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【全国百强校】四川省雅安中学2015届高三开学考试数学(理)试题


雅安中学高中 2015 届高三下期入学测试


个是符合题目要求的.

学(理工类)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中.只有一

1.已知集合 A ? {1,2,3} ,且集合 A 的元素中至少含有一个奇数,则满足条件的集合 A 有 A.8 个 2.下列说法错误的是 A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内; B.过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直; C.如果共点的三条直线两两垂直,那么它们中每两条直线确 定的平面也两两垂直; D.如果两条直线和一个平面所成的角相等,则这两条 直线一定平行. 3. (2 x ? 1) 4 的展开式中含 x 的奇次方项的系数和等于 A. 44 B.25 C. 41 D. 40 4.若 a, b, c 为实数,则下列命题正确的是
2 2 A.若 a ? b ,则 ac ? bc

B.7 个

C.6 个

D.5 个

开始

i ? 1, S ? 0

i ? i ?1

i 是奇数
2



B.若 a ? b ? 0 ,则 a ? ab ? b
2

1 1 C.若 a ? b ? 0 ,则 ? a b b a D.若 a ? b ? 0 ,则 ? a b
5.阅读右侧程序框图,如果输出 i ? 5 ,那么在空白 矩形框中应填入的语句为 A. S ? 2 ? i C. S ? 2 ? i ? 2 B. S ? 2 ? i ? 1 D. S ? 2 ? i ? 4



S ? 2 ?i ?1


S ? 10
否 输出 i 结束

6.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积是

A.4+2 6

B.4+ 6
0

C.4+2 2

D.4+ 2

7.已知向量 a 是与单位向量 b 夹角为 60 的任意向量,则对任意的正实数 t , | ta ? b | 的最小 值是 A.0 B.

1 2

C.

3 2
共4页

D.1

数学(理科)试题第 1 页

8.下列命题正确的是 ① 若 f (3x ) ? 4x log2 3 ? 2 ,则 f (2) ? f (4) ? ... ? f (28 ) ? 180 ; ② 函数 f ( x) ? tan 2 x 的对称中心是 (
3 2

k? ,0) ( k ? Z ); 2

③ “ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 ” ; ④ 设常数 a 使方程 sin x ? 3 cos x ? a 在闭区间[0,2 ? ]上恰有三个解 x1 , x2 , x3 , 则 x1 ? x2 ? x3 ? A.①③

7? 3
B.②③ C.②④ D.③④
x

9.函数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4 ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25, 则 f ? x ? 可以是 A. f ? x ? ? e ?1
x

B. f ? x ? ? ( x ?1)

2

1 2 10. 若存在 x0 ? N? , n ? N? , 使 f ( x0 ) ? f ( x0 ? 1) ? ......? f ( x0 ? n) ? 63 成立, 则称 ( x0 , n)
C. f ? x ? ? 4x ?1 D. f ( x) ? ln( x ? ) 次函数 g ( x) ? ax2 ? bx ? c ,则使函数 y ? g ( x) 与 x 轴无交点的 a 的取值范围是 A. 0 ? a ?

为函数 f ? x ? 的一个“生成点”.已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1, x ? N ? 的“生成点”坐标满足二

2? 3 16

B.

2? 3 2? 3 ?a? 16 16 2? 3 2? 3 或a ? 16 16

C. a ?

2? 3 8

D. 0 ? a ?

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡相应位置上. 11.若 ( x ? i)i ? y ? 2i( x, y ? R) ,则复数 x ? yi ?

.
.

?x ? y ? 5 ? 0 ? 12.已知 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? 4 y 的最小值是 ?x?3 ?
录取方式有 种.

13.2014 年某地春季高考有 10 所高校招生,如果某 3 位同学恰好被其中 2 所高校录取,那么 14.有两个等差数列 2,6,10,?,190 及 2,8,14,?,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大 的顺序组成一个新数列,则这个新数列的各项之和为 15.在下列命题中 ① 函数 f ( x) ? x ?

.

a ( x ? 0) 的最小值为 2 a ; x ②已知定义在 R 上周期为 4 的函数 f ( x ) 满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,则 f ( x ) 一定为偶函
数; ③ 定义在 R 上的函数 f(x)既是奇函数又是以 2 为周期的周期函数,则 f(1)+f(4)+f(7)=0 ④ 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) ,则 a ? b ? c ? 0 是 f ( x ) 有极值的必要不充 分条件;
数学(理科)试题第 2 页 共4页

⑤已知函数 f ( x) ? x ? sin x ,若 a ? b ? 0 ,则 f (a) ? f (b) ? 0 . 其中正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号).

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 (2a ? c) cos B ? b cos C . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? 3 , ?ABC 的面积为

3 3 ,求 BA ? AC 的值. 2

17.(本小题满分 12 分) 某用人单位招聘员工依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核.规定:只能通过前一 轮考核后才能进入下一轮的考核,否则将被淘汰;三轮考核都通过才算通过. 小王三轮考 核通过的概率分别为

1 3 3 , , ,且各轮考核通过与否相互独立. 3 4 5

(Ⅰ)求小王通过该招聘考核的概率; (Ⅱ)若小王通过第一轮考核,家长奖励人民币 1200 元;若小王通过第二轮考核,家长再 奖励人民币 1000 元;若小王通过第三轮考核,家长再奖励人民币 1400 元.记小王得到奖 励的金额为 X ,求 X 的分布列和数学期望. 18.(本小题满分 12 分) 已知单调递增的等比数列 ?an ? 满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 若 bn ? an log 2 an ,sn ? b1 ? b2 ? 最小值. 求 sn ? n ? 2n?1 ?5 ? bn , 0 0 ? 成立的正整数 n 的

19.(本题满分 12 分) 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=BC=CA=AA1, 侧棱 AA1⊥平面 ABC,O、D、E 分别是棱 AB、A1B1、
A1 C1 E D B1

1 AA1 的中点,点 F 在棱 AB 上,且 AF ? AB . 4
(Ⅰ)求证:EF∥ 平面 BDC1; (Ⅱ )求证:平面 OCC1D⊥ 平面 ABB1 A1; (Ⅲ )求二面角 E-BC1-D 的余弦值.

A

F C

O

B

数学(理科)试题第 3 页

共4页

20.(本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x, 其中a 为常数. (Ⅰ )当 a ? ?1 时,求 f ( x) 的单调区间;

1 ? e 时,若 f ( x) 在区间 (0, e) 上的最大值为 ? 3 ,求 a 的值; a ln x 1 ? 是否有实数解. (Ⅲ )当 a ? ?1 时,试推断方程 | f ( x) | = x 2
(Ⅱ )当 0 ? ?

21.(本题满分 14 分)

mx ?1? 已知函数 f ( x ) ? , g ( x) ? ? ? 2 4 x ? 16 ?2?
(Ⅰ )判断函数 f ( x ) 的单调性;

| x ? m|

,其中 m ? R 且 m ? 0 .

(Ⅱ )当 m ? ?2 时,求函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 ? ?2, 2? 上的最值; (Ⅲ)设函数 h( x ) ? ?

? f ( x), x ? 2 , 当 m ? 2 时,若对于任意的 x1 ??2, ??? ,总存在唯一的 g ( x ), x ? 2 ?

x2 ? ? ??, 2? ,使得 h( x1 ) ? h( x2 ) 成立,试求 m 的取值范围.

数学(理科)试题第 4 页

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雅安中学高中 2015 届高三下期入学测试
数学(理工类)参考答案
一、选择题: 1 C 二、填空题: 11. 2+i 2 D 3 D 12. -6 4 B 5 A 13. 270 6 A 7 C 14. 1472 8 D 9 C 15. ②③⑤ 10 B

三、解答题: 16、解(1)∵ (2a ? c) cos B ? b cos C ,由正弦定理得: (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C , ∴ 2sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B ? sin( B ? C ) ? sin A ∵ 0 ? A ? ? ,∴ sin A ? 0 ∴B? ∴ 2cos B ? 1 , cos B ?

1 2

又 0 ? B ??

?
3

; ??????????????????????????????? 6 分
1 ? 3 3 3 3 ,∴ ? 3c sin ? 2 3 2 2

(2)方法一:∵ a ? 3 , △ABC 的面积为
b2 ? 22 ? 32 ? 2 ? 2 ? 3cos
cos A ? 22 ? ( 7) 2 ? 32 2? 2? 7 ?

∴c ?2, ? 8 分

?
3

? 7 ,即 b ? 7 ,

???????????????? 9 分

7 , 14

??????????????????????10 分
7 ) ? ?1 . 14

∴ BA AC ? bc cos(? ? A) ? 2 ? 7 ? (?

????????????????12 分
2

方法二: BA ? AC ? BA( BC ? BA) ? BA ? BC ? BA

2 1 ? BA ? BC ? cos? BA, BC ? ? BA ? 2 ? 3 ? ? 22 ? ?1 ????????????12 分 2 1 3 3 3 17、解(1)设“小王通过招聘考核”为事件 A,则 P(A)= ? ? ? 3 4 5 20 3 所以小王通过招聘考核的概率为 ????????????????????4 分 20 (2) X 的可能取值为 0 元,1200 元,2200 元,3600 元 ???????????5 分 1 2 P( X ? 0) ? 1 ? ? , 3 3 1 3 1 P( X ? 1200) ? ? (1 ? ) ? , 3 4 12 1 3 3 1 P( X ? 2200) ? ? ? (1 ? ) ? 3 4 5 10 1 3 3 3 P( X ? 3600) ? ? ? ? ??????????????????????9 分 3 4 5 20 所以, X 的分布列为

X
P

0

1200

2200

3600

2 3

1 12

1 10
共4页

3 20

数学(理科)试题第 5 页

2 1 1 3 ? 1200 ? ? 2200 ? ? 3600 ? ? 860 (元) ??12 分 3 12 10 20 18、解(1)设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公比为 q ,以题意有: 2(a3 ? 2) ? a2 ? a4
数学期望为 E ( X ) ? 0 ? 代入 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,得 a3 ? 8
3 ? ? a1q ? a1q ? 20 ∴? ??????????????????????????? 3 分 2 ? ? a3 ? a1q ? 8 ?a ? 32 ?a1 ? 2 ? 1 解之得: ? 或? 1 ??????????????????????? 5 分 ?q ? 2 ?q ? ? 2

又∵ ?an ? 单调递增,∴ a1 ? 2, q ? 2, ∴ an ? 2n (2) bn ? 2n log2 2n ? n ? 2n ∴ sn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3? 2 ?
2 3

??????????????????????????????? 6 分 ??????????????????????? 7 分

? n ? 2n
n

① ②

∴ 2sn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3? 2 ?
2 3 4

? (n ?1) ? 2 ? n ? 2n?1 ? 2n ? n ? 2n?1 ?

∴②-①得: sn ? n ? 2n?1 ? 2 ? 22 ? 23 ? = ?2
n ?1

2(2n ? 1) 2 ?1

? n ? 2n?1 ? 2 ????????????????????????????9 分 n ?1 n ?1 由 sn ? n ? 2n?1 ? 50 ? 0 得 ?2 ? 52 ? 0 ,∴ 2 >52.

? 25 ? 32 <52 n ?1 6 当 n ? 5 时, 2 ? 2 ? 64 ﹥52 故使 sn ? n ? 2n?1 ? 50 ? 0 成立的正整数 n 的最小值为 5
又当 n ? 4 时, 2 19、
A1
z

n ?1

????????????12 分

D C1 G H

B1

A1

D C1

B1

E

E

A

A

F C

O

B

F C x

O

B

y

(Ⅰ)证明:如图 1,连接 OA1,O 为 AB 的中点,且 AF ?

1 AB 4

所以,AF=FO,又 E 为 A A1 的中点 所以,EF∥OA1· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1B1∥AB 且 A1B1=AB 因为,O、D 分别为 AB、 A1B1 中点 所以,OB∥A1D 且 OB=A1D 所以,OBDA1 为平行四边形 所以,OA1∥BD · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 所以,EF∥BD,又 EF ? 平面 BDC,BD ? 平面 BDC 所以,EF∥平面 BDC1. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 (Ⅱ)证明:如图 1,因为,AA1⊥平面 ABC,OC ? 平面 ABC 所以,AA1⊥OC · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 因为,AB=BC,O 为 AB 中点 所以,OC⊥AB,又 AB、AA1 ? 平面 ABB1 A1,AB AA1=A · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 所以,OC⊥平面 ABB1 A1,又 OC ? 平面 OCC1D
数学(理科)试题第 6 页 共4页

所以,平面 OCC1D⊥平面 ABB1 A1. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 (Ⅲ)解法一,如图 2 建立空间直角坐标系 O—xyz,设 AB=2 则 A(0, ?1,0), A 1 (0, ?1, 2), E(0, ?1,1) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 C1 ( 3,0,2), B(0,1,0), D(0,0,2) · 所以, BC1 ? ( 3, ?1,2), BE ? (0, ?2,1), BD ? (0, ?1,2) 设平面 EBC1 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 则?

? ?n1 ? BC1 ? 3x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0

? ?n1 ? BE ? ?2 y1 ? z1 ? 0 取 n1 ? (? 3,1,2) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分
设平面 DBC1 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 则?

? ?n2 ? BC1 ? 3x2 ? y2 ? 2 z2 ? 0

? ?n2 ? BD ? ? y1 ? 2 z1 ? 0 取 n1 ? (0,2,1) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分
所以, cos ? n1 , n2 ??

4 10 ? 5 2 2? 5
10 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 5

故,所求二面角 E-BC1-D 的余弦值为

(Ⅲ)解法二,如图 1,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中 因为,O、D 分别为 AB、 A1B1 的中点 所以,OD 平行且等于 AA1,AA1 平行且等于 CC1, 所以,CODC1 为平行四边形 所以,C1D∥CO,由(Ⅱ)知,OC⊥平面 ABB1 A1 所以,C1D⊥平面 ABB1 A1 所以,面 C1DB⊥平面 ABB1A1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 过 E 作 EG⊥BD 于 G,过 G 作 GH⊥B C1 于 H,连接 EH 所以,EG⊥平面 BDC1 所以,EG⊥GH,EG⊥BC1 所以,BC1⊥平面 EGH 所以,BC1⊥EH 所以, ?GHE 为所求二面角 E-BC1-D 的平面角 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 设 AB=2,连接 DE 所以,BE=BD= 5 ,DE= 2

1 1 3 5 4 5 ? 1 ? 1 ? ? 5 ? EG ,所以, EG ? ,所以, BG ? 2 2 5 5 GH BH 30 ? 因为, ,又 C1D ? 3, C1B ? 2 2 ,所以 GH ? C1 D C1B 5
所以, S?BDE ? 4 ? 所以, EH ? 3 ∴ cos ?GHE ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分

GH 10 10 所求二面角 E-BC1-D 余弦值为 .· · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ? EH 5 5 20、解: (Ⅰ)由已知知道函数 f ( x ) 的定义域为 {x | x ? 0} · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 1 1? x / 当 a ? ?1 时, f ( x) ? ? x ? ln x ,所以 f ( x) ? ?1 ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 x x / / 当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ( x) ? 0
数学(理科)试题第 7 页 共4页

所以, f ( x ) 的单调增区间为 (0,1) ,减区间为 (1, ??) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

1 1 ,令 f / ( x) ? 0 解得 x ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 x a 1 1 由 f / ( x) ? 0 解得 0 ? x ? ? ,由 f / ( x) ? 0 解得 ? ? x ? e a a 1 1 从而 f ( x ) 的单调增区间为 (0, ? ) ,减区间为 (? , e) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 a a 1 1 所以, f ( x) max ? f (? ) ? ?1 ? ln(? ) ? ?3 a a 2 解得, a ? ?e . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 (Ⅲ)由(Ⅰ)知当 a ? ?1 时, f ( x)max ? f (1) ? ?1, 所以, | f ( x) | ≥1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ln x 1 1 ? ln x ? ,则 g / ( x) ? 令 g ( x) ? x 2 x2 当 0 ? x ? e 时, g / ( x) ? 0 ;当 x ? e 时, g / ( x) ? 0 从而 g ( x) 在 (0, e) 上单调递增,在 (e, ??) 上单调递减 1 1 所以, g ( x) max ? g (e) ? ? ? 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 e 2 ln x 1 ? 所以, | f ( x) | ? g ( x) ,即 | f ( x) | ? x 2 ln x 1 ? 没有实数根. · 所以,方程 | f ( x) | = · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 x 2
(Ⅱ)因为, f ( x ) ? a ?
/

m(4 ? x 2 ) m(2 ? x)(2 ? x) ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 4( x 2 ? 4) 2 4( x 2 ? 4) 2 ① 当 m ? 0 时, f ?( x) ? 0 ? ?2 ? x ? 2, f ?( x) ? 0 ? x ? ?2 或 x ? 2 所以 f ( x) 在 [?2, 2] 上单调递增;在 (??, ? 2), (2, ? ?) 上单调递减 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ② 当 m ? 0 时, f ?( x) ? 0 ? ?2 ? x ? 2, f ?( x) ? 0 ? x ? ?2 或 x ? 2

21、解:(Ⅰ)依题意, f ?( x) ?

所以 f ( x) 在 [?2, 2] 上单调递减;在 (??, ? 2), (2, ? ?) 上单调递增. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 (Ⅱ)当 m ? ?2, ? 2≤x≤2 时,
?1? ?1? ?1? g ( x) ? ? ? ? ? ? ? 2m ? ? ? 在 [?2, 2] 上单调递减 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ?2? ? 2? ? 2? 由(Ⅰ)知, f ( x) 在 [?2, 2] 上单调递减 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 mx ?1? ? 2m ? ? 在 [?2, 2] 上单调递减 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 2 4 x ? 16 ?2? m m · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ∴F ( x)max ? F (?2) ? 4 ? 2m ? ? 2m? 2 ? · 16 16 m · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 F ( x)min ? F (2) ? 2m?2 ? . · 16 mx (Ⅲ)当 m≥2 , x1 ?[2, ? ?) 时, h( x1 ) ? f ( x1 ) ? 2 1 , 4 x1 ? 16
x | x ? m| x?m x

所以 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

由(Ⅰ)知 h( x1 ) 在 [2, ? ?) 上单调递减,
m? ? 从而 h( x1 ) ? (0, f (2)] ,即 h( x1 ) ? ? 0, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ?· 16 ? ?

?1? 当 m≥2 , x2 ? 2 时, h( x2 ) ? g ( x2 ) ? ? ? ?2?

| x2 ? m|

?1? ?? ? ? 2?

m ? x2

?1? ? ? ? ? 2 x2 ,在 ( ??, 2) 上单调递增, ? 2?
共4页

m

数学(理科)试题第 8 页

? ? 1 ?m ? 2 ? 从而 h( x2 ) ? (0, g (2)) ,即 h( x2 ) ? ? 0, ? ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? ?2? ? ? ? 对于任意的 x1 ?[2, ? ?) ,总存在唯一的 x2 ? (??, 2) ,使得 h( x1 ) ? h( x2 ) 成立,
只需
m ?1? ?? ? 16 ? 2 ?
m?2

,即

m ?1? ?? ? 16 ? 2 ?
m?2

m?2

? 0 成立即可. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分
m?2

记函数 H (m) ?

m ?1? m ?1? ? ? ? ,易知 H (m) ? ? ? ? 在[2, ? ?) 上单调递增,且 H (4) ? 0 16 ? 2 ? 16 ? 2 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 所以 m 的取值范围为 [2, 4) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分

数学(理科)试题第 9 页

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