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2014年全国高考试卷三角函数与解三角形部分汇编(下)


2014 年全国高考试卷三角函数与解三角形部分汇编(下)
1. ( 2014 山东理 12) 在 △ ABC 中,已知 AB ? AC ? tan A ,当 A ? 【解析】 2.
π 时, △ ABC 的面积为______. 6

1 6 ( 2014 山东理 16) 已知向量 a ? (m , cos 2 x) , b ? (sin 2x , n) ,设函数 f ( x) ? a ? b ,且 y ? f ( x) 的图象过点

? 2? ( , 3) 和点 ( , ? 2) . 3 12 ⑴求 m, n 的值;
⑵将 y ? f ( x) 的图象向左平移 ? ( 0 ? ? ? ? )个单位后得到函数 y ? g ( x) 的图象.若 y ? g ( x) 3) 的距离的最小值为 1,求 y ? g ( x) 的单调增区间. 的图象上各最高点到点 (0, 【解析】 ⑴已知 f ( x) ? a ? b ? m sin 2x ? n cos 2x , ? π ? ? 2π ? ? 2? f ( x) 的图象过点 ? , 3 ?, ? , 12 3 ? ?? ?

π π π 2π 4π 4π ? f ( ) ? m sin ? n cos ? 3 , f ( ) ? m sin ? n cos ? ?2 12 6 6 3 3 3

?1 3 n? 3 ? m? ? ?m ? 3 ? 2 ?? 2 解得 ? ?n ? 1 ? ?? 3 ? 1 ? ?2 ? ? 2 2
π π ⑵ f ( x) ? 3sin 2 x ? cos2 x ? 2sin(2 x ? ) , g ( x) ? f ( x+? )=2sin(2 x ? 2? ? ) 6 6
2 设 g ( x) 的对称轴为 x ? x0 , d ? 1 ? x0 ? 1 ,解得 x0 ? 0

π 6 π π π ? g ( x) ? 2sin(2x ? ? ) ? 2sin(2x ? ) ? 2cos2x 3 6 2
? g (0) ? 2 ,解得 ? ?
?? π ? 2kπ ≤ 2 x ≤ 2kπ, k ? Z

π ? ? kπ ≤ x ≤ kπ, k ? Z 2

? π ? kπ ? , k ? Z ? f ( x) 的单调增区间 ? ? ? kπ, 2 ? ?
3. ( 2014 山东文 12) 3 sin 2 x ? cos 2 x 的最小正周期为 函数 y ? 2



【解析】 π 4. ( 2014 山东文 17)
△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c . 已知 a ? 3 , cos A ?

6 π , B ? A? . 3 2

⑴求 b 的值; ⑵求 △ ABC 的面积.

【解析】 ⑴由题意知: sin A ? 1 ? cos2 A ?
π 6 sin B ? sin( A ? ) ? cos A ? , 2 3

3 3

由正弦定理得:

a b a sin B ,?b ? ? ?3 2 ; sin A sin B sin A
b2 ? c 2 ? a 2 6 ? ? c 2 ? 4 3c ? 9 ? 0 ,?c1 ? 3, c2 ? 3 3. 2bc 3

⑵由余弦定理得 cos A ? 又因为 B ? A ?

π 为钝角,所以 b ? c , c ? 3 2

1 3 2 所以 S△ ABC ? bc sin A ? . 2 2

5.

( 2014 陕西理 2)
π? ? 函数 f ? x ? ? cos ? 2 x ? ? 的最小正周期是( 6? ?

) C. 2 π D. 4 π

A. 【解析】 B

π 2

B. π

Q ? ? 2, ? 最小正周期 R ?



?

? π .故选 B.

6.

( 2014 陕西理 13) π 设 0 ? ? ? ,向量 a ? ? sin 2? , cos? ? , b ? ? cos? , 1? ,若 a∥b ,则 tan ? =_________. 2

【解析】

1 2 π ? sin 2? ? 1 ? cos2 ? ? ?, ∵ a ∥ b, ∴ 2sin ? cos? ? cos2 ? ? ? ,∵ 0 ? ? ? , ∴ cos ? ? ? 2 1 ∴ 2 sin ? = cos ?, ∴ tan ? ? . 2

7.

( 2014 陕西理 16) △ ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c . ⑴若 a , b , c 成等差数列,证明: sin A ? sin C ? 2sin ? A ? C ? . ⑵若 a , b , c 成等比数列,求 cos B 的最小值.

【解析】 ⑴ Q a,b,c 成等差数列,? a ? c ? 2b .由正弦定理得 sin A ? sin C ? 2sin B , Q sin B ? sin[ π ? ( A ? C )] ? sin( A ? C )
? sin A ? sin C ? 2sin( A ? C ) .

⑵ Q a,b,c 成等比数列,? b2 ? ac . 由余弦定理得 cos B ?

a2 ? c2 ? b2 a2 ? c2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ≥ ? . 2ac 2ac 2ac 2

当且仅当 a ? c 时等号成立.
? cos B 的最小值为

1 . 2

8.

( 2014 陕西文 2)
π? ? 函数 f ( x) ? cos ? 2 x ? ? 的最小正周期是( 4? ?

)

A.

π 2

B. π

C. 2 π

D. 4 π

【解析】 B 9. ( 2014 陕西文 13) r r r r π 设 0 ? ? ? ,向量 a ? (sin 2?, cos? ?, b ? (1, ? cos? ) , a ? b ? 0 ,则 tan ? ? ____________. 2

1 2 10. ( 2014 陕西文 16) △ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c , ⑴成等差数列,证明: sin A ? sin C ? 2sin( A ? C ) ;
【解析】 ⑵若 a , b, c 成等比数列,且 c ? 2a ,求 cos B 的值. 【解析】 ⑴ 证明:∵ a , b , c 成等差数列,∴ a ? c ? 2b . 由正弦定理得 sin A ? sin C ? 2sin B . ∵ sin B ? sin ? ? π ? ? A ? C ?? ? ? sin ? A ? C ? ,∴ sin A ? sin C ? 2sin ? A ? C ? . ⑵ 由题设有 b 2 ? ac , c ? 2a , ∴ b ? 2a , 由余弦定理得 cos B ?

a2 ? c2 ? b2 a2 ? 4a2 ? 2a2 3 ? ? . 2ac 4a2 4

11. ( 2014 上海理 21) 如图,某公司要在 A, B 两地连线上的定点 C 处建造广告牌 CD ,其中 D 是顶点,
AC 长 35 米, CB 长 80 米,设点 A, B 在同一水平面上,从 A 和 B 看 D 的仰角分别为 ? 和 ? 。

⑴设计中 CD 是铅垂方向,若要求 ? ≥ 2 ? ,问 CD 的长至多为多少(结果精确到 0.01 米)? ⑵施工完成后, CD 与铅垂方向有偏差,现在实测得 ? ? 38.12 , ? ? 18.45 , 求 CD 的长(结果精确到 0.01 米)
D

α A C

β

B

【解析】 ⑴ 设 CD 的长为 x 米,则 tan ? ?

x x , tan ? ? 35 80 2 tan ? π ∵ ? ? ? 2? ? 0 ,∴ tan ? ? tan 2? ? 1 ? tan 2 ? , 2

x ? ∴ 35

x 80 ? 160 x ,解得: 0 ? x ? 20 2 ? 28.28 x2 6400 ? x2 1? 6400 2

∴ CD 的长至多为 28.28 米 ⑵ 设 DB ? a , DA ? b , CD ? m , ?ADB ? π ? ? ? ? ? 123.43 ,

1 1 则 S?ABD ? ab sin ?ADB ? ab sin123.43 2 2 1 1 35 S?ACD ? ab sin ?ACD ? b ? AC sin ? ? b sin 38.12 2 2 2

35 b sin 38.12 S?ACD AC 35 115sin 38.12 2 ? ? ? ? 85.06 ∵ ,解得 a ? S?ADB AB 1 ab sin123.43 115 sin123.43 2
∴ m ? 802 ? a2 ? 160a cos18.45 ? 26.93 答: CD 的长为 26.93 米 12. ( 2014 四川理 3) 为了得到函数 y ? sin(2 x ? 1) 的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象上所有的点( )

1 个单位长度 2 C.向左平行移动 1 个单位长度
A.向左平行移动 【解析】 A

1 个单位长度 2 D.向右平行移动 1 个单位长度
B.向右平行移动

1 1 因为 y ? sin(2x ? 1) ? sin[2( x ? )] , 故可由函数 y ? sin 2 x 的图象上所有的点向左平行移动 个 2 2
单位长度得到. 13. ( 2014 四川理 13) 如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B , C 的俯角分别为 67 , 30 ,此时气球的高 是 46m , 则河流的宽度 BC 约等于 (用四舍五入法将结果精确到个位。 参考数据: m。 ( sin 67 ? 0.92 , cos 67 ? 0.39 , sin 37 ? 0.60 , cos 37 ? 0.80 , 3 ? 1.73 )

A 30° 67° 46m B C

【解析】 60

AC 92 92 ? sin A ? ? sin 37 ? ? 0.60 ? 60 sin B sin 67 0.92 14. ( 2014 四川理 16 文 17)
AC ? 92 , BC ?

已知函数 f ( x) ? sin ? 3x ?

? ?

π? ? 4?

⑴求 f ( x ) 的单调递增区间; ⑵若 ? 是第二象限角, f ?

π? ?? ? 4 ? ? ? cos ? ? ? ? cos 2? ,求 cos ? ? sin ? 的值. 4? ?3? 5 ?

【解析】 理科解答: π π π 2kπ π 2kπ π ⑴ 由 2kπ ? ≤ 3x ? ≤ 2kπ ? ? ? ≤x≤ ? 2 4 2 3 4 3 12 ? 2kπ π 2kπ π ? ? , ? ? ( k∈Z ) 所以 f ( x) 的单调递增区间为 ? 4 3 12 ? ? 3

π? π? 4 π? ?? ? 4 ? ? ? ⑵ 由 f ? ? ? cos ? ? ? ? cos 2? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? cos 2? 4? 4? 5 4? ?3? 5 ? ? ?

π? ? ? π ?? π? ? ? ? 因为 cos 2? ? sin ? 2? ? ? ? sin ? 2 ? ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? cos ? ? ? 2? 4 4 ? ? ? ? ? ? ? ?
π? 8 π? ? π? ? ? 所以 sin ? ? ? ? ? cos2 ? ? ? ? sin ? ? ? ? 4? 5 4? ? 4? ? ? π? π? 5 ? ? 又 ? 是第二象限角,所以 sin ? ? ? ? ? 0 或 cos 2 ? ? ? ? ? 4? 4? 8 ? ? π? π 3π ? ① 由 sin ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? 2kπ ? π ? ? ? 2kπ ? (k∈Z ) 4? 4 4 ?

π? ? 4?

所以 cos? ? sin ? ? cos

3π 3π ? sin ? ? 2 4 4

π? 5 π? 5 1 5 ? ? ? (cos ? ? sin ? ) ? ? ② 由 cos2 ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? ? 4? 8 4? 2 2 2 2 2 ? ?

所以 cos ? ? sin ? ? ?

5 2 5 . 2

综上, cos ? ? sin ? ? ? 2 或 cos ? ? sin ? ? ? 文科解答:

π ? π ? ⑴ 因为函数 y ? sin x 的单调递增区间为 ? ? ? 2kπ , ? 2kπ ? , k ? Z . 2 ? 2 ?

π π π 由 ? ? 2kπ ≤ 3x ? ≤ ? 2kπ , k ?Z, 2 4 2 π 2kπ π 3kπ 得? ? ≤x≤ ? , k ?Z. 4 3 12 3
? π 2kπ π 2kπ ? , ? 所以函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? ? + ,k ?Z . 12 3 ? ? 4 3 ? ? ⑵ 由已知,有 sin ? ? ? ? π? 4 π? ? 2 2 ? ? cos ? ? ? ? ? cos ? ? sin ? ? , 4? 5 4? ?

π π? π π 4? 所以 sin ? cos ? cos? sin ? ? cos ? cos ? sin ? sin ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? , 4 4? 4 4 5?

4 2 ? cos? ? sin ? ? ?sin ? ? cos? ? . 5 当 sin ? ? cos ? ? 0 时,由 ? 是第二象限角, 3π 知? ? ? 2kπ , k ? Z . 4
即 sin ? ? cos ? ? 此时 cos ? ? sin ? ? ? 2 . 当 sin ? ? cos ? ? 0 时,有 ? cos ? ? sin ? ? ?
2

5 . 4

由 ? 是第二象限角,知 cos ? ? sin ? ? 0 , 此时 cos ? ? sin ? ? ?
5 . 2 5 . 2

综上所述, cos ? ? sin ? ? ? 2 或 ? 15. ( 2014 四川文 3)

为了得到函数 y ? sin( x ? 1) 的图象,只需把函数 y ? sin x 的图象上所有的点( A.向左平行移动 1 个单位长度 C.向左平行移动 π 个单位长度 B.向右平行移动 1 个单位长度 D.向右平行移动 π 个单位长度



【解析】 A 16. ( 2014 四川文 8) 如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B , C 的俯角分别为 75 , 30 ,此时气球的高是 60m ,则河流的宽度 BC 等于( )
A 30° 60m 75° B C

A. 240( 3 ? 1)m C. 120( 3 ? 1)m 【解析】 C 17. ( 2014 天津理 12)

B. 180( 2 ? 1)m D. 30( 3 ? 1)m

1 在 △ ABC 中,内角 A , 则 cos A B, C 所对的边分别是 a,, b c .已知 b ? c ? a , 2sin B ? 3sin C, 4 的值为_______. 1 【解析】 ? 4 1 由 2 sin B ? 3sin C 可得 2b ? 3c ,代入 b ? c ? a 可得 a ? 2c , 4

9 2 c ? c 2 ? 4c 2 b2 ? c 2 ? a 2 4 1 由余弦定理知 cos A ? ? ?? 3 2bc 4 2? c?c 2
18. ( 2014 天津理 15)
π? 3 ? 已知函数 f ? x ? ? cos x ? sin ? x ? ? ? 3 cos2 x ? , x?R . 3? 4 ?

⑴求 f ? x ? 的最小正周期.

? π π? ⑵求 f ? x ? 在闭区间 ? ? , ? 上的最大值和最小值. ? 4 4?
?1 ? 3 3 2 【解析】 ⑴ 由已知,有 f ( x) ? cos x ? ? ? 2 sin x ? 2 cos x ? ? ? 3 cos x ? 4 ? ? 1 3 3 1 3 3 ? sin x ? cos x ? cos 2 x ? ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? 2 2 4 4 4 4
1 π? 1 3 ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin ? 2 x ? ? . 2 3? 4 4 ?

所以, f ( x) 的最小正周期 T ?

2π ?π. 2

π ? 5 π? ? π π? ⑵ x ? ? ? ? ? 时, 2 x ? ? ? ? π ? ? , 3 ? 6 6? ? 4 4? π? ? 1? ? ? 1 1? sin ? 2 x ? ? ? ? ?1 ? ? ,从而 f ? x ? ? ? ? ? ? . 3? ? 2? ? ? 2 4?

1 1 ? π π? 即函数 f ( x) 在闭区间 ? ? , ? 上的最大值为 ,最小值为 ? . 4 4 4 2 ? ?
19. ( 2014 天津文 8) 已知函数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0), x ? R. 在曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? 1 的交点中, 若相邻交点距离的最小值为 A. 【解析】 C
π? π? π? 1 ? ? ? f ? x ? ? 3 sin ? x ? cos ? x ? 2sin ? ? x ? ? , n i ?? x ? ? 1? , n i ?? x ? ? ? , 由 2s 得s 设 x1 ,x2 6 6 6? 2 ? ? ? ? ?

π ,则 f ( x ) 的最小正周期为( 3
D. 2 π



π 2

B.

2π 3

C. π

分别为距离最小的相邻交点的横坐标,则

π π π 5π 2π π ? 2kπ ? , ? x2 ? ? 2kπ ? ? k ? Z ? ,两式相减,得 x2 ? x1 ? ? ,所以 ? ? 2 , 6 6 6 6 3? 3 π? ? 故 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? 的最小正周期为 π ,选 C. 6? ? 20. ( 2014 天津文 16)

? x1 ?

在 △ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a ? c ? ⑴求 cos A 的值; π ⑵求 cos(2 A ? ) 的值. 6 【解析】 ⑴ 在 △ ABC 中,由 又由 a ? c ?

6 b , sin B ? 6 sin C 6

b c ,及 sin B ? 6 sin C ,可得 b ? 6c . ? sin B sin C

6 b ,有 a ? 2c . 6 b2 ? c 2 ? a 2 6c 2 ? c 2 ? 4c 2 6 ? ? 所以, cos A ? . 2 2bc 4 2 6c
6 10 ,可得 sin A ? . 4 4

⑵ 在 △ ABC 中,由 cos A ?

1 15 于是, cos 2 A ? 2 cos2 A ? 1 ? ? ,sin 2 A ? 2sin A ? cos A ? . 4 4
π? π π 15 ? 3 ? 所以, cos ? 2 A ? ? ? cos 2 A ? cos ? sin 2 A ? sin ? . 6? 6 6 8 ?

评析

本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角差的余弦公

式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力. 21. ( 2014 新课标 1 理 6)

如图,圆 O 的半径为 1, A 是圆上的定点, P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA ,终边 为射线 OP ,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M ,将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函 数 f ( x ) ,则 y = f ( x ) 在[0, π ]上的图像大致为(
P x O M A



y 1 O A π x 1

y 1 O B π x

y 1 O C π x O

y

π x D

【解析】 C 22. ( 2014 新课标 1 理 8) 设 ? ? (0 , ) , ? ? (0 , ) ,且 tan ? ? A. 3? ? ? ?

π 2

π 2

1 ? sin ? ,则( cos ?
C. 2? ? ? ?



π 2

B. 3? ? ? ?

π 2

π 2

D. 2? ? ? ?

π 2

【解析】 C 23. ( 2014 新课标 1 理 16) 已 知 a ,b, c 分 别 为 △ ABC 的 三 个 内 角 A , B , C的 对 边 ,

a =2 , 且

( 2 ?b ) ( s Ai ?n

,则 B s?i nc ? )b ( C△ )ABC s i 面积的最大值为 n



【解析】 3 24. ( 2014 新课标 1 文 2) 若 tan ?>0 ,则( ) A. sin ?>0 B. cos?>0

C. sin 2?>0

D. cos 2?>0

【解析】 C 由 tan ? ? 0 得 ? 是第一、三象限角,若 ? 是第三象限角,则 A,B 错;由 π sin 2? ? 2sin ? cos ? 知 sin 2? ? 0 ,C 正确; ? 取 时, 3
1 ?1? cos 2? ? 2cos ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? 1 ? ? ? 0 ,D 错.故选 C. 2 ?2?
2 2

25. ( 2014 新课标 1 文 7)
? 在函数① y ? cos ,② y ? cos x ,③ y ? cos ? 2 x ? | 2x | ? π? π? ? ? ,④ y ? tan ? 2 x ? ? 中,最小正周期 6? 4? ?

为 π 的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④ 【解析】 A ① y ? cos | 2 x |? cos 2 x ,最小正周期为 π ; ②由图象知 y ?| cos x | 的最小正周期为 π ;
? ③ y ? cos ? 2 x ? ? π? 2π ?π; ? 的最小正周期 T ? 6? 2

C.②④

D .①③

π? π ? ④ y ? tan ? 2 x ? ? 的最小正周期 T ? .因此选 A. 4? ? 2 26. ( 2014 新课标 1 文 16) 如图,为测量山高 MN ,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从 A 点测得 M 点的仰角 ?MAN ? 60? ,C 点的仰角 ?CAB ? 45? 以及 ?MAC ? 75? ;从 C 点测得 ?MCA ? 60? .已知山

高 BC ? 100 m ,则山高 MN ? ______________m.

【解析】 150 在 Rt△ ABC 中, ?CAB ? 45? , BC ? 100m ,所以 AC ? 100 2m 在 △ AMC 中, ?MAC ? 75 , ?MCA ? 60 ,从而 ?AMC ? 45 AC AM 由正弦定理得 ,因此 AM ? 100 3 m . ? sin 45? sin 60? 在 Rt△ MNA 中, AM ? 100 3 m , ?MAN ? 60? ,
3 MN ? 150 m ,故填 150. ? sin 60? 得 MN ? 100 3 ? 2 AM 27. ( 2014 新课标 2 理 4) 1 钝角三角形 ABC 的面积是 , AB ? 1 , BC ? 2 ,则 AC ? ( 2



) D. 1

A. 5 【解析】 B 28. ( 2014 新课标 2 理 12) 设函数 f ? x ? ? 3 sin 是( ) A. ? ?? ? ? 6?

B. 5

C. 2

2 πx .若存在 f ? x ? 的极值点 x0 满足 x0 2 ? ? f ? x0 ?? ? m2 ,则 m 的取值范围 ? ? m

? 6 ? +?? C. ? ?? ? ? 2? ? 2 ? +? ?

B. ? ?? ? ? 4?

? 4 ? +?? D. ? ?? ? ? 1? ? 4 ? +??

【解析】 C 29. ( 2014 新课标 2 理 14) 函数 f ? x ? ? sin ? x ? 2? ? ? 2sin ? cos ? x ? ? ? 的最大值为_________. 【解析】 1 30. ( 2014 新课标 2 文 14) 函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? 2sin ? cos x 的最大值为_________. 【解析】 1 f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 2sin ? cos x
? sin x cos ? ? cos x sin ? ? 2sin ? cos x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin ? x ? ? ? ≤1

所以 f ? x ?max ? 1 . 31. ( 2014 新课标 2 文 17) 四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补, AB ? 1,BC ? 3,CD ? DA ? 2 . ⑴求 C 和 BD ; ⑵求四边形 ABCD 的面积. 【解析】 ⑴由题设及余弦定理得 BD2 ? BC 2 ? CD2 ? 2BC ? CD cos C ? 13 ? 12cos C ,
BD2 ? AB 2 ? DA2 ? 2 AB ? DA cos A ? 5 ? 4cos C .

由① ,② 得 cos C ?

1 ,故 C ? 60? , BD ? 7 . 2 1 1 AB ? DA sin A ? BC ? CD sin C 2 2

⑵ 四边形 ABCD 的面积 S ?

1 ?1 ? ? ? ? 1 ? 2 ? ? 3 ? 2 ? sin 60? ? 2 3 2 ?2 ? 32. ( 2014 浙江理 4) 为了得到函数 y ? sin 3x ? cos 3x 的图象,可以将函数 y ? 2 cos3x 的图象(



π 个单位 4 π C.向右平移 个单位 12 【解析】 C
A.向右平移

π 个单位 4 π D.向左平移 个单位 12
B.向左平移

π? π? ? ? 因为 y ? sin 3x ? cos 3x ? 2 cos ? 3x ? ? , 要得到函数 y ? 2 cos ? 3x ? ? 的图象,可以将函数 4? 4? ? ?

y ? 2 cos3x 的图象向右平移

π 个单位,故选 C. 12

33. ( 2014 浙江理 17) 如图,某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练.已知点 A 到墙面的距离 为 AB , 某目标点 P 沿墙面的射击线 CM 移动, 此人为了准确瞄准目标点 P , 需计算由点 A 观 tan ? ? AC ? 25m, ?BCM ? 30? .则 察点 P 的仰角 的大小.若 AB ? 15m, 的最大值是 . (仰 角 ? 为直线 AP 与平面 ABC 所成角)
M P B C A

【解析】

5 3 9

过 点 P 作 于 N , 连 结 AN , 则 ?PAN ? ? , 如 图 . 设 P N ? x m , 由 ?BCM ? 30? , 得

CN ? 3x m .在直角 △ ABC 中, AB ? 15m ,AC ? 25m , 则 BC ? 20m ,
故 BN ? 20 ? 3x m . 从而 AN 2 ? 152
3x

?

? ? ? 20 ?

?

2

? 3x 2 ? 40 3x ? 625,

故 tan 2 ? ?

PN 2 x2 1 . ? ? 2 2 AN 3x ? 40 3 ? 625 625 40 3 ? ?3 x2 x
M P B N θ C

A

1 40 3 4 3 125 3 5 3 25 时, tan 2 ? 取最大值 , 即当 x ? 时, tan ? 取值最大值 . ? ? x 2 ? 625 125 12 9 27 34. ( 2014 浙江理 18) 在 △ ABC 中,内角 A , B, C 所对的边分别为 a , b, c ,已知 a ? b , c? 3,



cos2 A ? cos2 B ? 3 sin A cos A ? 3 sin B cos B. ⑴求角 C 的大小;

4 ⑵若 sin A ? , 求 △ ABC 的面积. 5
【解析】 ⑴由题意得 1 ? cos 2 A 1 ? cos 2 B 3 3 ? ? sin 2 A ? sin 2 B , 2 2 2 2 即
π? π? 3 1 3 1 ? ? sin 2 A ? cos 2 A ? sin 2 B ? cos 2 B , sin ? 2 A ? ? ? sin ? 2 B ? ? . 6 6? 2 2 2 2 ? ? ?

由 a ? b , 得 A ? B , 又 A ? B ? ? 0 ,π ? , 得

π π 2π π 即 A? B ? , 所以 C ? . ? 2B ? ? π , 6 6 3 3 4 a c 8 ⑵由 c ? 3 , sin A ? , ? ,得 a ? , 由 a ? c , 得 A ? C .从而 5 sin A sin C 5 3 cos A ? , 5 2A ?
故 sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos A sin C ? 所以, △ ABC 的面积为 S ? 评析
4?3 3 , 10

1 8 3 ? 18 ac sin B ? . 2 25

本题主要考查诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、正弦定理、三角形面积公式等

基础知识,同时考查运算求解能力. 35. ( 2014 浙江文 4) 为了得到函数 y ? sin 3x ? cos 3x 的图象,可以将函数 y ? 2 cos3x 的图象(



π 个单位 12 π C.向左平移 个单位 12 【解析】 A
A.向右平移

π 个单位 4 π D.向左平移 个单位 4
B.向右平移

π? ? ? π ?? ? ∵ y ? sin 3x ? cos3x ? 2 cos ? 3x ? ? ? 2 cos ?3 ? x ? ? ? , 4? 12 ? ? ? ? ?

∴ 将 y ? 2 cos3x 的图象向右平移

? ? π ?? π 个单位即可得到 y ? 2 cos ?3 ? x ? ? ? 的图象,故选 A. 12 ? ? 12 ? ?

36. ( 2014 浙江文 10) 如图,某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练.已知点 A 到墙面的距离 为 AB , 某目标点 P 沿墙面的射击线 CM 移动, 此人为了准确瞄准目标点 P , 需计算由点 A 观 察 点 P 的 仰 角 ? 的 大 小 ( 仰 角 ? 为 直 线 AP 与 平 面 ABC 所 成 角 ). 若 ) AB ? 15m, AC ? 25m, ?BCM ? 30? .则 tan ? 的最大值是(
M P B C A

A. 【解析】 D

30 5

B.

30 10

(第10题图)

C.

4 3 9

D.

5 3 9

如图, 过 P 作 PQ ? BC 于 Q , 则 PQ ? 平面 ABC , 所以 ?PAQ ? ? , 设P 则 CQ ? 3x m , Q x ? m,
BC ? 252 ? 152 ? 20m , BQ ? 20 ? 3x m ,∴

?

?

AQ ? 152 ? 20 ? 3x
tan ? ? x

?

?

2

? 625 ? 40 3 ? 3x2 m ,所以
? 1 625 40 3 ? ?3 x2 x
2



625 ? 40 3x ? 3x2



? 4 3 ? 27 625 40 3 8 3 25 ? 3 ? t2 ? t ?3?? ? t ,则 2 ? ?t ? 5 ? ? ? 25 , x x 5 x ? ?
25 5 3 ? ,故选 D . 27 9
M B A P Q C

即 tan ? 取得最大值

37. ( 2014 浙江文 18) 在 △ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别 a, b, c ,已知 4 sin2 ⑴求角 C 的大小; ⑵已知 b ? 4 , △ ABC 的面积为 6,求边长 c 的值. 【解析】 ⑴由已知得 2 ? ?1 ? cos ? A ? B?? ? ? 4sin Asin B ? 2 ? 2 , 化简得 ?2cos A cos B ? 2sin A sin B ? 2 ,

A? B ? 4 sin A sin B? ? 2 2

. 2

故 cos ? A ? B ? ? ? 从而 C ?

2 3π ,所以 A ? B ? , 2 4

π . 4 1 π ⑵因为 S△ABC ? ab sin C ,由 S△ ABC ? 6 , b ? 4 , C ? ,得 a ? 3 2 . 2 4
由余弦定理 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ,得 c ? 10 . 38. ( 2014 重庆理 10)

1 已 知 △ ABC 的 内 角 A,, B C满 足 s i n 2 A ? s i?nA ? B ? C ? ? s?i nC ? A ? ?B ? , 面 积 S 满 足 2 ) B C 所对的边,则下列不等式一定成立的是( 1≤ S ≤ 2 , 记 a , b, c 分别 A,,
A. bc ? b ? c ? ? 8 C. 6 ≤ abc ≤ 12 【解析】 A 39. ( 2014 重庆理 17)
π π? π ? ? ≤ ? ? ? 的图象关于直线 x ? 对称,且图象上相 已知函数 f ? x ? ? 3 sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, 2 2? ? 3

B. ab ? a ? b ? ? 16 2
abc 24 D.12剟

邻两个最高点的距离为 π . ⑴求 ? 和 ? 的值;
3π ? 3?π 2π ? ? ?? ? ⑵若 f ? ? ? 求 cos ? ? ? ? 的值. ? ?? ? ?, 2 ? 2 4 6 3 ? ? ? ? ?

【解析】 ⑴因为 f ? x ? 的图象上相邻两个最高点的距离为 π ,所以 f ? x ? 的最小正周期
T ? π ,从而 ? ?

2π ? 2. T

π π π 对称,所以 2 ? ? ? ? kπ ? , k ? 0, ?1 , ? 2, ?. 3 2 3 π π π 2π π 因 ? ≤? ? 得 k ? 0 .所以 ? ? ? ?? . 2 2 2 3 6
又因为 f ? x ? 的图象关于直线 x ?
3 ?? ? ? ? π? ⑵由⑴ 得 f ? ? ? 3 sin ? 2 ? ? ? ? , ?2? ? 2 6? 4

π? 1 ? 所以 sin ? ? ? ? ? . 6? 4 ?

由于

π 2π π π 得0 ?? ? ? , ?? ? 6 3 6 2
2

π? π? 15 ? ? ?1? 所以 cos ? ? ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? . 6? 6? 4 ? ? ? 4?
3π ? ?? π ? π? ? 因此 cos ? ? ? ? ? sin ? ? sin ?? ? ? ? ? ? 2 6 ? 6? ? ? ?? π? π π? π ? ? ? sin ? ? ? ? cos ? cos ? ? ? ? sin 6? 6 6? 6 ? ?

1 3 15 1 3 ? 15 ? ? ? ? . 4 2 4 2 8 40. ( 2014 重庆文 13) ?

π π? ? ? ≤? ? ? 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵 将函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, 2 2? ?

坐标不变,再向右平移 【解析】

π 个单位长度得到 y ? sin x 的图象,则 6

?π? f ? ? ? ______. ?6?

2 2 41. ( 2014 重庆文 18) 在 △ ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,且 a ? b ? c ? 8 .

5 ,求 cos C 的值; 2 B A 9 ⑵若 sin A cos2 ? sin B cos2 ? 2sin C ,且 △ ABC 的面积 S ? sin C ,求 a 和 b 的值. 2 2 2 7 【解析】 ⑴由题意可知: c ? 8 ? ? a ? b ? ? . 2 2 2 ?5? ?7? 2 2 ?? ? ?? ? a 2 ? b2 ? c 2 ?2? ?2? ? ?1 . 由余弦定理得: cos C ? ? 5 2ab 5 2? 2? 2 B A ⑵由 sin A cos2 ? sin B cos2 ? 2sin C 可得: 2 2 1 ? cos B 1 ? cos A sin A ? ? sin B ? ? 2sin C . 2 2 化简得 sin A ? sin A cos B ? sin B ? sin B cos A ? 4sin C . 因为 sin A cos B ? cos A sin B ? sin ? A ? B ? ? sin C, 所以 sin A ? sin B ? 3sin C .
⑴若 a ? 2, b ? 由正弦定理可知: a ? b ? 3c .又因为 a ? b ? c ? 8, 所以 a ? b ? 6 .

1 9 由于 S ? ab sin C ? sin C, 所以 ab ? 9, 从而 a 2 ? 6a ? 9 ? 0 .解得 a ? 3, b?3. 2 2


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