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数列求和的“裂项相消法”讲解

裂项相消法 对于此类型的数列,采用的“求前 n 项和”的方法叫“裂项相消法”—— 就是把通项拆分成“两项的差”的形式,使得恰好在求和时能够“抵消”多数 的项而剩余少数几项。 很多题目要善于进行这种“拆分” 请看几例:

(1)

an ?

1 n ? n ?1

?

? n? ??
2

n ? n ?1 n ?1

?

2

?

n ? n ?1 (变形过程中用了“分子有 ?1

理化”技巧 ) 得

Sn ?

1? 2 ? ?1

2 ? ?1

3 ?

? 3 ?1

4 n ? n ? 1 ? 1n ? 1 ? …? ? ? n ?1 ?1 ?1 ?1

(2)求和

Sn ?

1 1 1 1 ? ? ? …? 1? 2 2 ? 3 ? 3 4 n n? (

1)

解:通项公式: an ?

? n ? 1? ? n ? 1 ? 1 1 ? n ? n ? 1? n ? n ? 1? n n ? 1

所以

1 ? ?1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ?1 Sn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? … ? ? ? ? ?1 2 ? ? 2 3 ? ? 3 4 ? ? n n ?1 ?
? 1? ? 1 n ?1

n n ?1
Sn ? 1 1 ? ? 3? 7 7 ? 11 1 ?…? ? 11 15 1 n? ( 4 n? 1) ( 4

(3)求和

3)

解: an ?

? 4n ?1?? 4n ? 3?

1

?

1 ? 4n ? 3? ? ? 4n ? 1? 1 ? 1 1 ? ? ? ? ? 4 ? 4n ? 1?? 4n ? 3? 4 ? 4n ? 1 4n ? 3 ?

得 Sn ?

1 1 1 1 ? ? ?…? 3 ? 7 7 ?11 11?15 (4n ? 1)(4n ? 3)

?

1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? …? ? ?? ? 4 ?? 3 7 ? ? 7 11 ? ? 11 15 ? ? 4n ? 1 4 n ? 3 ? ?

1?1 1 ? ? ? ? ? 4 ? 3 4n ? 3 ?

?

n 3 ? 4n ? 3 ?

(4)求和

Sn ?

1 1 1 1 ? ? ?…? 1? 3 2 ? 4 ? 3 5 n n? (

2)

an ?
Sn ?

1 1 ? n ? 2? ? n 1 ? 1 1 ? ? ? ? ? ? n ? n ? 2? 2 n ? n ? 2? 2 ? n n ? 2 ?
1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? …? ? ? 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 4 ? 6 5 ? 7 ? n ? 2 ? n ? n ?1?? n ? 1? n ? n ? 2 ?

1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1? ? 1 1 ? ?1 1 ?? ? 1 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? … ? ? ? ??? ? ??? ? ?? 2 ?? 1 3 ? ? 2 4 ? ? 3 5 ? ? 4 6 ? ? n ? 2 n ? ? n ?1 n ? 1 ? ? n n ? 2 ? ?
1 1 1 1 ? ? ? ? 1 2 n ?1 n ? 2 3 1 1 ? ? ? 2 n ?1 n ? 2
(仔细看看上一行里边“抵消”的规律 )

最后这个题,要多写一些项,多观察,才可能看出抵消的规律来。


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