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德化一中2011—2012学年度高三数学(理)周练2


德化一中 2011—2012 学年度高三数学(理)周练 2
班级____ 座号_____ 姓名______ 一、选择题:本大题共 10 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把 答案填在答题卡的相应位置. 1.设 p、q 为简单命题,则“p 且 q”为假是“p 或 q”为假的( ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 2.若函数 f ( x) ? x 2 ? D. 既不充分也不必要条件

a (a ? R) ,则下列结论正确的是( ) x A. ?a ? R , f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数 B. ?a ? R , f ( x) 是偶函数 C. ?a ? R , f ( x) 在 (0, ??) 上是减函数 D. ?a ? R , f ( x) 是奇函数
x

a a ) 3. 若函数y= f (x)是函数 y ? a ( ? 0, 且 ?1 的反函数,其图象经过点( a , a ) ,则f (x)= (
A. log 2 x B. log 1 x
2



C.

1 2x

D. x

2

4. 已知定义在R 上的奇函数 f (x) ,满足 f (x ?4) ?? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,则( A. f (?25) ? f (11) ? f (80) C. f (11) ? f (80) ? f (?25)
x 2

).

B. f (80) ? f (11) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11)

5. 在 y ? 2 , y ? log 2 x, y ? x , 这三个函数中,当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时,使

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 恒成立的函数的个数是( ) )? 2 2 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 3 2 6.对于函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 2 ,已知 f (?2) f (0) ? 0 ,则函数 f ( x) 的零点所在区间是( 3 3 1 1 A. (?2, ? ) B. (? , ?1) C. (?1, ? ) D. ( ? , 0) 2 2 2 2 f(



7. 已知函数 y ? f (x) 和 y ? g (x) 在 [?2,2] 的图象如下所示, 给出下列四个命题, 其中假命题是 ( A . 方 程 f [ g ( x)] ? 0 有 且 仅 有 6 个 根 B.方程 g[ f ( x)] ? 0 有且仅有 3 个根 C . 方 程 f [ f ( x)] ? 0 有 且 仅 有 5 个 根 D.方程 g[ g ( x)] ? 0 有且仅有 4 个根 8. 设 f ? x ? ? A. ?



1 x

1? x , 又记 f1 ? x ? ? f ? x ? , f k ?1 ? x ? ? f ? f k ? x ? ? , k ? 1, 2,?, 则 f 2011 ( x) ? ( 1? x x ?1 1? x B. x C. D. x ?1 1? x
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9.若函数 f ( x) ? x ? 3x ? a 有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围是(
3



A. ? ?2, 2?

B. ? ?2, 2?

C. ? ??, ?1?

D. ?1, ?? ?
)

10.函数 f ( x) 的定义域为 R,若 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,则( A. f ( x) 是偶函数 B. f ( x) 是奇函数 C. f ( x) ? f ( x ? 2)

D. f ( x ? 3) 是奇函数

二、填空题:把答案填在答题卡的相应位置. 11.若 A ? (??,1), B ? (a, ??), A ? B ? R ,则满足条件的最大的整数a ? .

2 12. 已知命题P: f ( x) ? 1 ? a ? 3x 在 x ? ? ??,0? 上有意义,命题Q:函数 y ? lg(ax ? x ? a) 的定义域为

R.如果P 和Q 有且仅有一个正确,则a 的取值范围是

_.

13.已知函数 f ( x) 为 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x( x ? 1) .若 f (a) ? ?2 ,则实 数a? .

14. 若函数在 f ( x) ? ?

1 3 x ? x 在(a, 2a ? 1) 上有最大值,则实数a 的取值范围为 3

_.

max 15.对于任意实数 x1,x2, ? x1,x2 ? 表示 x1,x2 中较大的那个数,则当 x ? R 时,函数
f(x)=max 2 ? x ,x ,x ? ? ?3, ? 的最大值与最小值的差是
2

?

?

? ?

1? 2?

_.

三、解答题:解答写在答题卡相应位置,应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知函数 f ( x) ?

2 3 x ? 2ax 2 ? 3x( x ? R ). 3

(1)若 a ? 1 ,点 P 为曲线 y ? f (x) 上的一个动点,求以点 P 为切点的切线斜率取最小值时的 切线方程; (2)若函数 y ? f ( x)在(0,??) 上为单调增函数,试求满足条件的最大整数 a.

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17.已知二次函数 y ? g (x) 的导函数的图象与直线 y ? 2 x 平行,且 y ? g (x) 在 x =-1 处取得最小 值 m-1(m ? 0 ).设函数 f ( x) ?

g ( x) , 曲线 y ? f (x) 上的点 P 到点 Q(0,2)的距离平方的最小值为 x

2 2 ? 2 ,求 m 的值.

18. 某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两桥墩相距 m 米,余下工程只需要建两端桥墩之间的 桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程 费用为 (2 ?

x ) x 万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下

工程的费用为 y 万元。 (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)当 m =640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小.

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19.已知函数 f ( x) ? lnx ? a( x ? x)
2

(1)若 a ? ?1 ,求 f ( x) 的极值; (2)若 f ( x) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (3)若 g ?x ? ? ? f ?x ? ? a? ? x ?

? ?

1 3 ? ? x 2 ? 在 ?1, e ? 上的最大值是 ? ,求 a 的值. x 2 ?

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德化一中 2011—2012 学年度高三数学(理)周练 2 参考答案
一、选择题 1-5 ABBDB 二、填空题 11.0 6-10 CBCAD 13. ?1 14.0<a<1 15.5
2 2

1 12. a ? 或a ? 1 2

三、16.解: (1)设切线的斜率为 k,则 k ? f '( x) ? 2 x ? 4 x ? 3 ? 2( x ? 1) ? 1 , 故当 x ? 1 时,

5 5 kmin ? 1 , 又 f (1) ? ,所以所求切线的方程为: y ? ? x ? 1 3 3


即 3x ? 3 y ? 2 ? 0. 2 )

f ?( x) ? 2 x 2 ? 4ax ? 3 , 要使 y ? f (x) 为单调增函数,必须满足 f ' ?x ? ? 0
即对任意的 x ? (0,??), 恒有f ?( x) ? 0 , f ?( x) ? 2 x ? 4ax ? 3 ? 0
2

?a ?

2x 2 ? 3 x 3 ? ? 4x 2 4x

, 而

x 3 6 6 6 , 当且仅当 x ? 时, 等号成立, 所以 a ? ? ? 2 2 2 4x 2

所求满足条件的 a 值为 1. 17.解 : 设 g ? x ? ? ax ? bx ? c ,则 g ? ? x ? ? 2 ax ? b ; 又 g ? ? x ? 的图象与直线 y ? 2 x 平行,
2

? 2a ? 2 ,

a ?1 ;

又 g ? x ? 在 x ? ?1 取 极 小 值 ,

?

b , ?1 ? b ? 2 . 2

? g ? ?1? ? a ? b ? c ? 1 ? 2 ? c ? m ? 1 , c ? m ;
设P(x0,y0), 则

f ? x? ?

g ? x? x

? x?

m ?2, x

PQ ? x ? ? y0 ? 2 ?
2 2 0

2

? m? ? x ? ? x0 ? ? x0 ? ?
2 0

2

? 2 x0 2 ?

m2 ? 2m ? 2 2m 2 ? 2m ? (2 2 ? 2) m ? 2 2 ? 2 2 x0

?m ? 1
18.解 (1)设需要新建 n 个桥墩, (n ? 1) x ? m,即n= 所以

m ?1 x m m y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x )x=256( -1)+ (2 ? x ) x x x

?

256m ? m x ? 2m ? 256 (0 ? x ? m) x
3 256m 1 ? 1 m ? mx 2 ? 2 ( x 2 ? 512) x2 2 2x

(2) 由(Ⅰ)知, f '( x) ? ?
3 2

令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 512 ,所以 x =64 当 0< x <64 时 f '( x) <0,

f ( x) 在区间(0,64)内为减函数;
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当 64 ? x ? 640 时, f '( x) >0. f ( x) 在区间(64,640)内为增函数, 所以 f ( x) 在 x =64 处取得最小值,此时, n ? 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小。 19.解: (1) f '( x) ?

m 640 ?1 ? ? 1 ? 9. x 64

1 2ax 2 ? ax ? 1 ? 2ax ? a ? x x 2 ?2 x ? x ? 1 ?(2 x ? 1)( x ? 1) 当 a ? ?1 时, f '( x) ? ? x x 1 由 f '( x) ? 0,? x ? ? , 或 x ? 1 。 2
x (0,1) + 单调递增 极大值 1

(1, ??)
— 单调递减

f '( x)

f ( x)

? x ? 1 时, f极大 ( x) ? 0 ,无极小值。
(2)? f ( x) 存在单调递减区间, f '( x) ?

2ax 2 ? ax ? 1 x 2 ? f ' (x ) 在 (0, ??) 内有解,即 2ax ? ax ? 1 ? 0 在 (0, ??) 内有解。 ? 0 1 若 a ? 0 ,则 f '( x) ? ? 0 , f ( x) 在 (0, ??) 单调递增,不存在单调递减区间; x 2 若 a ? 0 ,则函数 y ? 2ax ? ax ? 1 的图象是开口向上的抛物线,且恒过点(0,1) ,要
?? ? a 2 ? 8a ? 0 ? 2 使 2ax ? ax ? 1 ? 0 在 (0, ??) 内有解,则应有 ? ?a ?0 ?? ? 2 ? 2a ?a ? 0 或 a ? 8 ,由于 a ? 0 ,?a ? 8 ; 2 若 a ? 0 ,则函数 y ? 2ax ? ax ? 1 的图象是开口向下的抛物线,且恒过点(0,1) ,

2ax2 ? ax ? 1 ? 0 在 (0, ??) 内一定有解。 综上, a ? 0 或 a ? 8 。 a x?a (3)由已知得 g ? x ? ? ? ln x ,有 g ?? x ? ? ? 2 x x ①若 a ? ?1, 则x ? a ? 0, 即 g ??x ? ? 0在?1, e? 上恒成立,此时 g ? x ? 在 ?1, e ? 上为减函数, 3 3 ? g ?x ?max ? g ?1? ? a ? ? ? ?1, 所以a ? ? 舍去. 2 2 ②若 a ? ?e, 则x ? a ? 0, 即 g ??x ? ? 0在?1, e? 上恒成立,此时 g ? x ? 在 ?1, e ? 上为增函数, a 3 e ? g ?x ?max ? g ?e? ? ? 1 ? ? ? ?1, 所以a ? ? 舍去. e 2 2 ③ ? e ? a ? ?1, 令g ??x ? ? 0得x ? ?a , 当 1 ? x ? ?a时,g??x ? ? 0,? g ??x ?在?1 ? a ?上为增函数; g 当 ? a ? x ? e时, ??x ? ? 0,? g ?x ?在?? a, e?上为减函数, 3 ? g?x ?max ? g ?? a ? ? ?1 ? ln ?? a ? ? ? , 解得a ? ? e . 2 综上, a的取值为- e .
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