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高一数学必修3


一、随机事件

概率论起源的故事

? 概率论始于研究赌博的机遇问题:在17世纪,法 国有一个很有名的赌徒,名字叫默勒。一天,他 和侍卫官赌掷骰子,两人都下了30枚金币。约定 如果默勒先掷出3次6点,就可以赢得60枚金币, 如果侍卫官先掷出3次4点,就可以赢得60枚金币。 当默勒掷出2次6点,侍卫官掷出1次4点时,意外 的事发生了,侍卫官接到通知,必须马上回去陪 国王接见外宾。赌博无法继续了,但是如何分配 两人下的赌注呢?默勒认为自己应该获得全部的 四分之三,侍卫官认为自己应该获得全部的三分 之一。两人争论不休,最后默勒写信询问法国著 名数学家帕斯卡,帕斯卡觉得很有意思,于是于 1654年7月29日写信给费尔马,和费尔马展开了 通信讨论,最终奠定了一门数学分支——概率论。 随着长期的研究,逐渐形成了概率论理论框架。 现代统计方法便有了比较坚实的理论基础。

听故事

大唐勉玉公主驸马赵捍臣
因过失之罪被宰相张闻天

设陷,欲置于死地,双方
各执一词,引发了历史上

著名的抓阄定生死的奇案。
皇上下令,让宰相张闻天做两个阄, 一张写“生”,一张写“死”,让 驸马抓阄来决定自己的命运…

两张一定都是 死,我命完也!

跟我斗,哼! 这下你完了吧。哈哈…





那个奸臣一定写了两个“死”, 不公平,我要上奏父皇。让我来写, 驸马就有救了…





次日,公主和宰相力争主写权,最终皇 帝把此大权留给了自己… ?你知道要是宰相写驸马会怎样? ?你知道要是公主写驸马会怎样? ?你知道要是皇帝写驸马会怎样?

宰相没能如愿以偿地写上他想写 的内容,公主也没有。皇帝是公平 的,最终驸马幸运的抓到了 “生” … …

? 在自然界和实际生活中,我们会遇 到各种各样的现象. 如果从结果能否预知的角度来看, 可以分为两大类: 一类现象的结果总是确定的,即在一 定的条件下,它所出现的结果是可以预 知的,这类现象称为确定性现象; 另一类现象的结果是无法预知的,即 在一定的条件下,出现哪种结果是无法预 先确定的,这类现象称为随机现象.

在数学中,我们把自然界和生活中的确定性现象和 不确定性现象称为事件,事件的类型如下: 必然事件: 在条件S下,一定会发生的事件,叫做相对于条件 S的必然事件。 不可能事件: 在条件S下,一定不会发生的事件,叫做相对条件S 的不可能事件。

必然事件与不可能事件统称确定事件
随机事件: 在一定条件S下,可能发生也可能不发生的事件,叫 相对条件S随机事件。
事件的表示:以后我们用A、B、C等大写字母表示事 件。读事件A,事件B.

下列事件,哪些是必然事件? 哪些是不可能事件? 哪些是随机事件?

从箱子中任意摸出一球,…?

木柴燃烧,产生热量

明天,地球还会转动

实心铁块丢入水中,铁块浮起

在00C下,这些雪融化

这两人各买1张彩票,她们 中奖了 转盘转动后,指针指向红 色区域

? ?必然事件 ?确定事件? 事件? ?不可能事件 ? ?随机事件

随堂练习
? 指出下列事件是随机事件、必然事件还是不可能事件, 并说明理由? (1)在地球上,抛出的篮球会下落; (必然事件) (2)随意翻一下日历,翻到的日期为 (不可能事件) 2月31日; (3)乔丹罚球,十投十中; (随机事件) (4)掷一枚均匀的骰子,骰子停止转动 (随机事件) 后偶数点朝上; (5)任意买一张电影票,座位号是偶数; (随机事件) (6)抛一枚硬币,正面朝上; (随机事件)

(7)条件:某运动员在学校操场上掷一次铁饼 事件A:铁饼落在距投掷线40米处; 事件B:铁饼飞离地球; 事件C:铁饼砸入地下100米处; 事件D:铁饼投出后落在中国境内。

思考 现在有10件相同的产品,其中 8件是正品,2件是次品。我们要 在其中任意抽出3件。那么,我们 可能会抽到怎样的样本? 可能: A、三件正品 B、 二正一次 C、 一正二次 结论1:必然有一件正品

(随机事件)

(必然事件)

结论2:不可能抽到三件次品

二、随机事件的概率

概率同学们在初中就学习过,它是研究随机现 象的数学概念。 所谓概率是指用数来表示随机现象发生的可能 性大小 ? 在数学中为了探索随机现象的规律性,需 要对随机现象进行观察.我们把观察随机 现象或为了某种目的而进行的实验统称 为试验. ? 试验中出现的结果就是事件.

注意区别“试验”与“事件”
1.掷10次质地均匀的硬币,硬币落地时有5次正面向上. 这里一次试验指什么?做了几次试验?发生的事件是什么?

答:掷一次硬币就是一次试验,共做了10次试验.

设事件A为“正面朝上”,事件B为“反面朝上”。 事件A发生了5次,事件B也发生了5次。

2.箱中有a个正品,b个次品,(a+b>3)从箱中随机连续抽取3次, 每次取1个,取出后不放回,取出的3个全是正品。 这里一次试验指什么?做了几次试验?发生的事件是什么?

答:抽取一次产品,就是一次试验。共做了3次试验。 发生的事件是:事件A:取出3件正品。可能发生的其它 事件,事件B:取出2正1次;事件C:取出1正2次;事件 D:取出3件次品。

? 1.每两人一组取一块硬币,做10次掷硬币的试 验,1人掷,1人记录,将试验结果,填在表中: 姓名 试验次数 正面朝上次数 正面朝上比例

2.下面是一组掷硬币的试验结果,你能从表中分析出什么结论:

将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的 次数及频率.

试验 序号
1 2 3 4 5 6 7

n?5

n ? 50
f
0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8

nH
2 3 1 5 1 2 4

nH
22 25 21 25 24 18 27

f
0.44 0.50 0.42 0.50 0.48 0.36 0.54

n ? 500 f nH
251 249 256 247 251 262 258 0.502 0.498 0.512 0.494 0.502 0.524 0.516

3.历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验,结果如下表 :
抛掷次数 ( m) 2048 4040 12000 24000 30000 72088 正面向上次数 (频数n ) 1061 2048 6019 12012 14984 36124

m 频率( ) n
0.5181 0.5069 0.5016 05005 0.4996 0.5011

频数:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否 出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A的频数, 频率:事件A出现的比例

nA f n ( A) ? 为事件A出现的频率。 n

概率:随着试验次数的增加,频率趋向于一个稳定值,这 个稳定值叫事件A的概率,用P(A)表示。

1.概率的定义是什么?

对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的 增加,事件A发生的频率 f n( A) 稳定在某个常数 上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率, 简称为A的概率。
2.频率与概率有什么区别和联系?

事件A发生频率是不是不变的?事件A的概率是 不是不变的?它们之间有什么区别与联系?
① ② ③ ④ 频率是随机的,在试验之前不能确定; 概率是一个确定的数,与每次试验无关; 随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率; 频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值;

概率的取值范围
? 必然事件的概率是1,不可能事件的概率 是0。 ? 随机事件的概率是(0,1)区间内的一 个确定数。 ? 概率接近于0的事件称为小概率事件,概 率接近于1的事件称为大概率事件。小概 率事件很少发生,大概率事件经常发生。

1.下列事件中不可能事件是 ( ) A.三角形的内角和为180° B.三角形中大边对的角大,小边对的角小 C.锐角三角形中两个内角的和小于90° D.三角形中任意两边的和大于第三边 2.在12件同类产品中,有10件是正品,2件是次品, 从中任意抽出3件的必然事件是 ( ) A.3件都是正品 B.至少有1件是次品 C.3件都是次品 D.至少有一件是正品
3.某批乒乓球产品质量检查结果表:推测优等品的概率
抽取球数 优等品数

m

50 45

100 92

200 194

500 470

1000 954

2000 1902

n

m 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951 优等品频率 n

小结
? ?必然事件 ? ? P ( A) ? 1 ?确定事件? 事件? ?不可能事件? ? P ( A) ? 0 ? ?随机事件 ? ?0 ? P ( A) ? 1

任意事件概率是 0 ? P( A) ? 1
P(A)=fn(A)=

nA n

人生必须去搏,敢于冒风险,对 随机事件作出自己的判断,把“不一 定”的事情变成现实,这才是“胜 利”。

掷骰子实验


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