , ∴∠BPO=∠POA, ∴PA=OA; ……2 分 解:(2)过点 O 作 OH⊥AB 于点 H,则 AH=HB= ∵ tan∠OPB=

1 AB,……1 分 2

OH 1 = ,∴PH=2OH, ……1 分 PH 2 设 OH= x ,则 PH=2 x , 由(1)可知 PA=OA= 10 ,∴AH=PH-PA=2 x -10, 2 2 2 ∵ AH + OH = OA , ∴ (2 x ? 10) 2 + x 2 = 102 , ……1 分 解得 x1 = 0 (不合题意,舍去), x2 = 8 ,

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∴AH=6, ∴AB=2AH=12; ……1 分 (3)P、A、O、C;A、B、D、C 或 P、A、O、D 或 P、C、O、B.……2 分(写对 1 个、2 个、3 个得 1 分,写对 4 个得 2 分) D C P A O H B F G E

2.(2011 浙江金华,24,12 分)如图,在平面直角坐标系中,点 A(10,0),以 OA 为直 径在第一象限内作半圆 C,点 B 是该半圆周上的一动点,连结 OB、AB,并延长 AB 至点 D, 使 DB=AB,过点 D 作 x 轴垂线,分别交 x 轴、直线 OB 于点 E、F,点 E 为垂足,连结 CF. (1)当∠AOB=30°时,求弧 AB 的长; (2)当 DE=8 时,求线段 EF 的长; (3)在点 B 运动过程中,是否存在以点 E、C、F 为顶点的三角形与△AOB 相似,若存在, 请求出此时点 E 的坐标;若不存在,请说明理由.
y D

B F

O

C

E

A

x

解: (1)连结 BC, ∵A(10,0), ∴OA=10 ,CA=5, ∵∠AOB=30°, ∴∠ACB=2∠AOB=60°, ∴弧 AB 的长= y D B F

60 × π × 5 5π = ; 180 3

……4 分

O

C E

A

x

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(2)连结 OD, ∵OA 是⊙C 直径, ∴∠OBA=90°, 又∵AB=BD, ∴OB 是 AD 的垂直平分线, ∴OD=OA=10, 在 Rt△ODE 中, OE= OD ? DE
2 2

= 10 2 ? 8 2 = 6 ,

∴AE=AO-OE=10-6=4, 由 ∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB,∠OEF=∠DEA, 得△OEF∽△DEA, ∴

AE EF 4 EF = ,即 = ,∴EF=3;……4 分 DE OE 8 6

(3)设 OE=x, ①当交点 E 在 O, 之间时, C 由以点 E、 F 为顶点的三角形与△AOB 相似, C、 有∠ECF=∠BOA 或∠ECF=∠OAB,当∠ECF=∠BOA 时,此时△OCF 为等腰三角形,点 E 为 OC 中点,即 OE=

5 , 2
∴E1(

5 ,0) ; 2 1 AB , 2

当∠ECF=∠OAB 时,有 CE=5-x, AE=10-x, ∴CF∥AB,有 CF= ∵△ECF∽△EAD, ∴

CE CF 5? x 1 10 = ,即 = ,解得: x = , AE AD 10 ? x 4 3 10 ∴E2( ,0); 3
y D B F F C A x O E C A x D B

y

O

E

②当交点 E 在点 C 的右侧时, ∵∠ECF>∠BOA, ∴要使△ECF 与△BAO 相似,只能使∠ECF=∠BAO, 连结 BE, ∵BE 为 Rt△ADE 斜边上的中线, ∴BE=AB=BD,

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∴∠BEA=∠BAO, ∴∠BEA=∠ECF, ∴CF∥BE, ∴

CF OC = , BE OE CF CE = , AD AE OC CE = , ∴ 2OE AE

∵∠ECF=∠BAO, ∠FEC=∠DEA=Rt∠, ∴△CEF∽△AED, ∴ 而 AD=2BE,



5 x ?5 5 + 5 17 5 ? 5 17 = , 解得 x1 = , x2 = <0(舍去) , 2 x 10 ? x 4 4

∴E3(

5 + 5 17 ,0); 4

y D B F

O

C

E

A x

③当交点 E 在点 O 的左侧时, ∵∠BOA=∠EOF>∠ECF . ∴要使△ECF 与△BAO 相似,只能使∠ECF=∠BAO 连结 BE,得 BE= ∴∠ECF=∠BEA, ∴CF∥BE, ∴

1 AD =AB,∠BEA=∠BAO 2

CF OC = , BE OE CE CF = , AE AD OC CE ∴ = , 2OE AE
解得 x1 =

又∵∠ECF=∠BAO, ∠FEC=∠DEA=Rt∠, ∴△CEF∽△AED, ∴ 而 AD=2BE,



5 x +5 = , 2 x 10+x

? 5 + 5 17 ? 5 ? 5 17 , x2 = <0(舍去), 4 4 5 ? 5 17 ,0), 4

∵点 E 在 x 轴负半轴上, ∴E4(

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综上所述:存在以点 E、C、F 为顶点的三角形与△AOB 相似,此时点 E 坐标为:

5 10 5 + 5 17 5 ? 5 17 E1 ( ,0) E 2 ( ,0) E3 ( 、 、 ,0) E 4 ( 、 ,0) .……4 分 2 3 4 4
y D B

E F

O

C

A

x

3. (2011 山东德州 22,10 分)●观察计算 当 a = 5 , b = 3 时,

a+b 与 ab 的大小关系是_________________. 2 a+b 当 a = 4 , b = 4 时, 与 ab 的大小关系是_________________. 2

●探究证明 过 设 如图所示,?ABC 为圆 O 的内接三角形,AB 为直径, C 作 CD ⊥ AB 于 D, AD = a , BD=b. (1)分别用 a, b 表示线段 OC,CD; (2)探求 OC 与 CD 表达式之间存在的关系 C

A

O

D

B

(用含 a,b 的式子表示). ●归纳结论 根据上面的观察计算、探究证明,你能得出

a+b 与 2

ab 的 大 小 关 系 是 :

_________________________. ●实践应用 要制作面积为 1 平方米的长方形镜框,直接利用探究得出的结论,求出镜框周长的最小值. 【答案】●观察计算: ●探究证明:

a+b a+b > ab , = ab . …………………2 分 2 2
C

A

O

D

B

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(1)Q AB = AD + BD = 2OC , ∴ OC =

a+b …………………3 分 2

Q AB 为⊙O 直径, ∴ ∠ACB = 90° . Q ∠A + ∠ACD = 90° , ∠ACD + ∠BCD = 90° ,
∴∠A=∠BCD. ∴△ ACD ∽△ CBD . ∴ …………………4 分

AD CD = . CD BD
2

即 CD = AD ? BD = ab , ∴ CD =

ab .

…………………5 分

(2)当 a = b 时, OC = CD ,

a ≠ b 时, OC > CD ,
●结论归纳: ●实践应用

a+b ≥ 2

a+b > ab .…………………6 分 2 ab .
………………7 分

a+b = ab ; 2

设长方形一边长为 x 米,则另一边长为

1 米,设镜框周长为 l 米,则 x
……………9 分

1 1 l = 2( x + ) ≥ 4 x ? = 4 . x x
当x=

1 ,即 x = 1 (米)时,镜框周长最小. x

此时四边形为正方形时,周长最小为 4 米. ………………10 分 4. (2011 山东济宁,19,6 分)如图, AD 为 ?ABC 外接圆的直径, AD ⊥ BC ,垂足为点 F , ∠ABC 的平分线交 AD 于点 E ,连接 BD , CD . (1) 求证: BD = CD ; (2) 请判断 B , E , C 三点是否在以 D 为圆心,以 DB 为半径的圆上?并说明理由.

A

E B
F

C

D
(第 19 题)

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【答案】(1)证明:∵ AD 为直径, AD ⊥ BC , ∴ BD = CD .∴ BD = CD . ········································································ 3 分 (2)答: B , E , C 三点在以 D 为圆心,以 DB 为半径的圆上. ······························· 4 分 理由:由(1)知: BD = CD ,∴ ∠BAD = ∠CBD . ∵ ∠DBE = ∠CBD + ∠CBE , ∠DEB = ∠BAD + ∠ABE , ∠CBE = ∠ABE , ∴ ∠DBE = ∠DEB .∴ DB = DE . ········································································· 6 分 由(1)知: BD = CD .∴ DB = DE = DC . ∴ B , E , C 三点在以 D 为圆心,以 DB 为半径的圆上. …………………7 分 5. (2011 山东烟台,25,12 分)已知:AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 G,E 是直 线 AB 上一动点(不与点 A、B、G 重合),直线 DE 交⊙O 于点 F,直线 CF 交直线 AB 于 点 P.设⊙O 的半径为 r. (1)如图 1,当点 E 在直径 AB 上时,试证明:OE·OP=r2 (2)当点 E 在 AB(或 BA)的延长线上时,以如图 2 点 E 的位置为例,请你画出符合 题意的图形,标注上字母,(1)中的结论是否成立?请说明理由.
C C

A

G D

O

.

F E B P A

G O D

.

B

E

.

(图 1)

(图 2)

【答案】(1)证明:连接 FO 并延长交⊙O 于 Q,连接 DQ. ∵FQ 是⊙O 直径,∴∠FDQ=90°. ∴∠QFD+∠Q=90°. ∵CD⊥AB,∴∠P+∠C=90°. ∵∠Q=∠C,∴∠QFD=∠P. ∵∠FOE=∠POF,∴△FOE∽△POF. ∴
OE OF = .∴OE·OP=OF2=r2. OF OP

(2)解:(1)中的结论成立. 理由:如图 2,依题意画出图形,连接 FO 并延长交⊙O 于

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M,连接 CM. ∵FM 是⊙O 直径,∴∠FCM=90°,∴∠M+∠CFM=90°. ∵CD⊥AB,∴∠E+∠D=90°. ∵∠M=∠D,∴∠CFM=∠E. ∵∠POF=∠FOE,∴△POF∽△FOE. ∴
OP OF = ,∴OE·OP=OF2=r2. OF OE

6. (2011 宁波市,25,10 分)阅读下面的情境对话,然后解答问题

(1)根据“奇异三角形”的定义,请你判断小华提出的命题:“等边三角形一定是奇异三 角形”是真命题还是假命题? (2)在 Rt ? ABC 中, ∠ACB=90°,AB=c,AC=b,BC=a,且 b>a,若 Rt ? ABC 是 奇异三角形,求 a:b:c; ⌒ (3)如图,AB 是⊙O 的直径,C 是上一点(不与点 A、B 重合),D 是半圆ABD的中点,
CD 在直径 AB 的两侧,若在⊙O 内存在点 E 使得 AE=AD,CB=CE. 1 ○求证: ? ACE 是奇异三角形; 2 ○当 ? ACE 是直角三角形时,求∠AOC 的度数.

【答案】解:(1)真命题 2 (2)在 Rt ? ABC 中 a +b2= c2, ∵c>b>a>0 2 2 ∴2c2>a +b2,2a <c2+b2 2 ∴若 Rt ? ABC 是奇异三角形,一定有 2b2=c2+ a ∴2b2=a +(a +b2) ∴b2=2a 得:b= 2a ∵c2=b2+ a =3a
2 2 2 2 2

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∴c= 3a ∴a:b:c=1: 2: 3 1 (3)○∵AB 是⊙O 的直径 ACBADB=90° 在 Rt ? ABC 中,AC2+BC2=AB2 在 Rt ? ADB 中,AD2+BD2=AB2 ⌒ ∵点 D 是半圆ABD的中点 ⌒ ⌒ ∴AD=BD ∴AD=BD ∴AB2=AD2+BD2=2AD2 ∴AC2+CB2=2AD2 又∵CB=CE,AE=AD ∴AC2=CE2=2AE2 ∴ ? ACE 是奇异三角形 2 1 ○由○可得 ? ACE 是奇异三角形 ∴AC2=CE2=2AE2 当 ? ACE 是直角三角形时 由(2)可得 AC:AE:CE=1: 2: 3或 AC:AE:CE= 3: 2: 1 (Ⅰ)当 AC:AE:CE=1: 2: 3时 AC:CE=1: 3即 AC:CB=1: 3 ∵∠ACB=90° ∴∠ABC=30° ∴∠AOC=2∠ABC =60° (Ⅱ)当 AC:AE:CE= 3: 2: 1 时 AC:CE= 3: 1 即 AC:CB= 3: 1 ∵∠ACB=90° ∴∠ABC=60° ∴∠AOC=2∠ABC =120° ∴∠AOC=2∠ABC =120° ∴∠AOC 的度数为 60°或 120° 7. (2011 浙江丽水,21,8 分)如图,射线 PG 平分∠EPF,O 为射线 PG 上一点,以 O 为 圆心,10 为半径作⊙O,分别与∠EPF 两边相交于 A、B 和 C、D,连结 OA,此时有 OA∥ PE. (1)求证:AP=AO; (2)若弦 AB=12,求 tan∠OPB 的值; (3)若以图中已标明的点(即 P、A、B、C、D、O)构造四边形,则能构成菱形的四个点为 ,能构成等腰梯形的四个点为 或 或 .

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D C P A B O

E

G

F

【解】(1)∵PG 平分∠EPF, ∴∠DPO=∠BPO, ∵OA//PE, ∴∠DPO=∠POA, ∴∠BPO=∠POA, ∴PA=OA; (2)过点 O 作 OH⊥AB 于点 H,则 AH=HB, ∵AB=12, ∴AH=6, 由(1)可知 PA=OA=10, ∴PH=PA+AH=16, OH= 102-62=8, OH 1 ∴tan∠OPB= = ; PH 2

(3)P、A、O、C;A、B、D、C 或 P、A、O、D 或 P、C、O、B. 8. (2011 广东广州市,25,14 分) 如图 7,⊙O 中 AB 是直径,C 是⊙O 上一点,∠ABC=45°,等腰直角三角形 DCE 中 ∠DCE 是直角,点 D 在线段 AC 上. (1)证明:B、C、E 三点共线; (2)若 M 是线段 BE 的中点,N 是线段 AD 的中点,证明:MN= 2OM; (3)将⑵DCE 绕点 C 逆时针旋转 α(0°<α<90°)后,记为⑵D1CE1(图 8),若 M1 是 线段 BE1 的中点,N1 是线段 AD1 的中点,M1N1= 2OM1 是否成立?若是,请证明;若不是, 说明理由.

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A N

A N1 D

O E M B 图7 【答案】( )∵AB 为⊙O 直径 答案】(1) 】( ∴∠ACB=90° ∴∠ ° ∵△DCE 为等腰直角三角形 ∵△ ∴∠ACE=90° ∴∠ ° ∴∠BCE=90°+90°=180° ∴∠ ° ° ° ∴B、C、E 三点共线. 、 、 三点共线. (2)连接 BD,AE,ON. ) , , . ∵∠ACB=90°,∠ABC=45° ∵∠ ° ∴AB=AC ∵DC=DE ∠ACB=∠ACE=90° ∠ ° ∴⑵BCD△⑵ACE ∴AE=BD,∠DBE=∠EAC , ∠ ∴∠DBE+∠BEA=90° ∴∠ ∠ ° ∴BD⊥AE ⊥ ∵O,N 为中点 , 1 ∴ON∥BD,ON=2BD ∥ , 1 同理 OM∥AE,OM=2AE ∥ , C

O M1 B

D1 C

E1

图8

∴OM⊥ON,OM=ON ⊥ , ∴MN= 2OM (3)成立 ) 证明: 证明:同(2)旋转后∠BCD1=∠BCE1=90°-∠ACD1 )旋转后∠ ∠ ° 所以仍有⑵BCD1△⑵ACE1, 所以⑵ACE1 是由⑵BCD1 绕点 C 顺时针旋转 90°而得到的,故 BD1⊥AE1 ° 得到的, 其余证明过程与( )完全相同. 其余证明过程与(2)完全相同. 9. (2011 浙江丽水,24,12 分)如图,在平面直角坐标系中,点 A(10,0),以 OA 为直径 在第一象限内作半圆 C,点 B 是该半圆周上的一动点,连结 OB、AB,并延长 AB 至点 D, 使 DB=AB,过点 D 作 x 轴垂线,分别交 x 轴、直线 OB 于点 E、F,点 E 为垂足,连结 CF. (1)当∠AOB=30°时,求弧 AB 的长; (2)当 DE=8 时,求线段 EF 的长; (3)在点 B 运动过程中,是否存在以点 E、C、F 为顶点的三角形与△AOB 相似,若存在,

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请求出此时点 E 的坐标;若不存在,请说明理由.
y D

B F

O

C

E

A

x

【解】(1)连结 BC,
y D

B F

O

C

E

A

x

∵A(10,0),∴OA=10,CA=5, ∵∠AOB=30°, ∴∠ACB=2∠AOB=60°, 60×π×5 5π ⌒ ∴AB的长= 180 = 3 ; (2)连结 OD,
y D

B F

O

C

E

A

x

∵OA 是⊙C 的直径,∴∠OBA=90°, 又∵AB= BD, ∴OB 是 AD 的垂直平分线, ∴OD= OA=10, 在 Rt△ODE 中, OE= OD2-DE2= 102-82=6, ∴AE= AO-OE =10-6=4, 由∠AOB=∠ADE= 90°-∠OAB,

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∠OEF=∠DEA, 得△OEF∽△DEA, AE EF 4 EF ∴DE=OE,即8= 6 ,∴EF=3;
y D

B F

O

C

E

A

x

(3)设 OE=x, ①当交点 E 在 O,C 之间时,由以点 E、C、F 为顶点的三角形与△AOB 相似, 有∠ECF=∠BOA 或∠ECF=∠OAB, 当∠ECF=∠BOA 时, 此时△OCF 为等腰三角形, 5 点 E 为 OC 的中点,即 OE=2,

5 ∴E1(2,0); 当∠ECF=∠OAB 时,有 CE=5-x,AE=10-x,

1 ∴CF//AB,有 CF=2AB, ∵△ECF∽△EAD, 5-x 1 CE CF 10 ∴AE=AD,即 = ,解得 x= 3 , 10-x 4 10 ∴E2( 3 ,0);

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②当交点 E 在 C 的右侧时, ∵∠ECF>∠BOA ∴要使△ECF 与△BAO 相似,只能使∠ECF=∠BAO, 连结 BE,

∵BE 为 Rt△ADE 斜边上的中线, ∴BE=AB=BD, ∴∠BEA=∠BAO, ∴∠BEA=∠ECF, CF OC ∵CF//BE,∴BE=OE, ∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠, CF CE ∴△CEF∽△AED,∴AD=AE, OC CE 而 AD=2BE,∴2OE=AE, 5 x-5 即2x= , 10-x 5-5 17 5+5 17 解得 x1= 4 ,x2= <0(舍去) , 4 5+5 17 ∴E3( 4 ,0); ③当交点 E 在 O 的左侧时,

∵∠BOA=∠EOF>∠ECF ∴要使△ECF 与△BAO 相似,只能使∠ECF=∠BAO, 1 连结 BE,得 BE=2AD=AB,

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∠BEA=∠BAO, ∴∠ECF=∠BEA, ∴CF//BE, CF OC ∴BE=OE, 又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠, CE CF ∴△CEF∽△AED,∴AE=AD, OC CE 而 AD=2BE,∴2OE=AE, -5+5 17 -5-5 17 5 x+5 ∴2x= 10+x,解得 x1= ,x2= <0(舍去) , 4 4 5-5 17 ∵点 E 在 x 轴负半轴上,∴E4( ,0), 4 综上所述:存在以点 E、C、F 为顶点的三角形与△AOB 相似,此时点 E 坐标为: 5-5 17 5 10 5+5 17 ,0)、E4( ,0). ∴E1( ,0)、E2( ,0)、E3( 2 3 4 4 10.(2011 江西,21,8 分)如图,已知⊙O 的半径为 2,弦 BC 的长为 2 3 ,点 A 为弦 . BC 所对优弧上任意一点(B,C 两点除外)。 ⑴求∠BAC 的度数; ⑵求⑵ABC 面积的最大值. (参考数据:sin60°=

3 3 3 ,cos30°= ,tan30°= .) 2 2 3

【答案】(1)过点 O 作 OD⊥BC 于点 D, 连接 OA. 因为 BC= 2 3 ,所以 CD= BC = 3 . 又 OC=2,所以 sin ∠DOC =
3 CD ,即 sin ∠DOC = , 2 OC
1 2

所以∠DOC=60°. 又 OD⊥BC,所以∠BAC=∠DOC=60°. (2)因为⑵ABC 中的边 BC 的长不变,所以底边上的高最大时,⑵ABC 面积的最大值,即点 A 是 BAC 的中点时,⑵ABC 面积的最大值. 因为∠BAC=60°,所以⑵ABC 是等边三角形, 在 Rt⑵ADC 中,AC= 2 3 ,DC= 3 , 所以 AD= AC 2 - DC 2 = (2 3) 2 3 =3.
2

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所以⑵ABC 面积的最大值为 2 3 ×3× =3 3 . 11. (2011 湖南常德,25,10 分)已知 △ABC,分别以 AC 和 BC 为直径作半圆 O1 、O2 , P 是 AB 的中点. (1)如图 8,若△ABC 是等腰三角形,且 AC=BC,在 AC , BC 上分别取点 E、F,使

1 2

∠AO1 E = ∠BO2 F , 则有结论①
②的证明;

PO1 E ? FO2 P, ②四边形 PO1CO2 是菱形.请给出结论

(2)如图 9,若(1)中△ABC 是任意三角形,其它条件不变,则(1)中的两个结论还成 立吗?若成立,请给出证明; (3)如图 10,若 PC 是
A P

O1 的切线,求证: AB 2 = BC 2 + 3 AC 2

DB F

E
O1 O2

C
图8

D

【答案】 (1) 证明:∵BC 是⊙O2 直径,则 O2 是 BC 的中点 又 P 是 AB 的中点. ∴P O2 是△ABC 的中位线 ∴P O2 =

1 AC 2

又 AC 是⊙O1 直径

1 AC 2 1 同理 P O1= O2C = BC 2
∴P O2= O1C= ∵AC =BC ∴P O2= O1C=P O1= O2C ∴四边形 PO1CO2 是菱形 (2) 结论① PO1 E ? FO2 P, 成立,结论②不成立

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证明:在(1)中已证 PO2= ∴PO2=O1E

1 1 AC,又 O1E= AC 2 2

同理可得 PO1=O2F ∵PO2 是△ABC 的中位线 ∴PO2∥AC ∴∠PO2B=∠ACB 同理∠P O1A=∠ACB ∴∠PO2B=∠P O1A ∵∠AO1E =∠BO2F ∴∠P O1A+∠AO1E =∠PO2B+∠BO2F 即∠P O1E =∠F O2 P ∴ (3) 证明:延长 AC 交⊙O2 于点 D,连接 BD. ∵BC 是⊙O2 的直径,则∠D=90°, 又 PC 是

O1 的切线,则∠ACP=90°,

∴∠ACP=∠D 又∠PAC=∠BAD, ∴△APC∽△BAD 又 P 是 AB 的中点 ∴

AC AP 1 = = AD AB 2

∴AC=CD ∴在 Rt△BCD 中, BC = CD + BD = AC ? + BD
2 2 2 2

在 Rt△ABD 中, AB 2 = AD 2 + BD 2 ∴ AB 2 = 4 AC 2 + BD 2 = AC 2 + BD 2 + 3 AC 2 ∴ AB = BC + 3 AC
2 2 2

(

)

12. (2011 江苏苏州,26,8 分)如图,已知 AB 是⊙O 的弦,OB=2,∠B=30°,C 是弦 AB 上 任意一点(不与点 A、B 重合),连接 CO 并延长 CO 交⊙O 于点 D,连接 AD. (1)弦长 AB=________(结果保留根号);

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(2)当∠D=20°时,求∠BOD 的度数; (3)当 AC 的长度为多少时,以点 A、C、D 为顶点的三角形与以 B、C、O 为顶点的三角形相 似?请写出解答过程.

【答案】解:(1)2 3 . (2)解法一:∵∠BOD 是△BOC 的外角,∠BCO 是△ACD 的外角, ∴∠BOD=∠B+∠BCO,∠BCO=∠A+∠D. ∴∠BOD=∠B+∠A+∠D. 又∵∠BOD=2∠A,∠B=30°,∠D=20°, ∴2∠A=∠B+∠A+∠D=∠A+50°,∠A=50°, ∴∠BOD=2∠A=100°. 解法二:如图,连接 OA. ∵OA=OB,OA=OD,∴∠BAO=∠B,∠DAO=∠D, ∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D. 又∵∠B=30°,∠D=20°,∴∠DAB=50°, ∴∠BOD=2∠DAB=100°.

(3)∵∠BCO=∠A+∠D,∴∠BCO>∠A,∠BCO>∠D. ∴要使△DAC 与△BOC 相似,只能∠DCA=∠BCO=90°. 此时,∠BOC=60°,∠BOD=120°,∴∠DAC=60°. ∴△DAC∽△BOC. ∵∠BCO=90°,即 OC⊥AB,∴AC=

1 AB= 3 . 2

13. (2011 江苏苏州,27,8 分)已知四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形,以 AB 为直径在正 方形内作半圆,P 是半圆上的动点(不与点 A、B 重合),连接 PA、PB、PC、PD. (1)如图①,当 PA 的长度等于______时,∠PAB=60°; 当 PA 的长度等于______时,△PAD 是等腰三角形; (2)如图②,以 AB 边所在的直线为 x 轴,AD 边所在的直线为 y 轴,建立如图所示的直角 坐标系(点 A 即为原点 O),把△PAD、△PAB、△PBC 的面积分别记为 S1、S2、S3.设 P 点坐 2 标为(a,b),试求 2S1S3-S2 的最大值,并求出此时 a、b 的值.

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【答案】解:(1)2;2 2 或

8 5 . 5

(2)如图,过点 P 分别作 PE⊥AB,PF⊥AD,垂足分别为 E、F,延长 FP 交 BC 于点 G,则 PG ⊥BC. ∵P 点坐标为(a,b),∴PE=b,PF=a,PG=4-a. 在△PAD、△PAB 及△PBC 中, S1=2a,S2=2b,S3=8-2a, ∵AB 是直径,∴∠APB=90°. 2 ∴PE2=AE·BE,即 b =a(4-a). 2 2 2 2 ∴2S1S3-S2 =4a(8-2a)-4b =-4a +16a=-4(a-2) +16. 2 ∴当 a=2 时,b=2,2S1S3-S2 有最大值 16.

14. (2011 江苏泰州,26,10 分)如图,以点 O 为圆心的两个同心圆中,矩形 ABCD 的边 BC 为大圆的弦,边 AD 与小圆相切于点 M,OM 的延长线与 BC 相交于点 N. (1)点 N 是线段 BC 的中点吗?为什么? (2)若圆环的宽度(两圆半径之差)为 6cm,AB=5cm,BC=10cm,求小圆的半径.

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O A M N B C D

【答案】解:(1)N 是 BC 的中点。原因:∵AD 与小圆相切于点 M, ∴OM⊥AD,又 AD∥BC,∴ON⊥BC,∴在大圆 O 中,由垂径定理可得 N 是 BC 的中点. (2)连接 OB,设小圆半径为 r,则有 ON=r+5,OB=r+6,BN=5cm, 在 Rt△OBN 中,由勾股定理得 OB2=BN2+ON2 ,即:(r+6)2=(r+5)2+52 ,解得 r=7cm. ∴小圆的半径为 7cm. 15. (2011 四川成都,27,10 分)已知:如图,以矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点 O 为圆心, OA 长为半径作⊙0,⊙O 经过 B、D 两点,过点 B 作 BK⊥AC,垂足为 K.过 D 作 DH∥KB, DH 分别与 AC、AB、⊙O 及 CB 的延长线相交于点 E、F、G、H. (1)求证:AE=CK; A D (2)如果 AB= a ,AD= a ( a 为大于零的常数),求 BK 的 长; (3)若 F 是 EG 的中点, DE=6, 且 求⊙O 的半径和 GH 的长. 【答案】 解:(1)∵DH∥KB,BK⊥AC,∴DE⊥AC, ∵四边形 ABCD 是矩形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠EAD=∠KCB, ∴Rt△ADE≌Rt△CBK,∴AE=CK. (2) Rt△ABC 中, a , 在 AB= AD=BC= a , AC = ∴
G H F

1 3

E O K B C

1 3

1 10a AB 2 + BC 2 = a 2 + ( a) 2 = , 3 3

1 a× a 1 1 AB × BC 3 = 10 a . ∵S△ABC= AB×BC= AC×BK,∴BK= = 2 2 AC 10a 10 3
(3)连线 OG,∵AC⊥DG,AC 是⊙O 的直接,DE=6,∴DE=EG=6, 又∵EF=FG, ∴EF=3; ∵Rt△ADE≌Rt△CBK, ∴DE=BK=6, AE=CK, 在△ABK 中,EF=3,BK=6,EF∥BK,∴EF 是△ABK 的中位线,∴ AF=BF , AE=EK=KC ; 在 Rt △ OEG 中 , 设 OG= r , 则 H
G

A E F O K B

D

C

1 1 1 OE= AC = × 2r = r , EG=6 , OE 2 + EG 2 = OG 2 , ∴ 6 6 3 1 9 2 ( r ) 2 + 6 2 = r 2 ,∴ r = . 3 2
在 Rt△ADF≌Rt△BHF 中,AF=BF,

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∵AD=BC,BF∥CD,∴HF=DF, ∵FG=EF,∴HF-FG=DF-EF,∴HG=DE=6. 16. (2011 四川宜宾,23,10 分)已知:在⑵ABC 中,以 AC 边为直径的⊙O 交 BC 于点 D, ⌒ 在劣弧 AD上到一点 E 使∠EBC=∠DEC,延长 BE 依次交 AC 于 G,交⊙O 于 H. (1)求证:AC⊥BH; (2)若∠ABC=45°,⊙O 的直径等于 10,BD=8,求 CE 的长.

(23 题图)

【答案】证明:⑴连接 AD ∵∠DAC=∠DEC ∠EBC=∠DEC ∴∠DAC=∠EBC 又∵AC 是⊙O 的直径 ∴∠ADC=90° ∴∠DCA+∠DAC=90° ∴∠EBC+∠DCA=90° ∴∠BGC=180°-(∠EBC+∠DCA)=180°-90°=90° ∴AC⊥BH ⑵∵∠BDA=180°-∠ADC=90°∠ABC=45° ∴∠BAD=45° ∴BD=AD ∵BD=8 ∴AD=8 又∵∠ADC=90° AC=10

(第 23 题解答图)

∴由勾股定理,得 DC = AC 2 ? AD 2 = 10 2 ? 8 2 = 6 .

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∴BC=BD+DC=8+6=14 又∵∠BGC=∠ADC=90° ∴⑵BCG∽⑵ACD CG BC ∴ = DC AC ∴
CG 14 = 6 10

∠BCG=∠ACD

∴ CG =

42 5

连接 AE,∵AC 是直径 ∴∠AEC=90° 又∵EG⊥AC 42 CE CG ∴⑵CEG∽⑵CAE ∴ ∴ CE 2 = AC ? CG = × 10 = 84 = 5 AC CE ∴ CE = 84 = 2 21 . 17. (2011 江西南昌,21,8 分)如图,已知⊙O 的半径为 2,弦 BC 的长为 2 3 ,点 A 为 弦 BC 所对优弧上任意一点(B,C 两点除外)。 ⑴求∠BAC 的度数; ⑵求⑵ABC 面积的最大值. (参考数据:sin60°=

3 3 3 ,cos30°= ,tan30°= .) 2 2 3

【答案】(1)过点 O 作 OD⊥BC 于点 D, 连接 OA. 因为 BC= 2 3 ,所以 CD= BC = 3 . 又 OC=2,所以 sin ∠DOC =
3 CD ,即 sin ∠DOC = , 2 OC
1 2

所以∠DOC=60°. 又 OD⊥BC,所以∠BAC=∠DOC=60°. (2)因为⑵ABC 中的边 BC 的长不变,所以底边上的高最大时,⑵ABC 面积的最大值,即点
A 是 BAC 的中点时,⑵ABC 面积的最大值.

因为∠BAC=60°,所以⑵ABC 是等边三角形, 在 Rt⑵ADC 中,AC= 2 3 ,DC= 3 , 所以 AD= AC 2 - DC 2 = (2 3) 2 3 =3. 1 2
2

所以⑵ABC 面积的最大值为 2 3 ×3× =3 3 . 18. (2011 上海,21,10 分)如图,点 C、D 分别在扇形 AOB 的半径 OA、OB 的延长 线上,且 OA=3,AC=2,CD 平行于 AB,并与弧 AB 相交于点 M、N.

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(1)求线段 OD 的长; (2)若 tan ∠C =

1 ,求弦 MN 的长. 2

O A C M N B D

【答案】(1)∵CD∥AB, ∴∠OAB=∠C,∠OBA=∠D. ∵OA=OB, ∴∠OAB=∠OBA. ∴∠C=∠D. ∴OC=OD. ∵OA=3,AC=2, ∴OC=5. ∴OD=5. (2)过点 O 作 OE⊥CD,E 为垂足,连接 OM.

O A C M E N B D

在 Rt△OCE 中, OC=5, ∠C = tan

1 , OE=x, CE=2x. 设 则 由勾股定理得 x 2 + (2 x) 2 = 52 , 2

解得 x1= 5 ,x2= ? 5 (舍去).∴OE= 5 . 在 Rt△OME 中,OM=OA=3,ME= OM 2 ? OE 2 = 32 ? ( 5) 2 =2。∴MN=2ME=4. 19. (2011 湖北黄冈,22,8 分)在圆内接四边形 ABCD 中,CD 为∠BCA 外角的平分线, F 为弧 AD 上一点,BC=AF,延长 DF 与 BA 的延长线交于 E. ⑴求证△ABD 为等腰三角形. ⑵求证 AC?AF=DF?FE

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M

D

C

F

B 第 22 题图

A

E

【答案】⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA,而∠MCD=∠DCA,所以∠ DBA=∠DAB,故△ABD 为等腰三角形. ⑵∵∠DBA=∠DAB ∴弧 AD=弧 BD 又∵BC=AF ∴弧 BC=弧 AF、∠CDB=∠FDA ∴弧 CD=弧 DF ∴CD=DF 再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知 ∠AFE=∠DBA=∠DCA①,∠FAE=∠BDE ∴∠CDA=∠CDB+∠BDA=∠FDA+∠BDA=∠BDE=∠FAE② 由①②得△DCA∽△ FAE ∴AC:FE=CD:AF ∴AC?AF= CD ?FE 而 CD=DF, ∴AC?AF=DF?FE 20.(2011 广东茂名,24,8 分)如图,⊙P 与 y 轴相切于坐标原点 O(0,0),与 x 轴相交 . 于点 A(5,0),过点 A 的直线 AB 与 y 轴的正半轴交于点 B,与⊙P 交于点 C. (1)已知 AC=3,求点B的坐标; (4 分)

(2)若 AC= a , D 是 OB的中点.问:点 O、P、C、D 四点是否在同一圆上?请说明理 由. 如果这四点在同一圆上, 记这个圆的圆心为 O1 ,函数 y = 求 k 的值(用含 a 的代数式表示). (4 分)

k 的图象经过点 O1 , x

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y y

χ

χ

备用图 备用图 【答案】解:(1)解法一:连接 OC,∵OA 是⊙P 的直径,∴OC⊥AB, 在 Rt△AOC 中, OC =

OA 2 ? AC 2 = 25 ? 9 = 4

在 Rt△AOC 和 Rt△ABO 中,∵∠CAO=∠OAB ∴Rt△AOC∽Rt△ABO,· ∴

AC AO 3 5 = ,即 = , CO OB 4 OB 20 , 3
∴ B (0,

∴ OB =

20 ) 3

解法二:连接 OC,因为 OA 是⊙P 的直径, ∴∠ACO=90° 在 Rt△AOC 中,AO=5,AC=3,∴OC=4, 过 C 作 CE⊥OA 于点 E,则: 即:

1 1 ? OA ? CE = ? CA ? OC , 2 2

1 1 12 × 5 × CE = × 3 × 4 ,∴ CE = , 2 2 5

∴ OE =

12 16 OC 2 ? CE 2 = 4 2 ? ( ) 2 = 5 5

∴ C(

16 12 , ), 5 5

设经过 A、C 两点的直线解析式为: y = kx + b .

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把点 A(5,0)、 C (

16 12 , ) 代入上式得: 5 5

?5k + b = 0 ? ?16 12 , k +b = ?5 5 ?
∴y=?

4 ? ?k = ? 3 ? 解得: ? , 20 ?b = ? 3 ?
∴点 B (O,

4 20 x+ , 3 3

20 ) 3



(2)点 O、P、C、D 四点在同一个圆上,理由如下: 连接 CP、CD、DP,∵OC⊥AB,D 为 OB 上的中点, ∴ CD =

1 OB = OD , 2

∴∠3=∠4,又∵OP=CP,∴∠1=∠2,∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°, ∴PC ⊥CD,又∵DO⊥OP,∴Rt△PDO 和 Rt△PDC 是同以 PD 为斜边的直角三角形, ∴PD 上的中点到点 O、P、C、D 四点的距离相等, ∴点 O、P、C、D 在以 DP 为直径的同一个圆上; 由上可知,经过点 O、P、C、D 的圆心 O1 是 DP 的中点,圆心 O1 ( 由(1)知:Rt△AOC∽Rt△ABO,∴

OP OD , ), 2 2

AC OA 25 = ,求得:AB= ,在 Rt△ABO 中, OA AB a

OB =

AB 2 ? OA 2 =

5 25 ? a 2 1 5 25 ? a 2 OA 5 ,OD= OB = , OP = = a 2 2a 2 2

∴ O1 ( ,

5 5 25 ? a 2 k ) ,点 O1 在函数 y = 的图象上, x 4 4a
∴k =



5 25 ? a 2 4k = , 4a 5

25 25 ? a 2 16a



21. (2011 广东肇庆,24,10 分)已知:如图,?ABC 内接于⊙O,AB 为直径,∠CBA 的 平分线交 AC 于点 F,交 ⊙O 于点 D,DE⊥AB 于点 E,且交 AC 于点 P,连结 AD. . (1)求证:∠DAC =∠DBA; (2)求证: P 是线段 AF 的中点; (3)若⊙O 的半径为 5,AF =

15 ,求 tan∠ABF 的值. . 2

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D F P A E ? O B C

【答案】(1)∵BD 平分∠CBA,∴∠CBD=∠DBA ∵∠DAC 与∠CBD 都是弧 CD 所对的圆周角,∴ ∠DAC=∠CBD ∴ ∠DAC =∠DBA (2)∵AB 为直径,∴∠ADB=90° 又∵DE⊥AB 于点 E,∴∠DEB=90° ∴∠ADE +∠EDB=∠ABD +∠EDB=90° ∴∠ADE=∠ABD=∠DAP ∴PD=PA 又∵∠DFA +∠DAC=∠ADE +∠PD F=90°且∠ADE=∠DAC ∴∠PDF=∠PFD ∴PD=PF ∴PA= PF 即 P 是线段 AF 的中点 (3)∵∠DAF =∠DBA,∠ADB=∠FDA=90°∴△FDA ∽△ADB ∴

AD AF = DB AB

15 AD AF 3 3 ∴在 Rt△ABD 中,tan∠ABD= = = 2 = ,即 tan∠ABF= DB AB 10 4 4
22. (2011 内蒙古乌兰察布,21,10 分) 如图,在 Rt⑵ABC 中,∠ACB=90°,D 是 AB 边上的一点,以 BD 为直径的 ⊙0 与边 AC 相切于点 E,连结 DE 并延长,与 BC 的延长线交于点 F . ( 1 )求证: BD = BF ; ( 2 )若 BC = 12 , AD = 8 ,求 BF 的长.

C E

O

B

D
第21题题

A

F

【答案】⑴连结 OE,

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A D

O

E

B
第21题题题题

C

F

则 OE⊥AC, 所以∠AEO=90°,

∠AED=∠CEF, ∠ACB=90° ∠CEF+∠F=90° ∠AED +∠OED=90° ∠OED=∠F
又因为 OD=OE 所以∠OED=∠ODE

∠ODE=∠F
BD=BF ⑵Rt⑵ABC 和 Rt⑵AOE 中,∠A 是公共角 所以 Rt⑵ABC ∽Rt⑵AOE

OE AO r 8+r = ,设⊙0 的半径是 r,则有 = BC AB 12 8 + 2r
求出 r=8,所以 BF=BD=16 23. (2011 湖北鄂州,22,8 分)在圆内接四边形 ABCD 中,CD 为∠BCA 外角的平分线, F 为弧 AD 上一点,BC=AF,延长 DF 与 BA 的延长线交于 E. ⑴求证△ABD 为等腰三角形. ⑵求证 AC?AF=DF?FE M D

C

F

B 第 22 题图

A

E

【答案】⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA,而∠MCD=∠DCA,所以∠ DBA=∠DAB,故△ABD 为等腰三角形.

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⑵∵∠DBA=∠DAB ∴弧 AD=弧 BD 又∵BC=AF ∴弧 BC=弧 AF、∠CDB=∠FDA ∴弧 CD=弧 DF ∴CD=DF 再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知 ∠AFE=∠DBA=∠DCA①,∠FAE=∠BDE ∴∠CDA=∠CDB+∠BDA=∠FDA+∠BDA=∠BDE=∠FAE② FAE ∴AC:FE=CD:AF ∴AC?AF= CD ?FE 而 CD=DF, ∴AC?AF=DF?FE

由①②得△DCA∽△

24. (2010 湖北孝感,23,10 分)如图,等边△ABC 内接于⊙O,P 是 AB 上任一点(点 P 不与点 A、B 重合).连 AP、BP,过点 C 作 CM∥BP 交 PA 的延长线于点 M. (1)填空:∠APC= 度,∠BPC= 度;(2 分) (2)求证:△ACM∽△BCP;(4 分) (3)若 PA=1,PB=2,求梯形 PBCM 的面积. (4 分)

【答案】解:(1)60,60; 答案】 :( ) ; (2)∵CM∥BP,∴∠ ) ∥ ,∴∠BPM+∠M=180°,∠PCM=∠BPC=60. ∠ , ∠ ∴∠M=180°-∠BPM=180-(∠APC+∠BPC)=180°-120°=60°. -(∠ ∴∠ - -( ∠ ) - ∴∠M=∠BPC=60°. ∴∠ ∠ (3)∵ACM≌BCP,∴CM=CP,AM=BP. ) ≌ , , 为等边三角形. 又∠M=60°,∴△ ,∴△PCM 为等边三角形 ∴CM=CP=PM=1+2=3. 作 PH⊥CM 于 H. ⊥ 在 Rt△PMH 中,∠MPH=30°. △ ∴PH=

3 3. 2 1 1 3 15 3= 3. ∴S 梯形 PBCM= ( PB + CM ) × PH = (2 + 3) × 2 2 2 4

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25. (2011 湖北宜昌,21,8 分)如图 D 是△ABC 的边 BC 的中点,过 AD 延长线上的点 E
作 AD 的垂线 EF, 为垂足, 与 AB 的延长线相交于点 F, 0 在 AD 上, = CO, E EF 点 AO BC//EF. (1)证明:AB=AC; (2)证明:点 0 是 AABC 的外接圆的圆心; (3)当 AB=5,BC=6 时,连接 BE 若∠ABE=90°,求 AE 的长.

(第 21 题图) 【答案】解:(1)∵AE⊥EF, EF∥BC,∴AD⊥BC.(1 分)在△ABD 和△ACD 中,∵ BD=CD,∠ADB=∠ADC,AD=AD,∴△ABD≌△ACD.(或者:又∵BD=CD,∴AE 是 BC 的中垂线.) (2 分)∴AB=AC. (3 分) (2)连 BO,∵AD 是 BC 的中垂线,∴BO=CO.(或者:证全等也可得到 BO=CO.) 又 AO=CO,∴AO=BO=CO.(4 分)∴点 O 是△ABC 外接圆的圆心. (5 分) (3) 解法 1: ∵∠ABE=∠ADB=90°, ∴∠ABD+∠BAD=∠AEB+∠BAE=90°, ∴∠ABD= ∠AEB. 又∵∠BAD=∠EAB,∴△ABD∽△AEB.∴

AB AD = ( 6 分 )在 R t△ ABD AE AB 25 中 , ∵ AB=5, BD=1, 2BC=3, ∴ AD=4. ( 7 分 ) ∴ AE= (8 分 )解 法 2: 4

∵ AO= BO, ∴ ∠ ABO= ∠ BAO. ∠ ABE= 90 °, ∠ ABO+ ∠ OBE= ∠ BAO ∵ ∴ + ∠ AEB= 90°. ∴ ∠ OBE= ∠ OEB, ∴ OB= OE. (6 分 )在 Rt△ ABD 中 , ∵ AB=5,BD=1,2BC=3,∴ AD=4. 设 OB= x, 则 OD= 4- x,由 32 + 4-x) 2 =x 2 , ( 解 得 x= 26.

25 25 (7 分 )∴ AE= 2OB= 8 4

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