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考点6 函数图像变换和函数的应用


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考点 6
A.关于原点对称 C.关于 x 轴对称

函数图像变换和函数的应用
4x ? 1 的图象( ) 2x
B.关于直线 y=x 对称 D.关于 y 轴对称

1.(2010·重庆高考理科·T5)函数 f ? x ? ?

【命题立意】本小题考查函数的对称性,考查奇函数、偶函数的概念,考查运算求解的能力,考查数形 结合的思想方法. 【思路点拨】根据选项,可以判断函数 f ( x ) 是否为奇函数、偶函数,即判断 f (? x) 与 f ( x ) 的关系;如 果不是,再判断选项 B,C 是否正确. 【规范解答】选 D

4? x ? 1 (4? x ? 1) ? 4 x 1 ? 4x ? ? ?x 2x 【解法 1】 f ? ? x ? ? 2? x 2? x ? 4 x 2 ?2 ? 4x ? 1 ? f ( x) ,是偶函数,图象关于 y 轴对称; 2x
【解法 2】 f ? x ? ?

4 x ? 1 (2 x ) 2 ? 1 ? 2x 2x
?x x

4x ? 1 ? 2 ? 2 ,有 f (? x) ? 2 ? 2 ? f ( x) ,所以函数 f ? x ? ? x 的图象关于 y 轴对称. 2
x ?x

【方法技巧】 (1)指数运算 4 ? (2 ) 在变形整理中起其重要作用;
x x 2

(2)分式加法的逆向运算是本题的变形技巧. 2.(2010·上海高考理科·T17)若 x0 是方程 ( ) ? x 3 的解,则 x0 属于区间 ( )
x

1 2

1

(A)(

2 ,1) 3

(B)(

1 2 , ) 2 3

(C)(

1 1 , ) 3 2

(D)(0,

1 ) 3

【命题立意】本题主要考查函数的性质、零点存在定理及不等式比较大小等有关知识.
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世纪金榜 圆你梦想 【思路点拨】构造相应函数,确定函数零点所在的区间.

1 ? 1?3 ? 1?3 ?1? 【规范解答】选 C,构造函数 f ( x ) ? ? ? ? x 3 ,则 ? ? ? ? ? ,即 f ( ) ? 0 ,同理可得 3 ? 2? ? 3? ? 2?
1

x

1

1

1 1 1 f ( ) ? 0 ,所以 f ( x ) ? 0 的解在区间( , )内. 2 3 2
3.(2010·江西高考文科·T8)若函数 y ? A. 1 B. ?1

ax 的图像关于直线 y ? x 对称,则 a 为( 1? x
D.任意实数

)

C. ?1

【命题立意】本题主要考查反函数的概念,考查反函数的图像性质,考查灵活变化能力. 【思路点拨】先求反函数,反函数与原函数为同一函数. 【规范解答】选 B.由 y ?

?x ax ax ?y , 由于 y ? 可得 x ? ,故反函数为 y ? 图像本身关于 x?a 1? x 1? x y?a

直线 y ? x 对称,故 a ? ?1. 选 B. 4.(2010·江西高考理科·T9)给出下列三个命题: ①函数 y ?

1 1 ? cos x x ln 与 y ? ln tan 是同一函数; 2 1 ? cos x 2 1 g ( x ) 的图像也关 2

②若函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称,则函数 y ? f (2 x) 与 y ? 于直线 y ? x 对称; ③若奇函数 f ( x ) 对定义域内任意 x 都有 f ( x) ? f (2 ? x) ,则 f ( x ) 为周期函数. 其中真命题是( A.①② ) B.①③ C.②③ D.②

【命题立意】本题主要考查同一函数的判断,函数的图像性质,反函数的图像性质,函数的奇偶性,周期 函数,同时考查命题真假的判断. 【思路点拨】①看定义域和对应关系是否相同;②利用反函数图像的性质判断;③利用条件可求 周期为 4.

1 1 ? cos x x ln 与函数 y ? ln tan 的定义域不同,所以两个函数不是同一 2 1 ? cos x 2 1 个函数②由题意知, y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 互为反函数,从而 y ? f (2 x) 与 y ? g ( x ) 也互为反函数,正 2
【规范解答】选C.①函数 y ? 确;③ f ( x) ? f (2 ? x) ? ? f ( x ? 2) ? ? f [2 ? ( x ? 2)] ? ? f (4 ? x) = f ( x ? 4) ,故周期为 4,正确.

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世纪金榜 圆你梦想 5.(2010·全国Ⅰ理科·T15)直线 y ? 1 与曲线 y ? x2 ? x ? a 有四个交点,则 a 的取值范围是 .

【命题立意】本小题主要考查分段函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想. 【思路点拨】将函数 y ? x2 ? x ? a 中的绝对值符号去掉变成两个函数, 然后根据自变量 x 的范围画出相应的图像,根据图像特征确定 a 的取值范围. 【规范解答】如图,在同一直角坐标系内画出直线 y ? 1 与曲线 y ? x2 ? x ? a ,观图可知,a 的取值必须

?a ? 1 5 ? , 解得 1 ? a ? .先画二次图像,再看直线与顶点、 y 轴交点的位置关系. 满足 ? 4a ? 1 4 ? 4 ?1 ?
6.(2010·湖北高考理科·T17)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶 和外墙需要建 造隔热层.某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每 年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x (单位:cm)满足关系: C ? x ? ?

k ? 0 ? x ? 10 ? , 3x ? 5

若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f ? x ? 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (Ⅰ)求 k 的值及 f ? x ? 的表达式; (Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用 f ? x ? 达到最小,并求最小值. 【命题立意】本题主要考查由实际问题求函数解析式、利用导数求函数最值, 考查考生的阅读理解及运算求解能力.

? 【思路点拨】 C (0) ? 8 ? k的值 ????????????
隔热层建造费用与20年的能源消耗费用相加

利用导数 ? f ? x ? 的表达式 ???? f ? x ? 的最小值

【规范解答】 (Ⅰ)设隔热层厚度 x cm,由题意建筑物每年的能源消耗费用为 C ? x ? ? 再由 C (0) ? 8 得 k ? 40 ,故 C ? x ? ? 意 f ? x? =

k ? 0 ? x ? 10 ? , 3x ? 5

40 ? 0 ? x ? 10 ? ;又 x 厘米厚的隔热层建造费用为 6x ,所以由题 3x ? 5

40 800 ? 20 + 6x = + 6x ? 0 ? x ? 10? 。 3x ? 5 3x ? 5
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2400 ? (Ⅱ) f ?( x ) ? 6 ? (3 x ? 5) 2
得 x ? 5, x ? ?

54( x ?

25 )( x ? 5) 3 ,令 f ?( x) ? 0 (3 x ? 5) 2

25 (舍去) ,当 x ? (0,5) 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? (5,10) 时, f ?( x) ? 0 ,故 x ? 5 时 f ? x ? 取 3 800 得最小值,且最小值 f ? 5? = 6 ? 5 ? =70. 15 ? 5
因此当隔热层修建 5cm 厚时,总费用达到最小,且最小值为 70 万元。 【方法技巧】解函数应用题的第一关是:正确理解题意,将实际问题的要求转化为数学语言,找出函数关 系式,注明函数定义域;第二关是:针对列出的函数解析式按题目要求,选择正确的数学思想将其作为一 个纯数学问题进行解答。

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