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6-3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题


高三总复习

人教A 版 · 数学 (理)

第三节

二元一次不等式(组)与简单的 线性规划问题

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1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.

2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面
区域表示二元一次不等式组.

3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性
规划问题,并能加以解决.

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1.二元一次不等式Ax+By+C>0(或Ax+By+C<0)表示的平面

区域.
(1)在平面直角坐标系中作出直线Ax+By+C=0; (2)在直线的一侧任取一点P(x0,y0),特别地,当C≠0时,常把原 点作为此特殊点;

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(3)若Ax0+By0+C>0,则包含此点P的半平面为不等式Ax+By+

C>0所表示的平面区域,不包含此点P的半平面为不等式Ax+By+C<0
所表示的平面区域. 2.线性规划的有关概念 (1)线性约束条件——由条件列出的一次不等式(或方程)组. (2)线性目标函数——由条件列出的一次函数表达式. (3)线性规划问题:求线性目标函数在约束条件下的最大值或者最 小值问题.

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线性约束条件 (4)可行解:满足

的解(x,y).

(5)可行域:所有可行解 的集合.
(6)最优解:使 目标函数 取得最大值或最小值的可行解. 3.利用图解法解决线性规划问题的一般步骤 (1)作出可行解、可行域.将约束条件中的每一个不等式所表示的 平面区域作出,并求其公共部分; (2)作出目标函数的 等值线 ;

(3)确定最优解.在可行域内平行移动目标函数等值线,从而确定 最优解.

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1.不等式5x-3y-1>0表示的平面区域在直线5x-3y-1=0的( A.左上方 C.右上方 B.左下方 D.右下方

)

解析:如右图,在平面直角坐标系中,作出直线5x-3y-1=0,如右图,
将原点(0,0)代入直线方程得5×0-3×0-1<0, ∴不等式5x-3y-1>0表示的平面区域在直线5x-3y-1=0的右下方. 答案:D

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?x+y+1≥0 ? 2.由不等式组 ?x-y+1≥0 ?x≤0 ?
( ) A.2 1 C. 2

所表示的平面区域的面积是

B.1 D.4

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1 解析:如右图所示阴影面积S= ×2×1=1. 2

答案:B

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[思维拓展]

(1)求平面区域的面积,要先画出不等式组表示的平

面区域,然后根据区域的形状求面积.
(2)求面积时,要注意与坐标轴垂直的直线及区域端点的坐标,这 样易求出底与高,必要时分割区域为特殊图形求解.

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3.小明夫妇经过几年努力打拼,终于在市区购得一处住房,现

需要装修.请木工需付工资每人60元,请瓦工需付工资每人50元,现
有工人工资预算4000元,设木工x人,瓦工y人,请工人的约束条件是 ________.

?60x+50y≤4000 ? * 解析:由题意可得?x∈N . ?y∈N* ? ?6x+5y≤400 ? * 答案:?x∈N ?y∈N* ?

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?x+y≤4 ? 4.已知点P(x,y)满足条件 ?y≥x ?x≥1 ?
为________,最大值为________.

,则x2+y2的最小值

解析:如图可知,P(x,y)满足的点属于阴影部分△ABC, 而x2+y2的最大值为|OC|2, 最小值为|OA|2.

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?x=1 ? 由? ?x+y=4 ? ?x=y ? 由? ?x=1 ?

,得点C(1,3),

,得点A(1,1),

∴|OC|2=( 1+9)2=10,|OA|2=( 2)2=2.

答案:2

10

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热点之一

二元一次不等式(组)表示平面区域

二元一次不等式(组)表示平面区域的判定方法:
1.同号上,异号下.当B(Ax+By+C)>0时,区域为直线Ax+By +C=0的上方,当B(Ax+By+C)<0时,区域为直线Ax+By+C=0的 下方. 2.直线定界、特殊点定域.注意不等式是否可取等号,不可取 等号时直线画成虚线,可取等号时直线画成实线.若直线不过原点, 特殊点常选取原点.

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即时训练

下面给出的四个点中,到直线x-y+1=0的距离 )

?x+y-1<0, ? 2 为 ,且位于? 表示的平面区域内的点是( 2 ?x-y+1>0 ?

A.(1,1) C.(-1,-1)

B.(-1,1) D.(1,-1)

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2 解析:令直线x-y+c=0与x-y+1=0的距离为 应满足: 2 |c-1| 2 = ?c=2或c=0,x-y=0 2 2 ①或x-y+2=0 ②,

经验证(1,1),(-1,-1)在①上,(-1,1)在②上.
?x+y-1<0, ? 而只有(-1,-1)满足? ?x-y+1>0. ?

答案:C

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热点之二

求目标函数的最值

1.利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是:第一
步:在平面直角坐标系内作出可行域;第二步:利用平移直线的方法

在可行域内找到最优解所对应的点;第三步:将最优解代入目标函数
求出最大值或最小值. 2.线性目标函数的最大值和最小值一般在可行域的顶点处或边 界上取得. 3.求线性目标函数的最优解,要注意分析目标函数所表示的几 何意义,通常与截距、斜率、距离等联系.

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4.求线性目标函数的最值: 求二元一次函数 z ? ax ? by(ab ? 0) 的最值,

b z 将函数 z ? ax ? by(ab ? 0) 转化为直线的斜率式:y ? ? x ? a b
z 的最值间接求出z的最值: 通过求直线的截距 b

一般的:当 b ? 0 时,截距 截距 当 b ? 0 时, 截距 截距

z b z b z b z b

取最大时, z 取最大值: 取最小时, z 取最大时, z 取最小时, z 取最小值: 取最小值: 取最大值:

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?x+y-2≥0, ? 1..若实数 x、y 满足?x≤4, 则 s=x+y 的最大值为 ?y≤5, ?
________.

解析:可行域如下图所示,作直线y=-x,当平移直线y= -x至点A处时,s=x+y取得最大值,即smax=4+5=9.
答案:9

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?x+y-3≥0, ? 2 已知实数 x,y 满足?x-y+1≥0, ?x≤2, ?
(1)若 z=2x+y,求 z 的最大值和最小值; y (2)若 z= ,求 z 的最大值和最小值. x [思路探究] (1)中z表示直线在y轴上的截距;

y (2)中 表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率. x

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?x+y-3≥0 ? [课堂记录] 不等式组 ?x-y+1≥0 ?x≤2 ?
图所示.图中阴影部分即为可行域.
?x+y-3=0, ? 由? ?x-y+1=0, ? ?x=2, ? 由? ?x+y-3=0, ? ?x=2, ? 由? ?x-y+1=0, ? ?x=1, ? 得? ?y=2, ? ?x=2, ? 得? ?y=1, ? ?x=2, ? 得? ?y=3, ?

表示的平面区域如下

∴A(1,2);

∴B(2,1);

∴M(2,3).

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(1)∵z=2x+y,∴y=-2x+z,

当直线y=-2x+z经过可行域内点M(2,3)时,直线在y轴上的截距
最大,z也最大,此时 zmax=2×2+3=7. 当直线y=-2x+z经过可行域内点A(1,2)时,直线在y轴上的截距 最小,z也最小,此时 zmin=2×1+2=4. 所以z的最大值为7,最小值为4.

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1 1 y (2)∵kOA=2,kOB= ,∴ ≤ ≤2, 2 2 x 1 所以z的最大值为2,z的最小值为 . 2

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?7x-5y-23≤0, ? 即时训练 已知x、y满足条件:?x+7y-11≤0, ?4x+y+10≥0, ?
求:(1)4x-3y的最大值和最小值; (2)x2+y2的最大值和最小值.

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?7x-5y-23≤0 ? 解:(1)不等式组 ?x+7y-11≤0 ?4x+y+10≥0 ?
阴影所示:

表示的公共区域如下图

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其中A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2),

设z=4x-3y.直线4x-3y=0经过原点(0,0).
作一组与4x-3y=0平行的直线l:4x-3y=t.则当l过C点时,t值 最小;当l过B点时,t值最大. ∴z最大值=4×(-1)-3×(-6)=14, z最小值=4×(-3)-3×2=-18. 故4x-3y的最大值为14,最小值为-18.

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(2)设u=x2+y2,则 u 为点(x,y)到原点(0,0)的距离.结合不 等式组所表示的区域,不难知道:点B到原点距离最大;而当 (x,y)在原点时,距离为0. ∴u最大值=(-1)2+(-6)2=37,u最小值=0, 故x2+y2的最大值为37,最小值为0.

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热点之三

线性规划的实际应用

1.用线性规划解决实际问题的步骤:

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2.求线性规划问题的整点最优解常用以下方法:

(1)平移直线法:先在可行域中画网格,再描整点,平移直线l,最
先经过或最后经过的整点坐标就是最优解. (2)检验优值法:当可行域中整点个数较少时,可将整点坐标逐一 代入目标函数求值,经过比较得出最优解. (3)调整优值法:先求非整点最优解,再调整最优值,最后筛选出 整点最优解.

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即时训练

(2009·四川理)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产

每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、
B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润 3万元,该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超 过18吨,那么该企业可获得最大利润是( A.12万元 C.25万元 ) B.20万元 D.27万元

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解析:设甲、乙两种产品各需生产x吨、y吨,可使利润z最

?3x+y≤13, ? ?2x+3y≤18, 大,故本题即已知约束条件 ? ?x≥0, ?y≥0, ?
=5x+3y的最大值,可求出最优解为 15+12=27,故选择D.
?x=3, ? ? ?y=4, ?

求目标函数z

如下图,故zmax=

答案:D

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从近两年的高考试题来看,二元一次不等式(组)表示的平面区域
(的面积),求线性目标函数的最值,线性规划的实际应用问题等是高考 的热点,题型既有选择题,也有填空题,不排除会在解答题中出现,

难度为中低档;客观题主要考查可行域的求解,目标函数最值的求法, 以及线性规划的实际应用,主观题重点考查线性规划的实际应用.这 部分内容重点考查数形结合思想,分析问题、解决问题的能力.

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[解法一] 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位 和y个单位,所花的费用为z元,则依题意得:z=2.5x+4y,且 x,y满足

?x≥0,y≥0, ? ?12x+8y≥64, ? ?6x+6y≥42, ?6x+10y≥54. ?

?x≥0,y≥0, ? ?3x+2y≥16, 即? ?x+y≥7, ?3x+5y≥27. ?

z在可行域的四个顶点A(9,0),B(4,3),C(2,5),D(0,8)处的值 分别是

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zA=2.5×9+4×0=22.5,
zB=2.5×4+4×3=22, zC=2.5×2+4×5=25, zD=2.5×0+4×8=32. 比较之,zB最小,因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个 单位的晚餐,就可满足要求.

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[解法二] 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位 和y个单位,所花的费用为z元,则依题意得:z=2.5x+4y,且

?x≥0,y≥0, ? ?12x+8y≥64, x,y满足? ?6x+6y≥42, ?6x+10y≥54. ?

?x≥0,y≥0, ? ?3x+2y≥16, 即? ?x+y≥7, ?3x+5y≥27. ?

让目标函数表示的直线2.5x+4y=z在可行域上平移.由此可 知z=2.5x+4y在B(4,3)处取得最小值. 因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐, 就可满足要求.

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?x+y-11≥0 ? 1.(2010· 北京高考)设不等式组 ?3x-y+3≥0 ?5x-3y+9≤0 ?

表示的平面

区域为D.若指数函数y=ax的图象上存在区域D上的点,则a的取 值范围是( A.(1,3] C.(1,2] ) B.[2,3] D.[3,+∞)

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解析:先画出可行域,如下图,y=ax 必须过A点及图中阴影部

分.

∵A(2,9),∴9=a2,∴a=3. ∵a>1,∴1<a≤3,故选A. 答案:A

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2.(2010· 浙江高考)若实数x,y满足不等式组

?x+3y-3≥0, ? ?2x-y-3≤0, 且x+y的最大值为9,则实数m=( ?x-my+1≥0, ?
A.-2 C.1 B.-1 D.2

)

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?x+3y-3≥0, ? 解析:画出 ? ?2x-y-3≤0 ?

表示的平面区域如下图,又x-

my+1=0.

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恒过(-1,0)点,当m<0时,x+y无最大值,故选项A、B错 误,因此m>0,又满足条件的可行域必须是一个三角形,联立
?2x-y-3=0, ? ? ?x-my+1=0, ?

3m+1 5 解得A( , ), 2m-1 2m-1

3m+1 5 ∴ + =9,解得m=1,故选C. 2m-1 2m-1

答案:C

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第六章 不等式第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 天天向上 01

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