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考点2 绝对值不等式,一元二次不等式和简易逻辑


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考点 2

绝对值不等式,一元二次不等式和简易逻辑
x?2 x?2 的解集是( ? x x
B. (??,0) D. (??, 0) ? (0, ??) )

1.(2010·江西高考理科·T3)不等式

A. (0, 2) C. (2, ??)

【命题立意】 本题主要考查绝对值不等式以及分式不等式的解法, 考查考生的运算求解能力,属低档题. 【思路点拨】先去掉绝对值,再解分式不等式. 【规范解答】选 A .由题意得

x?2 ? 0 ,解得 0 ? x ? 2 ,故选 A . x

【方法技巧】本题去掉绝对值的方法有两种:一是按性质进行讨论,分三种情况(即正、零、负)去 掉绝对值;二是结合本题的特殊情况等价转化,直接去掉绝对值求解. 2.(2010·全国高考卷Ⅱ文科·T2)不等式 A. x ?2 ? x ? 3

x?3 <0 的解集为( x?2
C. x x ? ?2或x ? 3

) D. x x ? 3

?

?

B. x x ? ? 2

?

?

?

?

?

?

【命题立意】本题考查简单的分式不等式求解。 【思路点拨】转化为一元二次不等式解。 【规范解答】选 A 原不等式等价于 ( x ? 3)( x ? 2) ? 0, 故-2 ? x ? 3 3.(2010·江西高考文科·T5)不等式 x ? 2 ? x ? 2 的解集是( A. (??, 2) B. (??, ??) C. (2, ??) ) D. (??, 2) ? (2, ??)

【命题立意】本题主要考查绝对值不等式的解法,考查考生的运算求解能力,属低档题. 【思路点拨】根据绝对值的意义,先去掉绝对值,简化不等式,再求解。 【规范解答】选 A .原不等式等价于 x ? 2 ? 0, 得 x ? 2, 选 A . 【方法技巧】本题去掉绝对值的方法有两种:一是按性质进行讨论,分三种情况(即正、零、负)去 掉绝对值;二是结合本题的特殊情况等价转化,直接去掉绝对值求解.
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4.(2010·江西高考文科·T1)对于实数 a, b, c , a ? b ”是“ ac 2 ? bc 2 ”的( “ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

)

D.既不充分也不必要条件

【命题立意】本题主要考查充分必要条件的判断,考查不等式的性质. 【思路点拨】先判断充分性,再判断必要性的真假. 【规范解答】选 B.当 a ? b 时,若 c ? 0, 推不出 ac ? bc , 不充分;若 ac ? bc , 则 a ? b 成立。从
2 2 2 2

而必要。故选 B. 5. (2010· 四川高考理科· T4) 函数 f ( x) ? x ? mx ? 1 的图像关于直线 x ? 1 对称的充要条件是 (
2

) .

(A) m ? ?2

(B) m ? 2

(C) m ? ?1

(D) m ? 1

【命题立意】本题主要考查充要条件,考查二次函数图象的对称轴方程问题. 【思路点拨】一元二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 图象的对称轴方程为 x ? ?
2

b . 2a

【规范解答】选 A .对称轴 x ? ?

m ? 1 ? m ? ?2 ,故选 A . 2

6.(2010·湖北高考理科·T10)记实数 x1 , x2 , ? xn 中的最大数为 max { x1 , x2 , ? xn },最小数为 min{ x1 , x2 , ? xn }.已知 ?ABC 的三边边长为 a 、 b 、 c ( a ? b ? c ),定义它的倾斜度为

a b c a b c l ? max{ , , } ? min{ , , }, 则“ l =1”是“ ?ABC 为等边三解形”的( b c a b c a
A,充分而不必要的条件 C.充要条件 B.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件

)

【命题立意】本题主要考查考生对 max { x1 , x2 , ? xn }和 min{ x1 , x2 , ? xn }的理解,考查考生对充要 条件的判断能力. 【思路点拨】由 ? ABC为等边三角形可推得l ? 1, 反之不成立。
?a b c ? ?a b c ? 【规范解答】选 B,若△ABC 为等边三角形时,即 a=b=c,则 max ? , , ? ? 1 ? min ? , , ? 则 l=1; ?b c a ? ?b c a ?

若△ABC 为等腰三角形,如 a=2,b=2,c=3 时,
?a b c ? 3 ?a b c ? 2 则 max ? , , ? ? , min ? , , ? ? ,此时 l=1 仍成立但△ABC 不为等边三角形,所以 B 正确. b c a? 2 ?b c a ? 3 ?

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