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江西省吉安市白鹭洲中学2013-2014学年上学期高三年级期中考试数学试卷(理科)


江苏省吉安市白鹭洲中学 2013—2014 年上学期高三年级期中考 试数学试卷(理科) 命题人:郭士华 审题人:杨承春
考生注意: 1、 本试卷设Ⅰ、Ⅱ卷和答题卡纸三部分,试卷所有答案都必须写在答题纸上。 2、 答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的,答题时应特别注意,不能错位。 3、 考试时间为 120 分钟,试卷满分为 150 分。

7.如图,ΔABC 中, ?A = 600, ?A 的平分线交 BC 于 D,若 1 AB = 4,且 AD ? AC ? ? AB(? ? R) ,则 AD 的长为( ) 4
A.
2 3

B. 3 3

C. 4 3

D. 5 3

8. 设函数 f ( x) ? 3 sin(?x ? ? )(? ? 0,? 线

?
2

?? ?

?
2

) 的图像关于直

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

2

一、 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
1. 下列函数中,既是偶函数又在 (0, ) +? 单调递增的函数是 A. y ? x
3



B. y ? x ? 1

C. y ? ? x ? 1

D. y ? 2
?

?x

2.已知集合 A ? ?2, 4? , B ? ?2,3, 4? , C ? ( x, y ) x ? A, y ? B, 且log x y ? N 个数是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

?

? ,则 C 中元素


2? 对称,它的周期是 ? ,则 ( ) 3 1 A. f (x) 的图象过点 (0, ) 2 ? ? 2? ? B. f (x) 在 ? , 上是减函数 ?12 3 ? ? 5? C. f (x) 的一个对称中心是 ( ,0) ks5u 12 D. 将 f (x) 的图象向右平移 | ? | 个单位得到函数 y ? 3sin ?x 的图象. x?
9.已知等差数列 ?a n ? 的公差 d 不为 0,等比数列 ?bn ? 的公比 q 是小于 1 的非零实数。若 a1 ? d ,



? 3.若 ? ? (0, ?) ,且 3 cos 2? ? sin( ? ?) ,则 sin 2? 的值为 4 17 17 17 A.1 或 ? B.1 C. D. ? 18 18 18 4.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a5 ? 11, S12 ? 186, 则a8 的值
A.18 5. 若 0 ? x ?





a ? a2 ? a3 b1 ? d , 且 1 是正整数,则 q 的值可以是 b1 ? b2 ? b3
2 2 2
2





A. ( )

1 7

B.-

1 7
2

C.

1 2

D.-

1 2

?
2

B.20

C.21

D.22

10.已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的导数 f ' ( x), f ' (0) ? 0 ,且 f (x) 的值域为 [0,??) ,则 ( )

,则“ x ?

1 1 ”是 “ ? x” sin x sin x



A.必要不充分条件 C.充要条件

B.充分不必要条件 D.既非充分又非必要条件

f (1) 的最小值为 f ' (0)
A.3 B.





6.已知 a 与 b 均为单位向量,其中夹角为 ? ,有下列四个命题

2? ) 3 ? p3 : | a ? b |? 1 ? ? ∈[0, ) 3
p1 : | a ? b |? 1 ? ? ∈[0,
B. p1 , p3

2? ,? ] 3 ? p4 : | a ? b |? 1 ? ? ∈( , ? ] 3
p2 : | a ? b |? 1 ? ? ∈(
( C. p2 , p3 D. p3 , p4 )

5 2

C.2

D.

3 2

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
11.若数列{ an }的前 n 项和为 Sn=

其中真命题是 A. p1 , p4

2 1 an ? ,n ? N * ,则数列{ an }的通项公式是 an =______. 3 3

12. f ( x) ? x ? a , (a
2 x

? 0且a ? 1) 若对任意 x ? (?2,1) , f ( x) ?

1 恒成立,则 a 的取值范围是 2

18. (本小题满分 12 分)已知等差数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 .且 a2 ,a5 ,a14 分别是等 比数列 {bn } 的 b2 ,b3 ,b4 .

________
13.若方程

1? x x?a

2

? 1 ? 0 仅有一解,则实数 a 的取值范围是_________.

(1)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; (2)设数列 {cn } 对任意正整数 n 均有

14.已知函数 f ( x) ? x 2 ?

2 1 , g ( x) ? ( ) x ? m, 若 ?x1 ? [1, 2], ?x2 ? [?1,1], 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) , x 2
.

则实数 m 的取值范围是 15.下列命题: ①函数 y ? sin? x ?

c1 c2 c ? ? ? ? n ? an ?1 成立,求 c1 ? c2 ? ? ?c2013 的值. bn b1 b2

19. (本小题满分 12 分)某单位设计了一个展览沙盘,现欲在沙盘平面内,布设一个对角线在直 线 l 上的四边形电气线路,如图所示,为充分利用现 有材料,边 BC,CD 用一根 5 米长的材料弯折而成, 边 BA, 再用一根 9 米长的材料弯折而成, AD 要求∠A 和∠C 互补,且 AB=BC。 (1)设 AB=x 米,cosA=f(x),求 f (x) 的解析式, 并指出 x 的取值范围; (2)求四边形 ABCD 面积的最大值.

? ?

??

? 在 ?0, ? ?上是减函数; 2?

②点 A(1,1) 、B(2,7)在直线 3x ? y ? 0 两侧; ③数列 ?an ? 为递减的等差数列, a1 ? a5 ? 0 ,设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,则当 n ? 4 时,

S n 取得最大值;
④定义运算
a1 b1 a2 b2

? a1b2 ? a2b1,则函数 f ?x ? ?

x 2 ?3 x 1 1x x 3

? 1? 的图象在点 ?1, ? 处的切线方程是 ? 3?

20. (本小题满分 13 分)A﹑B﹑C 是直线 l 上的三点, O 是直线 l 外一点, 点 向量 OA ﹑ OB ﹑ OC 满 足: OA -[y+2 f ?(1) ]· OB +ln(x+1)· OC = 0 ; (1)求函数 y=f(x)的表达式; (2)若 x>0, 证明 f(x)> (3)当

6 x ? 3 y ? 5 ? 0.
其中正确命题的序号是 (把所有正确命题的序号都写上). 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分)

2x ; x?2

π 7 2 π π 16. (本小题满分 12 分)已知 sin( A ? ) ? , A? ( , ) . 4 10 4 2
(1)求 cos A 的值; (2)求函数 f ( x) ? cos 2 x ?

1 2 x ? f ( x 2 ) ? m 2 ? 2bm ? 3 时,x ? ?? 1,1? 及 b ? ?? 1,1? 都恒成立,求实数 m 的取值范围。 2

5 sin A sin x 的值域. 2
?

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? ? e 对 (e 1 为 数 x? ? 然. ) a 0 x ,自 ) ( a 数 的 底
x

17. (本小题满分 12 分)已知向量 a ? (cos x, 4sin x ? 2), b ? (8sin x, 2sin x ? 1) , x ? R ,设函数

?

(1)求函数 f ( x ) 的最小值; (2)若 f ( x ) ≥0 对任意的 x?R 恒成立,求实数 a 的值; (3)在(2)的条件下,证明: (n(n?? ) (n ) ) ?( n ) ?? ? ? ? (中 其) n* ? N

? ? f ( x) ? a ? b

(1)求函数 f ( x) 的最大值; (2)在 ?ABC 中, A 为锐角,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , f ( A) ? 6, 且 ?ABC 的面积 为 3, b ? c ? 2 ? 3 2, 求 a 的值.

1 2 n n

n ? n e 1 n ne ? 1

— — — — — — — — — — —密— — — — — — — — — —封— — — — — — — — — —线— — — — — — —

白鹭洲中学 2013—2014 年上学期高三年级期中考试 数学试卷(理科)
考生注意: 1、考生务必用黑色签字笔填写试题答案,字体工整、笔记清楚。 2、答题前,请考生叫密封线内的姓名、班级、考号填写清楚。 3、保持卷面整洁,不得折叠、不要弄破。

17(本题满分 12 分)

总分:

一、选择题(5×10=50)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

学号

二、填空题(5×5=25) 11、 12、 13、

18(本题满分 12 分)

14、

15、

姓名

三、解答题(本大题共 6 小题,共计 75 分。 ) 16(本题满分 12 分)

班级



19(本题满分 12 分)

21(本题满分 14 分)

20(本题满分 13 分)

17.

白鹭洲中学 2013—2014 年上学期高三年级期中考试 数学试卷(理科)参考答案和评分标准
一、选择题 1
B

? ? 19.( ) f ( x) ? a ?b ? (8sin x) cos x ? (4sin x ? 2)(2sin x ? 1) Ⅰ

(2分)

2
B

3


4
B

5


6


7


8


9
C

10


二、填空题

11、

(?2)n?1 .

12、

? 1 14 ? ? , ? ?2 7 ?

13、

? 4sin 2 x ? 4 cos 2 x ? 2 ? 4 2 sin(2 x ? ) ? 2 ? f ( x) max ? 4 2 ? 2 (6分) 4 ? ? 2 (Ⅱ由Ⅰ可得f ( A) ? 4 2 sin(2 A ? ) ? 2 ? 6,sin(2 A ? ) ? ) () . (7分) 4 4 2 ? ? ? 3? ? ? ? 因为0 ? A ? , 所以 ? ? 2 A ? ? ? , 2 A ? ? , A ? . (8分) 2 4 4 4 4 4 4 1 2 ? S ?ABC ? bc sin A ? bc ? 3.? bc ? 6 2, 又b ? c ? 2 ? 3 2. (10分) 2 4 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? (b ? c) 2 ? 2bc ? 2bc ? 2 2 ? (2 ? 3 2) 2 ? 12 2 ? 2 ? 6 2 ? ? 10. 2 ? a ? 10. (12分)
18、

?

14

m?

5 2

15.、

②④

三、解答题
π 7 2 π 2 π π π π 3π cos( A ? ) ? ? 且 , 所以 ? A ? ? , . ? A ? , sin( A ? ) ? 4 10 4 10 4 2 2 4 4 π π π π π π 因为 cos A ? cos[( A ? ) ? ] ? cos( A ? ) cos ? sin( A ? )sin 4 4 4 4 4 4 2 2 7 2 2 3 3 ?? ? ? ? ? .所以 cos A ? . ????6 10 2 10 2 5 5 4 5 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 sin A ? . 所以 f ( x) ? cos 2 x ? sin Asin x 5 2 1 2 3 ? 1 ? 2sin 2 x ? 2sin x ? ?2(sin x ? ) ? , x ?R . 因为 sin x ?[?1,1] ,所以,当 2 2 1 3 sin x ? 时, f ( x) 取最大值 ;当 sin x ? ?1 时, f ( x) 取最小值 ?3 . 2 2 3 所以函数 f ( x) 的值域为 [?3, ] . ????????12 分 2
16. 解: Ⅰ) ( 因为

(Ⅱ)四边形 ABCD 的面积 1 1 S= (AB· AD+ CB· CD)sinA= [x(5-x)+x(9-x)] 1-cos2A. 2 2 =x(7-x) 2 1-( )2= (x2-4)(7-x)2= (x2-4)( x2-14x+49).………… 8 分 x

所以 g(x)=(x2-4)( x2-14x+49),x∈(2,5). 由 g′(x)=2x( x2-14x+49)+(x2-4)( 2 x-14)=2(x-7)(2 x2-7 x-4)=0, 1 解得 x=4(x=7 和 x=- 舍). 2 ……………………… 10 分

所以函数 g(x)在区间(2,4)内单调递增,在区间(4,5)内单调递减. 因此 g(x)的最大值为 g(4)=12× 9=108.……………………… 11 分 四边形 ABCD 的面积最大值为 6 3 答:四边形 ABCD 的面积最大值为 6 3 . 20.解 I)由三点共线知识, ……………………… 123

? ? ∵ OA ? [ y ? 2 f (1)]OB ? ln( x ? 1)] ? OC ? 0 ,∴ OA ? [ y ? 2 f (1)]OB ? ln( x ? 1)] ? OC ,∵A﹑B﹑C
三点共线,

? ? ∴ [ y ? 2 f (1)] ? [? ln( x ? 1)] ? 1 ∴ y ? f ( x) ? ln( x ? 1) ? 1 ? 2 f (1) .

? ? ∴ f ( x) ? x ? 1 ∴ f (1) ? 2 ,∴f(x)=ln(x+1)??????4 分
x2 2x g ?( x) ? g ?( x) ? 0 (Ⅱ)令 g(x)=f(x)- x ? 2 ,由 ( x ? 1)( x ? 2) 2 ,∵x>0∴

1

1

2x
∴g(x)在 (0,+∞)上是增函数,故 g(x)>g(0)=0,即 f(x)> x ? 2 ;???8 分 (III)原不等式等价于 2 x ? f ( x ) ? m ? 2bm ? 3 ,令
2 2 2

1

19 解析. (Ⅰ)在△ ABD 中,由余弦定理得 BD2=AB2+AD2-2AB· cosA. AD· 同理,在△ CBD 中,BD2=CB2+CD2-2CB· cosC. ………………… 2 分 CD· 因为∠A 和∠C 互补, 所以 AB2+AD2-2AB· cosA=CB2+CD2-2CB· cosC AD· CD· 2 2 =CB +CD +2CB· cosA. ………… 3 分 CD· 2 2 2 2 即 x +(9-x) -2 x(9-x) cosA=x +(5-x) +2 x(5-x) cosA. 2 2 解得 cosA= ,即 f( x)= .其中 x∈(2,5). x x ……………………… 5 分

x3 ? x 1 2 1 , x ? f ( x 2 ) = x 2 ? ln(1 ? x 2 ), 由 h?( x) ? h(x)= 2 2 1? x2
当 x∈[-1,1]时,[h(x)]max=0, ∴m -2bm-3≥0,令 Q(b)= m -2bm-3,则由 Q(1)≥0 及 Q(-1)≥0 解得 m≤-3 或 m≥3. ????13 分
2 2

21.解: (1)由题意 a 0 ?x e a ? f() x ,由得 x?lna , ?? 当 x ( ? a时, f ?(x ?0;当时, f ?(x ?0. ? , n) ?l ) ) ∴ f ( x ) 在 ( ? na 单调递减,在 ( na? )单调递增. ????????3 ? ,l ) l , ? 分 即 f ( x ) 在 x?lna处取得极小值,且为最小值, 其最小值为 f a ?? a1 () l ?a1 l . ????4 分 n e l ?n n ?? aa a
l n a

(2) f (x) 0对任意的 x?R 恒成立,即在 x?R 上, f (x m ≥ . ) in 0 ≥ 由(1) ,设 g ? aa . ,所以 g(a) 0. ( al ? a ? ) n1 ≥

?) ? 1n 得 a 由 g 1 ?l ? ? 1 . (? a ? 0 a l n? a
易知 g ( a ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, ??) 上单调递减, ∴

g ( a ) 在 a ? 1 处取得最大值,而 g( ) ?0. 1
??????8 分

因此 g(a) 0的解为 a ? 1 ,∴ a ? 1 . ≥

x (3)由(2)知,对任意实数 x 均有 e ? ?≥ ,即 ? x 1 0 1 x≤ x. e

令x ? ?

k ?? k k ( N ,2 , ,则 0 ?1? ≤e n . n ,? ,… ? 03n * 1 k , , ? 1 ) n n

k ? ? kn ? ∴ ( ? ) ≤ n) ? .??????????????????????????10 分 1 ( e n ek n
n n n ? 1 n ? ) ? ∴ ( ? …( ≤? ? 2 ? ) ) ?) )e? … 1 (? ( n n ? e ? ( ) (2 ? 1 e ? ? e

12 nn

n n ? 1 n n

1 en ?? 1 e ? ?? ?? 1 1 1e 1e e1 ? ? ?.

????????14 分


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