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河南省南阳市2017届高三数学第四次模拟试题理


河南省南阳市 2017 届高三数学第四次模拟试题 理
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 ) 1.已知 t ? R, i 为虚数单位,复数 z1 ? 3 ? 4i, z2 ? t ? i,且z1 ? z2 是实数,则 t 等于 A.

3 4

B.

4 3

C. ?

4 3

D. ?

3 4

2.sin 163°sin 223°+sin 253°sin 313°等于 A.-

1 2

B.

1 2

C.-

3 2

D.

3 2

3.命题“ ?m ? ? 0,1? , x ? A. ?m ? ? 0,1? , x ?

1 ? 2m ”的否定形式是 x 1 ? 2m x 1 m D. ?m ? ? 0,1? , x ? ? 2 x
B. ?m ? ? 0,1? , x ?

1 ? 2m x 1 m C. ?m ? ? 0,1? , x ? ? 2 x

4.假设小明订了一份报纸,送报人可能在早上 6:30—7:30 之间把报纸送到,小明离家的 时间在早上 7:00—8:00 之间,则他在离开家之前能拿到报纸的概率 A.

1 3

B.

1 8

C.

2 3

D.

7 8

2 2 5. 若双曲线 x 2 ? y2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线将圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 平分,则双曲线的离 a b

心率为 A. 3 B. 5 C. 3 D. 2

6.已知 m , n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,给出下列四个命题,错误的命 题是 A.若 m / /? , m / / ? , ? ? ? ? n ,则 m / / n B.若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n

C.若 ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? m ,则 m ? ? D.若 ? / / ? , m / /? ,则 m / / ? 7.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0 ?
? ? x?2 ?2 x ? y ? 6 ? 0

,若目标函数 z ? ? mx ? y 的最大值为 ?2m ? 10 ,最小值

为 ?2m ? 2 ,则实数 m 的取值范围是 A. ? ?2,1? B. ? ?1,3? C. ? ?1, 2? D. ? 2,3?

-1-

8.函数 f ? x ? ? Asin ? wx ? ? ? ( A ? 0, w ? 0, ? ? 上所有的点的横坐标缩短为原来的 的解析式为 A. y ? sin ? x ?

?
2

) 的部分图象如图所示,若将 f ? x ? 图象

1 倍(纵坐标不变) ,得到函数 g ? x ? 的图象,则 g ? x ? 2

? ?

? 12 ?

? ?

B. y ? sin ? x ?

? ?

??
? 6?

C. y ? sin ? 4 x ?

? ?

??
? 3?

D. y ? sin ? 4 x ?

? ?

??
? 6?

9.已知 MOD 函数是一个求余函数,记 MOD ? m,n ? 表示 m 除以 n 的余数,例如 MOD ?8, 3? ? 2 .下图是某个算法的程序框图, 若输入 m 的值为 48 时,则输出 i 的值为 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

p p2 2 10.实数 p ? 0 ,直线 4 x ? 3 y ? 2 p ? 0 与抛物线 y ? 2 px 和圆 ( x ? ) 2 ? y 2 ? 从上到下 2 4
的交点依次为 A, B, C , D ,则

AC BD

的值为

A.

1 8

B.

5 16

C.

3 8

D.

7 16

11.如图是某几何体的三视图,正视图是等边三角形,侧视图和俯 视图为直角三角形,则该几何体外接球的表面积为 A.

20? 3

B. 8?

C. 9?

D.

19? 3

12.已知 P , Q 为动直线 y ? m(0 ? m ?

? 2 ) 与 y ? sin x 和 y ? cos x 在区间 [0, ] 上的左, 2 2

右两个交点, P , Q 在 x 轴上的投影分别为 S , R .当矩形 PQRS 面积取得最大值时, 点 P 的横坐标为 x0 ,则 A. x0 ?

?
8

B. x0 ?

?
8

C.

?
8

? x0 ?

?
6

D. x0 ?

? 6

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 ) 13.若函数 f ? x ? ?

k ? 2x 在其定义域上为奇函数,则实数 k ? 1? k ? 2x



-2-

a 14.已知 a ? 0 , ( a ? x)6 展开式的常数项为 15,则 ? ( 1 ? x 2 ? sin2x)dx= ?a



x

15.一个圆经过椭圆 为 。

x2 y 2 ? ? 1 的三个顶点,且圆心在 x 轴的负半轴上,则该圆的标准方程 16 4

16.等腰 ?ABC 中, AB ? AC , BD 为 AC 边的中线,且 BD ? 6 ,则 ?ABC 的面积的最大 值为 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17. (本题满分 12 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? 8 , Sn ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

an ?1 ? n ? 1. . 2

? 2 ? 3n ? (2)求数列 ? ? 的前 项和 Tn . ? an ? an?1 ?

18. (本题满分 12 分)A、B 是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验,每个 试验组由 4 只小白鼠组成,其中 2 只服用 A,另 2 只服用 B,然后观察疗效. 若在一个 试验组中,服用 A 有效的小白鼠的只数比服用 B 有效的多,就称该试验组为甲类组. 设 每只小白鼠服用 A 有效的概率为

2 1 ,服用 B 有效的概率为 . 3 2

(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率; (Ⅱ)观察 3 个试验组,用 ? 表示这 3 个试验组中甲类组的个数. 求 ? 的分布列和数学 期望.

19. (本题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且 AD =CD=2 2 ,BC=4 2 ,PA=2,点 M 在 PD 上. (Ⅰ)求证:AB⊥PC; (Ⅱ)若二面角 M-AC-D 的大小为 45°,求 BM 与 平面 PAC 所成角的正弦值.

20. (本题满分 12 分)已知点 F 为抛物线 E : x ? 4 y 的焦点,直线 l 为准线, C 为抛物线上
2

-3-

的一点( C 在第一象限) ,以点 C 为圆心, | CF | 为半径的圆与 y 轴交于 D, F 两点,且

?CDF 为正三角形.
(1)求圆 C 的方程; (2) 设 P 为 l 上任意一点, 过 P 作抛物线 x2 ? 4 y 的切线, 切点为 A, B , 判断直线 AB 与 圆 C 的位置关系.

21. (本题满分 12 分)已知 f ? x ? ? e ? a cos x ( e 为自然对数的底数) .
x

(1)若 f ? x ? 在 x ? 0 处的切线过点 P ?1,6 ? ,求实数 a 的值; (2)当 x ? ?0,

? ?? 时, f ? x ? ? ax 恒成立,求实数 a 的取值范围. ? 2? ?

选考题—请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22 .( 本 题 满 分 10 分 ) 在 直 角 坐 标 系 x O y中 , 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为

x ? 3sin? ? cos? ? (? 为参数) . 以坐标原点为极点,以 x 轴正半轴为极 ? ? y ? 3 ? 2 3sin? cos? ? 2cos 2?
轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? sin ? ? ?

? ?

??

2 m. ?? 4? 2

(1)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程; (2)若曲线 C1 与曲线 C2 有公共点,求实数 m 的取值范围. 23. (本题满分 10 分)已知函数 f ? x ? ? x ? a (Ⅰ)若不等式 f ? x ? ? 2 的解集为 0, 4 ,求实数 a 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 ?x0 ? R ,使得 f ? x0 ? ? f ? x0 ? 5? ? m ? 4m ,求实数 m 的
2

? ?

取值范围.

四模理数答案

-4-

一 DBDDB DCDCC DA 二 ?1

? 2

3? 25 ? 2 ?x? ? ? y ? 2? 4 ?
时,

2

24

17. (Ⅰ)因为

,故当



当 当

时,

, ;故 ,即 .

两式对减可得 ,故数列

;经检验,

时也满足

是以 3 为首项,3 为公比

的等比数列,故

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,







18. (Ⅰ)设 A1 表示事件“一个试验组中,服用 A 有效的小白鼠有 i 只”,i= 0,1,2, B1 表示事件“一个试验组中,服用 B 有效的小白鼠有 i 只”,i= 0,1,2,依题意有

1 2 4 2 2 4 P( A1 ) ? 2 ? ? ? , P( A2 ) ? ? ? . 3 3 9 3 3 9 1 1 1 1 1 1 P( B0 ) ? ? ? . P( B1 ) ? 2 ? ? ? . 所求的概率为 P = P(B0·A1)+ P(B0·A2) 2 2 4 2 2 2 1 4 1 4 1 4 4 ? ? ? ? ? ? . + P(B1·A2) = 4 9 4 9 2 9 9 4 5 3 125 , (Ⅱ)ξ 的可能值为 0,1,2,3 且 ξ ~B(3, ) P(? ? 0) ? ( ) ? 9 9 729 4 5 100 4 5 80 1 P (? ? 1) ? C 3 ? ? ( )2 ? , P(? ? 2) ? C32 ? ( ) 2 ? ? , 9 9 243 9 9 243 4 64 P(? ? 3) ? ( ) 3 ? . ξ 的分布列为 9 729
ξ p 0 1 2 3

125 729 4 4 ? . 9 3

100 243

80 243

64 729

数学期望 E? ? 3 ?

19.解:(1)取 BC 中点 E ,连结 AE ,则 AD ? EC, AD // EC ,所以四边形 AECD 为平
? 行 四 边 形 , 故 AE ? BC , 又 AE ? BE ? EC ? 2 2 , 所 以 ?ABC ? ?ACB ? 45 , 故

-5-

AB ? AC ,又 AB ? PA , AC ? PA ? A ,所以 AB ? 平面PAC ,故有 AB ? PC
(2) 如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 A ? xyz , 则

A?0,0,0?, B 2 2,?2 2,0 , C 2 2,2 2,0 , P?0,0,2?,
PM ? ? PD ? 0,2

?

?

? ? ? 2?,?2? ??0 ? ? ? 1?

设 得

,



M 0,2 2?,2 ? 2? 设 平 面 A M C 的 一 个 法 向 量 为

?

?

? 2? ?n1 ? AC ? 2 2 x ? 2 2 y ? 0 令 y ? 2 , 得x ? ? 2 , z ? ,即 n1 ? ?x, y, z ? , 则 ? ? ?1 ? ? ? n ? AM ? 2 2 ? y ? 2 ? 2 ? z ? 0 ? 1
2? ? ? n1 ? ? ? 2 , 2 , ? ? ?1 ? ?
又 平 面 ACD 的 一 个 法 向 量 为 n2 ? ?0,0,1? ,

cos n1 , n2 ?

n1 ? n2 n1 ? n2

?

2? ? ?1 ? 2? ? 4?? ? ? ? ?1 ?
2

? cos 45? , 解 得 ? ?

1 , 即 M 0, 2 ,1 , 2

?

?

BM ? ? 2 2,3 2,1 , 而 AB ? 2 2,?2 2 ,0 是平面 PAC 的一个法向量,设直线 BM 与
平面 PAC 所成的角为 ? ,则 sin ? ? cos ? BM , AB ??

?

?

?

?

| ?8 ? 12 | 4?3 3

?

5 3 .故直线 BM 与平 9

面 PAC 所成的角的正弦值为

5 3 9

-6-

同理可证,直线 (注:因为直线 直线 与圆 、

与圆 过定点

相交或相切.所以直线 ,且斜率

与圆 ,因为



相交或相切. 在圆 、 上,所以

相交或相切,这样答不扣分)

x 21. (1) ∵ f ? ? x ? ? e ? a sin x ,∴ f ? ? 0? ? 1 又∵ f ? 0? ? 1 ? a ,

∴ f ? x ? 在 x ? 0 处的切线方程为 y ? x ? 1 ? a .①把点 P ?1,6 ? 代入①,解得 a ? 4 (2)由 f ? x ? ? ax 可得 e ? a ? x ? cos x ? , .②令 g ? x ? ? x ? cos x , x ? ?0,
x

? ?? , ? 2? ?

?? ∵ g? ? x ? ? 1 ? sin x ? 0 , 且 g ? 0? ? ?1 ? 0, g ? ? ? ? ? ? 0 , ∴ 存 在 m ? ? ? 0, ? , 使 得 ? ? ? 2? ?2? 2

? ?? g ? m? ? 1,且当 x ? ? 0, m? 时, g ? x ? ? 0 ,当 x ? ? m, ? 时, g ? x ? ? 0 ? 2?
(1)当 x ? m 时, e ? 0, g ? m? ? m ? cos m ? 0 ,此时,对任意 a ? R ②式恒成立;
m

( 2 ) 当 x ? ? m,

? ?

??

? 2?

时 , ∵ g ? x ? ? x ? cos x ? 0 , 由 e ? a ? x ? cos x ? 变 形 可 得
x

a?

ex ex ,令 h ? x ? ? ,下面研究 h ? x ? 的最小值 x ? cos x x ? cos x
∴ h? ? x ? ?
e x ? x ? cosx ? sinx ? 1?

? x ? cos x ?

2

与 t ? x ? ? x ? cos x ? sin x ?1 同号.

且 t? ? x ? ? 1 ? sin x ? cos x ? 0 对 x ? ?0, ? ? 成立 ,∴函数 t ? x ? 在 ? m, ? ? 上为增函数, ? ? ? ? 2? ? ? 2? 而t?

?? ? ? ? ? 时, t ? x ? ? 0 ,∴ h? ? x ? ? 0 , ? ? ? 2 ? 0 ,∴ x ? ? ? m, ? 2 2 ? ? ? 2?
-7-

∴函数 h ? x ? 在 ? ? m, ? ? 2?

? ? 上为减函数,∴

h ? x ?min

2e 2 ,∴ 2e 2 a? ? h? ? ? ? ?2? ?

?? ?

?

?

22 . (1) 曲 线 C1 的 普 通 方 程 为 y ? x2 ? ?2 ? x ? 2? ; 曲 线 C2 的 直 角 坐 标 方 程 为

x ? y ? m ? 0 .(2)联立 {

y ? x2 x? y?m?0

2 ,消去 y 得 x ? x ? m ? 0 ,? ?2 ? x ? 2? 因为曲线 C1

与曲线 C2 有公共点,所以实数 m 的取值范围为 {m | 6 ? m ? ? } 23. (Ⅰ) ? x ? a ? 2?a ? 2 ? x ? a ? 2 ? f ? x ? ? 2 的解集为 0, 4 , ?{

1 4

?

?

a?2?0 , a?2?4

(Ⅱ) ? f ? x ? ? f ? x ? 5 ? ? x ? 2 ? x ? 3 ? ? x ? 2 ? ? ? x ? 3? ? 5 ? ?x0 ? R , 使得 ? a?2.

f ? x0 ? ? f ? x0 ? 5? ? m2 ? 4m 即 f ? x0 ? ? f ? x0 ? 5? ? 4m ? m2 成立, ? 4m ? m 2 ? f ? x ? ? f ? x ? 5 ? min ,
2 即 4m ? m ? 5 解得 m ? ?5 或 m ? 1 ,? 实数 m 的取值范围是 ? ??, ?5? ? ?1, ??? .

-8-


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