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2012全国数学高考题-极坐标与参数方程


16. (选修 4-4:坐标系与参数方程) 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系. 已知射线 ?
? π 4

与曲线 ?

? x ? t ? 1, ? y ? ( t ? 1)
2

(t 为参数) .

相交于 A,B 两点,则线段 AB 的中点的直角坐标为 考点分析:本题考察平面直角坐标与极坐标系下的曲线方程交点. 难易度:★ 解析: ?
? π 4

在直角坐标系下的一般方程为 y ? x ( x ? R ) ,将参数方程 ?

? x ? t ? 1, ? y ? ( t ? 1)
2
2

(t 为参

数)转化为直角坐标系下的一般方程为 y ? ( t ? 1) ? ( x ? 1 ? 1) ? ( x ? 2 ) 表示一条抛物
2 2

线,联立上面两个方程消去 y 有 x ? 5 x ? 4 ? 0 ,设 A 、 B 两点及其中点 P 的横坐标分别
2

为 x A、 x B 、 x 0 , 则有韦达定理 x 0 ? 的中点 P ( , ) .
2 2 5 5

xA ? xB 2

?

5 2

,又由于点 P 点在直线 y ? x 上, 因此 AB

(2012 湖北) (23)(本小题满分 10 分)选修 4 ? 4:坐标系与参数方程 在直角坐标 xO y 中,圆 C 1 : x ? y ? 4 ,圆 C 2 : ( x ? 2 ) ? y ? 4 。
2 2 2 2

(Ⅰ)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C 1 , C 2 的极坐标方程, 并求出圆 C 1 , C 2 的交点坐标(用极坐标表示); (Ⅱ)求出 C 1与 C 2 的公共弦的参数方程。 【答案及解析】

【点评】本题主要考查直线的参数方程和圆的极坐标方程、普通方程与参数方程的互化、极
2 2 坐 标 系 的 组 成 . 本 题 要 注 意 圆 C 1 : x ? y ? 4 的 圆 心 为 ( 0 , 0 ) 半 径 为 r1 ? 2 , 圆

C 2 : ( x ? 2 ) ? y ? 4 的圆心为 ( 2 , 0 ) 半径为 r 2 ? 2 ,从而写出它们的极坐标方程;对于两
2 2

圆的公共弦,可以先求出其代数形式,然后化成参数形式,也可以直接根据直线的参数形式 写出。 对于极坐标和参数方程的考查, 主要集中在常见曲线的考查上, 题目以中低档题为主. (2012 辽宁) (16)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1) ,此时圆上一 点 P 的位置在(0,0) ,圆在 x 轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于(2,1)时, 为______________。 解析:根据题意可知圆滚动了 2 单位个弧长,点 P 旋转 了
2 1 ? 2 弧度,此时点 P 的坐标为

的坐标

C D

) ? 2 ? sin 2 , 2 ? y P ? 1 ? sin( 2 ? ) ? 1 ? cos 2 , . 2 OP ? ( 2 ? sin 2 ,1 ? cos 2 )

x P ? 2 ? cos( 2 ?

?

另解 1:根据题意可知滚动制圆心为( 2,1)时的圆的参数方程为 ?
? ? x ? 2 ? cos( ? PCD ? 2 , ? ? ?2 ,则点 P 的坐标为 ? 2 ? y ? 1 ? sin( ?
3?

? x ? 2 ? cos ? ? y ? 1 ? sin ?

,且

3? 3? 2 2

? 2 ) ? 2 ? sin 2

,即
? 2 ) ? 1 ? cos 2

OP ? ( 2 ? s i n ,1 ? c o s ) . 2 2

(2012 山东) C.(坐标系与参数方程选做题)直线 2 ? cos ? ? 1 与圆 ? ? 2 cos ? 相交的弦长为 .

(2012 陕西) 10 . 如 图 , 在 极 坐 标 系 中 , 过 点 M ( 2 , 0 ) 的 直 线 l 与 极 轴 的 夹 角 ? ?
?
6



若将 l 的极坐标方程写成 ? ? f (? ) 的形式,则 f (? ) ?



【 解 析 】 设 直 线 上 的 任 一 点 为

P ( ? , ? ) , 因 为 ? PAB ?

?
6

, 所 以

?O P A ?

?
6

?? ,

根据正弦定理得

OP sin OAP

?

OA sin OPA

,即

?
sin( ? ?

?
6

? ) sin(

2

2 sin

?
6 ? sin( 1 ??)

?
6
1

,即 ? ?
??)

sin(

?
6

?
6


??)

【答案】 ? ?
sin(

?
6

??)

(2012 上海) (23)本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 已知曲线 C 1 的参数方程是 ?
? x ? 2cos ? ? y ? 3sin ? (? 为参数 ) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴

为极轴建立坐标系,曲线 C 2 的坐标系方程是 ? ? 2 ,正方形 A B C D 的顶点都在 C 2 上, 且 A , B , C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 ( 2 , (1)求点 A , B , C , D 的直角坐标; (2)设 P 为 C 1 上任意一点,求 P A ? P B 【解析】 (1)点 A , B , C , D 的极坐标为 (2,
?
3
2 2

?
3

)

? PC

2

? PD

2

的取值范围。
11? 6 )

), (2,

5? 6

), (2,

4? 3

), (2,

点 A , B , C , D 的直角坐标为 (1, 3 ), ( ? 3 ,1), ( ? 1, ? 3 ), ( 3 , ? 1)
? x 0 ? 2 co s ? ? y 0 ? 3 sin ?
2

(2)设 P ( x 0 , y 0 ) ;则 ?
t ? PA
2

(? 为 参 数 )

? PB
2

2

? PC

? PD

2

? 4 x ? 4 y ? 40
2 2

? 5 6 ? 2 0 sin ? ? [5 6, 7 6 ] (lfxlby)

(24) (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知函数 f ( x ) ? x ? a ? x ? 2 (1)当 a ? ? 3 时,求不等式 f ( x ) ? 3 的解集; (2)若 f ( x ) ? x ? 4 的解集包含 [1, 2 ] ,求 a 的取值范围。 【解析】 (1)当 a ? ? 3 时, f ( x ) ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3

x? 2 2? x?3 x?3 ? ? ? ? ? 或? ? 或? ? ?3 ? x ? 2 ? x ? 3 ?3 ? x ? x ? 2 ? 3 ?x ? 3 ? x ? 2 ? 3
? x ? 1或x ? 4

(2)原命题 ? f ( x ) ? x ? 4 在 [1, 2 ] 上恒成立
? x ? a ? 2 ? x ? 4 ? x 在 [1, 2 ] 上恒成立
? ? 2 ? x ? a ? 2 ? x 在 [1, 2 ] 上恒成立
? ?3 ? a ? 0

(2012 新课标) (23)(本小题满分 10 分)选修 4 ? 4:坐标系与参数方程 在直角坐标 xO y 中,圆 C 1 : x ? y ? 4 ,圆 C 2 : ( x ? 2) ? y ? 4 。
2 2 2 2

(Ⅰ)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C 1 , C 2 的极坐标方程, 并求出圆 C 1 , C 2 的交点坐标(用极坐标表示); (Ⅱ)求圆 C 1与 C 2 的公共弦的参数方程。 【答案与解析】

【点评】本题主要考查点的极坐标表示、圆的极坐标方程、参数方程的表示及参数方程与一 般方程的转换、解方程组的知识,难度较小。本题要注意圆 C 1 : x ? y ? 4 的圆心为 ( 0 , 0 )
2 2

半径为 r1 ? 2 , C 2 : ( x ? 2) ? y ? 4 的圆心为 ( 2 , 0 ) 半径为 r2 ? 2 , 圆 从而写出它们的极坐
2 2

标方程;对于两圆的公共弦,可以先求出其代数形式,然后化成参数形式,也可以直接根据 直线的参数形式写出。 (24)(本小题满分 10 分)选修 4 ? 5:不等式选讲
1 。 已知 f ( x ) ? | ax ? 1 | ( a ? R ) ,不等式 f ( x ) ? ?3 的解集为 { x | ? 2剎 ? x ? ? }

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若 | f ( x ) ? 2 f ( ) |? ?k 恒成立,求 k 的取值范围。
2 x

【答案与解析】

【点评】本题主要考查分段函数、不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用,考查分类讨 论思想在解题中的灵活运用,第(Ⅰ)问,要真对 a 的取值情况进行讨论,第(Ⅱ)问要真对
x f ( x ) ? 2 f ( ) 的正负进行讨论从而用分段函数表示,进而求出 k 的取值范围。本题属于中 2

档题,难度适中.平时复习中,要切实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用。

(2012 辽宁文) 15.A (不等式选做题)若存在实数 x 使 | x ? a | ? | x ? 1|? 3 成立,则实数 a 的取值范围是 解析:由题意知左边的最小值小于或等于 3 即可,根据不等式的性质得
(x ? a ) ? ( x ? 1) ? 3,? a ? 1 ? 3, ?2 ? a ? 4.

答案: ?2 ? a ? 4. 点评:本题主要考察绝对值不等式的性质及其运用. 15 C (坐标系与参数方程)直线 2 ? cos ? ? 1 与圆 ? ? 2 cos ? 相交的弦长为 解析:化极坐标为直角坐标得直线
x? 1 2 ,圆( x ? 1) ? y ? 1,由勾股定理可得相交弦长为2 ?
2 2

3

3 2

= 3.

答案: 3. 点评:本题主要考察极坐标系与极坐标方程,先化为普通方程后求解. (2012 陕西文)


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