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2014年全国高考试卷三角函数与解三角形部分汇编(上)


2014 年全国高考试卷三角函数与解三角形部分汇编(上)
1. ( 2014 安徽理 6)
? 23π ? 设函数 f ( x)( x ∈R) 满足 f ( x ? π) ? f ( x) ? sin x . 当 0 ≤ x ? π 时,f ( x) ? 0 , 则f? ? ?( ? 6 ?



A. 【解析】 A

1 2

B.

3 2

C.0

D. ?

1 2

f ( x ? 2π) ? f ( x ? π) ? sin( x ? π) ? f ( x) ? sin x ? sin x ? f ( x) ,

∴ f ( x) 的周期 T ? 2 π , 又 当 0 ≤ x ? π 时, f ( x) ? 0, ?f(

5π ) ? 0, 6
? π? 1 ?? ? ? , ? 6? 2

? π ? ? π? ? π? ?f 即 f ? ? ? π ? ? f ? ? ? ? sin ? ? ? ? 0, 6 6 ? ? ? ? ? 6?

π? ? 23π ? ? ? π? 1 ∴f? ? ? f ? 4π ? ? ? f ? ? ? ? .故选 A. 6? ? 6 ? ? ? 6? 2

2.

( 2014 安徽理 11)
π? ? 若将函数 f ( x) ? sin ? 2 x ? ? 的图象向右平移 ? 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则 ? 的最小 4? ?

正值是________. 【解析】

3π 8
π? ? 根据题意设 g ( x) ? f ( x ? ? ) ? sin ? 2( x ? ? ) ? ? ,则 g ( x) 的图象关于 y 轴对称,? g (0) ? ± 1 , 4? ? π? ? 即 sin ? ?2? ? ? ? ± 1 , 4? ?

π π kπ π ? kπ ? (k ∈Z), ?? ? ? ? (k ∈Z) , 4 2 2 8 3π ∴当 k ? ?1 , ? 的最小正值为 . 8
∴ ?2? ? 3. ( 2014 安徽理 16) c ? 1, A ? 2B . 设 △ ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别是 a,b,c ,且 b ? 3 , ⑴求 a 的值;
π? ? ⑵求 sin ? A ? ? 的值. 4? ?

【解析】 ⑴ 因为 A ? 2B ,所以 sin A ? sin 2 B ? 2sin B cos B . 由正、余弦定理得 a ? 2b ?

a 2 ? c 2 ? b? . 2ac

因为 b ? 3,c ? 1 ,所以 a 2 ? 12,a ? 2 3 ; ⑵ 由余弦定理得 cos A ?

b2 ? c2 ? a2 9 ? 1 ? 12 1 ? ?? . 2bc 6 3
1 2 2 ? . 9 3

由于 0 ? A ? π ,所以 sin A ? 1 ? cos2 A ? 1 ?

π? π π 2 2 2 ? 1? 2 4? 2 ? 故 sin ? A ? ? ? sin A cos ? cos A sin ? . × ? ? ? ?× ? 4? 4 4 3 2 ? 3? 2 6 ?

4.

( 2014 安徽文 7) 若将函数 f ? x ? ? sin 2x ? cos 2x 的图象向右平移 ? 个单位, 所得图象关于 y 轴对称, 则? 的最小 正值是( A. ) B.

π 8

π 4

C.

3π 8

D.

3π 4

【解析】 C
π? ? 由 f ? x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin ? 2 x ? ? 知 f ? x ? 图象的对称轴方程为 4? ? kπ π 3π x ? ? ? k ? Z? ,因此在 y 轴左侧且离 y 轴最近的对称轴方程为 x ? ? .依题意结合图象 2 8 8 3π 知, ? 的最小正值为 ,故选 C. 8 ( 2014 安徽文 16) 设 △ ABC 的内角 A,, B C 所对边的长分别是 a,, c ? 1 , △ ABC 的面积为 2 , b c ,且 b ? 3,

5.

求 cos A 与 a 的值.
2 2 1 【解析】 由三角形面积公式,得 ? 3 ? 1 ? sin A ? 2 ,故 sin A ? . 3 2 因为 sin 2 A ? cos 2 A ? 1 ,

所以 cos A ? ? 1 ? sin 2 A ? ? 1 ?

8 1 ?? . 9 3

1 ①当 cos A ? 时,由余弦定理得 3
1 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 32 ? 12 ? 2 ?1? 3 ? ? 8 , 3
所以 a ? 2 2 .

? ②当 cos A ? ? 时,由余弦定理得 3
? 1? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 32 ? 12 ? 2 ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? 12 , ? 3?

所以 a ? 2 3 . 评析 6. 本题考查解三角形,解题时要注意已知 sin A 求 cos A 时有两解,防止漏解.

( 2014 北京理 14) 设函数 f ( x) ? A sin( .若 f ( x ) 在区间 ? , ? ? x? ? )(A ,? ,? 是常数, A? , 0 ? ? 0) 6 2 上具有单调性,且 f ?

?π π? ? ?

?π? ? 2π ? ?? f ? ???f ?2? ? 3 ?

?π? ? ? ,则 f ( x) 的最小正周期为_____. ?6?

【解析】 π
?π π? ?π? ?π? ?π ? 由 f ? x ? 在区间 ? ? ? 上具有单调性,且 f ? ? ? ? f ? ? 知, f ? x ? 有对称中心 ? ? 0 ? , ?6 2? ?2? ?6? ?3 ? 1?π 2 ? 7 ?π? ?2 ? 由 f ? ? ? f ? π ? 知 f ? x ? 有对称轴 x ? ? ? π ? ? π ,记 T 为最小正周期, 2 ? 2 3 ? 12 ?2? ?3 ?

7.

1 π π 2π 7 π T 则 T ≥ ? ? T ≥ ,从而 π ? ? ? T ? π . 2 2 6 3 12 3 4 ( 2014 北京理 15) π 1 如图,在 △ ABC 中, ?B ? , AB ? 8 ,点 D 在 BC 边上,且 CD ? 2 , cos?ADC ? . 3 7 ⑴求 sin ?BAD ⑵求 BD , AC 的长.
A

B

D

C

【解析】 ⑴ sin ?ADC ? 1 ? cos 2 ?ADC ?

4 3 7 sin ?BAD ? sin ? ?ADC ? ?B ? ? sin ?ADC ? cos ?B ? sin ?B ? cos ?ADC

?

4 3 1 1 3 3 3 ? ? ? ? 7 2 7 2 14

⑵ △ABD 中 8 AD BD AB AD BD .即 ? ? ? ? sin ?ADB sin B sin ?BAD 4 3 3 3 3 7 2 14 解得 BD ? 3 , AD ? 7 在 △ ACD 中,

AC 2 ? AD2 ? DC 2 ? 2 AD ? DC ? cos ?ADC ? 72 ? 22 ? 2 ? 7 ? 2 ?
所以 AC ? 7 8. ( 2014 北京文 12) 在 △ ABC 中, a ? 1 , b ? 2 , cos C ? 【解析】 2 ; 9.
15 8 ( 2014 北京文 16)
π? ? 函数 f ? x ? ? 3sin ? 2 x ? ? 的部分图象如图所示. 6? ? ⑴写出 f ? x ? 的最小正周期及图中 x0 , y0 的值; π? ? π ? ? 上的最大值和最小值. ⑵求 f ? x ? 在区间 ? ? , 2 12 ? ?

1 ? 49 7

1 ,则 c ? ____________; sin A ? ____________. 4

y y0

O

x0

x

【解析】 ⑴ f ? x ? 的最小正周期为 π , x0 ?

7π . y0 ? 3 6 π? π ? 5π ? π ? ⑵ 因为 x ? ? ? ,? ? ,所以 2 x ? ? ? ? ,0 ? . 12 ? 6 ? 6 ? 2 ?
于是当 2 x ?

π π ? 0 ,即 x ? ? 时, f ? x ? 取得最大值 0; 6 12 π π π 当 2 x ? ? ? ,即 x ? ? 时, f ? x ? 取得最小值 ?3 . 6 2 3 10. ( 2014 大纲理 3) 设 a ? sin 33? , b ? cos 55? , c ? tan 35? ,则( ) A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. c ? b ? a D. c ? a ? b
【解析】 C 11. ( 2014 大纲理 16)
?π π? 若函数 f ? x ? ? cos 2x ? a sin x 在区间 ? , ? 是减函数,则 a 的取值范围是____________. ?6 2?

【解析】 ? ??, 2? 12. ( 2014 大纲理 17 文 18)
△ ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、b 、 c 已知 3a cos C ? 2c cos A , tan A ?

1 ,求 B . 3

【解析】 由题设知正弦定理得 3sin A cos C ? 2sin C cos A . 故 3 tan A cos C ? 2sin C

1 因为 tan A ? ,所以 cos C ? 2sin C 3

tan C ?

1 2
tan A ? tan C ? ?1 tan A tan C ? 1

所以 tan B ? tan ? ?180 ? ? A ? C ?? ? ? ? tan ? A ? C ? ? 即 B ? 135? . 13. ( 2014 大纲文 2) 3? ,则 cos? ? ( 已知角 ? 的终边经过点 ? ?4 , A.



4 5

B.

3 5

C. ?

3 5

D. ?

4 5

【解析】 D 14. ( 2014 大纲文 14) 函数 y ? cos 2 x ? 2sin x 的最大值为___________.

3 2 15. ( 2014 福建理 12)
【解析】

在 △ ABC 中, A ? 60?,AC ? 4,BC ? 2 3 , 则 △ ABC 的面积等于_________ 【解析】 2 3 16. ( 2014 福建理 16) 已知函数 f ( x) ? cos x(sin x ? cos x) ? ⑴若 0 ? ? ?

1 . 2

2 π ,且 sin ? ? ,求 f (? ) 的值; 2 2 ⑵求函数 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间.

【解析】 本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和与差的三角函数公式及三角 函数的图象与性质等基础知识.考查运算求解能力,考查化归与转化思想. 解法一:
2 2 ,所以 cos ? ? . 2 2 2? 1 1 ?? ? . 2 ? ? 2 2 1 1 1 ? cos 2x 1 1 1 ⑵ 因为 f ( x) ? sin x cos x ? cos2 x ? ? sin 2x ? ? ? sin 2x ? cos 2 x 2 2 2 2 2 2 2 π? ? ? sin ? 2 x ? ? , 2 4? ? 2π 所以 T ? ?π. 2 π π π 3π π 由 2kπ ? ≤ 2x ? ≤ 2kπ ? ,k ∈Z ,得 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ,k ∈Z . 2 4 2 8 8 3 π π ? ? 所以 f ( x) 的单调递增区间为 ? kπ ? ,kπ ? ? , k ∈ Z . 8 8? ? 1 1 1 ? cos 2x 1 1 1 解法二: f ( x) ? sin x cos x ? cos2 x ? ? sin 2x ? ? ? sin 2x ? cos 2 x 2 2 2 2 2 2 2 π ? ? ? sin ? 2 x ? ? . 2 4? ? π π ⑴ 因为 0 ? ? ? ,所以 ? ? . 2 4 2 π? 1 ? sin ? 2? ? ? ? . 从而 f (? ) ? 2 4? 2 ? 2π ⑵ T? ?π. 2 π π π 3π π 由 2kπ ? ≤ 2x ? ≤ 2kπ ? ,k ? Z ,得 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ,k ? Z . 2 4 2 8 8 3π π? ? 所以 f ( x) 的单调递增区间为 ? kπ ? ,kπ ? ? ,k ? Z . 8 8 ? ? 17. ( 2014 福建文 7) π 将函数 y ? sin x 的图象向左平移 个单位,得到函数 y ? f ? x ? 的图象,则下列说法正确的是 2 ( ) π ⑴ 因为 0 ? ? ? ,sin ? ? 2 2? 2 所以 f (? ) ? ? ? 2 ? ? 2

A. y ? f ? x ? 是奇函数 B. y ? f ? x ? 的周期是 π

C. y ? f ? x ? 的图像关于直线 x ?

π 对称 2

? π ? D. y ? f ? x ? 的图像关于点 ? ? ,0 ? 对称 ? 2 ?

【解析】 D 18. ( 2014 福建文 14) 在 △ ABC 中, A ? 60?,AC ? 2,BC ? 3 ,则 AB 等于_________ 【解析】 1 19. ( 2014 福建文 18) 已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) .
? 5π ? ⑴求 f ? ? 的值; ? 4 ?

⑵求函数 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间. 【解析】 解法一:
5π ? 5π 5π ? π? π π? ? 5π ? ? cos ? ? ?2 cos ? ? sin ? cos ? ? 2 ⑴ f ? ? ? 2 cos ? sin 4 ? 4 4 ? 4? 4 4? ? 4 ? π? ? ⑵ 因为 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2cos2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 , 4? ?

2π ?π. 2 π π π 由 2kπ ? ≤ 2x ? ≤ 2kπ ? ,k ∈Z , 2 4 2
所以 T ? 得 kπ ?

3π π ≤ x ≤ kπ ? ,k ∈Z . 8 8

3π π? ? 所以 f ( x) 的单调递增区间为 ? kπ ? ,kπ ? ? ,k ∈ Z . 8 8? ?

π 解法二: f ( x) ? 2sin x cos x ? 2cos2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin(2x ? ) ? 1 4
11π π ? 5π ? ? 1 ? 2 sin ? 1 ? 2 . ⑴ f ? ? ? 2 sin 4 4 4 ? ?

⑵ T?

2π ?π. 2

π π π 由 2kπ ? ≤ 2x ? ≤ 2kπ ? ,k ∈Z , 2 4 2
得 kπ ?

3π π ≤ x ≤ kπ ? ,k ∈Z . 8 8

3π π? ? 所以 f ( x) 的单调递增区间为 ? kπ - ,kπ ? ? ,k ∈ Z . 8 8? ? 20. ( 2014 广东理 12)

B, C 所对应的边分别为 a , b, c. 在 △ ABC 中, 角 A, 已知 b cos C ? c cos B ? 2b , 则

a ? _______. b

【解析】 2 . 由余弦定理, b ?

a 2 ? b2 ? c 2 a 2 ? c 2 ? b2 2a2 a ?c? ? 2b ,整理得 ? 2b ,故 ? 2 . b 2ab 2ac 2a

或用正弦定理: sin B cos C ? sin C cos B ? 2sin B ? sin(B ? C ) ? 2sin B

? sin A ? 2sin B ? a ? 2b .

21. ( 2014 广东理 16)

π 5π 3 已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ) , x ? R,且 f ( ) ? . 4 12 2 ⑴求 A 的值; 3 π 3π ⑵若 f (? ) ? f (?? ) ? , ? ? (0 , ) ,求 f ( ? ? ) . 2 2 4 5π 5π π 2π 3 3 【解析】 ⑴ f ( ) ? A sin( ? ) ? A sin ? A? ? A ? 3; 12 12 4 3 2 2 3 π π ⑵ ? f (? ) ? f (?? ) ? 3sin(? ? ) ? 3sin(?? ? ) 4 4 2 π π π π ? 3(sin? ? cos ? cos? ? sin ) ? 3[sin(?? ) ? cos ? cos(?? ) ? sin ] 4 4 4 4 π ? 2 3cos? ? sin ? 6 cos? 4
? cos ? ? 6 , 4

10 π 又 ? ? (0 , ) ,∴sin ? ? 4 2

∴f (

3π 30 ? ? ) ? 3 sin( π ? ? ) ? 3 sin ? ? . 4 4

22. ( 2014 广东文 7) 在 △ ABC 中,角 A , B, C 所对应的边分别为 a , b, c ,则“ a ≤ b ”是 sin A ≤ sin B 的( A.充分必要条件 C.必要非充分条件 【解析】 A 23. ( 2014 广东文 16)
π? ? ? 5π ? 3 2 已知函数 f ( x) ? A sin ? x ? ?,x ? R ,且 f ? ? ? . 3? 2 ? ? 12 ?



B.充分非必要条件 D.非充分非必要条件

⑴求 A 的值;
π? ? ?π ? ⑵若 f (? ) ? f ? ?? ? ? 3 , ? ? ? 0 , ? ,求 f ? ? ? ? . 2? ? ?6 ?
? 5π ? 3 2 【解析】 ⑴ 由 f ? ? ? , 2 ? 12 ? 3π 3 2 2 3 2 ? 5π π ? 3 2 ? A sin ? ? A? ? A?3. 得 A sin ? ? ? ? 2 4 2 2 2 ? 12 3 ?

⑵ 由 f ?? ? ? f ? ?? ? ? 3 ,
π? π? ? ? 得 3sin ? ? ? ? ? 3sin ? ?? ? ? ? 3 , 3 3? ? ? ? π? π? ? ? 即 3sin ? ? ? ? ? 3sin ? ? ? ? ? 3 , 3 3? ? ? ?

π 化简整理得 6sin? cos ? 3 , 3
∴3sin ? ? 3 ,

∴sin ? ?

3 . 3

π? 6 ? ∵? ? ? 0 , ? ,∴cos? ? , 2? 3 ? π? ?π ? ?π ?π ? ∴ f ? ? ? ? ? 3sin ? ? ? ? ? ? 3sin ? ? ? ? ? 3cos? ? 6 . 6 6 3 2 ? ? ? ? ? ? 24. ( 2014 湖北理 17) 某实验室一天的温度(单位: ?C )随时间 t (单位 h )的变化近似满足函数关系;

π π 24? f ? t? ? 10 ? 3 cos t ? sin t, t ? ?0 , 12 12 ⑴求实验室这一天的最大温差; ⑵若要求实验室温度不高于 11?C ,则在哪段时间实验室需要降温?

? 3 π 1 π ? π? ?π 【解析】 ⑴ 因为 f (t ) ? 10 ? 2 ? cos t ? sin t? t ? ?, ? 2 ? ? 10 ? 2sin ? 12 2 12 12 3? ? ? ? π π π 7π π? ? π ? π ? 1 ≤ sin ? t ? ? ≤ 1 . sin ? t ? 又 0 ≤ t<24 , 所以 ≤ t ? < , 当 t ? 2 时, 3 12 3 3 12 3 ? ? ? 12

π? ? ?1; 3?

π? ? π 当 t ? 14 时, sin ? t ? ? ? ?1 .于是 f (t ) 在 ?0 , 24? 上取得最大值 12,取得最小值 8. 3? ? 12

故实验室这一天最高温度为 12?C ,最低温度为 8 ?C ,最大温差为 4 ?C . ⑵ 依题意,当 f (t ) ? 11 时实验室需要降温.
π? ? π 由⑴得 f (t ) ? 10 ? 2sin ? t ? ? , 3? ? 12 π? π? 1 ? π ? π 11 , 故有 10 ? 2sin ? t ? ?> 即 sin ? t ? ? <? . 12 3 12 3 2 ? ? ? ?

7π π π 11π 18 . ,即 10< t< < t? < 6 12 3 6 在 10 时至 18 时实验室需要降温. 评析 本题考查了正弦函数的性质,考查了运算求解能力.正确利用正弦函数的单调性是解 题的关键.计算失误是造成失分的重要原因之一,应充分重视.
又 0 ≤ t<24 ,因此 25. ( 2014 湖北文 13)
C 所对的边分别为 a , b, 在 △ ABC 中, 角 A ,B , 已知 A ? c.

π b? 3, , 则B= a =1, 6



π 2π 或 3 3 26. ( 2014 湖北文 18) 某实验室一天的温度(单位: ?C )随时间 t (单位: h )的变化近似满足函数关系: π π f (t ) ? 10 ? 3cos t ? sin t , t ? [0 , 24) . 12 12 ⑴求实验室这一天上午 8 时的温度; ⑵求实验室这一天的最大温差.
【解析】

π π 2π 2π 【解析】 ⑴ f (8) ? 10 ? 3cos( ? 8)? sin( ? 8) ? 10 ? 3cos ? sin 12 12 3 3 1 3 ? 10 ? 3 ? ( ? ) ? ? 10 . 2 2 故实验室上午 8 时的温度为10?C .

⑵ 因为 f (t ) ? 10 ? 2(

3 π 1 π π π cos t ? sin t ) = 10 ? 2sin( t ? ) , 2 12 2 12 12 3

π π π 7π π π , ?1≤ sin( t ? ) ≤1 . ≤ t? ? 3 12 3 3 12 3 π π π π 当 t ? 2 时, sin( t ? ) ? 1 ;当 t ? 14 时, sin( t ? ) ? ?1 . 12 3 12 3 于是 f (t ) 在 [0, 24) 上取得最大值 12,取得最小值 8.
又 0 ≤ t ? 24 ,所以 故实验室这一天最高温度为 12?C ,最低温度为 8 ?C ,最大温差为 4 ?C . 27. ( 2014 湖南理 9) 已知函数 f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ,且 ? A. x ? 【解析】 A 函数 f ? x ? 的对称轴为 x ? ? ?
2π 3

2π 3 0

f ? x ? dx ? 0 ,则函数 f ? x ? 的图象的一条对称轴是(
C. x ?



5π 6

B. x ?

7π 12

π 3

D. x ?

π 6

π π ? kπ ? x ? ? ? ? kπ , 2 2
?π ? ? 2π ? ? ? ? ? cos? ? 0 ? sin ? ? ? ? ? 0 , 3 ?3 ? ?

因为

? sin ? x ? ? ?dx ? 0 ? ? cos ? ?
0

所以 ? ?

π 4π 5π 是其中一条对称轴,故选 A. ? 2kπ 或 ? 2kπ ,则 x ? 3 3 6

28. ( 2014 湖南理 18) 如图,在平面四边形 ABCD 中, AD ? 1,CD ? 2,AC ? 7 . ⑴求 cos ?CAD 的值 ; ⑵若 cos ?BAD ? ?
A D

7 21 , sin ?CBA ? ,求 BC 的长. 14 6

B

C

【解析】 ⑴ 由 △ DAC 关于 ?CAD 的余弦定理可得 2 7 2 7 AD2 ? AC 2 ? DC 2 1 ? 7 ? 4 ? ? ,所以 cos ?CAD ? . cos ?CAD ? 7 7 2 ? 1 ? 7 2 AD ? AC ⑵ 因为 ?BAD 为四边形内角,所以 sin ?BAD ? 0 且 sin ?CAD ? 0 , 则由正余弦的关系可得:
sin ?BAD ? 1 ? cos 2 ?BAD ?

189 21 且 sin ?CAD ? 1 ? cos 2 ?CAD ? , 14 7

再由正弦的和差角公式可得:

sin ?BAC ? sin ? ?BAD ? ?CAD ? ? sin ?BAD cos ?CAD ? sin ?CAD cos ?BAD
? 189 2 7 21 ? 7? 3 3 3 3 ? ? ? ? ?? ? ? , ? ? ? 7 14 2 14 7 7 ? 14 ?

再由 △ ABC 的正弦定理可得

7 3 AC BC ? BC ? ? ?3. ? ? 21 ? 2 sin ?CBA sin ?BAC ? ? 6 ? ? ? ?
2? ? , ?BEC ? 3 3

29. ( 2014 湖南文 19) 如图, 在平面四边形 ABCD 中, DA ? AB , DE ? 1 , EC ? 7 , EA ? 2 , ?ADC ? ⑴求 sin ?CED 的值; ⑵求 BE 的长
C D E A B

【解析】 设 ?CED ? ? . 图4 ⑴ 在 △CDE 中,由余弦定理,得
EC 2 ? CD2 ? DE 2 ? 2CD ? DE ? cos ?EDC .

于是由题设知, 7 ? CD 2 ? 1 ? CD ,即 CD 2 ? CD ? 6 ? 0 , 解得 CD ? 2 ( CD ? ?3 舍去) . EC CD 在 △CDE 中,由正弦定理,得 . ? sin ?EDC sin ? 于是 sin ? ?

CD ? sin

2π 3 2? 3 ? 2 ? 21 ,即 sin ?CED ? 21 . 7 EC 7 7
21 2 7 π ? ,于是由⑴知, cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? . 49 7 3

⑵ 由题设知, 0 ? ? ? 而 ?AEB ?

2π ? ? ,所以 3

2π 2π ? 2π ? cos ?AEB ? cos ? ? ? ? ? cos cos ? ? sin sin ? 3 3 3 ? ?
1 3 1 2 7 3 21 7 ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 7 2 7 14 2 2 EA 2 在 Rt△ AEB 中, cos ?AEB ? ,故 BE ? ? ?4 7 ? cos ?AEB BE BE 7 14 30. ( 2014 江苏理 5)

已知函数 y ? cos x 与 y ? sin(2 x ? ? ) (0 ≤? ? π) , 它们的图象有一个横坐标为 值是________. 【解析】

π 的交点, 则? 的 3

π 6
由题意, sin(2 ?

π π 1 2π 2π 5π ? ? ) ? cos ? ,∵ 0 ≤? ? π ,∴ ≤ ?? ? 3 3 2 3 3 3 2π 5π π 当且仅当 , ? ? 时等式成立 ?? ? 3 6 6 31. ( 2014 江苏理 14) 若 ?ABC 的内角满足 sin A ? 2 sin B ? 2sin C ,则 cos C 的最小值是_______.

【解析】

6? 2 4 由已知, a ? 2b ? 2c

a 2 ? b2 ? c 2 cos C ? ? 2ab

1 3 2 1 2 a 2 ? b 2 ? (a ? 2b)2 a + b 4 4 2 ? 2 ? 2ab 2ab 4

2? ≥

3 2 a? b 2 2 ? 2 ? 6 ? 2 ,当且仅当 3 a ? 2 b 时等号成立 2 2 2ab 4 4

32. ( 2014 江苏理 15)
π 5 ? 已知 ? ? ? . sin ? ? ? ,π ?, ?2 ? 5

? ⑴求 sin ? ? ? ? ? 的值; π ?4 ?

⑵求 cos ? ?

5π ? ? 2? ? 的值. 6 ? ?

【解析】 ⑴ ∵ ? ? ? ?

2 5 5 π ? ,∴ cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? , π ? , sin ? ? 2 5 5 ? ?

2 2 ? 5? 10 π π ?π ? ? ?? ? cos? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? sin cos ? ? cos sin ? ? ? ? ? 4 4 2 2 ? 5 ? 10 ?4 ?
4 3 ⑵ ∵ sin 2? ? 2sin ? cos? ? ? , cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 5 5
∴ cos ? ?
5π 5π 5π 3 3 1 ? 4? 3 3?4 ? ? 2? ? ? cos cos 2? ? sin sin 2? ? ? ? ? ??? ? ? ? 6 6 2 5 2 ? 5? 10 ? 6 ?
2

33. ( 2014 江西理 4) 在 △ ABC 中,内角 A , B , C 所对应的边分别为 a,b,c ,若 c2 ? ? a ? b ? ? 6,C ?
△ ABC 的面积()

π ,则 3

A.3 【解析】 C

B.

9 3 2

C.

3 3 2

D. 3 3

.∵C ? c2 ? ? a ? b? ? 6 ,即 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab ? 6 ①
2

π ,由余弦定理得 c2 ? a 2 ? b2 ? ab ② ,由 3

① 和② 得 ab ? 6 ,∴S△ ABC ? 34. ( 2014 江西理 16)

1 1 3 3 3 ab sin C ? ? 6 ? ? ,故选 C. 2 2 2 2

已知函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? a cos( x ? 2? ) ,其中 a ? R,? ? (? ⑴当 a ? 2,? ?

π π , ) 2 2

π 时,求 f ( x) 在区间 [0,π] 上的最大值与最小值; 4

?π? ? 的值. ⑵若 f ? ? ? 0,f ( π ) ? 1 ,求 a , ?2?

π? π? 2 ? ? ? sin x ? cos x ? ? 2 sin x 【解析】 ⑴ f ? x ? ? sin ? x ? ? ? 2 cos ? x ? ? ? 4? 2? 2 ? ? ? 2 2 ?π ? cos x ? sin x ? sin ? ? x ? . 2 2 ?4 ?

因为 x ? [0,π] ,从而

π ? 3π π ? ? x ? ?? , ? 4 ? 4 4?

故 f ? x ? 在 [0,π] 上的最大值为

2 ,最小值为 ?1 . 2

? ?f ⑵ 由? ?f ?

?π? ? ? ? 0, ? ?cos? ?1 ? 2a sin ? ? ? 0, 得? ?2? 2 , ? ?2a sin ? sin ? ? a ? 1 ?π? ? 1

?a ? ?1 ? π π? ? 由 ? ? ? ? , ? 知 cos ? ? 0 ,解得 ? π ? 2 2? ? ?? ? 6 ?
35. ( 2014 江西文 5) 在 △ ABC 中,内角 A,, B C 所对应的边分别为 a , b, c ,若 3a ? 2b ,则 ( A. ? )

2sin 2 B ? sin 2 A 的值为 sin 2 A

1 9

B.

1 3

C. 1

D.

7 2

【解析】 D 36. ( 2014 江西文 16)
?? ? 已知函数 f ? x ? ? a ? 2cos2 x cos ? 2x ? ? ? 为奇函数,且 f ? ? ? 0 ,其中 ?4?

?

?

a ? R, ? ? ? 0, ??.
⑴求 a, ? 的值;
2 π? ?? ? ?π ? ? ⑵若 f ? ? ? ? ,? ? ? ,π ? ,求 sin ? ? ? ? 的值. 4 5 2 3? ? ? ? ? ?

【解析】 ⑴ 因为 f ? x ? ? ? a ? 2cos2 x ? cos ? 2x ? ? ? 是奇函数,而 y1 ? a ? 2cos2 x 为偶函数, 所以 y1 ? cos ? 2 x ? ? ? 为奇函数,又 ? ? ? 0 ,π ? ,则 ? ?
f ? x ? ? ? sin 2x ? ? a ? 2cos2 x ?

π ,所以 2

?π? 由 f ? ? ? 0 得 ? ? a ? 1? ? 0 ,即 a ? ?1. ?4? 1 1 2 4 ?? ? ⑵ 由⑴ 得, f ? x ? ? ? sin 4x ,因为 f ? ? ? ? sin ? ? ? ,即 sin ? ? ,又 2 4 2 5 5 ? ?

? ? ? ,π ? ,从而 cos ? ? ? ,所以有 2
π? π π 4?3 3 ? sin ? ? ? ? ? sin ? cos ? cos ? sin ? . 3 3 3 10 ? ?

?π ?

? ?

3 5

37. ( 2014 辽宁理 9 文 11) π? ? π 将函数 y ? 3sin ? 2 x ? ? 的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应的函数() 3? ? 2

? π 7π ? A.在区间 ? , ? 上单调递减 ?12 12 ? ? π π? C.在区间 ? ? , ? 上单调递减 ? 6 3?
【解析】 B

? π 7π ? B.在区间 ? , ? 上单调递增 ?12 12 ? ? π π? D.在区间 ? ? , ? 上单调递增 ? 6 3?

38. ( 2014 辽宁理 17 文 17)
C 的对边分别为 a , b, 在 △ ABC 中, 内角 A , 已知 BA ? BC ? 2 . c 且a?c, cos B ? B,

1 b?3, . 3

求: ⑴ a 和 c 的值; ⑵ cos ? B ? C ? 的值. 【解析】 ⑴ 由 BA ? BC ? 2 得 c ? a cos B ? 2 .又 cos B ? 由余弦定理.得 a 2 ? c 2 ? b2 ? 2ac cos B . 又 b ? 3 ,所以 a 2 ? c2 ? 9 ? 2 ? 2 ? 13 .
?ac ? 6 解? 2 2 ,得 a ? 2 , c ? 3 或 a ? 3 , c ? 2 ?a ? c ? 13 因 a ? c ,所以 a ? 3 , c ? 2 .

1 .所以 ac ? 6 . 3

⑵ 在 △ ABC 中, sin B ? 1 ? cos2 B ? 1 ? ? ? ?

?1? ? 3?

2

2 2 . 3

c 2 2 2 4 2 由正弦定理,得 sin C ? sin B ? ? . ? b 3 3 9

?4 2? 7 因 a ? b ? c .所以 C 为锐角.因此 cos C ? 1 ? sin C ? 1 ? ? ? 9 ? ? ?9. ? ?
2

2

1 7 2 2 4 2 23 ? ? 于是 cos( B ? C ) ? cos B cos C ? sin B sin C ? ? ? . 3 9 3 9 27


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