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【全国百强校】河北省正定中学2016届高三上学期第五次月考数学(理)试题


高三年级第五次月考

数学试卷(理)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页.第Ⅱ卷 3 至 5 页.考试时间 120 分钟,满分 150 分. 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷的答题卡上. 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号, 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卷面清洁,不折叠,不破损.

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共有 12 个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知 a ? R ,若 A. ?2

1 ? ai 为实数,则 a ? 2?i 1 1 B. ? C. 2 2
B. y ? x sin x C. y ? lg

D. 2

2.下列四个函数中,既是定义域上的奇函数又在区间 (0,1) 内单调递增的是 A. y ?

x

1? x 1? x

D. y ? e ? e
x

?x

?x ? 0 ? 3.已知实数 x 、 y 满足 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ?x ? y ?1 ? 0 ?
A.

1 2

B. 1

C. 2

D. 4

2 2 4.直线 x ? y ? m ? 0 与圆 x ? y ? 2 x ? 1 ? 0 有两个不同交点的一个充分不必要条件

是 A. 0 ? m ? 1 B. ?4 ? m ? 2 C. m ? 1 D. ?3 ? m ? 1

5.已知 sin ? ? 2 cos ? ? 3 ,则 tan ? ?

A.

2

B.

2 2

C. ? 2

D. ?

2 2

6.执行如图所示的程序框图,若输入 p ? 5, q ? 6 ,则输出的 a , i 值分 别为 A.5,1 B.5,2 C.15,3 D.30,6 7. 将函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(| ? |?

?
2

) 的图象向左平移

? 个单位后 6

的图象关于原点对称,则函数 f ( x ) 在 [0,

? ] 上的最小值为 2
D.

A. ?

3 2

B. ?

1 2

C.

1 2

3 2

8.在菱形 ABCD 中,对角线 AC ? 4 , E 为 CD 的中点,则 AE ? AC ? A. 8 A. 6 B. 10 B. 5 C. 4 C. 12 D. 14 D. 5.5 9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 10.某校高三理科实验班有 5 名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自 主招生考试,每人限报一所高校.若这三所高校中每个学校都至少有 1 名同学报考,那么这 5 名同学不同的报考方法种数共有 A.144 种 11.设 F1 , F2 为椭圆 B.150 种 C.196 种 D.256 种

??? ? ??? ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,且 | F1 F2 |? 2c ,若椭圆上存 a 2 b2

2 在点 P 使得 | PF 1 | ? | PF 2 |? 2c ,则椭圆的离心率的最小值为

A.

1 2

B.

1 3

C.

2 2

D.

3 3

x 12.设函数 f ( x) ? e (2 x ? 1) ? ax ? a ,其中 a ? ?1 ,若关于 x 不等式 f ( x) ? 0 的整数解

有且只有一个,则实数 a 的取值范围为 A. ( ?1, ?

3 ] 2e

B. ( ?1,

3 ] 2e

C. ( ?

3 3 ,? ] 4 2e

D. ( ?

3 3 , ] 4 2e

一、CDCAB 二、13. ?55

DACBB 14.

DA

27 4

15.

9? 16

16.4

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.请将答案填写在答题纸上. 13.在 (1 ? x)6 ? (2 ? x) 的展开式中含 x 的项的系数是
3



an ?1 ? an a ? 2 ,则 n 的最小值为 . n n 15.已知正方体 ABCD ? A 1C 的中点,则三棱锥 1B 1C1 D 1 的棱长为 1,点 E 是线段 B
14.已知数列 {an } 满足 a1 ? 15 ,

A ? DED1 外接球体积为
16. F 是双曲线 C : x ?
2



y2 ? 1 的右焦点, C 的右支上一点 P 到一条渐近线的距离为 2, 4

在另一条渐近线上有一点 Q 满足 FP ? ? PQ ,则 ? ?

??? ?

??? ?



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 在锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,已知 A, B, C 依次成等差数列,且

b ? 3, 求 a ? c 的取值范围.
17.解:? 角 A, B, C 成等差数列 根据正弦定理的

?B ?

?
3

……………………………2 分

a b c ? ? ?2 sin A sin B sin C ? a ? 2sin A, c ? 2sin C ? a ? c ? 2sin A ? 2sin C ? 2sin A ? 2sin( A ? ) 3

?

3 3 ? ? 2( sin A ? cos A) ? 2 3 sin( A ? ) 2 2 6
又 ?ABC 为锐角三角形,则

…………………………6 分

?
6

? A?

? ?
2 3 ,

? A?

?
6

?

2? 3

…………… ……8 分

? 3 ? sin( A ? ) ? ( ,1] 6 2

?a ? c ? (3, 2 3]
18.(本小题满分 12 分)

…………………………10 分

已知数列 {an } 的各项均是正数,其前 n 项和为 Sn ,满足 Sn ? 4 ? an (n ? N*) . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

3 1 (n ? N *) ,数列 {bn ? bn?2 } 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? . 4 2 ? log 2 an

18.解: (1)由 Sn ? 4 ? an ,得 S1 ? 4 ? a1 ,解得 a1 ? 2 …………2 分 而 an?1 ? Sn?1 ? Sn ? (4 ? an?1 ) ? (4 ? an ) ? an ? an?1 ,即 2an?1 ? an

?

an ?1 1 ? an 2

………………………………4 分

可见数列 {an } 是首项为 2,公比为

1 的等比数列. 2
……………………………… 6 分

1 1 ? an ? 2 ? ( ) n ?1 ? ( ) n ? 2 ; 2 2
(2)? bn ?

1 1 1 ? ? 2 ? log 2 an 2 ? (2 ? n) n
………………8 分

? bnbn ? 2 ?

1 1 1 1 ? ( ? ), n(n ? 2) 2 n n ? 2

故数列 {bnbn?2 } 的前 n 项和

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?1 1 ? ? 1 Tn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ??? ? ?] 2 3 2 4 3 5 4 6 ? n ?1 n ? 1 ? ? n n ? 2 ?
? 1 1 1 1 1 3 1 1 (1 ? ? ? )? ( ? ? ) ………10 分 2 2 n ?1 n ? 2 2 2 n ?1 n ? 2 3 1 1 1 3 ? ? ( ? )? ……………………12 分 4 2 n ?1 n ? 2 4

19.(本小题满分 12 分) 某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情 况进行调查, 在高三的全体 1000 名学生中随机抽取 了 100 名学生的体检表,并得到如图的频率分布直 方图. (1)若直方图中后四组的频数成等差数列,试估计 全年级视力在 5.0 以下的人数; (2)学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近 视的比较多,为了研究学生的视力与学习成绩是否 有关系, 对年级名次在 1 ? 50 名和 951 ? 1000 名的学 生进行了调查,得到右表中数据,根据表中的数据, 能否在犯错的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学 习成绩有关系? (3)在(2)中调查的 100 名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取了 9 人,进 一步调查他们良好的护眼习惯,并且在这 9 人中任取 3 人,记名次在 1 ? 50 的学生人数 为 X ,求 X 的分布列和数学期望. 附:

n(ad ? bc)2 K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

19. (1)设各组的频率为 fi (i ? 1, 2,3, 4,5,6) , 由图可知,第一组有 3 人,第二组 7 人,第三组 27 人, ……1 分 因为后四组的频数成等差数列, 所以后四组频数依次为 27, 24, 21,18 ……………………………2 分

所以视力在 5.0 以下的频率为 3+7+27+24+21=82 人, 故全年级视力在 5.0 以下的人数约为 1000 ?

82 ? 820 100

…………………………3 分

(2) k ?
2

100 ? (41 ? 18 ? 32 ? 9)2 300 ? ? 4.110 ? 3.841 50 ? 50 ? 73 ? 27 73

因此在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系.……………6 分 (Ⅲ)依题意 9 人中年级名次在 1 ? 50 名和 951 ? 1000 名分别有 3 人和 6 人,

X 可取 0、1、2、3
P( X ? 0) ?
3 C6 20 , ? 3 C9 84 1 2 C6 C3 18 , ? 3 84 C9

…………………7 分

P( X ? 1) ?

2 1 C6 C3 45 , ? 3 84 C9 3 C3 1 ? 3 C9 84

P( X ? 2) ?

P( X ? 3) ?

X 的分布列为
X P
0 1 2[来 3

20 84

45 84

18 84

1 84
………………11 分

X 的数学期望 E ( X ) ? 0 ?

20 45 18 1 ? 1? ? 2 ? ? 3? ?1 84 84 84 84

………………12 分

20.(本小题满分 12 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PA ? 平 面 ABCD , AD / / BC, AD ? CD , 且

AD ? CD ? 2 2, BC ? 4 2 , PA ? 2 ,点 M 在 PD 上.
(1)求证: AB ? PC ;
? (2)若二面角 M ? AC ? D 的大小为 45 ,求 BM 与平面 PAC 所成角的正弦值.

20.解:⑴取 BC 中点 E ,连结 AE ,则 AD ? EC, AD // EC ,所以四边形 AECD 为平行 四边形,故 AE ? BC ,又 AE ? BE ? EC ? 2 2 ,所以 ?ABC ? ?ACB ? 45 ,故 AB ? AC ,又 AB ? PA , AC ? PA ? A ,所以 AB ? 平面PAC ,故有 AB ? PC ………………5 分 ⑵如图建立空间直角坐标系 A ? xyz
?

则 A?0,0,0?, B 2 2,?2 2,0 , C 2 2 ,2 2 ,0 , P?0,0,2?, 设 PM ? ? PD ? 0,2

?

?

? ? ? 2?,?2? ??0 ? ? ? 1? ,易得 M ?0,2
2? , ? ?1
………………8 分

2?,2 ? 2?

?

设平面 AMC 的一个法向量为 n1 ? ?x, y, z ? ,则 ? 令y?

? ?n1 ? AC ? 2 2 x ? 2 2 y ? 0 ? ?n1 ? AM ? 2 2?y ? ?2 ? 2? ?z ? 0

2 , 得x ? ? 2 , z ?

即 n1 ? ? ? 2 , 2 ,

? ?

2? ? ? ? ?1 ?

又平面 ACD 的一个法向量为 n2 ? ?0,0,1? ,

cos n1 , n2 ?

n1 ? n2 n1 ? n2

?

2? ? ?1 ? 2? ? 4?? ? ? ? ?1 ?
2

? cos 45? ,解得 ? ?

1 , 2

即 M 0, 2 ,1 , BM ? ? 2 2,3 2,1 , 而 AB ? 2 2 ,?2

?

?

?

? ? 2 ,0?是平面 PAC 的一个法向量,
? 8 ? 12 4?3 3 ? 5 3 . 9
5 3 9
…………………12 分

设直线 BM 与平面 PAC 所成的角为 ? , 则 sin ? ? BM , AB ?

故直线 BM 与平面 PAC 所成的角的正弦值为

21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点 O 2 a b 2

为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A, B 两点,且 kOA ? kOB ? ? 的面积是否为定值?若为定值,求出定值;若不为定值,说明理由.

b2 ,判断 ?AOB a2

(1)由题意知 e ? 又b ?

4 2 c2 a 2 ? b2 1 c 1 2 ? ,即 a ? b ? ,∴ e2 ? 2 ? 2 4 a 2 a a 3
2分
y2 x2 ? ?1 4 3

6 1?1
2

? 3,

∴ a ? 4, b ? 3 , ? 椭圆的方程为
2

4分

? y ? kx ? m ? 2 2 2 (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y 2 得 (3 ? 4k ) x ? 8mkx ? 4(m ? 3) ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4

? ? 64m2k 2 ?16(3 ? 4k 2 )(m2 ? 3) ? 0 , 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0 .
x1 ? x2 ? ? 8mk 4(m2 ? 3) , x ? x ? . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
6分

y1 ? y2 ? (kx1 ? m) ? (kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m2 ?
yy 3 3 ?? , 1 2 ?? , 4 x1 x2 4

3(m2 ? 4k 2 ) . 3 ? 4k 2

kOA ? kOB

3(m2 ? 4k 2 ) 3 4(m2 ? 3) 3 ?? ? , y1 y2 ? ? x1 x2 , 3 ? 4k 2 4 3 ? 4k 2 4
8分

2m 2 ? 4k 2 ? 3 ,

AB ? 1 ? k

2

? x1 ? x2 ?
10 分

2

? 4 x1 x2 ? 1 ? k

2

48 ? 4k 2 ? m2 ? 3? 3 ? 4k 2

?

24 ?1 ? k 2 ? 3 ? 4k 2

d?

m 1? k 2

2 1 1 24 ?1 ? k ? m 1 S? ? AB d ? ? 2 2 2 3 ? 4k 1? k 2 2

?3 ? 4k ??1 ? k ?
2 2

24 ?1 ? k 2 ? m2

? 3

12 分

22.(本小题满分 12 分)

1 2 1 x ? x ? ln( x ? a) ,其中常数 a ? 0 . 4 a (1)讨论函数 f ( x ) 的单调性; 1 ( 2 )已知 0 ? a ? , f ?( x ) 表示 f ( x ) 的导数,若 x1 , x2 ? (?a, a), x1 ? x2 ,且满足 2
已知函数 f ( x) ?

f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ? 0 ,试比较 f ?( x1 ? x2 ) 与 f ?(0) 的大小,并加以证明.
22.解: (1)函数 f ( x) 的定义域为 (?a, ??) ,

f ?( x) ?

1 1 1 x(ax ? 2 ? a 2 ) x? ? ? ( x ? ?a, a ? 0) 2 a x?a 2a( x ? a)

2 ? a2 由 f ?( x) ? 0, 得 x1 ? 0 , x2 ? ,……………2 分 a

当a ?

2 时, f ?( x) ?

x2 2( x ? 2)

? 0 ,所以 f ( x) 在 (? 2, ??) 上为增函数;……3 分

当a ?

2 时, ?a ? x2 ?

2 ? a2 2 ? a2 ? 0 ,所以 f ( x) 在 (0, ??) , (?a, ) 上为增函 a a

数;在 (

2 ? a2 , 0) 上为减函数;………4 分 a

当0? a ?

2 时,

2 ? a2 2 ? a2 ? 0 ,所以 f ( x) 在 ( , ??) , (?a, 0) 上为增函数;在 a a

(0,

2 ? a2 ) 上为减函数;…………5 分 a
1 1 1 x? ? (?a ? x ? a) 2 a x?a

(2)令 g ( x) ? f ?( x) ? 则 g ?( x) ?

1 1 ( x ? a) 2 ? 2 ? ? 2 ( x ? a) 2 2( x ? a)2

1 ? ?a ? x ? a,? 0 ? x ? a ? 2a,? ( x ? a) 2 ? 4a 2 ? 1(? 0 ? a ? ) , 2 ? g ?( x) ? 0,? g ( x) 在 (?a, a) 上为减函数,即 f ?( x) 在 (?a, a) 上为减函数
以题意,不妨设 x1 ? x2 ,又因为 f ?(0) ? 0, f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ? 0 ,………8 分 所以, ?a ? x1 ? 0 ? x2 ? a ,所以, 0 ? x1 ? a ? a, 且 ?a ? x1 ? x2 ? a , 由 f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ? 0 ,得

x1 ? x2 2 1 1 , ? ? ? 2 a x1 ? a x2 ? a

? f ?( x1 ? x2 ) ?

x1 ? x2 1 1 , ? ? 2 a x1 ? x2 ? a
1 1 1 1 ? ? ? , a x1 ? x2 ? a x1 ? a x2 ? a
………10 分

?

令 t ? x1 ? a , h(t ) ?

1 1 1 1 ? ? ? (0 ? t ? a) a t ? x2 t x2 ? a
………11 分

则 h?(t ) ? ?

1 1 (t ? x2 )2 ? t 2 (2t ? x2 ) x2 ? ? ? ? 0, (t ? x2 )2 t 2 (t ? x2 )2 ? t 2 (t ? x2 )2 ? t 2

所以, h(t ) 在 (0, a ) 内为增函数,又因为 t ? x1 ? a ? (0, a) 所以, h(t ) ? h(a) ?? 0 , 即:

1 1 1 1 ? ? ? ?0 a x1 ? x2 ? a x1 ? a x2 ? a
……………12 分

所以, f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ? f ?(0) .


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