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2013北京高考数学(理)试题及答案(word版)


2013 北京高考理科数学试题
一、选择题共 8 小题。每小题 5 分,共 40 分。在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合 A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则 A∩B= ( A.{0} B.{-1,0} C.{0,1} D.{-1,0,1} )

解析:B 因为集合 A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},由交集的定义可知,A∩B={-1,0} 2.在复平面内,复数(2-i)2 对应的点位于( A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 解析:D 因为 ( 2 ? i ) ? 3 ? 2i ,所以可知其位于第四象限。
2

)

3.“φ=π”是“曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点的” A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:A 因为若 ? ? ? ,则 x ? 0, y ? sin ? ? 0 , y ? sin( 2 x ? ? ) 过坐标原点。若 y ? sin( 2 x ? ? ) 过坐 标原点,则 x ? 0, y ? sin ? ? 0, 则? ? k? , k ? Z 。所以 ? ? ? 是 y ? sin( 2 x ? ? ) 过坐标原点 的充分而不必要条件。 4.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 A.1 B.

2 3

C.

13 21

D.

610 987

解析:C

因为根据流程图 i ? 0, S ? 1 , S ?

S2 ? 1 12 ? 1 2 ,所以知 S ? ? , i ? 2 ,所以知 2S ? 1 2 ?1 3

2 ( )2 ? 1 13 13 S? 3 ? 。此时因为 i ? 3 ,所以知输出 S= 。 21 2 2 ? ? 1 21 3
5.函数 f(x)的图象向右平移一个单位长度,所得图象与 y=ex 关于 y 轴对称,则 f(x)= A. e
x?1

B. e

x?1

C. e

? x ?1

D. e

? x ?1

解析:D 因为函数 f(x)的图象向右平移一个单位长度,所得图象与 y=ex 关于 y 轴对称,所以知 f(x)向右 平移一个单位长度后为 y ? e
?x

,所以可知原来的函数 f ( x ) ? e

? x ?1



6.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 3 ,则其渐近线方程为 a 2 b2
B.y= ? 2x C. y ? ?

A.y=±2x 解析:B

1 x 2

D. y ? ?

2 x 2

c ? 3,则c ? 3a ,又因为 c 2 ? a 2 ? b 2 ,所以带 a b 2 2 2 2 入可知 b ? c ? a ? 2a , 所以b ? 2a ,所以其渐近线方程为 y ? ? x ? ? 2 x 。 a
因为双曲线的离心率为 3 ,所以知 e ? 7.直线 l 过抛物线 C:x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等于 A.

4 3

B.2

C.

8 3

D.

16 2 3

? 2 x ? y ? 1 ? 0, ? 8.设关于 x,y 的不等式组 ? x ? m ? 0, 表示的平面区域内存在点 P(x0,y0)满足 x0-2y0=2,求 ?y ? m ? 0 ?
得 m 的取值范围是 A. ? ??, ? ? 解析:C

? ?

4? 3?

B. ? ??, ?

? ?

1? 3?

C. ? ??, ? ?

? ?

2? 3?

D. ? ??, ? ?

? ?

5? 3?

? 2 x ? y ? 1 ? 0, ? 因为不等式组为 ? x ? m ? 0, 若所表示的平面区域内存在点 P(x0,y0)满足 x0-2y0=2,那么 ?y ? m ? 0 ?
因 为 直 线 x ? 2 y ? 2 已 经 在 直 线 2x ? y ?1 ? 0 的 右 下 方 , 所 只 需 保 证

? m ? 2m ? 2, 即m ? ?

2 3

第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 题,每小题 5 分,共 30 分. 9.在极坐标系中,点(2, 解析:1 因为在极坐标在直角坐标系的表示为 x ? r cos ? , y ? r sin ? , r ? 直角坐标系下为 x ? 2 cos

? )到直线 ρsinθ=2 的距离等于 6 ? x 2 ? y 2 ,所以点(2, )在 6

?
6

? 3 , y ? 2 sin

?
6

? 1 ,即为点 ( 3 ,1) ,而 ? sin ? ? 2 ,即为
? )到直线 ρsinθ=2 的距离即为点 ( 3 ,1) 到 y=2 6

x2 ? y2
的距离为 1.

y x2 ? y2

? y?2
,所以要求点(2,

10.若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q= .
n ?1

;前 n 项和 Sn=

解析:2, 2

-2
2

因为等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,所以可知 a2 ? a4 ? a1q (1 ? q ) ? 20,

a3 ? a5 ? a1q 2 (1 ? q 2 ) ? 40 ,所以 q ?

a3 ? a5 40 a ?a q ? ? 2 , a1 ? 2 ,Sn ? 1 n ? 2 n ?1 ? 2 。 a2 ? a4 20 1? q

11.如图,AB 为圆 O 的直径,PA 为圆 O 的切线,PB 与圆 O 相交于 D,PA=3, PD= ,AB= .

PD 9 ? ,则 DB 16

9 5 25 PD 9 因为 PD ,因为 PB 与圆 O 相交于 D,所以由切割线定理知 ? ,所以可知 PB ? 9 DB 16 9 25 9 2 2 AP 2 ? PD ? PB ,所以带入可知 PD ? , PD ? ? ? 5 ,所以 AB ? 5 ? 3 ? 4 。 5 9 5
解析: ,4 12.将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少一张,如果分给同一 人的两张参观券连号,那么不同的分法种数是 . 解析:96 因为序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少一张,如果分给同一 人的两张参观券连号,则将两张连号的参观券捆绑在一起有 4 种可能,再将参观券分为 4 组, 则知不同的分法种数是 4 ? A4 ? 96
4

13.向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示,若 c=λa+μb(λ,μ∈R) ,则

? = ?

4 14.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 BC 的中点,点 P 在线段 D1E 上,点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为 .

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程 15. (本小题共 13 分)

在△ABC 中,a=3,b=2 6 ,∠B=2∠A. (I)求 cosA 的值, (II)求 c 的值 解析:(I)因为△ABC 中,a=3,b=2 6 ,∠B=2∠A,则由正弦定理知

a b ,所以知 ? sin A sin B

3 2 6 2 6 2 6 6 ,所以知 cos A ? 。 ? ? ? sin A sin B sin 2A 2 sin A cos A 3
(II) 由余弦定理知, a ? b ? c ?2bc cos A ,即 3 ? ( 2 6 ) ? c ? 2 ? 2 6 ?
2 2 2

2

2

2

6 c 所以知为 3

c 2 ? 8c ? 15 ? 0 ,则 c ? 5, c ? 3
若 c ? 3, 则 a ? c ? 3 , ?A ? ?C ,又因为 ?B ? 2?A ,所以知 ?A ? 矛盾。舍去。所以知 c=5.

?
4

,这与 cos A ?

6 3

16.( 本小题共 13 分) 下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示空气质量优 良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染,某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一 天到达该市,并停留 2 天

(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率 (Ⅱ)设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求 X 的分布列与数学期望。 (Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)

17. (本小题共 14 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1C1C 是边长为 4 的正方形.平面 ABC⊥平面 AA1C1C,AB=3, BC=5. (Ⅰ)求证:AA1⊥平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值; (Ⅲ)证明:在线段 BC1 存在点 D,使得 AD⊥A1B,并求

BD 的值. BC1

18. (本小题共 13 分) 设 l 为曲线 C: y ?

ln x 在点(1,0)处的切线. x

(I)求 l 的方程; (II)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 l 的下方 19. (本小题共 14 分) 已知 A、B、C 是椭圆 W:

x2 ? y 2 ? 1 上的三个点,O 是坐标原点. 4

(I)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积. (II)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由. 20. (本小题共 13 分) 已知{an}是由非负整数组成的无穷数列, 该数列前 n 项的最大值记为 An, n 项之后各项 an ?1 , 第

an ? 2 ?的最小值记为 Bn,dn=An-Bn
(I)若{an}为 2,1,4,3,2,1,4,3…,是一个周期为 4 的数列(即对任意 n∈N*, an ? 4 ? an ), 写出 d1,d2,d3,d4 的值; (II)设 d 为非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}为公差为 d 的等差数列; (III)证明:若 a1=2,dn=1(n=1,2,3…),则{an}的项只能是 1 或 2,且有无穷多项为 1

参考答案 1-8:BDACDBCC 9、1 10、2 Sn=2n+1-2 15、

11、9/5

4

12、96

13、4

14、

16、

17、

18、

19、

20、


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