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2015年高频考点测试卷 新课标Ⅰ卷 高中数学(理)


2015 年高频考点测试卷?新课标Ⅰ卷?高中数学(理)
第Ⅰ卷
1.已知集合 M ? {x y ? ln(1 ? x)}, N ? {x 2 x ? 1}, 则 M A. ? 解析: 【知识点】集合的交运算,对数函数的定义域及指数函数的单调性。 【考查能力】本题主要考查学生对数的真数大于零及指数函数的性质的应用。 【思路方法】因为 y ? ln(1 ? x ), 所以 1 ? x ? 0, 即 x ? 1, 则 M ? {x x ? 1}, 又 2 x ? 1, 所以
N ? {x x ? 0}, 则 M

N ?(

) D. {x x ? 1}

B. {x 0 ? x ? 1}

C. {x x ? 0}

N ? {x 0 ? x ? 1}. 故选 B。

【得分点】正确得全分,错误得 0 分。 2、已知复数 z ? A.第一象限 解析: 【知识点】复数的运算,共轭复数的概念,复数的几何意义。 【考查能力】本题主要考查学生将复数化简成 a ? bi(a, b ? R) 的形式,再判断共轭复数在复 平面内所对应的点位于的象限。 【思路方法】 因为 z ?
(3 ? i ) 2 8 ? 6i (8 ? 6i )(1 ? i ) 14 ? 2i ? ? ? ? 7 ? i, 所以 z ? 7 ? i, 所以复数 z 在复平面内所 1? i 1? i (1 ? i )(1 ? i ) 2

(3 ? i ) 2 (i为虚数单位), 则其共轭复数 z 在复平面内所对应的点位于( 1? i



B.第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

对应的点位于第一象限。故选 A。 【得分点】正确得全分,错误得 0 分。
2 3、对于数列 {an } , “ ?an ? 成等比数列”是 " an ?1 ? a n a n ? 2 " 的(



A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件 解析: 【知识点】等比数列、充要条件。

D.既不充分也不必要条件

【考查能力】本题主要考查学生能否分清条件和结论,由条件推出结论成立,则条件是结论 的充分条件,由结论推出条件,则条件是结论的必要条件。 【思路方法】

?an ? 成等比数列 ? an2?1 ? anan?2 且 an ? 0 ,故“ ?an ? 成等比数列”是 " a
不必要条件选 A。 【得分点】正确得全分,错误得 0 分。 4、

2 n ?1

? an a n?2 " 充分

已知下图是某学生的 14 次数学考试成绩的茎叶图,第 1 次到 14 次的考试成绩依次记为
A1 , A2 ,?, A14 , 图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图. 则输出的

n 是(



A.8 解析:

B. 9

C. 10

D.11

【知识点】茎叶图、程序框图 【考查能力】本题主要考查学生的识图能力,解题关键是理解程序框图表示的实际意义。

【思路方法】 依据程序框图中的循环结构知其作用是统计茎叶图中数学成绩不低于 90 分的次数,由茎叶 图易知共有 10 次,故输出的 n 值为 10。故选 C。 【得分点】正确得全分,错误得 0 分。 5、中心在坐标原点的椭圆,焦点在 x 轴上,焦距为 4,离心率为 ( A. C. 解析: 【知识点】椭圆标准方程的求法,基本量的计算。椭圆的几何性质等基础知识。 【考查能力】本题主要考查学生运算求解能力。 【思路方法】由题意, 2c ? 4, c ? 2, 又 e ?
x2 y2 ? ? 1 。故选 D。 8 4

2 , 则改椭圆的方程为 2


x2 y2 ? ?1 16 12 x2 y2 ? ?1 12 4

B. D.

x2 y2 ? ?1 12 8 x2 y2 ? ?1 8 4

c 2 ? , 则 a ? 2 2 , b ? 2, 所以椭圆的标准方程为 a 2

【得分点】正确得全分,错误得 0 分。
?x ? 2 ? , 目标函数 z ? 3x ? y 的最小值是 5,则 z 的最大值 6、已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ?? 2 x ? y ? c ? 0 ?



) A.10 B.12 C.14 D.16

解析: 【知识点】线性规划。 【考查能力】本题主要考查学生将目标函数变换为直线的斜截式后,这条直线在 y 轴上的截 距就可以就可以用 z 来表示。

【思路方法】由 z ? 3x ? y, 得 y ? ?3x ? z, 作出不等式组所表示的可行域的大致图形如图中阴 影部分所示, 由图可知当直线 y ? ?3x ? z 经过点 A 时, 直线的截距最小, 即 z 取得最小值 5, 由?
?x ? 2 ?3 x ? y ? 5 , 代入直线 ?2 x ? y ? c ? 0 的 c ? 5, 即直线方程为 ?2 x ? y ? 5 ? 0. 平 , 解得 ? x ? 2 ? y ? ?1 ?

移直线 3x ? y ? 0, 当直线 z ? 3x ? y 经过点 B 时,直线的截距最小,此时 z 取得最小值,由
?? 2 x ? y ? 5 ? 0 ?x ? 3 ,得? , 即 B(3,1), 代入直线 z ? 3x ? y 的 z ? 3 ? 3 ? 1 ? 10. 故选 A。 ? ?x ? y ? 4 ?y ? 1

【得分点】正确得全分,错误得 0 分。 7、设随机变量 ? 服从正态分布(3,4) ,若 P(? ? 2a ? 3) ? P(? ? a ? 2), 则 a ? ( A.3 解析: 【知识点】正态分布。 【考查能力】 本题主要考查正态分布的相关知识, 考查学生能利用对称的性质解决相关的问 题。 【思路方法】因为随机变量 ? 服从正态分布(3,4) , P(? ? 2a ? 3) ? P(? ? a ? 2), 所以
7 (2a ? 3) ? (a ? 2) ? 2 ? 3, 解得 a ? . 故选 D。 3



B.

5 3

C.5

D.

7 3

【得分点】正确得全分,错误得 0 分。 8、已知某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为( )

4

2 2

2

正视图

侧视图

2

俯视图 视图 A.40 解析:

4 B.30 C.36 D.42

【知识点】根据三视图计算几何体的表面积。 【考查能力】 本题主要考查学生的空间想象能力, 解题的关键是抓住三视图的特点 “长对正, 高平齐,宽相等” 。 【思路方法】 如图所示, 此几何体是一个以 AA' ? 2, AD ? 4, AB ? 2 为棱的长方体被平面 A ' BC ' 截去一个角后得到的多面体,在 ?A' BC' 中因为 A' C' ? BC' ? 2 5, A' B ? 2 2 ,所以
S ?A' BC ' ? 1 ? 2 2 ? (2 5 ) 2 ? ( 2 ) 2 ? 6, 故该几何体的表面积为 2 1 ? 2 ? 2 ? 6 ? 36. 故选 C。 2

2?4?2? 2?2?

A'

D'

C'
A B D

C

【得分点】正确得全分,错误得 0 分。 9、 已知双曲线的
x2 y2 右焦点分别为 F1 , F2 , 两条渐近线分别为 l1 , l 2 , 点 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、 a 2 b2

P 在第一象限内且在 l1 上,若 l 2 ? PF1 , l 2 // PF2 , 则该双曲线的离心率是(



A. 解析:

6

B.2

C.

3

D.

2

【知识点】双曲线的基本概念及性质。 【考查能力】本题主要考查学生利用平面几何知识、简化运算的能力,及利用齐次方程求双 曲线的离心率。 【思路方法】 设双曲线的左、 右焦点分别为 F1 ( ?c,0), F2 (c,0), 因为点 P 在第一象限内且在 l1 上, 所以两条渐近线方程分别为 l1 : y ?
b b x, l 2 : y ? ? x, 设点 P( x 0 , y 0 )( x 0 ? 0), 因为 a a 1 b 2 2 F1 F2 ? c, x0 ? y0 ? c 2 , 又 y 0 ? x 0 , 代入得 2 a

l 2 ? PF1 , l 2 // PF2 , 所以 PF1 ? PF2 , 即 OP ?

b b b 2 x0 ? ( x0 ) 2 ? c 2 , 解得 x 0 ? a, y 0 ? b, 即 P ( a , b), 所以 PF1 的斜率为 k PF1 ? , l 2 的斜率为 ? , a a a?c

又 l 2 ? PF1 , 所以

b b ? ( ? ) ? ?1, 即 b 2 ? a(a ? c) ? a 2 ? ac ? c 2 ? a 2 , 所以 c 2 ? ac ? a 2 ? 0, 所以 a?c a

e 2 ? e ? 2 ? 0, 解得 e ? 2或e ? ?1(舍去), 所以该双曲线的离心率为 e ? 2, 故选 B。

【得分点】正确得全分,错误得 0 分。 10、已知 ?ABC 的内角 A, C 满足 A. 解析: 【知识点】三角恒等变换及基本不等式。 【考查能力】本题主要考查学生对三角恒等变换的灵活应用。解决本题的关键是将
sinC ? cos(A ? C ) 中的角 C 用 ( A ? C ) ? A 来表示,将 tanC 变换为 tan[(A ? C ) ? A], 然后利用两 sin A
2

sinC ? cos(A ? C ), 则 tanC 的最大值为( sin A

) D.
3 3

B.

2 4

C.

2 2

角和与差的正切公式和基本不等式即可求得 tanC 的最大值。 【思路方法】因为
sinC ? cos(A ? C ) ,所以 sinC ? sin A cos(A ? C ), 即 sin A

sin[(A ? C ) ? A] ? sin A cos(A ? C ), 整理得 sin(A ? C ) cos A ? 2 sin A ? cos(A ? C ), 则
tan(A ? C ) ? 2 tan A, 因为

sinC ? cos(A ? C ) ? 0, 所以 A 为锐角,则 tan A ? 0, 又 sin A

tanC ? tan[(A ? C ) ? A] ?

tan(A ? C ) ? tan A tan A ? ? 1 ? tan(A ? C ) tan A 1 ? 2 tan2 A

1 ? 1 ? 2 tan A tan A

1 1 ? 2 tan A tan A

?

2 , 4

当且仅当

1 2 ? 2 tan A 时等号成立,所以 tanC 的最大值为 . 故选 B。 tan A 4

【得分点】正确得全分,错误得 0 分。 11、 已知 A, B 是球 O 球面上的两点, SC 为球 O 的直径, AB ? 3, ?ASC ? ?BSC ? 30?, 若三棱锥
S ? ABC 体积为 3 , 则球 O 的表面积为(

) C. 16? D. 24?

A. 4? 解析:

B. 9?

【知识点】球内接棱锥的体积,球的表面积等知识。 【考查能力】本题主要考查学生的空间想象能力及基本运算能力。 【思路方法】如图,由于 SC 为球 O 的直径,所以 ?SAC ? ?SBC ? 90 ?, ?ASC ? ?BSC ? 30 ?, 所 以 CB ? CA ?
1 SC, 设球 O 的半径为 R ,连接 OA, OB , 则 OA ? OB ? OC ? AC ? CB ? R, 取 AB 的 2
3 4

中点 D , 连接 OD , CD , 又 AB ? 3, 则 OD ? CD R 2 ? , 三棱锥 S ? ABC 的高为 2 h , 又三棱锥
S ? ABC 的高为 ?ODC 的边 DC 上的高,易知其高为 h , 故 ? ? 3 ? R 2 ?
h R2 ? 1 3 1 2 3 ? 2h ? 3 , 故 4

3 1 3 1 3 2 3 2 1 3 2 3 ? 3, 在 ?ODC 中有 h R 2 ? ? R R ? ,故 ? R R ? , 解得 R ? 2, 所以 4 2 4 2 4 4 3 2 4 4

球 O 的表面积为 4?R 2 ? 16? . 故选 C。

S B 0 D C A

【得分点】正确得全分,错误得 0 分

12、对于定义域为 I 的函数 y ? f ( x ), 如果存在区间 [ m , n ] ? I , 同时满足:① f ( x ) 在 [ m , n ] 内 是单调函数; ②当定义域是 [ m , n ] , f ( x ) 的值域也是 [ m , n ] , 则称 [ m , n ] 是函数 y ? f ( x ) 的 “好 区间” 。已知函数 P( x) ? 最大值是( A. 解析: 【知识点】本题是一道新定义的题目。 【考查能力】本题主要考查函数的单调性,一元二次方程根的分布及根与系数的关系。 【思路方法】因为 P( x ) 有“好区间” ,所以 [m, n] ? (??,0)或[m, n] ? (0, ? ?),
P( x) ?
?P(n ) ? n (t 2 ? t ) x ? 1 t ? 1 1 , 即 m, n ? ?) 上是单调递增的,因此 ? ? ? 2 在 ( ??,0)和(0, 2 t t x t x ?P(m) ? m

(t 2 ? t ) x ? 1 , (t ? R, t ? 0) 有“好区间” [ m , n ] ,当 t 变化时, n ? m 的 t2x

) B.
3 3

2 3 3

C.

1 2

D.

1 4

是 P( x ) ? x 的两个不同的根,即方程 t 2 x 2 ? (t 2 ? t ) x ? 1 ? 0 有两个同号的不等实数根,
m?n ? t2 ? t 1 1 ? 1 ? , mn ? 2 ? 0, ? ? (t 2 ? t ) 2 ? 4t 2 ? 0, 所以 2 t t t

1 1 4 2 3 t ? 1或t ? ?3. n ? m ? ( n ? m ) 2 ? 4mn ? ? 3( ? ) 2 ? , 当 t ? 3 时, n ? m 取得最大值 .故 t 3 3 3

选 A。 【得分点】正确得全分,错误得 0 分。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 1、已知向量 a , b 满足 a ? 2, b ? 3, 且 ( a ? b ) ? b , 则 a 与 b 的夹角 ? 为_____________. 解析: 【知识点】向量的数量积,向量的夹角。 【考查能力】本题主要考查学生基本运算能力及转化与化归思想。 【思路方法】解法一:因为 ( a ? b ) ? b , 所以 ( a ? b ) ? b ? 0, 则 a ? b ? b ? 0, 即 2 3 cos? ? 3 ? 0,
? ? ? ? ? ?
? ? ?2

? ?

?

?

?

?

?

?

?

所以 cos? ? ?

? ? 5? 3 . , 又 ? ? [0, ? ], 则 a 与 b 的夹角为 6 2

解法二:如图,令 OA ? a ? b, 则 BA ? a , 在 Rt?OAB中,cos? ? 的夹角为 A
5? . 6

?

?

?

?

?

OB BA
?

?

?

? ? ? 3 , 所以 B ? , 则 a 与 b 6 2

O

B

【得分点】正确得全分,错误得 0 分。
(x ? 2、若 a x2
6 ) 的展开式中常数项是 60,则常数 a 的值为______________.

解析: 【知识点】二项式定理的二项展开式。 【考查能力】本题主要考查学生由二项展开式的常数项先求出 r 的值,再代入展开式即可求 得a。 【思路方法】由题意可知,该二项展开式的通项公式为
r 6? r Tr ?1 ? C 6 x ? (?

a x2

r 2 6?3r 2 ) 2 ? ( ?1) r C 6 a x , 令 6 ? 3r ? 0, 得 r ? 2, 所以 (?1) 2 C6 a ? 60, 解得 a ? 4.

r

【得分点】正确得全分,错误得 0 分。
2 2 3、已知数列 {a n } 满足 an?1 ? an ? 4n ? 3(n ? N ? ), 若对任意的 n ? N ? , 都有 an ? an ?1 ? 20n ? 15

成立,则 a 1 的取值范围是______________. 解析: 【知识点】数列的有关概念。 【考查能力】本题主要考查学生等差数列的求和。 【思路方法】由 a n ?1 ? a n ? 4n ? 3, 得 an?2 ? an?1 ? 4n ? 1(n ? N ? ), 两式相减,得 a n ?2 ? a n ? 4, 所 以数列 {a 2 n ?1 } 的首项为 a1 , 公差为 4 的等差数列, 所以 a n ? ?
?2n ? 2 ? a1,n为奇数 , 当为奇数时, ?2n ? 3 ? a1,n为偶数

2 2 2 2 a n ? 2n ? 2 ? a1,a n ?1 ? 2n ? 1 ? a1 . 由 an ? an ?1 ? 20n ? 15 得 a1 ? a1 ? ?4n ? 16n ? 10. 因为

所以当 n ? 1或3时, ? 4n 2 ? 16n ? 10 ? ?4(n ? 2) 2 ? 6, [?4(n ? 2) 2 ? 6]max ? 2. 又由题意得
2 a1 ? a1 ? 2, 解得 a1 ? 2或a1 ? -1. 当为偶数时, a n ? 2n ? a1 ? 3,a n ?1 ? 2n ? a1 . 由 2 2 2 2 2 2 所以当 an ? an ?1 ? 20n ? 15 得 a1 ? 3a1 ? ?4n ? 16n ? 12. 因为 ? 4n ? 16n ? 12 ? ?4(n ? 2) ? 4,

2 n ? 2时, [?4(n ? 2) 2 ? 4]max ? 4. 又由题意得 a1 ? 3a1 ? 4, 解得 a1 ? 1或a1 ? -4. 综上, a 1 的取值

范围是 ( ??,?4] ? [2,??). 【得分点】正确得全分,错误得 0 分。 4、若函数 f ( x ) ? 解析: 【知识点】符合函数和归纳推理。 【考查能力】本题主要考查学生通过写出前几个函数,先观察、再归纳出函数 f ( 99) ( x ) 的解 析式。 【思路方法】因为 f (1) ( x ) ? f ( x ) ?
f
( 3)

x 1? x
2

, 且 f ( n ) ( x) ? f ( f ( f ?( x))), 则 f ( 99) (1) ? __________ ______ .

x 1? x
( 99) 2

, f 2 ( x ) ? f ( f ( x )) ? x 1 ? 99x 2

x 1 ? 2x2

,

( x ) ? f ( f ( f ( x ))) ?

x 1 ? 3x 3

,?, f

( x) ?

, 所以 f ( 99) (1) ?

1 . 10

【得分点】正确得全分,错误得 0 分。 17.(本小题共 12 分) 已知 m ? (2 cos x ? 2 3 sin x , 1) , n ? (cosx ,? y) ,满足 m ? n ? 0 . (1)将 y 表示为 x 的函数 f ( x) ,并求 f ( x) 的最小正周期; (2)已知 a , b , c 分别为 ?ABC 的三个内角 A , B , C 对应的边长,若 f ( x) ? f ( ) 对所有

A 2

x ? R 恒成立,且 a ? 2 ,求 b ? c 的取值范围.
解析: (I)由 m ? n ? 0 得 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? y ? 0

即 y ? 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2 sin( 2 x ? 所以 f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ? 1 …………2 分

?
6

) ? 1 ,其最小正周期为 ? .

…………………………4 分

(II)因为 f ( x) ? f ( ) 对所有 x ? R 恒成立 所以 f ( ) ? 3 ,且 A ?

A 2

A 2

?
6

? 2k? ?

?
2

,k ? Z

因为 A 为三角形内角,所以 0 ? A ? ? ,所以 A ? 由正弦定理得 b ?

?
3



………………………………8 分

4 3 4 3 4 3 4 3 sin B , c ? sin C , b ? c ? sin B ? sin C 3 3 3 3

?

? 4 3 4 3 2? sin B ? sin( ? B) ? 4 sin( B ? ) 6 3 3 3
2? ? 1 ) ,? sin( B ? ) ? ( ,1] , b ? c ? (2 ,4 ] 3 6 2
………………………………………………12 分

? B ? (0 ,

所以 b ? c 的取值范围为 (2 ,4 ] 18. (本小题满分 12 分)

为了整顿道路交通秩序, 某地考虑将对行人闯红灯进行处罚. 为了更好地了解市民的态 度,在普通行人中随机选取了 200 人进行调查,得到如下数据:

(Ⅰ)若用表中数据所得频率代替概率,则处罚 10 元时与处罚 20 元时,行人会闯红灯 的概率的差是多少? (Ⅱ) 若从这 5 种处罚金额中随机抽取 2 种不同的金额进行处罚, 在两个路口进行试验. ①求这两种金额之和不低于 20 元的概率; ②若用 X 表示这两种金额之和,求 X 的分布列和数学期望. 解析: ( Ⅰ ) 由 条 件 可 知 , 处 罚 10 元 会 闯 红 灯 的 概 率 与 处 罚 20 元 会 闯 红 灯 的 概 率 的 差

是:

40 10 3 ? ? .………………………………………………………………………(4 分) 200 200 20

(Ⅱ)①设“两种金额之和不低于 20 元”的事件为 A ,从 5 种金额中随机抽取 2 种,总的抽
2 选方法共有 C5 ? 10 种,满足金额之和不低于 20 元的有 6 种,

故所求概率为 P ( A) ?

6 3 ? .………………………………………………………………(8 分) 10 5

②根据条件, X 的可能取值为 5,10,15,20,25,30,35,分布列为

X

5

10

15

20

25

30

35

1 1 1 1 1 1 1 5 5 5 10 10 10 10 1 1 1 1 1 1 1 EX ? 5 ? ? 10 ? ? 15 ? ? 20 ? ? 25 ? ? 30 ? ? 35 ? =20.……………(12 分) 10 10 5 5 5 10 10

P? X ?

19. (本小题满分 12 分) 如图,在边长为 4 的菱形 ABCD 中, ?DAB ? 60 .点 E , F 分别在边 CD, CB 上,点
0

E 与点 C , D 不重合,EF ? AC ,EF
使平面 PEF ⊥平面 ABFED . (1)求证: BD ⊥平面 POA ;

AC ? O . 沿 EF 将 ?CEF 翻折到 ?PEF 的位置,

(2)当 PB 取得最小值时,请解答以下问题: (Ⅰ)求四棱锥 P ? BDEF 的体积; (Ⅱ)若点 Q 满足 AQ = ? QP ( ? ? 0 ),试探究:直线 OQ 与平面 PBD 所成角的大小 是否一定大于

? ?并说明理由. 4

解析: (Ⅰ)证明: ∵ 菱形 ABCD 的对角线互相垂直, ∴ BD ? AC ,∴ BD ? AO ,································································································ 1 分



E F? A C ,∴ PO ? EF .

∵ 平面 PEF ⊥平面 ABFED ,平面 PEF 且 PO ? 平面 PEF , ∴ ∵
PO ? 平面 ABFED ,

平面 ABFED ? EF ,
PO ? BD .···························· 3 分



BD ? 平面 ABFED ,∴

AO

PO ?

O ,∴

BD ? 平面 POA . ······································································ 4 分

(Ⅱ)如图,以 O 为原点,建立空间直角坐标系 O ? xyz . ··············································· 5 分 (ⅰ)设 AO
BD ? H . 因为 ?DAB ? 60? ,所以 ?BDC 为等边三角形,

故 BD ? 4 , HB ? 2, HC ? 2 3 .又设 PO ? x ,则 OH ? 2 3 ? x , OA ? 4 3 ? x . 所以 O(0,0,0) , P(0,0, x) , B(2 3 ? x,2,0) , 故 PB ? OB ? OP ? (2 3 ? x,2, ?x) , ··············································································· 6 分 所以 PB ? (2 3 ? x)2 ? 22 ? x 2 ? 2( x ? 3) 2 ? 10 , 当 x ? 3 时, PB min ? 10 . 此时 PO ? 3 , OH ? 3. ··············································· 7 分 由(Ⅰ)知, PO ? 平面 BFED,
1 1 3 3 ? 22 ) ? 3 ? 3 . ··························· 8 分 所以 V四棱锥P ? BFED ? ? S梯形BFED ? PO ? ? ( ? 42 ? 3 3 4 4

(ⅱ)设点 Q 的坐标为 ? a, 0, c ? , 由(i)知, OP ? 3 ,则 A(3 3,0,0) , B( 3,2,0) , D( 3, ?2,0) , P(0,0, 3) . 所以 AQ ? a ? 3 3, 0, c , QP ? ? a, 0, 3 ? c , ··························································· 9 分

?

?

?

?

∵ AQ=? QP ,

? 3 3 , ?a ? ? ? ?a ? 3 3 ? ?? a, ? ? 1 ∴? . ?? ? ? c ? 3? ? c ? 3? ? ?c ? ? ?1 ? 3 3 3? , 0, ), ∴ Q( ? ?1 ? ?1 3 3 3? , 0, ). ∴ OQ ? ( ···················· 10 分 ? ?1 ? ?1
设平面 PBD 的 法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 n ? PB ? 0, n ? BD ? 0 . ∵ PB ?

?

? 3x ? 2 y ? 3z ? 0, ? 3, 2, ? 3 , BD ? ? 0, ?4,0? ,∴ ? ? ??4 y ? 0

?



取 x ? 1 ,解得: y ? 0, z ? 1 , 所以 n ? (1, 0,1) . ························································· 10 分 设直线 OQ 与平面 PBD 所成的角 ? ,

∴ sin ? ? cos ? OQ, n ? ?

OQ ? n OQ ? n

?

3 3 3? ? ? ?1 ? ?1 2? ( 3 3 2 3? 2 ) ?( ) ? ?1 ? ?1

?

3? ? 2 ? 9 ? ?2

?

1 9 ? 6? ? ? 2 1 6? ? 1? . 2 9?? 9 ? ?2 2 2

又∵ ? ? 0 ∴ sin ? ?

2 .···································································································· 11 分 2

∵ ? ? [0, ] ,∴ ? ? . 2 4 因此直线 OQ 与平面 PBD 所成的角大于 20(本小题满分 12 分)

?

?

? ,即结论成立. ···································· 12 分 4

1 x2 y 2 已知 F ,点 P 为椭 1 、 F2 是椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 的左、右焦点,且离心率 e ? 2 a b 圆上的一个动点, ?PF F 的内切圆面积的最大值为 4? .
1 2

3

(1) 求椭圆的方程; (2) 若 A, B, C , D 是椭圆上不重合的四个点, 满足向量 F1 A 与 FC 共线, F1 B 与 F1D 共线, 1 且 AC ? BD ? 0 ,求 | AC | ? | BD | 的取值范围.

解析: (1)由几何性质可知:当 ?PF1 F2 内切圆面积取最大值时, 即 S?PF1F2 取最大值,且 ( S ?PF1F2 ) max
2 由? r ?

1 ? 2c ? b ? bc . 2

4 2 3 ? 得r ? 3 3
r C?PF1F2 , 2

又 C?PF1F2 ? 2a ? 2c 为定值, S ?PF1F2 ? 综上得

bc 2 3 ; ? 2a ? 2c 3 c 1 又由 e ? ? ,可得 a ? 2c ,即 b ? 3c , a 2 经计算得 c ? 2 , b ? 2 3 , a ? 4 ,

x2 y 2 ? ? 1. (5 分) 16 12 (2) ①当直线 AC 与 BD 中有一条直线垂直于 x 轴时, | AC | ? | BD |? 6 ? 8 ? 14 . ②当直线 AC 斜率存在但不为 0 时,设 AC 的方程为: y ? k ( x ? 2) ,由 ? y ? k ( x ? 2) ? 2 2 2 2 2 消去 y 可得 (3 ? 4k ) x ? 16k x ? 16k ? 48 ? 0 ,代入弦长公式得: ?x y2 ?1 ? ? ?16 12
故椭圆方程为

24(k 2 ? 1) , 3 ? 4k 2 1 ? y ? ? ( x ? 2) ? 1 2 1 1 ? k 同理由 ? 2 消去 y 可得 (3 ? 4 2 ) x ? 16 2 x ? 16 2 ? 48 ? 0 , 2 k k k ?x ? y ?1 ? ?16 12 24(k 2 ? 1) | BD | ? 代入弦长公式得: , 3k 2 ? 4 168(k 2 ? 1) 2 168 ? 所以 | AC | ? | BD |? 2 2 1 (3 ? 4k )(4 ? 3k ) 12 ? 1 ? 2 2 k ? 1 (k ? 1) 2 96 1 49 ? t ? (0,1) ,则 ?t 2 ? t ? 12 ? (12, ] ,所以 | AC | ? | BD |? [ ,14) , 令 2 7 k ?1 4 96 由①②可知, | AC | ? | BD | 的取值范围是 [ ,14] . (12 分) 7 | AC |?
21. (本小题共 12 分) 设函数 f ( x) ? x ln x ( x ? 0) 。 (1)求函数 f ( x) 的最小值; (2)设 F ( x) ? ax2 ? f ?( x) (a ? R) ,讨论函数 F ( x) 的单调性; (3)斜率为 k 的直线与曲线 y ? f ?( x) 交于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) 两点, 求证: x1 ?

1 ? x2 。 k

解析:
(1)解:f'(x)=lnx+1(x>0),令 f'(x)=0,得 ∵当 f'(x)>0, ∴当 时, .----------------- 4 分 . 时,f'(x)<0;当 . 时,

(2)F(x)=ax2+lnx+1(x>0), ①当 a≥0 时,恒有 F'(x)>0,F(x)在(0,+∞)上是增函数; ②当 a<0 时, 令 F'(x)>0,得 2ax2+1>0,解得 ;

令 F'(x)<0,得 2ax2+1<0,解得



综上,当 a≥0 时,F(x)在(0,+∞)上是增函数; 当 a<0 时,F(x)在 上单调递增,在 上单调递

减.------------------------------------8 分 (3)证: .

要证

, 即证

, 等价于证

, 令



则只要证

,由 t>1 知 lnt>0,

故等价于证 lnt<t﹣1<tlnt(t>1)(*). ①设 g(t)=t﹣1﹣lnt(t≥1),则 故 g(t)在[1,+∞)上是增函数, ∴当 t>1 时,g(t)=t﹣1﹣lnt>g(1)=0,即 t﹣1>lnt(t>1). ②设 h(t)=tlnt﹣(t﹣1)(t≥1),则 h'(t)=lnt≥0(t≥1),故 h(t)在[1,+∞)上是 增函数, ∴当 t>1 时,h(t)=tlnt﹣(t﹣1)>h(1)=0,即 t﹣1<tlnt(t>1). ,

由①②知(*)成立,得证.---------------------------------12 分 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做。则按所做的第一题记分.答 题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 《选修 4—1:几何证明选讲》 如图,直线 AB 过圆心 O ,交⊙ O 于 A, B ,直线 AF 交⊙ O 于 F (不 与 B 重合),直线 l 与⊙ O 相切于 C ,交 AB 于 E ,且与 AF 垂直,垂足为 G , 连结 AC .

求证:(1) ?BAC ? ?CAG ; (2) AC 2 ? AE ? AF .

解析: (1)连结 BC,∵AB 是直径, ∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠AGC=90°. ∵GC 切⊙O 于 C,∴∠GCA=∠ABC. ∴∠BAC=∠CAG. 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分 (2)连结 CF,∵EC 切⊙O 于 C, ∴∠ACE=∠AFC. 又∠BAC=∠CAG, ∴ ∴△ACF∽△AEC.

AC AF ? ,∴AC2=AE·AF. 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分 AE AC

23. (本小题共 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 为 ?

? x ? a cos ? 。在以 O 为原 (1 ? a ? 6, ? 为参数) ? y ? sin ?

点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 6 cos ? , 射线为 ? ? ? , 与 C1 的交点为 A ,与 C2 除极点外的一个交点为 B 。当 ? ? 0 时, | AB |? 4 。 (1)求 C1 , C2 的直角坐标方程; (2)设 C1 与 y 轴正半轴交点为 D ,当 ? ? 为 E ,求 | BD | ? | BE | 。 解析: (1)由 ? ? 6cos ? 得 ? ? 6? cos ? ,所以 C2 的直角坐标方程是 x ? y ? 6 x ? 0 --2 分
2 2 2

?
4

时,设直线 BD 与曲线 C1 的另一个交点

由已知得 C1 的直角坐标方程是

x2 ? y2 ? 1 , a2

当 ? ? 0 时射线与曲线 C1 , C2 交点的直角坐标为 ? a,0? , ? 6,0? ,-----------3 分

x2 AB ? 4,?a ? 2 ?C1 的直角坐标方程是 ? y 2 ? 1.①-----------5 分 4
2 2 (2)联立 x ? y ? 6 x ? 0 与 y ? x 得 B ? 3,3? 或 B ? 0,0 ? , B 不是极点? B ?3,3? .---6 分

又可得 D ?1,0 ? , ? K BD

? x ? 3 ? 13 t 3 ? ? BD 的参数方程为 ? ? t为参数? ② -------8 分 ? 2 3 ?y ? 3? t ? 13 ?

?

2

将②带入①得

25 2 66 t ? t ? 41 ? 0 ,设 D, E 点的参数是 t1,t2 ,则 13 13

t1 ? t2 ?

?66 13 533 66 13 -------10 分 , t1t2 ? ? BD ? BE ? t1 ? t2 ? 25 25 25

24. (本小题满分 10 分) 《选修 4—5:不等式选讲》 选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ? x ? ? 3x ? 2 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ? x ? ? 0 的解集为 ?x | x ? ?1 ? ,求 a 的值. 解析: (Ⅰ)当 a ? 1 时,

f ( x) ? 3x ? 2 可化为 x ? 1 ? 2 .由此可得

x ? 3 或 x ? ?1 .

故不等式 f ? x ? ? 3x ? 2 的解集为 x | x ? 3或x ? ?1 . 分 (Ⅱ) 由 f ( x) ? 0 得 此不等式化为不等式组 ?

?

?

------

5

x ? a ? 3x ? 0

?x ? a ?x ? a 或? ? x ? a ? 3x ? 0 ?a ? x ? 3 x ? 0 ?x ? a ?x ? a ? ? 即 ? 或? a a x? x?? ? ? ? 4 ? 2 a? ? 因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ? ? 2? ? a 由题设可得 ? ? ?1 ,故 a ? 2 . 2

------10 分


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