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2014届高三数学(文)一轮总复习二元一次不等式组与简单的线性规划问题






二元一次不等式

组与简单的线性规划问题

基础自主梳理 考向互动探究

最新考纲
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面 区域表示二元一次不等式组. 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性 规划问题,并能加以解决.

1. 不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0 在直角坐标平面内表示的区域 (用阴影部分表示),应是下列图形 中的( C )

解析:(x-2y+1)(x+y-3)≤0 ?
? x ? 2 y ? 1 ? 0, ? x ? 2 y ? 1 ? 0, 或? ? ?x ? y ? 3 ? 0 ? x ? y ? 3 ? 0.

结合图形知 C 是正确答案.故选 C.

2.(2012 重庆市南开中学模拟)不等式
? x ? y ? 2, 组 ?2 x ? y ? 4, 所围成的平面区域的面积 ? ?x ? y ? 0 ?

为( D (A)3 2

) (B)6 2 (C)6 (D)3

解析:不等式组表示的平面区域为图中 Rt△ABC,易求 B(4,4),A(1,1),C(2,0) ∴S△ABC=S△OBC-S△AOC

1 1 = ×2×4- ×2×1=3. 2 2
故选 D.

3.(2013 成都市双流中学高三月考)已知点 O 为坐 标原点,N(-1,1),若点 M(x,y)为平面区域

? x ? y ? 2, ? ? ? ? x ? 1, 上的一个动点,则 ON · OM 的 ? y?2 ?
取值范围为( D ) (A)[-1,0] (B)[-1,2] (C)[0,1] (D)[0,2]

解析:

?

ON OM

·

?

=-x+y,

令 z=-x+y 画出可行域如 图所示. 平移直线:x-y=0, 当直线过 A、B 两点时,z 分别取得最小值与最大 值,∴zmin=0,zmax=2,故选 D.

4.某实验室需购买某种化工原料 106 千 克,现有市场上该原料的两种包装,一种 是每袋 35 千克,价格为 140 元;另一种是 每袋 24 千克,价格为 120 元,在满足需要 的条件下,最少需花费 元.

解析:设需要 35 千克的 x 袋,24 千克的 y 袋, 最少需花费 z 元,

?35 x ? 24 y ? 106 , ? 由题意,得 ? x ? N, ? y ? N. ?
求 z=140x+120y 的最小值. 把实际问题转化为数学问题,在可行域内 求出 zmin=500,即当 x=1,y=3 时,花费最少. 答案:500

1.二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成的有序 数对(x,y),叫做二元一次不等式(组)的解,所有这样 的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式 (组)的解集. 2.二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1)在平面直角坐标系中二元一次不等式(组)表示的 平面区域

不等式 Ax+By+C >0 Ax+By+C ≥0 不等 式组

表示区域 直线 Ax+By+C=0 某一侧的所有点 组成的平面区域 不包括 边界 包括 边界

各个不等式所表示平面区域 的交集

(2)平面区域的确定 对于直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点,把 它的坐标(x,y)代入 Ax+By+C,所得的符号 都相同,所以只需在此直线的同一侧取某 个特殊点(x0,y0)作为测试点,由 Ax0+By0+C 的符号即可断定 Ax+By+C>0 表示的是直线 Ax+By+C=0 哪一侧的平面区域.

3.线性规划的有关概念 见附表

质疑探究:最优解一定唯一吗?
提示:不一定.当线性目标函数对应的 直线与可行域多边形的一条边平行时, 最优解可能有多个甚至无数个.

二元一次不等式(组)表示的 平面区域

【例 1】 (2013 成都七中高三检测)在平面直角

坐标系中,若不等式组

? x ? y ?1 ? 0 ? ? x ? 1 ? 0 (a 为 ?ax ? y ? 1 ? 0 ?

常数)所表示的平面区域的面积等于 2,则 a 的值 为( (A)-5 ) (B)1 (C)2 (D)3

解析:由题若 a≤-1,则不等 式所表示区域不存在.故 a>-1.平面区域如图所示,

? y ? ax ? 1 由? 得 ? x ?1
A(1,a+1),

? x ? 1, 由? 得 B(1,0), ?x ? y ? 1 ? 0


? y ? ax ? 1, 得 C(0,1). ? ?x ? y ? 1 ? 0

∵△ABC 的面积为 2,且 a>-1, ∴S△ABC

1 = |a+1|=2, 2

∴a=3.故选 D.

(1)确定二元一次不等式(组) 表示的平面区域的方法是:“直线定界,特 殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代 入不等式组.若满足不等式组,则不等式 (组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧 的那部分区域;否则就对应与特殊点异侧 的平面区域.

(2)当不等式中带等号时,边界为实线,不带 等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点. (3)求平面区域的面积,要先画出不等式(组) 表示的平面区域,然后根据平面区域的形状 求面积,必要时分割区域为特殊图形求解.

变式训练 1-1:(2013 绵阳普明中学“二诊”模拟) 实数 x,y 满足 图形的面积为( (A)-1 (C) (B)2 (D)1

? y ? x ?1, 则不等式组所围成 ? ? y ? 1,
)

1 2

解析:不等式组

? y ? x ?1, ? ? ? y ? 1,
? x ? 1, ? ? y ? 1 ? x, ? y ?1 ?

? x ? 1, ? ? y ? x ? 1, 或 ? y ?1 ?
如图所示.

所对应平面区域

易求得 A(0,1),B(2,1),C(1,0),

1 故所求图形的面积为 ×|2-0|×1=1. 2
故选 D.

求目标函数的最值问题 【例 2】 (2012 年高考安徽卷)若 x、y 满
? x ? 0, ? 足约束条件 ? x ? 2 y ? 3, 则 x-y 的取值范围 ?2 x ? y ? 3, ?



.

思维导引:首先根据线性约束条件画出 可行域,把目标函数 x-y 转化为 y=x-z, 利用截距判断 z 的取值.

解析:(1)作出可行域,如图中阴影部分;

(2)作出 x-y=0 并平移,判断 A,B 点坐标;

? x ? 2 y ? 3, (3)由 ? 解得 A(1,1), ?2 x ? y ? 3, ?2 x ? y ? 3, 由? 解得 B(0,3), ? x ? 0,

∴(x-y)max=1-1=0,(x-y)min=0-3=-3, ∴x-y ? [-3,0]. 答案:[-3,0]

利用线性规划求目标函数 最值的步骤 (1)画出约束条件对应的可行域; (2)将目标函数视为动直线,并将其平移 经过可行域,找到最优解对应的点; (3)将最优解代入目标函数,求出最大值 或最小值.

变式训练 2 1:(2012 年高考湖北卷)若变
? x ? y ? ?1, ? 量 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则目标函 ?3x ? y ? 3, ?

数 z=2x+3y 的最小值是

.

解析:法一 作出不等式组

? x ? y ? ?1, ? ? x ? y ? 1, 所表示的可行域(如 ?3 x ? y ? 3 ?
图的△ABM 及其内部).

? x ? y ? 1, 可知当直线 z=2x+3y 经过 ? 的交点 ?3x ? y ? 3

M(1,0)时,z=2x+3y 取得最小值,且 zmin=2.

? x ? y ? ?1, ? 法二 作出不等式组 ? x ? y ? 1, 所表 ?3 x ? y ? 3 ?
示的可行域(如图的△ABM 及其内部).目标函数 z=2x+3y 在△ABM 的三个端点 A(2,3),B(0,1), M(1,0)处取的值分别为 13,3,2,比较可得目标 函数 z=2x+3y 的最小值为 2. 答案:2

变式训练 2 2:已知实数 x、y 满足
? x ? y ? 6 ? 0, ? 若 z=ax+y 的最大值为 3a+9, ? x ? y ? 0, ? x ? 3, ?

最小值为 3a-3,则实数 a 的取值范围 为 .

解析:作出 x、y 满足的可行域,如图中阴影 部分所示,则 z 在 点 A 处取得最大值, 在点 C 处取得最小 值,又 kBC=-1,kAB=1, ∴-1≤-a≤1, 即-1≤a≤1. 答案:[-1,1]

线性规划的实际应用 【例 3】 (2012 年高考江西卷)某农 户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不 超过 50 亩,投入资金不超过 54 万元, 假设种植黄瓜和韭菜的产量、 成本和 售价如表

年产量/ 亩

年种植成本/ 亩

每吨售价

黄 0.55 万 4吨 1.2 万元 瓜 元 韭 6吨 0.9 万元 0.3 万元 菜 为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面 积(单位:亩)分别为( ) (A)50,0 (B)30,20 (C)20,30 (D)0,50

审题指导: 已知与待求 1.要求黄瓜和韭 菜的种植 面积; 2.种植面积不超 过 50 亩,投资不 超过 54 万元及 表格数据; 3.表格中的成 本、产量、 售价

转化策略 1.设出两种种植面积分别为 x、y 亩; 2.可以得出线性约束条件

? x ? y ? 50, ?1.2 x ? 0.9 y ? 54, ? ? ? x ? 0, ? y ? 0; ?
3.可以得出目标函数种植利润表达 式,利用线性规划知识求解

解析:设黄瓜的种植面积为 x 亩,韭菜的种植 面积为 y 亩,
? x ? y ? 50, ? ?1.2 x ? 0.9 y ? 54, 则由题意知 ? ? x ? 0, ? y ? 0, ? ? x ? y ? 50, ? ?4 x ? 3 y ? 180, 即? ? x ? 0, ? y ? 0, ?

目标函数 z=0.55×4x+0.3×6y9 1.2x-0.9y=x+ 10

y,

作出可行域如图, 由 图象可知当直线 l
10 y=9

x向

右平移经过点 E 时, z 取得最大值,

? x ? y ? 50, 由? ?4 x ? 3 y ? 180,

? x ? 30, 解得 ? ? y ? 20,

故选 B.

利用线性规划解决实际问题 的求解步骤如下: (1)审题:仔细阅读材料,抓住关键,准确理解题 意,明确有哪些限制条件,主要变量有哪些.由 于线性规划应用题中的量较多,为了了解题目 中量与量之间的关系,可以借助表格或图形.

(2)设元:设问题中起关键作用的(或关联 较多的)量为未知量 x,y,并列出相应的不 等式组和目标函数. (3)作图:准确作图,平移找点(最优解). (4)求解:代入目标函数求解(最大值或最 小值). (5)检验:根据结果,检验反馈.

变式训练 3-1:(2013 成都树德中学高三适应考 试)某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品, 由乙车间加工出 B 产品.甲车间加工一箱原料需 耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品,每千 克 A 产品获利 40 元,乙车间加工一箱原料需耗 费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品,每千克 B 产品获利 50 元.甲、乙两车间每天共能完成至

多 70 箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时 总和不得超过 480 小时,甲、 乙两车间每天总获利 最大的生产计划为( ) (A)甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱 (B)甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 (C)甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 (D)甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱

解析:设甲车间加工原料 x 箱,乙车间加工原料 y 箱,

? x ? y ? 70, ? 则 ?10 x ? 6 y ? 480 , ? x, y ? N , ?
目标函数 z=280x+200y,结合图象可得: 当 x=15,y=55 时,z 最大.故选 B.

【例题】 某公司计划 2013 年在甲、 乙两个 电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广 告总费用不超过 9 万元.甲、乙电视台的广 告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/ 分钟,假定甲、乙两个电视台为该公司所做 的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为

0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配 在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使 公司的收益最大?最大收益是多少万元? 解:设该公司在甲电视台和乙电视台做 广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟,总收 益为 z 元, 由题意得

? x ? y ? 300, ? ?500 x ? 200 y ? 90000, ? ? x ? 0, ?y ? 0 ?

目标函数 z=3000x+2000y.

二元一次不等式组等价于

? x ? y ? 300 , ?5 x ? 2 y ? 900 , ? ? ? x ? 0, ? y ? 0. ?
作出二元一次不等式组所表示的平面区 域, 即可行域,如图阴影部分所示.

作直线 l:3000x+2000y=0,即 3x+2y=0, 平移直线 l,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函

? x ? y ? 300 , 数取得最大值. 解 ? ?5 x ? 2 y ? 900 , ? x ? 100 , 得? ? y ? 200 .
∴点 M 的坐标为(100,200),

∴zmax=3000×100+2000×200=700000(元). 即该公司在甲电视台做 100 分钟广告, 在乙电视台做 200 分钟广告, 公司的收益最大,最大收益是 70 万元.

对目标函数的几何意义理解不到位出错
? x ? 4 y ? 3 ? 0, ? 【典例】 变量 x、y 满足 ?3x ? 5 y ? 25 ? 0, ?x ? 1 ?

y (1)设 z= ,求 z 的最小值; x

(2)设 z=x +y ,求 z 的取值范围; 2 2 (3)设 z=x +y +6x-4y+13,求 z 的取值范围.

2

2

正确解析:由约束条件

? x ? 4 y ? 3 ? 0, ? ?3 x ? 5 y ? 25 ? 0, ? x ? 1, ?
作出(x,y)的可行域如图所示.

? x ? 1, ? 22 ? 由? 解得 A ?1, ?. ? 5 ? ?3 x ? 5 y ? 25 ? 0,

? x ? 1, 由? ? x ? 4 y ? 3 ? 0,
解得 C(1,1).

? x ? 4 y ? 3 ? 0, 由? 解得 B(5,2). ?3 x ? 5 y ? 25 ? 0,

y y?0 (1)∵z= = . x x?0

∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率. 观察图形可知 zmin=kOB
2 2

2 = . 5

(2)z=x +y 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的 距离的平方,结合图形可知,可行域上的点到原点 的距离中, dmin=|OC|= ∴2≤z≤29.

2 ,d

max

=|OB|=

29 .

(3)z=x +y +6x-4y+13=(x+3) +(y-2) 的几何 意义是可行域上的点到点(-3,2)的距离的平 方.结合图形可知,可行域上的点到(-3,2)的 距离中, dmin=1-(-3)=4,dmax= (?3 ? 5) ? (2 ? 2) =8.
2 2

2

2

2

2

∴16≤z≤64.

(1)本题主要考查的是非线性 目标函数的最值问题,解决的关键是理解 目标函数的几何意义,利用几何意义进行 求解. (2)本题出错的主要原因是缺乏数形结合 的应用意识,不知道目标函数的几何意义. (3)本题在求解第(2)问、第(3)问时若忽视 了距离的平方,会导致求出距离后直接得 出答案,导致错误.

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