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【数学】1.1.2《弧度制》课件(新人教B版必修4)


弧度制及换算

角度制
在初中几何里,我们学习过角的度量, 在初中几何里,我们学习过角的度量, 1度的角是怎样定义的呢? 度的角是怎样定义的呢? 度的角是怎样定义的呢

1 度的角。 周角的 为1度的角。 度的角 360

引入:圆心角、弧长和半径的关系: 引入:圆心角、弧长和半径的关系:
AB A′B′ = =定值, 定值, 定值 r r′

B O

B’

弧长为l,半径OA为 , ? 设α=n?, AB 弧长为 ,半径 为r, A A' 2π r l π , = n? 则 l = n? , 360 r 180 结论: 结论: 可以看出, 可以看出,等式右端不含 可用圆的弧长与半 径的比值作单位去 半径,表示弧长与半径的 度量角。 半径,表示弧长与半径的 度量角。 比值跟半径无关,只与α的 比值跟半径无关,只与 的 大小有关。 大小有关。

定义: 定义:
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 弧 度的角,弧度记作 度的角,弧度记作rad。这种以弧度为单位来 。 度量角的制度叫做弧度制。 度量角的制度叫做弧度制。

可以略去不写。 注:单位rad可以略去不写。 单位 可以略去不写

弧度制与角度制相比: 弧度制与角度制相比:
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单 弧度制是以“弧度” 位制,角度制是以“ 位制,角度制是以“度”为单位来度量角的单 位制 (2)1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 ) 弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 1 心角的大小, 心角的大小,而1度是圆周 度是圆周 的所对的圆心 360 角的大小; 弧度 弧度≠1? 角的大小; 1弧度 ? (3)以弧度和度为单位的角,都是一个与半 )以弧度和度为单位的角,都是一个与半 的定值。 径无关的定值 径无关的定值。

弧度制与角度制的换算
零角既是0? 又是0 ① 零角既是 ?角,又是 rad角 角 平角、周角的弧度数: ② 平角、周角的弧度数: 180°=π rad ° π 360°=2π rad ° π
o

1°= °

π
180

rad

? 180 ? o o 1 rad = ? ? ≈ 57.3 = 5718' ? π ?
l 的弧度数的绝对值: ③角α的弧度数的绝对值 α = r

用弧度制表示弧长公式: 用弧度制表示弧长公式:
弧长公式: ① 弧长公式: l = r ? α
l 由公式: 由公式:α = ? l = r ? α r

nπr 简单. 比公式 l = 简单 180

弧长等于弧所对的圆心角弧度的绝对值 弧长等于弧所对的圆心角弧度的绝对值 与半径的积. 与半径的积

用弧度制表示扇形面积公式: 用弧度制表示扇形面积公式:
1 ② 扇形面积公式 S = lR 2

其中l是扇形弧长, 是圆的半径 是圆的半径。 其中 是扇形弧长,R是圆的半径。 是扇形弧长 证明:设扇形所对的圆心角为 证明:设扇形所对的圆心角为n?(αrad),则 ,

n 1 2 S =πR ? = R ?α 360 2
2

又 αR=l,所以 ,

1 S = lR 2

化成弧度( 表示)。 例1. 把112?30′化成弧度(用π表示)。 化成弧度 112?30′=112.5× ×
8π 化成度。 例2. 把 化成度。 5
8π 8π 180 = ×( )° = 288° 5 5 π

π

180

=

5π . 8

填写下表: 例3. 填写下表:
角度 弧度 角度 弧度 角度 弧度 0° ° 30° °
π 6

45° °
π
4

60° °
π
3

90° °
π
2

120° °
2π 3

0

135° 150° 180° 210° 225° 240° ° ° ° ° ° ° 4π 7π 5π 3π 5π
4 6

π

6

4

3

270° 300° 315° 330° 360° ° ° ° ° °
3π 2 5π 3
7π 4 11π 6



扇形AOB中, 例4. 扇形 中 半径是50米,求 半径是 米
π

所对的圆心角是60?, AB 所对的圆心角是 , 的长l 的长 AB

解:因为60?= 3 ,所以 因为 所以 π l=α·r= 3×50≈52.5 . 的长约为52.5米. 答: AB 的长约为 米

例5. 在半径为R的圆中,240?的中心角所对的 在半径为 的圆中, ? 的圆中 弧长为 中心角等于 ,面积为2R2的扇形的 面积为 弧度。 弧度。

4 :(1) 根据l=αR,得 解:( )240?= π ,根据 , 3
4 l = πR 3 1 2 1 (2)根据 )根据S= lR= αR ,且S=2R2. 2 2

所以 α=4.

与角- 的终边相同, 例6.与角-1825?的终边相同,且绝对值最小 与角 的终边相同 的角的度数是___,合___弧度。 的角的度数是___,合___弧度。 ___, 弧度 解:-1825?=-5×360?-25?, :- - × - , 所以与角- 的终边相同, 所以与角-1825?的终边相同,且绝对值 的终边相同 最小的角是- 最小的角是-25?.
5 合 ? 36 π

已知一半径为R的扇形 的扇形, 例7. 已知一半径为 的扇形,它的周长等于 所在圆的周长, 所在圆的周长,那么扇形的中心角是多少弧 度?扇形的面积是多少? 扇形的面积是多少? 解:周长=2πR=2R+l,所以l=2(π-1)R. 周长=2πR=2R+l,所以l=2(π- 所以扇形的中心角是2(π- 所以扇形的中心角是 -1) rad. 扇形面积是 (π ? 1)R 2


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