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新人教A版必修4高中数学2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案


高中数学 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学 案 新人教 A 版必修 4 学习目标 1. 在坐标形式下, 掌握平面向量数量积的运算公式及其变式 (夹角公式); 2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性. 学习过程 一、课前准备(预习教材 P106—P107) 复习:1.向量 a 与 b 的数量积 a ? b = . 2.设 a 、 b 是非零向量, e 是与 b 方向相同的单位向量, ? 是 a 与 b 的夹角,则 ① a ? b ? a ?b ? ②a ? ; ; ③ cos ? ? . 二、新课导学 ※ 探索新知 探究:平面向量数量积的坐标表示 问题 1:已知两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,怎样用 a 与 b 的 1 坐标表示 a ? b 呢? 1. 平面向量数量积的坐标表示 已 知两个非零向量 a= ? x1,y1 ? ,b= ? x 2 ,y2 ? ,a ? b= (坐标形式)。 这就是说 :(文字语言)两个向量的数量积等于 。 问题 2:如何求向量 a ? ? x, y ? 的模 a 和两点 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 间 的距离? 3.两向量夹角的余弦:设 ? 是 a 与 b 的夹角,则 cos ? = _________= _______________ 向量垂直的判定:设 a= ? x1 ,y1 ? ,b= ? x 2 , y2 ? , 则 2 a ? b ? _________________ ※ 典型例题 例 1、已知 A?2,1?, B?3,2?, C?? 1,4?, (1)试判断 ?ABC 的形状,并给出证明. (2)若 ABDC 是矩形,求 D 点的坐标。 例 2、已知 a ? ?1, 3 ?, b ? ? 3,1? ,求 a 与 b 的夹角 ? . 变式:已知 3 a=(3,0),b=(k,5) 且 a与 b的夹角为 ? ,则k= _______ _______. 4 三、小结反思 3 1、平面向量数量积的坐标表示. 2、向量数量积的坐标表示的应用. ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1、若 a ? ? ?4,3? , b ? ?5,6? ,则 3 a 2 ? 4a ? b = 2、已知 a ? ? ?3, ?2? , b ? ? ?4, k ? ,若 ? 5a ? b ? ? ?b ? 3a ?? ? 55 ,试求 k 的值. 3、已知, a 当 ? (1,2),b ? (?3,2) , k 为何值时, 4 (1) ka ? b与a ? 3b 垂直? (2) ka ? b与a ? 3b 平行吗?它们是同向还是反向? 4、 已知 a ? ?3, ?4? , b ? ? 2, x ? , c ? ? 2, y ? ,且 a // b , a ? c ,求: (1) b ? c ; (2) b 、 c 的夹角. 课后作业 1. 已知点 A?1,2? 和 B ? 4, ?1? ,问能否在 y 轴上找到一点 C ,使 5 ?ACB ? 90 ,若不能,说明理由;若能,求 C 点坐标. ?1 3? ? 2. 已知 a =( 3,-1), b =? . , ?2 2? ? ? (1)求证: a ? b; (2)若存在不同时为 0 的实数 k 和 t,使 x = a +(t-3) b , y =-k a + t b ,且

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