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安徽省蒙城一中2012-2013学年高一下学期期中考试数学试题Word版含答案

2012—2013 学年度蒙城一中高一期中考试

数 学 (武彦军)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 至第 2 页,第Ⅱ卷第 3 页至第 4 页。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。
1. 函数 y ? sin 2x cos 2x 的最小正周期是( )

A. 2?

B. 4?

C. ? 4

D. ? 2

2. 若? 是△ ABC的一个内角,且 sin? cos? ? ? 1 ,则 sin? ? cos? 的值为 8

A. ? 3 2

B. 3 2

C. ? 5 2

D. 5 2

3.如图 1 所示, D 是 ?ABC 的边 AB 上的中点,则向量 CD ? (



A. ?BC ? 1 BA B. ?BC ? 1 BA C. BC ? 1 BA D. BC ? 1 BA

2

2

2

2

A

4. 函数 y ? 1? cos x 的图象(



D

A.关于 x 轴对称

B.关于 y 轴对称

C.关于原点对称

D.关于直线 x ? ? 对称

B

图1

2

5.已知向量

? a

?

(2, t ),

? b

?

(1,2),

若t

?

t1 时,

? a

? ∥b

;t

?

t2

时,

? a

?

? b

,则(

C )

A. t1 ? ?4,t 2? ?1

B. t1 ? ?4,t 2? 1 C. t1 ? 4,t 2? ?1

D. t1 ? 4,t 2? 1

6.要得到 y ? 2sin(2x ? 2? ) 的图象,需要将函数 y ? 2sin 2x 的图象(

)

3

A 向左平移 2? 个单位长度 3

B 向右平移 2? 个单位长度 3

C 向左平移 ? 个单位长度 3

D 向右平移 ? 个单位长度 3

? 7.在 ?ABC 中,有如下四个命题:① AB ? AC ? BC ; ② AB ? BC ? CA ? 0 ;

③若 ( AB ? AC ) ? ( AB ? AC ) ? 0 ,则 ?ABC 为等腰三角形;

④若 AC ? AB ? 0 ,则 ?ABC 为锐角三角形.其中正确的命题序号是( )

A.① ②

B.① ③ ④

C.② ③

D.② ④

8 . 已 知 O A? 1 , O ?B 3 , O? A ?点O 0BC, 在 ?AOB 内 部 且 ?AOC ? 30o , 设

OC ? mOA ? nOB(m, n ? R) ,则 m 等于(



n

(A) 1 3

(B)3

(C) 3 3

(D) 3

9.已知函数 f (x) ? a sin x ? b cosx ( a 、 b 为常数, a ? 0 , x ? R )在 x ? ? 处取得最小值,则函数 4

y ? f (3? ? x) 是(



4

A.偶函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称

B.偶函数且它的图象关于点 (3? ,0) 对称 2

C.奇函数且它的图象关于点 (3? ,0) 对称 D.奇函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称 2

10.已知 f (x) ? a sin(? x ??) ? b cos(? x ? ? ) ? 4 ( a,b,?, ? 为非零实数), f (2007) ? 5

则 f (2008) ? ( )

A.1

B.3

C.5

D.不能确定

第 II 卷(非选择题 共 100 分)
考生注意事项:请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在.答.题.卡.上.作.答.,.在.试.题.卷.上.答.题.无.效.. 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置.
11.已知向量 a ? (1,sin? ) , b ? (1,cos? ) ,则 a ? b 的最大值为 ____________

12. 在平行四边形 ABCD 中,若 AB ? (2, 4) , AC ? (1, 3) ,则 AD ? ____. (用坐标表示)

13. 已知 tanα =2,则 sin? ? 3cos? =



sin? ? 3cos?

14.已知?, ? ? ?? 3? ,? ?? ,sin(? ? ? )=- 3 , sin ?? ? ? ? ?? ? 12 , 则 cos ??? ? ? ?? =__________

?4 ?

5 ? 4 ? 13

? 4?

15.给出以下五个命题:
①函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是 ? . ②存在实数? ,使 sin? ? cos? ?1 ③.函数 y ? sin( 5? ? x) 是偶函数
2 ④在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象只有一个公共点

⑤?, ? 都是第一象限角,且? ? ? ,则 tan? ? tan ? . 其中正确命题的序号是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(12 分已知 a ? 2, b ? 3

(1) 若 a, b 两向量所成角? ? 2? , 求 a ?b ? ? . 3
(2) 若 a, b 两向量所成的角? ? ? ,求 a ? 2b 的大小 3

17.(12 分已知函数 f ?x? ? sin2 x ? 3 sin x cos x ? 1 .
2 (1)求函数的最大值、最小值及取得最大值和最小值时自变量 x 的集合.
(2) 求函数的单调递增区间.
18. (12 分已知函数 y ? cos(2x ? ? ) 3
(1)用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的简图;(自己做出坐标系,并标出横纵坐标)
(2)求使函数 y 取最大值和最小值时自变量 x 的集合,并求出它的最大值和最小值;
(3)指出该函数的增区间和减区间;

? ? 19(12 分)已知 A, B,C 是三角形 ?ABC 三内角,向量 m ? ?1, 3 , n ? ?cos A,sin A? ,

且 m?n ?1.

(Ⅰ)求角 A ;

(Ⅱ)若

1? sin 2B cos2 B ? sin2

B

?

?3 ,求

tan

B



20(. 13 分))已知向量 a ? ( 3 sin?x, cos?x),b ? (cos?x, cos?x),? ? 0 ,记函数 f (x) ? a ? b ,若函数 f (x)
的最小正周期为? . (1)求? 的值;

(2)当 0 ? x ? ? 时,试求 f (x) 的值域; 3

21.(14 分) 2013 年 4 月 20 日 8 点 02 分四川省雅安市芦山县(北纬 30.3 度,东经 103.0 度)发生 7.0 级地震 ,此次地震中,受灾面积大,伤亡惨重,医疗队到达后,都会选择一个合理的位置,使伤员能在最
短的时间内得到救治。医疗队首先到达 O 点,设有四个乡镇,分别位于一个矩形 ABCD 的四个顶点 A,B,C,D,为了救灾及灾后实际重建需要。需要修建三条小路 OE、EF 和 OF,要求 O 是 AB 的中点,点 E

在边 BC 上,点 F 在边 AD 上,AB=50 千米,BC= 25 3 千米且∠EOF=90°,如图所示.

(1)设∠BOE=? ,试将 ?OEF 的周长 l 表示成? 的函数关系式,并求出此函数的定义域;

(2)经核算,三条路每千米铺设费用均为 400 元,试问如何设计才能使铺路的总费用最低?

并求出最低总费用.

D

C

E

F

?

A

O

B

参考答案

一、选择题: DDABC

CCBDB(请改选择题的老师自己做一遍,以确保准确无误)

二、填空题: 11. a ? b =|sin?-cos?|= 2 |sin(?- ? )|? 2 .
4
12 (-1,-1)
13. ? 1 5

14.

解析:? , ?

?

? ??

3? 4

,?

? ??

,

sin

??

? ? ? ? ? 3,
5

sin(? ? ? ) ? 12 , 4 13

?

?

?

? (3?

, 2?

),

?

?

?

?

? (

,

3?

) ,∴

cos(? ? ? ) ? 4 , cos(? ? ? ) ? ? 5



2

4 24

5

4 13

则 cos(? ? ? ) ? cos[(? ? ? ) ? (? ? ? )] = cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? )sin(? ? ? )

4

4

4

4

= 4 ? (? 5 ) ? (? 3) ?12 ? ? 56 . 5 13 5 13 65

15.

134

三、解答题:

16. (1)由已知, a ? b ? a b cos? ? 2?3? cos 2? ? ?3 ………………6 分 3

(2)

2
a ? 2b

?

2
a

? 4a ? b ? 4

2
b

? 4? 4?

a

?

b

? cos ?

? 4?9 ? 52 ,

3

故 a ? 2b ? 2 13 …………12 分

17. (1) f (x) ? sin(2x ? ? ) ?1, ………………3 分 6

f (x)max ? 2,

x

?

??x ?

x

?

k?

?

? 3

,k

?

Z

? ?

?

………………5 分

f (x)min ? 0,

x

?

??x ?

x

?

k?

?

? 6

,k

?

Z

? ?

?

………………7 分

(2) 2k? ? ? ≤ 2x ? ? ≤ 2k? ? ? 得

2

6

2

k?

?

? 6

≤x≤

k?

?

? 3



x?

???k?

?

? 6

,

k?

?

? 3

? ??

(k ? Z)

………………12 分

18 略 .

? ? 19.解:(Ⅰ)∵ m ? n ? 1 ∴ ?1, 3 ??cos A,sin A? ?1



3 sin A ? cos A ? 1,

? ?2??? sin A?

3 2

?

cos

A

?

1 2

? ???

?

1

,

?sin

? ??

A

?

? 6

? ??

?

1 2

∵ 0 ? A ? ? , ? ? ? A ? ? ? 5? ∴ A ? ? ? ? ∴ A ? ? ;

6

66

66

3

(Ⅱ)由题知 1? 2sin B cos B ? ?3 ,整理得 sin2 B ? sin B cos B ? 2cos2 B ? 0 cos2 B ? sin2 B

∴ cos B ? 0 ∴ tan2 B ? tan B ? 2 ? 0 ∴ tan B ? 2 或 tan B ? ?1

而 tan B ? ?1使 cos2 B ? sin2 B ? 0 ,舍去 ∴ tan B ? 2 ;

20. 解:(1) f (x) ? 3 sin ?x cos?x ? cos2 ?x ? 3 sin 2?x ? 1 ? cos 2?x

2

2

? sin(2?x ? ? ) ? 1 62

?? ? 0,?T ? 2? ? ? ,?? ? 1 2?

(2)由(1), f (x) ?n(si 2x ? ? ) ? 1 ,? 0 ? x ? ? ,? ? ? 2x ? ? ? 5? ,

62

36

66

? 1 ? sin(2x ? ? ) ?1,? f (x) 的值域为[1, 3]

2

6

2

21.(1)解:(1)∵在 Rt△BOE 中,OB=25, ∠B=90°,∠BOE=? ,∴OE= 25 . cos?
在 Rt△AOF 中,OA=25, ∠A=90°,∠AFO=? ,∴OF= 25 sin?

又∠EOF=90°,∴EF= ? OE2 ? OF 2 ? ( 25 )2 ? ( 25 )2 = 25 , cos? sin? cos? sin?

∴ l ? OE ? OF ? EF ? 25 ? 25 ? 25 cos? sin? cos? sin?

即 l ? 25(sin? ? cos? ?1) . cos? sin?

当点 F 在点 D 时,这时角? 最小,求得此时? = π ; 6

当点 E 在 C 点时,这时角? 最大,求得此时? = π . 3

故此函数的定义域为[ π , π]. 63
(2)由题意知,要求铺路总费用最低,只要求 ?OEF 的周长 l 的最小值即可.

由(1)得, l ? 25(sin? ? cos? ?1) ,? ?[ π , π]

cos? sin?

63

设 sin? ? cos? ? t ,则 sin? ? cos? ? t2 ?1 , 2



l

?

25(sin? ? cos? cos? sin?

? 1)

?

25(t ?1) t2 ?1

?

50 t ?1

2

由, 5π ? ? ? π ? 7π ,得 3 ?1 ? t ? 2 ,∴

12

4 12

2

从而 2 ?1 ? 1 ? 3 ?1, t ?1

当?

?

π 4

,即

BE=25

时, lmin

?

25(

2 ?1) ,

3 ?1 ? t ?1? 2

2 ?1,

所以当 BE=AE=25 千米时,铺路总费用最低,最低总费用为10000( 2 ?1) 元